1/32025年秋季高二開學摸底考試模擬卷數(shù)學?全解全析第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D.2．已知兩個單位向量，的夾角為，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】A【解析】因為兩個單位向量，的夾角為，所以，所以.故選：A3．已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列說法正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【解析】對于A，若，，，則或者異面，故A錯誤，對于B，若，，且與，的交線垂直，才有，否則與不一定垂直，故B錯誤，對于C，若，，則或者，故C錯誤，對于D，若，，則，D正確，故選：D4．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，且，故選：B.5．已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．其圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)是奇函數(shù) D．在區(qū)間上的值域為【答案】D【解析】，沿軸向左平移個單位，得．對于A，當，單調(diào)遞減，所以選項A錯誤；對于B，，則圖象關(guān)于對稱，所以選項B錯誤；對于C，是偶函數(shù)．所以選項C錯誤；對于D，當，則，所以D正確，綜上可知，正確的為D.故選：D．6．平行六面體中，底面ABCD為正方形，，，E為的中點，則異面直線BE和DC所成角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，，又，，所以，即有，故選：A．7．如圖，在四邊形中，，，，為線段的中點，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】在中，由余弦定理可得，則，由，可得，又為線段中點，則，又，則，，且，所以.故選：C.8．在中，設(shè)角，，所對的邊長分別為，，，且，，則面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】因為，由正弦定理可得，即，即，所以，又，則，又因為，，即，所以，當且僅當時取得等號，所以，即面積的最大值為，當且僅當時取得.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知空間中三點，，，則（）A．B．與夾角的余弦值是C．直線的一個方向向量是D．平面的一個法向量是【答案】ACD【解析】由，，，得，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，因為，所以向量與平行，所以直線的一個方向向量是，故C正確；對于D，因為，所以不共線，設(shè)，則，所以，所以是平面的一個法向量，故D正確.故選：ACD.10．在中，是邊上的一點，則（

）A．B．C．若，則D．若是的平分線，則【答案】BC【解析】對于選項A：，故選項A錯誤；對于選項B：由余弦定理，得，解得，故選項B正確；對于選項C：因為，所以，所以，故選項C正確；對于選項D：由等面積法，得，即，解得，故選項D錯誤；故選：BC11．如圖，在棱長為2的正方體中，M為的中點，F(xiàn)為側(cè)面內(nèi)一動點，且平面，過三點作正方體截面，則（

）A．動點F的軌跡長為B．三棱錐的外接球表面積為C．三棱錐的體積為D．若Q為上一點，則線段長度的取值范圍為【答案】BCD【解析】對于A，如圖，分別取的中點，連接，因為為的中點，易得，則得四邊形是平行四邊形，故，因平面，平面，故平面，又因，，則得四邊形是平行四邊形，故，又因為，故，因平面，平面，故平面，又，平面，故平面平面，又因平面，故平面，故點的軌跡為線段，又，所以動點F的軌跡長為，故A錯誤；對于B，由題意三棱錐的外接球即為正方體的外接球，因正方體的棱長為2，則其外接球的直徑為，故三棱錐的外接球表面積為，故B正確；對于C，由A項分析，點的軌跡為線段，因平面，故平面，則點到平面的距離即為到平面的距離，過點作于，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，易得，又，所以，所以，所以，所以三棱錐的體積為，故C正確；對于D，如圖，設(shè)平面與平面交于，點在上，因平面平面，平面平面，故，同理可證，即得是平行四邊形，故點為的中點.在四棱錐中，顯然側(cè)棱最長，其長度為；設(shè)四棱錐的高為，因，故四邊形是菱形，則的邊上的高為面對角線長的一半，為，又，故，而，由，可得：，代值解得，綜上，可知線段長度的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），當對應(yīng)的點在第三象限時，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由題意得，解得，則實數(shù)的取值范圍為故答案為：.13．已知三棱錐的體積為，是空間中一點，，則三棱錐的體積是.【答案】4【解析】，故，，不妨令，則，又，故點共面，故.故答案為：.14．某地進行老舊小區(qū)改造，有半徑為60米，圓心角為的一塊扇形空置地（如圖），現(xiàn)欲從中規(guī)劃出一塊三角形綠地，其中在上，，垂足為，，垂足為，設(shè)，則（用表示）；當在上運動時，這塊三角形綠地的最大面積是.【答案】米平方米.【解析】在中，，AP=60米，∴（米），在中，可得，由題可知，∴的面積為：，又，，∴當，即時，的面積有最大值平方米，即三角形綠地的最大面積是平方米.故答案為：米；平方米.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知向量.(1)當且時，求;(2)當時，求與夾角的余弦值.【解析】（1）當且時,,即，所以，解得（負值舍去），所以，所以，所以；（6分）（2），，則，又，，所以，解得，所以，則，即與夾角的余弦值為.（13分）16．（15分）如圖，平行六面體的底面為正方形，棱長都為，且，設(shè)，，，，分別是棱，的中點，點為棱上的動點.

(1)用，，表示；(2)若為棱的中點，求；(3)是否存在點，使，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.【解析】（1）；（4分）（2）若P為棱的中點，則，，所以；（9分）（3）設(shè)，則，由（1）知所以,即，化簡得，解得，所以這樣的點存在，且為的中點.（15分）17．（15分）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.將△ADE與△BCF分別沿AE，BF折起，使得點D、C重合(記為點P)，形成圖2，且△PEF是等腰直角三角形.(1)證明：平面PAE⊥平面PBF；(2)求二面角的正弦值；(3)若，求四棱錐的體積.【解析】（1）由題設(shè)，易知，又為等腰直角三角形，故，由且都在面內(nèi)，故面，面，所以平面PAE⊥平面PBF；（4分）（2）如圖，連接PG，PH，GH，且G，H分別為AB，EF的中點，由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB，∴GH⊥AB，故∠PGH為二面角的平面角，由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE，又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，（7分）設(shè)，則，，，，故二面角的正弦值為；（10分）（3）由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，則，故四棱錐的體積為1.（15分）18．（17分）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再將得到的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．(1)求的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)討論在上的值域；(3)求函數(shù)在上的零點之和．【解析】（1）由題意得．由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（4分）（2）由，得，由，得．當，即時，是增函數(shù)，所以．當，即時，先增后減，所以．當，即時，先增后減，所以．綜上，當時，在上的值域為．當時，在上的值域為．當時，在上的值域為．（10分）（3）．由，得，得或，即或．因為，所以或或或．故在上的零點之和為．（17分）19．（17分）在銳角中，角，，的對邊為，，，若，.(1)求角的大?。?2)若為的中點，且，求