（新高考）2022屆高考考前沖刺卷數(shù)學(xué)（七）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】令，則，且，所以，則，所以，可得，即，所以，故選C．2．已知函數(shù)，則（）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】D【解析】根據(jù)題意，，則，又，故選D．3．若直線與直線垂直，垂足為，則（）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榕c直線垂直，故，即，因?yàn)榇棺銥椋?，故，故，故選D．4．設(shè)直線m，n方向向量分別記作，，，表示兩個(gè)平面，若，，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)，，時(shí)，直線與平面平行，所以當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，所以“”是“”的必要不充分條件，故選B．5．某科創(chuàng)公司新開發(fā)了一種溶液產(chǎn)品，但這種產(chǎn)品含有的雜質(zhì)，按市場要求雜質(zhì)含量不得超過，現(xiàn)要進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少，要使產(chǎn)品達(dá)到市場要求，對該溶液過濾的最少次數(shù)為（）(參考數(shù)據(jù)：，)A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】設(shè)至少需要過濾n次，則，即，∴，即，又，∴，∴使產(chǎn)品達(dá)到市場要求的過濾次數(shù)最少為8次，故選C．6．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知底面外接圓的圓心為點(diǎn)，設(shè)外接圓的半徑為，三棱柱的外接球的半徑為，，，由余弦定理得，由正弦定理得，所以，過做垂直于底面的直線交中截面于點(diǎn)，則為外接球的球心，由題意得，所以外接球的表面積，故選C．7．已知為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的公共點(diǎn)，且，分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實(shí)軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，，，設(shè)，，則在中，由余弦定理得，，化簡得，該式可變成，，，故選B．8．若定義在上的函數(shù)滿足：，且時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，的最大值、最小值分別為，則的值為（）A．2018 B．2019 C．4036 D．4038【答案】C【解析】由題意得，對于任意的，，都有，令，得，再令，將代入可得，即得，不妨設(shè)，則，，，又，可得，即函數(shù)在R上遞增，故當(dāng)時(shí)，，，又由，可得，的值為4036，故選C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．學(xué)校為了了解本校學(xué)生上學(xué)的交通方式，在全校范圍內(nèi)進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，將學(xué)生上學(xué)的交通方式歸為四類方式：A—結(jié)伴步行，B—自行乘車，C—家人接送，D—其他方式．并把收集的數(shù)據(jù)整理分別繪制成柱形圖和扇形圖，下面的柱形圖和扇形圖只給出了部分統(tǒng)計(jì)信息，則根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（）A．扇形圖中D的占比最小B．柱形圖中A和C一樣高C．無法計(jì)算扇形圖中A的占比D．估計(jì)該校學(xué)生上學(xué)交通方式為A或C的人數(shù)占學(xué)生總?cè)藬?shù)的一半【答案】ABD【解析】對于A：由扇形圖可得，D的占比最小，故A正確；對于B：因?yàn)镈的人數(shù)為18，且D占比為，所以總?cè)藬?shù)為人，所以A組人數(shù)為，所以柱形圖中A和C一樣高，故B正確；對于C：由（2）可得，A組30人，占比為，故C錯(cuò)誤；對于D：A或C的人數(shù)和為60人，總?cè)藬?shù)為120，占學(xué)生總?cè)藬?shù)的一半，故D正確，故選ABD．10．下列條件判斷三角形解的情況，正確的是（）A．，，有兩解 B．，，有一解C．，，有一解 D．，，有一解【答案】CD【解析】A選項(xiàng)，由正弦定理得，，有唯一解，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由正弦定理得，，，而，，所以有兩解，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，，是直角三角形，有一解，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，由于為鈍角，，所以有一解，D選項(xiàng)正確，故選CD．11．如圖，直角三角形ABC中，D，E是邊AC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，G是BE的中點(diǎn)，直線AG分別與BD，BC交于點(diǎn)F，H，設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，．又F為的重心，則，直線AG的方程為，直線BC的方程為，聯(lián)立解得，則，，，，因?yàn)?，，所以，，，，故選ACD．12．在數(shù)列中，對于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．對于任意的，都有B．對于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若，則當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】A：由，對有，則，即任意都有，正確；B：由，若為常數(shù)列且，則滿足，錯(cuò)誤；C：由且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)且，數(shù)列遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列遞減；所以時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；D：由C分析知：時(shí)，且數(shù)列遞減，即時(shí)，，正確，故選ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知，．若，則________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，解之得，故答案為?4．某公司2021年實(shí)現(xiàn)利潤100萬元，計(jì)劃在以后5年中每年比上一年利潤增長8%，則2026年的利潤是__________萬元．（結(jié)果精確到1萬元）【答案】147【解析】由題意可知，(萬元)，即2026年的利潤大約是147萬元，故答案為147．15．已知函數(shù)，若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是________．【答案】【解析】由題意，令，，得，，∴的第2個(gè)、第3個(gè)正零點(diǎn)分別為，，∴，解得，令，，∴，，令，在上單調(diào)遞增，∴，∴，解得，綜上，ω的取值范圍是，故答案為．16．已知函數(shù)，其中．若，則有_________個(gè)零點(diǎn)；若有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合是__________．【答案】，（或）【解析】由，的圖象可知，在第二象限必有一個(gè)交點(diǎn)，即方程有一個(gè)負(fù)根，又時(shí)，，的圖象交于，兩點(diǎn)，所以時(shí)，函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)．令，即（其中），由，的圖象可知，它們在第二象限必有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)必有一個(gè)小于的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，對兩邊取對數(shù)，得，所以有一個(gè)根，即的圖象與直線一個(gè)公共點(diǎn)，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)?shù)闹第吔跁r(shí)，的值趨近于．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．函數(shù)的圖象如下：則或，即或（不符合題意），所以實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合是，故答案為，．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角A的大??；（2）若的面積為，且，求的周長．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理得，即，，，又，故．（2）由（1）知，，，，，，，故，的周長為．18．（12分）已知數(shù)列，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由題意得①，由，，得，當(dāng)時(shí)，或（舍），．當(dāng)時(shí)，②，①－②得，即，由于，所以，整理得（常數(shù)），由于，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故，所以．（2）由（1）得，所以，故．19．（12分）2022年2月4日至20日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京和張家口成功舉辦．為了普及冬奧知識(shí)，某社區(qū)舉行知識(shí)競賽，規(guī)定：①每位參賽選手共進(jìn)行3輪比賽，每輪比賽從A?B難度問題中限選1題作答，取其中最好的2輪成績之和作為最終得分；②每輪比賽中答對A難度問題得10分，答對B難度問題得5分，答錯(cuò)則得0分．已知某選手在比賽中答對A難度問題的概率為，答對B難度問題的概率為，且每輪答題互不影響．（1）若該選手3輪比賽都選擇A難度問題，求他最終得分為10分的概率；（2）若該選手3輪比賽中，前2輪選擇B難度問題，第3輪選擇A難度問題，記他的最終得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【解析】（1）他最終得分為10分，則3輪比賽中有且僅有1輪比賽答對A難度問題，故所求概率為．（2）依題意得，X的可能取值為0，5，10，15，，，，，所以X的分布列為X051015P所以X的數(shù)學(xué)期望．20．（12分）如圖①，平面圖形ABCDE中，，四邊形BCDE是等腰梯形，，．沿BE將△ABE折起，使平面平面BCDE，得到四棱錐，連接CE，如圖②．（1）設(shè)平面ABC與平面ADE的交線為l，求證：；（2）當(dāng)四棱錐的體積為時(shí)，求側(cè)面ACD與側(cè)面ABE所成的二面角的平面角．【答案】（1）證明見解析；（2）60°．【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍮CDE，平面平面，，平面ABE，所以平面BCDE，因?yàn)槠矫鍮CDE，所以．在等腰梯形BCDE中，由，，可得，在△BCE中，由余弦定理得，所以，則．因?yàn)椋云矫鍭BC．因?yàn)閘是平面ABC與平面ADE的交線，所以平面ABC，所以．（2）如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，易得，則梯形BCDE的面積，所以，解得，如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BA所在直線為y軸，z軸，在平面BCDE內(nèi)以垂直于BE的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面ACD的法向量為，則，即，令，得，則，所以，又平面ABE的法向量為，所以，由圖可知所求二面角為銳角，所以側(cè)面ACD與側(cè)面ABE所成的二面角的平面角大小為60°，綜上，所求的二面角的平面角為60°．21．（12分）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）若四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線過原點(diǎn)，直線和的斜率之積為，證明：四邊形的面積為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）離心率為，∴，又∵點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，∴，又，解得，因此，橢圓的方程為．（2）證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，則，又，解得，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨取，則，則，，所以；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，得，則，，因?yàn)?，得，即，所以，解得，，原點(diǎn)到直線AB的距離為，因?yàn)椋?，所以（定值），綜上所述四邊形ABCD的面積為定值．22．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若的圖象在處的切線方程為，求證：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）由，