2025-2026學(xué)年山西省山大附中等晉豫名校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－2．已知函數(shù)若對區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(）A． B． C． D．3．設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（）是純虛數(shù)，則m的值為（）A． B． C．1 D．34．若，則下列不等式不能成立的是（）A． B． C． D．5．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．6．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）A．36種 B．44種 C．48種 D．54種9．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．10．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．411．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．12．已知，則的值構(gòu)成的集合是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為________.14．若，且，則的最小值是______.15．設(shè)直線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點(diǎn)，為的實(shí)軸長的2倍，則雙曲線的離心率為.16．如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過點(diǎn)C的豎直線的右側(cè)，現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個(gè)直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人會闖紅燈，處罰時(shí)，得到如表數(shù)據(jù)：處罰金額（單位：元）5101520會闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.（1）當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會比不進(jìn)行處罰降低多少？（2）將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類：類市民在罰金不超過10元時(shí)就會改正行為；類是其他市民.現(xiàn)對類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為類市民的概率是多少？18．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點(diǎn)，且，求的值.19．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為和，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，射線與曲線相交于點(diǎn)，射線與曲線相交于點(diǎn)，求的值.20．（12分）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．（1）若，，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，求證：數(shù)列，的公差相等；②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．21．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線，．（1）求曲線、的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；（2）若曲線、交于、兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離．22．（10分）在中，，是邊上一點(diǎn)，且，.（1）求的長；（2）若的面積為14，求的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

直線過定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結(jié)果．【詳解】如圖，直線過定點(diǎn)（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對稱性可知k=±．故選C．本題考查過定點(diǎn)的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．2．C【解析】分析：先求導(dǎo),再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解：由題得.當(dāng)a＜1時(shí)，，所以函數(shù)f（x）在單調(diào)遞減，因?yàn)閷^(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，所以，所以故a≥1，與a＜1矛盾，故a＜1矛盾.當(dāng)1≤a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增，在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因?yàn)閷^(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，所以，所以即令，所以所以函數(shù)g(a)在（1，e）上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)1≤a<e時(shí)，滿足題意.當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)閷^(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，所以,故1+1，所以故綜上所述，a∈.故選C.點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于“對區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等）來分析解答問題.本題就是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學(xué)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，找到了問題的突破口.3．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，∴，故選：A.本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：由于，即，，所以，所以，所以成立；選項(xiàng)B：由于，即，所以，所以，所以不成立；選項(xiàng)C：由于，所以，所以，所以成立；選項(xiàng)D：由于，所以，所以，所以，所以成立.故選：B.本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件，得到角的正弦值余弦值.6．C【解析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為，聯(lián)立，解得和，所以；同理，當(dāng)直線的方程為.，綜上，或.選C.本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般考慮拋物線的定義.7．A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到，由此得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：.本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案．【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F，如果任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位，剩下四個(gè)位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C，此時(shí)共有排列方法：；如果任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有，可能都在A、E的右側(cè)，排列方法有；如果任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側(cè)；所以不同的執(zhí)行方案共有種．本題考查了排列組合問題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．9．D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯點(diǎn)是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.10．A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題11．C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應(yīng)選．12．C【解析】

對分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，利用誘導(dǎo)公式化簡可得.【詳解】為偶數(shù)時(shí)，；為奇數(shù)時(shí)，，則的值構(gòu)成的集合為.本題考查三角式的化簡，誘導(dǎo)公式，分類討論，屬于基本題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.方法二：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為:.本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對基本不等式的靈活使用,難度較易.14．8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因?yàn)椋慈〉忍枺?，所以最小值?已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號的條件.15．【解析】

不妨設(shè)雙曲線，焦點(diǎn)，令，由的長為實(shí)軸的二倍能夠推導(dǎo)出的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線，焦點(diǎn)，對稱軸，由題設(shè)知，因?yàn)榈拈L為實(shí)軸的二倍，，，，故答案為.本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式，從而求出的值.16．【解析】

分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設(shè)，則，（2）若在若一條直角邊在上，設(shè)，則，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】（1）斜邊在上，設(shè)，則，則，，從而.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，符合.（2）若一條直角邊在上，設(shè)，則，則，，由知.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，.當(dāng)，即時(shí)，最大.故答案為：.此題考查實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）降低（2）【解析】

（1）計(jì)算出罰金定為10元時(shí)行人闖紅燈的概率，和不進(jìn)行處罰時(shí)行人闖紅燈的概率，求解即可；（2）闖紅燈的市民有80人，其中類市民和類市民各有40人，根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序，計(jì)算所求的概率值.【詳解】解：（1）當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率為；不進(jìn)行處罰，行人闖紅燈的概率為；所以當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會比不進(jìn)行處罰降低；（2）由題可知，闖紅燈的市民有80人，類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人，4人依次排序記類市民中抽取的兩人對應(yīng)的編號為，類市民中抽取的兩人編號為則4人依次排序分別為，，，，，，，，，，，，共有種前兩位均為類市民排序?yàn)椋?，有種，所以前兩位均為類市民的概率是.本題主要考查了計(jì)算古典概型的概率，屬于中檔題.18．（1），（2）0【解析】

（1）分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到普通方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入的普通方程，化為關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解．【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得；由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得，即．（2）把為參數(shù)）代入，得．，．．解得：，即，滿足△．．本題考查參數(shù)方程化普通方程，特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．19．（1）線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）.【解析】試題分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，進(jìn)而利用即可化為極坐標(biāo)方程，同理可得曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）由過的圓心，得得，設(shè)，，代入中即可得解.試題解析：（1）曲線的普通方程為，化成極坐標(biāo)方程為曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）在直角坐標(biāo)系下，，，恰好過的圓心，

∴由得，是橢圓上的兩點(diǎn)，在極坐標(biāo)下，設(shè)，分別代入中，有和∴，則，即20．（1）（2）①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列，見解析【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進(jìn)行求解；（2）①設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，得出；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，得出，從而可證數(shù)列，的公差相等；②利用反證法，先假設(shè)可以為等比數(shù)列，結(jié)合題意得出矛盾，進(jìn)而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，且，由題意可知，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為4的等比數(shù)列，所以；（2）①證明：設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，若，則當(dāng)時(shí)，，即，與題意不符，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，，若，則當(dāng)時(shí)，，即，與題意不符，所以，綜上，，原命題得證；②假設(shè)可以為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)n為偶數(shù)，且時(shí)，，即當(dāng)n為偶數(shù)，且時(shí)，不成立，與題意矛盾，所以數(shù)列不能為等