第8章離散時間系統(tǒng)的Ｚ變換分析8.1離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)8.2利用系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)的響應(yīng)8.3離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)8.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性8.5朱里判據(jù)(補充內(nèi)容)8.6小結(jié)習(xí)題與應(yīng)用拉普拉斯變換進行連續(xù)LTI系統(tǒng)的分析類似，Z變換可以用于分析離散LTI系統(tǒng)。對離散系統(tǒng)的差分方程進行Z變換，可以得到系統(tǒng)的Z域描述，以及系統(tǒng)函數(shù)的定義。通過離散系統(tǒng)的Z變換分析，不僅可以得到離散系統(tǒng)差分方程的一種代數(shù)解法，還可以研究系統(tǒng)的時域和頻域特性。

本章重點研究如何通過差分方程或系統(tǒng)框圖獲得離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，如何用Z變換的方法求解差分方程，討論系統(tǒng)函數(shù)的零極點對系統(tǒng)時域響應(yīng)和頻域響應(yīng)的影響，并介紹離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷方法。8.1離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

8.1.1差分方程的Z變換和系統(tǒng)函數(shù)

設(shè)描述一個N階離散LTI系統(tǒng)的差分方程為（8.1）式中：x［n］為系統(tǒng)的輸入信號；y［n］為系統(tǒng)的輸出信號；系數(shù)ak(k=0,1,2,…,N)和bk(k=0,1,2,…,M)為實數(shù)，a0一般等于1（如果a0不等于1，可以將式（8.1）兩邊都除以a0）。這里我們分析因果離散LTI系統(tǒng)，對式（8.1）兩邊做單邊Z變換，根據(jù)移位特性有

（8.2）式中:x［－1］,x［－2］,…,x［－M］為輸入信號的初始值；

y［－1］,y［－2］,…,y［－N］為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。設(shè)系統(tǒng)的輸入信號x［n］為因果信號，即n<0時，x［n］=0,那么式（8.2）可以寫為（8.3）則（8.4）式（8.4）為式（8.1）描述的輸入-輸出差分方程所定義的離散系統(tǒng)的Z域表示形式。式（8.4）中輸出信號Z變換的右邊第一項為輸入信號x［n］產(chǎn)生的，第二項為系統(tǒng)的初始狀態(tài)y［－1］,y［－2］,…,y［－N］產(chǎn)生的。

如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，即y［－1］,y［－2］,…,

y［－N］都等于零，那么式（8.4）可以進一步化簡為（8.5）定義（8.6）則式（8.5）可以表示為（8.7）式中：函數(shù)H(z)定義為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，表示系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，在Z域內(nèi)輸入信號到輸出信號的轉(zhuǎn)移關(guān)系，也稱為傳輸函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)。由式（8.6）可見，系統(tǒng)函數(shù)H(z)可以表示為（8.8）式（8.8）表明，系統(tǒng)函數(shù)H(z)是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定的，它與系統(tǒng)的輸入-輸出方程的系數(shù)有關(guān)。一般情況下，系統(tǒng)函數(shù)H(z)是一個有理函數(shù)，其分母多項式D(z)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點，分子多項式N(z)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點。在已知初始條件y［－1］,y［－2］,…,y［－N］，以及輸入信號x［n］的Z變換X(z)時，對式（8.4）取Z反變換，可以得到y(tǒng)［n］。

通過第2章的分析知道，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以用激勵與系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)的卷積得到，即

yzs［n］=x［n］*h［n］

由卷積定理可得

Yzs(z)=X(z)H(z)

由此可見，系統(tǒng)函數(shù)H(z)是系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h［n］的Z變換。與連續(xù)系統(tǒng)的理論一樣，式（8.7）提供了時域與變換域的聯(lián)系。以上分析表明，若給出離散系統(tǒng)的差分方程，則系統(tǒng)函數(shù)可以表示為

（8.9）它等于系統(tǒng)零狀態(tài)條件下輸出信號與輸入信號的Z變換之比。H(z)是惟一的，它不會隨著輸入信號x［n］的不同而變化，只取決于輸出和輸入關(guān)系構(gòu)成的系統(tǒng)本身，因此能夠表示系統(tǒng)的特性。

例8.1

已知離散系統(tǒng)的差分方程為

y［n］+1.5y［n－1］+0.5y［n－2］=x［n］－x［n－1］求系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h［n］。解設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，將差分方程兩邊做單邊Z變換，有根據(jù)式（8.9）得用部分分式展開法得則單位樣值響應(yīng)為如果給出系統(tǒng)的輸入信號x［n］和系統(tǒng)的初始狀態(tài)y［－1］,y［－2］,…,y［－N］，用式（8.4）的結(jié)果，可以通過Z反變換求得系統(tǒng)的響應(yīng)y［n］。具體的例子在8.2節(jié)討論。8.1.2方框圖的系統(tǒng)函數(shù)

1.1.2節(jié)提到，除了用差分方程描述外，線性時不變離散系統(tǒng)還可以用單位延時單元或框圖構(gòu)成。系統(tǒng)函數(shù)可以由互聯(lián)系統(tǒng)直接求得。

1.單位延時單元構(gòu)成的系統(tǒng)

由式（8.1）所示的差分方程可以看出，離散系統(tǒng)可以用單位延時單元、加法器及數(shù)乘器的互聯(lián)形式給出。

已知單位延時單元的符號如圖8.1所示。圖8.1單位延時單元其輸入-輸出關(guān)系為

y［n］=x［n－1］（8.10）

式(8.10)表示輸出信號y［n］為輸入信號x［n］延時一個單位。在x［－1］=0的情況下，對式（8.10）兩邊取單邊Z變換，可以得到單位延時單元的系統(tǒng)函數(shù)為（8.11）因此，在Z域中，單位延時單元的符號如圖8.2所示。圖8.2單位延時單元Z域符號系統(tǒng)用單位延時單元互聯(lián)構(gòu)成時，其系統(tǒng)函數(shù)可以直接在Z域中計算出來。

例8.2

離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖8.3所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(z)。圖8.3例8.2離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解從圖8.3可以得到

Y(z)=bX(z)－az－1Y(z)

整理得所以，系統(tǒng)函數(shù)為

例8.3

離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖8.4所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(z)。圖8.4例8.3離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解從圖8.4可以得到整理得所以，系統(tǒng)函數(shù)為

2.方框圖構(gòu)成的系統(tǒng)

與連續(xù)LTI系統(tǒng)一樣，離散LTI系統(tǒng)也可以用方框圖表示，每個方框用一個系統(tǒng)函數(shù)描述，看做是一個子系統(tǒng)。串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)以及反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的表示方法與連續(xù)系統(tǒng)形式相同，這里不再推導(dǎo)，直接給出結(jié)果，如圖8.5所示。圖8.5基本互聯(lián)形式的系統(tǒng)函數(shù)

例8.4

系統(tǒng)由方框圖給出，如圖8.6所示。對方框圖化簡，并求出系統(tǒng)函數(shù)H(z)。圖8.6例8.4系統(tǒng)方框圖解圖8.6所示方框圖可以化簡為圖8.7的形式。根據(jù)串聯(lián)及反饋系統(tǒng)的化簡結(jié)果可得

圖8.7圖8.6化簡結(jié)果

3.由系統(tǒng)函數(shù)獲得系統(tǒng)框圖

與連續(xù)系統(tǒng)一樣，由離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)也可以得到模擬系統(tǒng)的框圖。分析的過程與連續(xù)系統(tǒng)相同，只要將復(fù)變量s換成z即可，這里就不再重復(fù)（請參考6.1節(jié)）。

例8.5

已知離散系統(tǒng)的差分方程為

y［n］+ay［n－1］=bx［n］

求出模擬系統(tǒng)的框圖。

解將差分方程作Z變換得到系統(tǒng)函數(shù)為圖8.8例8.5系統(tǒng)框圖則用單位延時單元、加法器和數(shù)乘器構(gòu)成的系統(tǒng)框圖如圖8.8所示。

例8.6

已知離散系統(tǒng)的差分方程為

y［n］－3y［n－1］+3y［n－2］－y［n－3］=x［n］

求出模擬系統(tǒng)的框圖。

解將差分方程作Z變換得到系統(tǒng)函數(shù)為則用單位延時單元、加法器和數(shù)乘器構(gòu)成的系統(tǒng)框圖如圖8.9所示。圖8.9例8.6系統(tǒng)框圖8.2利用系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)的響應(yīng)

由8.1節(jié)式（8.4）的結(jié)論可知，通過Z變換可以將時域的差分方程變換為Z域的代數(shù)方程，并且可以直接將系統(tǒng)的初始狀態(tài)包含在Z域代數(shù)方程中。這樣，我們可以先在Z域中求解方程，再通過Z反變換得到差分方程的時域解。在求解Z域方程時，不僅可以分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，還可以求出系統(tǒng)的全響應(yīng)。8.2.1零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)

由8.1節(jié)內(nèi)容可知，如果描述離散LTI系統(tǒng)的差分方程為

那么通過Z變換，可以得到系統(tǒng)響應(yīng)的Z域表達式:式中：等式右邊第一項僅與系統(tǒng)的輸入信號有關(guān)，與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)，是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs［n］的Z變換Yzs(z)；等式右邊第二項僅與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)而與系統(tǒng)的激勵無關(guān)，是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi［n］的Z變換Yzi(z)。因此上式可以簡寫為

Y(z)=Yzi(z)+Yzs(z)（8.12）

分別求式（8.12）中右邊兩項的反變換，即可得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi［n］和零狀態(tài)響應(yīng)yzs［n］:

y［n］=yzi［n］+yzs［n］（8.13）

如果將式（8.4）中右邊兩項合并，即為系統(tǒng)全響應(yīng)的

Z變換，求其反變換即可得到系統(tǒng)的全響應(yīng)的時域表達式

y［n］。

例8.7

已知離散系統(tǒng)的差分方程為

y［n］+1.5y［n－1］+0.5y［n－2］=x［n］－x［n－1］

系統(tǒng)的輸入信號為x［n］=u［n］，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y［－1］=2,y［－2］=1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi［n］、零狀態(tài)響應(yīng)yzs［n］和全響應(yīng)y［n］。解將差分方程做Z變換得則整理得將輸入信號的Z變換和初始狀態(tài)y［－1］=2,y［－2］=1代入上式有（8.14）因此有取反變換，得該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為

yzi［n］=［1.5(－0.5)n－5(－1)n］u［n］零狀態(tài)響應(yīng)為

yzs［n］=［(－1)(－0.5)n+2(－1)n］u［n］（8.15）全響應(yīng)為（8.16）如果直接將式（8.14）右邊兩項合并，可以得到全響應(yīng)的Z變換：取Z反變換，得與式（8.16）的結(jié)果相同。8.2.2單位樣值響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)

離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h［n］定義為系統(tǒng)在單位樣值

信號δ［n］激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)。離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)s［n］定義為系統(tǒng)在單位階躍序列u［n］激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)。對于離散LTI系統(tǒng)，單位樣值響應(yīng)h［n］和單位階躍響應(yīng)s［n］是兩類重要的響應(yīng)，特別是單位樣值響應(yīng)h［n］直接表征了系統(tǒng)的特性。

由8.1節(jié)內(nèi)容可知，系統(tǒng)函數(shù)是H(z)系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)

h［n］的Z變換。因此，對系統(tǒng)函數(shù)H(z)取Z反變換即可得到系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h［n］。因為單位階躍序列可以表示成單位樣值信號的累加，即（8.17）又有

δ［n］→h［n］根據(jù)線性時不變特性，有（8.18）即

s［n］=u［n］*h［n］（8.19）所以（8.20）求式（8.20）的Z反變換就可以得到單位階躍響應(yīng)為（8.21）

例8.8

已知離散系統(tǒng)的差分方程為

y［n］+1.5y［n－1］+0.5y［n－2］=x［n］－x［n－1］求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)S［n］。解由例8.2可知，系統(tǒng)函數(shù)為由式（8.20）得對上式取Z反變換，有

s［n］=［(－1)(－0.5)n+2(－1)n］u［n］（8.22）

比較式（8.22）和式（8.15）可以看出，二者相等，因為例8.7中所求的零狀態(tài)響應(yīng)正是該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

由系統(tǒng)函數(shù)的定義Y(z)=X(z)H(z)可知，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換等于系統(tǒng)的輸入信號的Z變換乘以系統(tǒng)函數(shù)，求該式的

Z反變換即可得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這是一個求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的通用方法，而例8.8所求的單位階躍響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)的一個特例。8.2.3系統(tǒng)函數(shù)的零極點對時域響應(yīng)的影響

如8.1節(jié)所述，離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可以表示為式中:系數(shù)ak(k=0,1,2,…,N)和bk(k=0,1,2,…,M)為實數(shù)。系統(tǒng)函數(shù)H(z)是一個有理函數(shù)，其分母多項式D(z)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點，分子多項式N(z)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點。將式（8.8）改寫為因式乘積的形式為（8.23）式中：z=zi(i=1,2,…,M)為H(z)的零點;z=pj(j=1,2,…,N)為H(z)的極點；H0為常數(shù)。極點和零點可能為實數(shù)或復(fù)數(shù)。由于系統(tǒng)函數(shù)是一個有理函數(shù)，分母多項式和分子多項式的系數(shù)都是實數(shù)，因此，如果零極點為復(fù)數(shù)，那么一定是共軛成對出現(xiàn)的。零極點可能有以下幾種類型：一階實數(shù)、一階共軛復(fù)數(shù)、二階及二階以上的實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。

由8.1節(jié)內(nèi)容可知，系統(tǒng)函數(shù)H(z)和單位樣值響應(yīng)h［n］是一對Z變換對。單位樣值響應(yīng)的形式完全由系統(tǒng)函數(shù)的極點確定，下面討論系統(tǒng)函數(shù)極點的位置與單位樣值響應(yīng)的函數(shù)形式之間的關(guān)系。

首先，以一階極點的情況為例討論極點的位置與時域響應(yīng)之間的關(guān)系。因為分析的是因果系統(tǒng)，所以系統(tǒng)函數(shù)的表達式中M≤N。式（8.23）可以展開為（8.24）取式（8.24）的Z反變換得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為（8.25）考慮到Z變換的收斂域是以Z平面上的圓為邊界的，所以，把極點的位置分為：單位圓內(nèi)、單位圓上和單位圓外三種情況。

如果極點pi是一個實數(shù)，可以寫成pi=a，系統(tǒng)函數(shù)的分

母多項式中有因式(z－a)，所對應(yīng)的單位樣值響應(yīng)形式為

kanu［n］。當極點位于單位圓內(nèi)時，|a|<1，響應(yīng)按指數(shù)衰減，當n→∞時，響應(yīng)趨近于零；當極點位于單位圓上時，|a|=1（即a=1或a=－1），響應(yīng)形式為ku［n］或k(－1)nu［n］，響應(yīng)的幅度不隨n的變化而變化；當極點位于單位圓外時，|a|>1，響應(yīng)按指數(shù)增長，當n→∞時，響應(yīng)的幅度趨近于無窮大。如果極點p1,2是一對共軛復(fù)數(shù)，可以寫成p1,2=α±jβ=

re±jθ,系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式中有因式(z2－2rzcosθ+r2)，所對應(yīng)的單位樣值響應(yīng)形式為krncos(θn+ψ)u［n］，其中，r=|p1|，θ=∠p1，ψ為常數(shù)。當極點位于單位圓內(nèi)時，r<1，響應(yīng)按指數(shù)衰減，當n→∞時，響應(yīng)趨近于零；當極點位于單位圓上時，

r=1，響應(yīng)形式為kcos(θn+ψ)u［n］，響應(yīng)的幅度不隨n的變化而變化；當極點位于單位圓外時，r>1，響應(yīng)按指數(shù)增長，當n→∞時，響應(yīng)的幅度趨近于無窮大。如果系統(tǒng)函數(shù)有二階極點，那么單位樣值響應(yīng)將包含

k［nrncos(θn+ψ)］u［n］或

k(npn)u［n］的響應(yīng)形式。當極點位于單位圓內(nèi)時，響應(yīng)衰減；當極點位于單位圓上時，響應(yīng)隨著n的增大而增大；當極點位于單位圓外時，響應(yīng)也隨著n的增大而增大。如果系統(tǒng)函數(shù)有二階以上的極點，情況與二階極點的相同。

綜上所述，可以得到極點位置與單位樣值響應(yīng)的關(guān)系

如下：

（1）離散LTI系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)的函數(shù)形式由系統(tǒng)函數(shù)的極點確定。（2）當極點在單位圓內(nèi)時，對應(yīng)的響應(yīng)序列是衰減的。（3）當極點在單位圓上時，一階極點對應(yīng)的響應(yīng)序列的幅度不隨n的變化而變化；二階及二階以上的極點對應(yīng)的響應(yīng)序列的幅度隨著的n增大而增大。

（4）當極點在單位圓外時，對應(yīng)的響應(yīng)序列的幅度隨著n的增大而增大。

（5）與連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一樣，系統(tǒng)函數(shù)的零點影響響應(yīng)的幅度和相位，但對響應(yīng)的形式?jīng)]有影響。

圖8.10給出了一階極點與單位樣值響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系。圖8.10一階極點與單位樣值響應(yīng)關(guān)系圖8.3離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

8.3.1離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其特性

與連續(xù)系統(tǒng)類似，對離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的分析也是很重要的。離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)表示穩(wěn)定的離散系統(tǒng)對不同頻率正弦序列的響應(yīng)特性。在本節(jié)的分析中，我們假定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點都位于z平面的單位圓內(nèi)。因為分析的是因果系統(tǒng)，所以H(z)的收斂域為一個包含單位圓|z|=1的圓外區(qū)域。一般的情況下，設(shè)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)的輸入為（8.26）式中：K和ω0均為實數(shù)。輸入信號的Z變換為根據(jù)式（8.7），系統(tǒng)的輸出信號的Z變換可以表示為（8.27）因為系統(tǒng)是穩(wěn)定的，由前面分析可知，系統(tǒng)函數(shù)的極點都在單位圓內(nèi)，不會與和相等，所以式（8.27）可以進行部分分式展開為（8.28）式中:C(z)為z的多項式，階數(shù)小于系統(tǒng)函數(shù)分母多項式D(z)的階數(shù)N。系數(shù)k1為系數(shù)為k1的共軛復(fù)數(shù)。所以（8.29）將式（8.29）進行Z反變換，設(shè)右邊第三項的時域表達式為ytr［n］。因為系統(tǒng)是穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)函數(shù)的極點均在單位圓內(nèi)。當n→∞時，ytr［n］趨于零。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為因為和是共軛復(fù)數(shù)，所以令則（8.30）比較輸入信號和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出信號可以看出，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與系統(tǒng)的輸入信號同頻率的正弦信號，但是幅度變?yōu)樵瓉淼谋?，相位改變。輸入信號的變化是通過體現(xiàn)出來的，而是離散系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)h［n］的離散時間傅里葉變換H(ejΩ)在Ω=ω0的值。H(ejΩ)是頻率變量Ω的函數(shù)，隨著輸入信號頻率的不同而變化，與連續(xù)系統(tǒng)的H(jω)一樣，H(ejΩ)稱為離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

H(ejΩ)通常是一個復(fù)數(shù)，一般寫成（8.31）式中：|H(ejΩ)|為H(ejΩ)的模函數(shù)；j(Ω)為它的相位函數(shù)。|H（ejΩ）|隨Ω變化而變化的規(guī)律稱為離散系統(tǒng)的幅頻特性；j(Ω)隨Ω變化而變化的規(guī)律稱為離散系統(tǒng)的相頻特性。可以證明，H(ejΩ)就是離散系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)h［n］的離散時間傅里葉變換（DTFT）：（8.32）對于穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，

H(z)的收斂域包括|z|=1，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejΩ)就等于z=ejΩ時的系統(tǒng)函數(shù):（8.33）這里需要特別注意的是，H(ejΩ)是一個周期為2π的周期函數(shù)。在畫幅頻特性和相頻特性曲線時，只需要在某一個2π間隔內(nèi)畫出曲線即可，一般選擇0≤Ω<2π或－π≤Ω<π的區(qū)間。另外，|H(ejΩ)|是Ω的偶函數(shù)，j(Ω)是Ω的奇函數(shù)，在畫圖時應(yīng)該注意。

例8.9

分析圖8.11所示一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。圖8.11一階系統(tǒng)框圖解根據(jù)框圖得到系統(tǒng)函數(shù)為所以，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，要求|a|<1。根據(jù)歐拉公式，上式可以寫為系統(tǒng)的幅頻特性為相頻特性為可以證明，若0<a<1，系統(tǒng)呈“低通”特性；若－1<a<0，系統(tǒng)呈“高通”特性。a=0.5時系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如圖8.12所示，其中上圖為系統(tǒng)的幅頻特性，下圖為系統(tǒng)的相頻特性。

a=－0.5時系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如圖8.13所示，其中上圖為系統(tǒng)的幅頻特性，下圖為系統(tǒng)的相頻特性。圖8.12a=0.5時系統(tǒng)的頻率特性（低通濾波器）圖8.13a=－0.5時系統(tǒng)的頻率特性（高通濾波器）

例8.10

兩個離散線性時不變因果系統(tǒng)的差分方程分別

如下：

系統(tǒng)1y［n］=x［n－3］；

系統(tǒng)2

（1）寫出這兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

（2）分別求出這兩個系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，畫出幅頻特性圖和相頻特性圖。解（1）通過系統(tǒng)差分方程的Z變換得到系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)1系統(tǒng)2（2）求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。系統(tǒng)1的極點為z=0的三階極點，H1(z)在單位圓上收斂，所以系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為系統(tǒng)1的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)的圖形如圖8.14所示。圖8.14系統(tǒng)1的頻率響應(yīng)曲線系統(tǒng)2的極點為z=3／４，H2(z)在單位圓上收斂，所以系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為系統(tǒng)2的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)的圖形如圖8.15所示。從頻率響應(yīng)可以看出，系統(tǒng)1和系統(tǒng)2都是全通系統(tǒng)，但是系統(tǒng)1具有線性相位特性,系統(tǒng)2的相位特性是非線性的。圖8.15系統(tǒng)2的頻率響應(yīng)曲線8.3.2由系統(tǒng)函數(shù)的零極點求頻率響應(yīng)

由6.3節(jié)的分析可知，在s平面jω上的拉普拉斯變換就是傅里葉變換，根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)在s平面上的零極點圖可以用幾何的方法求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。在離散時間系統(tǒng)分析中，利用z平面內(nèi)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點向量也可以求得離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。不過離散時間系統(tǒng)的傅里葉變換是在z平面的|z|=1單位圓上求出的，所以所需的向量應(yīng)該是零點和極點到單位圓上的向量。

下面就分別討論一階和二階系統(tǒng)的零極點對其頻率響應(yīng)的影響。

1.一階系統(tǒng)

一階離散因果系統(tǒng)的差分方程為

y［n］－ay［n－1］=bx［n］

其系統(tǒng)函數(shù)為（8.34）因此可得其收斂域為|z|>|a|。設(shè)b=1，如果|a|<1，那么收斂域包括單位圓，一階離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為（8.35）圖8.16畫出了由式（8.34）所示系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點圖以及從極點z=a(0<a<1)和零點z=0到單位圓上的向量。圖中，向量A1是極點到單位圓的向量，向量B1是零點到單位圓的向量，可以分別表示為

A1=ejΩ－0=A1ejθ1=A1∠θ1

B1=ejΩ－a=B1ej1=B1∠f1圖8.16一階系統(tǒng)零極點向量圖（－1<a<0）式中：A1為向量A1的模；θ1為向量A1的相位角；B1為向量B1的模；f1為向量B1的相位角。式（8.35）所示的頻率響應(yīng)函數(shù)可以寫成:

（8.36）其中幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為頻率響應(yīng)在頻率Ω處的模就是向量B1與向量A1的長度之比，頻率響應(yīng)的相位就是向量B1相對于實軸的角度f1減去向量A1相對于實軸的角度θ1。

由圖8.16可以看出，從零點（原點）到單位圓的向量B1的長度不變，恒等于1，因此對頻率響應(yīng)H(ejΩ)的模沒有影響；從極點（z=a(0<a<1))到單位圓的向量A1在Ω=0處長度最小，隨著Ω從0增加到π，長度單調(diào)增加。因此，頻率響應(yīng)H(ejΩ)的模在Ω=0處最大，隨著Ω從0增加到π，模值單調(diào)減小。零點產(chǎn)生的相位f1是零點向量相對于實軸的角度，等于Ω；極點向量相對于實軸的角度在Ω=0時為0，然后隨著Ω從0增加到π，角度θ1單調(diào)增加。由于f1<θ1，因此在0≤Ω<π時，∠f1－∠θ1≤0；在

－π≤Ω<0時，∠f1－∠θ1≥0。圖8.17所示的是兩個不同的a值對應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線。圖8.17a=0.5和a=0.95時的頻率響應(yīng)曲線由圖8.17可以看出，|H(ejΩ)|在Ω=0的峰值隨著|a|→0而減小，并且變化相對平坦。|H(ejΩ)|在Ω=0的峰值隨著|a|→1而增大，并且變化相對陡峭。這說明極點的模|a|影響到系統(tǒng)濾波的選擇性和放大情況，|a|越接近1，|H(ejΩ)|就呈現(xiàn)出越陡峭的峰值，系統(tǒng)的選擇性越好。

由式（8.34）可以求出系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為

h［n］=anu［n］（8.37）

從式（8.37）可以看出，當|a|增大時，單位樣值響應(yīng)的衰減速度變慢，說明響應(yīng)中包含的高頻分量較少；當|a|減小時，單位樣值響應(yīng)的衰減變得迅速，響應(yīng)速度加快，說明響應(yīng)中包含的高頻分量增加。在離散一階系統(tǒng)中，|a|的作用與連續(xù)一階系統(tǒng)中時間常數(shù)τ的作用類似。

2.二階系統(tǒng)

二階離散的因果系統(tǒng)的差分方程為

y［n］－a1y［n－1］－a2y［n－2］=bx［n］

其系統(tǒng)函數(shù)為（8.38）設(shè)系數(shù)a1、a2為實數(shù)，且a21+4a2<0，b=1，則H(z)有一對共軛極點，用極坐標形式表示為對于因果系統(tǒng)，收斂域為|z|>r。容易求得r、θ與系數(shù)a1、a2的關(guān)系為即

r2=－a2

2rcosθ=a1于是，式（8.38）可以寫成（8.39）并且在z=0有二階零點。如果0<r<1，0≤θ≤π，那么系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為（8.40）圖8.18畫出了式（8.39）所示系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零極點圖以及零極點向量。圖8.18二階系統(tǒng)零極點向量圖圖中，向量B1是零點向量，向量A1和A2是極點向量，可以分別表示為B1A1A2式（8.40）所示的頻率響應(yīng)函數(shù)可以寫成（8.41）其中幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為頻率響應(yīng)在頻率Ω處的模就是向量B1模的平方（原點是二階零點）除以向量A1和A2模的乘積。由于從零點（原點）到單位圓的向量B1長度恒等于1，因此頻率響應(yīng)H(ejΩ)的模等于兩個極點向量模的乘積的倒數(shù)。頻率響應(yīng)的相位就是向量B1相對于實軸的角度的2倍減去向量A1和A2相對于實軸的角度之和。圖8.19所示的是兩個不同的r值（0<θ<π/2）對應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線。圖8.19r=0.75和r=0.95時的頻率響應(yīng)曲線由圖8.19可以看出，隨著Ω沿單位圓從Ω=0向Ω=π移動，向量A1的長度先減小，然后增加，在Ω=θ附近有一個最小值，頻率響應(yīng)的模在Ω=θ附近出現(xiàn)峰值。根據(jù)極點向量的性質(zhì)，隨著r接近1，極點向量的最小長度也跟著減小，因此頻率響應(yīng)的峰值隨著r增加而變得更加尖銳。另外，隨著r接近1，向量A1的角度在Ω=θ附近的變化也更加劇烈。

一般情況下，系統(tǒng)函數(shù)的因式形式可以寫成則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以寫成（8.42）令式中:ejΩ為單位圓上的向量，模為1，相位角為Ω;Bi為向量(ejΩ－zi)的模；fi為向量(ejΩ－zi)的相位角；Aj為向量(ejΩ－pj)的模;θj為向量(ejΩ－pj)的相位角。于是，式（8.42）表示的頻率響應(yīng)可以寫成（8.43）其中，幅頻響應(yīng)為（8.44）（8.45）當Ω從變化到2π時，復(fù)變量從單位圓|z|=1上沿著單位圓逆時針旋轉(zhuǎn)一周，各向量的模和相位角也隨之變化，從而根據(jù)式（8.44）和式（8.45）得到系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。由零極點位置可以看出，位于z=0的零點和極點對幅頻響應(yīng)不產(chǎn)生作用，但會影響到時域響應(yīng)的形式。當ejΩ旋轉(zhuǎn)到某個極點附近時，如果向量Aj長度最短，則頻率響應(yīng)在該點可能出現(xiàn)峰值。極點越靠近單位圓，Aj的長度越短，則頻率響應(yīng)在峰值附近越尖銳。

8.4系統(tǒng)的穩(wěn)定性

與連續(xù)系統(tǒng)一樣，穩(wěn)定性在離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計中十分重要。對于離散系統(tǒng)，穩(wěn)定性的定義也與連續(xù)系統(tǒng)相似：若對任意有界的輸入序列，系統(tǒng)輸出序列的值總是有界的，那么系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)?？梢宰C明，對于因果的離散LTI系統(tǒng)，穩(wěn)定性的充要條件是單位樣值響應(yīng)絕對可和，即（8.46）式（8.46）也可以寫成下面的形式:（8.47）要滿足式（8.46）或式（8.47）的要求，單位樣值響應(yīng)h［n］一定是收斂的，即n→∞時，h［n］→0。對于因果的離散系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過檢查系統(tǒng)函數(shù)極點的位置來判斷。因為一個因果系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)是一個右邊序列，即

h［n］=0,n<0（8.48）所以因果序列h［n］的收斂域是一個圓外區(qū)域，且包括無限遠點。如果系統(tǒng)函數(shù)H(z)是有理函數(shù)，那么該系統(tǒng)要是因果的，收斂域一定位于最外層極點對應(yīng)的圓外區(qū)域，且包括無限遠點。由8.2.3節(jié)的分析可知，如果要使因果的離散系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)收斂，系統(tǒng)函數(shù)的極點必須在單位圓內(nèi)，也就是說，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域必須包括單位圓。所以，一個具有有理系統(tǒng)函數(shù)的因果LTI系統(tǒng)，當且僅當系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點都在z平面的單位圓內(nèi)，即全部極點的模都小于1時，系統(tǒng)才穩(wěn)定。

例8.11

某離散因果系統(tǒng)的方框圖如圖8.20所示，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定β（β為實數(shù)）的范圍。

解由方框圖求出系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

圖8.20例8.11系統(tǒng)方框圖系統(tǒng)的極點為為使系統(tǒng)穩(wěn)定，極點應(yīng)全部位于單位圓內(nèi)，所以即8.5朱里判據(jù)(補充內(nèi)容）

要判別離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要判斷系統(tǒng)函數(shù)

的分母多項式D(z)=0的所有根的模是否都小于1。對于離散系統(tǒng)，利用朱里（Jury）判據(jù)也可以不需要計算特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。和勞斯判據(jù)相似，朱里判據(jù)也是一種列表檢驗的方法。設(shè)分母多項式為（8.49）將D(z)的系數(shù)排列如表8-1的第1行和第2行（假設(shè)D(z)的階數(shù)大于等于2）。表8-1中，第1行按z的降冪排列出D(z)的系數(shù)，第2行按z的升冪排列出D(z)的系數(shù)，即把第1行反過來。第3行按下列規(guī)則求出:，，,…（8.50）第4行將第3行的元素反序排列。用第3、4行的元素再按式（8.50）所述規(guī)則求得第5行的元素如下:,…,（8.51）依次類推，直到第(2N－3)行。朱里判據(jù)指出，D(z)=0的所有根都在單位圓內(nèi)的充分必要條件是:（8.52