第２章線性時不變系統(tǒng)的時域分析2.1

系統(tǒng)建模及其求解2.2零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

2.3連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分2.4離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和2.5卷積積分的計算及其性質(zhì)(補(bǔ)充內(nèi)容)2.6小結(jié)習(xí)題時域分析方法不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。

求系統(tǒng)響應(yīng)通常有以下幾種方法：

1.時域經(jīng)典法

時域經(jīng)典法需要先分別求解微分方程或差分方程的齊次解與特解，然后代入邊界條件求待定系數(shù)。這種方法得到各響應(yīng)分量的物理概念不明顯，而且求解過程比較復(fù)雜，在解決具體問題時不宜采用。

2.分別求零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

利用求齊次解的方法得到零輸入響應(yīng)，再利用卷積的方法求零狀態(tài)響應(yīng)。與經(jīng)典時域法相比，該方法便于從物理概念上說明各響應(yīng)分量之間的關(guān)系，但在求解過程中需要進(jìn)行求解單位沖激響應(yīng)/單位樣值響應(yīng)及卷積計算，求解過程雖然概念清楚但數(shù)值計算依然繁瑣。在計算機(jī)迅速發(fā)展的今天，求解單位沖激響應(yīng)/單位樣值響應(yīng)及進(jìn)行卷積計算可以用計算機(jī)實現(xiàn)。例如，MATLAB中有專門的自帶函數(shù)可以實現(xiàn)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程，這使得該方法在時域系統(tǒng)分析中占有十分重要的地位。

3.變換域方法

連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的變換域方法有所不同。連續(xù)時間系統(tǒng)通常使用的是拉普拉斯變換方法，離散時間系統(tǒng)則使用的是Z變換方法。利用變換域方法求解系統(tǒng)的時域解簡便而有效，是在實際應(yīng)用中經(jīng)常用到的方法。

另外，對于離散系統(tǒng)來說，還有一種更為簡便的方法可以得到系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解——迭代法。它使用計算機(jī)進(jìn)行求解，但不能給出一個解的完整解析式。

2.1系統(tǒng)建模及其求解

研究系統(tǒng)輸出首先需要知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，將系統(tǒng)用抽象的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述的過程叫做系統(tǒng)建模。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時域表示有兩種形式：微分方程及差分方程，分別描述連續(xù)系統(tǒng)及離散系統(tǒng)。2.1.1連續(xù)系統(tǒng)的微分方程及其求解

例2.1

求圖2.1所示的RC電路中電容兩端的電壓變化。

設(shè)R=1Ω，C=1F，e(t)=(1+e－3t)u(t)，電容兩端的初始電壓uC(0－)=1V。

解根據(jù)基爾霍夫定律及元件電流-電壓關(guān)系，可知對于圖2.1所示的RC電路，有微分方程:圖2.1簡單的RC電路代入元件參數(shù)后，得系統(tǒng)的微分方程為(2.1)還可以用圖2.2所示的系統(tǒng)方框圖來表示該系統(tǒng)，下面我們來討論如何求解系統(tǒng)的響應(yīng)。上述系統(tǒng)方程是微分方程，電源的輸入信號可視為已知函數(shù)，電容兩端的初始電壓為初始條件，求系統(tǒng)響應(yīng)的問題現(xiàn)在轉(zhuǎn)化為了求微分方程的解的問題。圖2.2與式(2-1)對應(yīng)的方框圖根據(jù)高等數(shù)學(xué)中所學(xué)的求微分方程解的知識可知，求微分方程的解需要如下三步：

(1)求齊次解。方法為由特征方程求出特征根，然后寫出齊次解形式。

式(2.1)的特征方程為

λ+1=0

特征根為

λ=－1

可得齊次解為

rh(t)=Ae－t,t≥0+

(2）求特解。方法為根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式；然后代入原方程，比較系數(shù)定出特解。

微分方程特解rp(t)的函數(shù)形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)。將激勵e(t)代入式(2.1)的右端，化簡后右端函數(shù)式稱為“自由項”。通常由觀察自由項試選特解函數(shù)式，代入方程后求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù)，即可給出特解rp(t)。幾種典型激勵信號對應(yīng)的特解函數(shù)式列于表2-1中，求解方程時可以參考。根據(jù)表2-1，可設(shè)特解rp(t)=B1+B2e－3t，其中，B1、B2為待定系數(shù)，將此式代入方程得到

等式兩端各對應(yīng)項相等，于是有:所以，特解為

(3）求全解。方法為全解=齊次解+特解，由初始條件定出齊次解的待定系數(shù)。將上面求得的齊次解和特解相加即可得方程全解:(2.2)給定微分方程和激勵信號e(t)，方程有唯一解還必須給出一組求解區(qū)間內(nèi)的邊界條件，用以確定全解中的常數(shù)Ai(i=1,2,…,n)，如式(2.2)中的A。對于n階微分方程，若e(t)在t=0時刻加入，則把求解區(qū)間定為0+≤t≤∞，一組邊界條件可以給定為在此區(qū)間內(nèi)任一時刻t0，要求解滿足的各值。通常取

t0=0+，這樣對應(yīng)的一組條件就稱為初始條件，記為r(k)(0+)(k=0,1,…,n－1)。對于本題，由于電容兩端電壓沒有跳變，因此初始條件為電容兩端的初始電壓uC(0+)=uC(0－)=1V。將其代入式(2.2)中，并考慮t=0，則可得綜上所述，得到微分方程的完全解即RC系統(tǒng)的響應(yīng)為以上簡單回顧了線性常系數(shù)微分方程的經(jīng)典解法。利用解微分方程的方法求系統(tǒng)的響應(yīng)雖然直觀，但沒有明確的物理含義，尤其是由于系統(tǒng)激勵的作用有可能引起初始條件從0－到0+的跳變，即r(k)(0+)≠r(k)(0－)，這就給利用該方法求系統(tǒng)響應(yīng)帶來了困難。正因為如此，人們不得不研究其他求系統(tǒng)響應(yīng)的方法。2.1.2差分方程及其求解

例2.2

假定每對兔子每月可以生育一對小兔，新生的小兔子要隔一個月才具有生育能力，若第一個月只有一對新生小兔，求第n個月兔子的數(shù)目是多少？

解令y［n］表示在第n個月兔子對的數(shù)目。已知

y［0］=0，y［1］=1，顯然，可以推知：

y［2］=1,y［3］=2,y［4］=3,y［5］=5,…容易想到，在第n個月時，應(yīng)有y［n－2］對兔子具有生育能力，因而這批兔子要從y［n－2］對變成2y［n－2］對；此外，還有y［n－1］－y［n－2］對兔子沒有生育能力（它們是在第n－1月新生的），仍按原來數(shù)目保留下來，于是可以寫出:

y［n］=2y［n－2］+y［n－1］－y［n－2］

經(jīng)整理化簡得

y［n］－y［n－1］－y［n－2］=0

(2.3)

這是一個二階差分方程式。

與微分方程相似，上述差分方程也可以用系統(tǒng)框圖表示，如圖2.3所示。圖2.3差分方程的系統(tǒng)框圖

它的特征方程為

λ2－λ－1=0

求得特征根為于是寫出齊次解為(2.4)將y［0］=0,y［1］=1分別代入，由此求得系數(shù)C1、C2

分別為，最后，寫出y［n］的解答:(2.5)這就是著名的費班納西（Fibonacci）數(shù)列。例如，當(dāng)

y［0］=0，y［1］=1時，數(shù)列y［n］可寫作:

{0，1，1，2，3，5，8，13，…}

上述系統(tǒng)是一個齊次方程，所得解為齊次解。若系統(tǒng)為常系數(shù)線性差分方程的一般形式(2.6)則還需要利用系統(tǒng)輸入x［n］求出特解，然后由初始條件確定齊次解的待定系數(shù)，該過程與解微分方程的解基本一致。2.2零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

在電路課程中已經(jīng)知道，線性動態(tài)電路的完全響應(yīng)通?？煞譃榱爿斎腠憫?yīng)（Zero-InputResponse,簡記為ZIR）和零狀態(tài)響應(yīng)（Zero-StateResponse,簡記為ZSR）兩部分，即

r(t)=rzi(t)+rzs(t)(2.7)

(1)零輸入響應(yīng)(ZIR)。

從觀察的初始時刻（例如t=0）起不再施加輸入信號（即零輸入），僅由該時刻系統(tǒng)本身具有的0－時刻的狀態(tài)引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)（或稱儲能響應(yīng)）。

(2)零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR）。當(dāng)電路中儲能狀態(tài)為零時，由外加激勵信號產(chǎn)生的響應(yīng)（電壓或電流）稱為零狀態(tài)響應(yīng)（或稱為受激響應(yīng)）。

對于存在外加激勵源和系統(tǒng)的0-不為零的線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)具有疊加性，系統(tǒng)的完全響應(yīng)可以看做外加激勵源和起始狀態(tài)等效激勵源共同作用的結(jié)果。

基于不同的概念，系統(tǒng)的響應(yīng)還可分為以下兩類：

（1）把響應(yīng)分為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，是按系統(tǒng)的性質(zhì)和輸入信號的形式分類的，即自由響應(yīng)的變化規(guī)律取決于系統(tǒng)的特征根(固有頻率)；強(qiáng)迫響應(yīng)則取決于外加激勵的形式。（2）把響應(yīng)分為瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是按響應(yīng)的變化形式分類的，即隨著t

的增長，響應(yīng)最終趨于零的分量稱為瞬態(tài)響應(yīng)；若響應(yīng)穩(wěn)定或保持為某個穩(wěn)態(tài)函數(shù)，則稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

例2.3

已知一線性時不變系統(tǒng)，在相同初始條件下，當(dāng)激勵為e(t)時，其全響應(yīng)為r1(t)=［2e－3t+sin(2t)］u(t)；當(dāng)激勵為2e(t)時，其全響應(yīng)為r2(t)=［e－3t+2sin(2t)］u(t),其中u(t)是階躍函數(shù)。求：

(1)初始條件不變，當(dāng)激勵為e(t－t0)時的全響應(yīng)r3(t)，t0為大于零的實常數(shù)；解（1）設(shè)零輸入響應(yīng)為rzi(t)，零狀態(tài)響應(yīng)為rzs(t)，

則有

r1(t)=rzi(t)+rzs(t)=［2e－3t+sin(2t)］u(t)

r2(t)=rzi(t)+2rzs(t)=［e－3t+2sin(2t)］u(t)

解得零輸入響應(yīng)為

rzi(t)=3e－3tu(t)

零狀態(tài)響應(yīng)為

rzs(t)=［－e－3t+sin(2t)］u(t)初始條件不變則零輸入響應(yīng)仍然為rzi(t)，激勵為e(t－t0)時的零狀態(tài)響應(yīng)為rzs(t－t0)，此時的全響應(yīng)r3(t)為（2）初始條件增大1倍則零輸入響應(yīng)為2rzi(t)，當(dāng)激勵為0.5e(t)時的零狀態(tài)響應(yīng)為0.5rzs(t)，因此全響應(yīng)r4(t)為對于某一個具體的線性系統(tǒng)，零輸入響應(yīng)即為微分/差分方程的齊次解，因為沒有輸入信號，系統(tǒng)不會發(fā)生初始條件從0－到0+的跳變，因此可利用系統(tǒng)的已知條件0－狀態(tài)求得齊次解的待定系數(shù)。對于零狀態(tài)響應(yīng)，則需要求取方程的非齊次解，且0－狀態(tài)為零?，F(xiàn)在利用求解零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)的方法重解例2.1，請注意下面的解法與2.1節(jié)中解方程方法的區(qū)別。

例2.4

利用零輸入、零狀態(tài)的方法求解例2.1中的RC電路全響應(yīng)，其中R=1Ω，C=1F，e(t)=(1+e－3t)u(t)，電容兩端的初始電壓uC(0－)=1V。圖2.4簡單的RC電路

解例2.1已求出系統(tǒng)的微分方程為

uC′(t)+uC(t)=e(t)

(2.8)

求ZIR。令式(2.8)中e(t)=0，則有齊次解:

rzi(t)=A1e－t,t≥0+

因為電容兩端的初始電壓uC(0－)=1V，則有A1=1,即零輸入響應(yīng)為

rzi(t)=e－t,t≥0+

求ZSR。當(dāng)輸入為e(t)=(1+e－3t)u(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)由兩部分組成，即

rzs(t)=rh(齊次解)+rp(特解)(2.9)齊次解的形式為

rh(t)=A2e－t

根據(jù)輸入信號的形式設(shè)特解為rp(t)=B1+B2e－3t，將其代入方程得到

－3B2e－3t+B1+B2e－3t=1+e－3t

于是有所以，特解為。則零狀態(tài)響應(yīng)ZSR可寫為(2.10)要注意的是，式(2.10)的待定系數(shù)A2應(yīng)由在uC(0－)=0的條件下導(dǎo)出0+初始值rzs(0+)決定。由題意可得uC(0+)=uC(0－)=0，即rzs(0+)=0，令t=0+,代入得從而ZSR為系統(tǒng)的全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加，即零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)的波形如圖2.5所示。由上例的分析過程可知，用經(jīng)典法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與直接求解系統(tǒng)的微分/差分方程基本一致，只是規(guī)定0－狀態(tài)為零而已，但仍無法避免由于輸入的作用引起的初始條件從０－到0+的跳變。圖2.5例2.4系統(tǒng)的全響應(yīng)

2.3連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷積積分

2.3.1用單位沖激函數(shù)表示連續(xù)時間信號

我們可以把連續(xù)信號分解為如圖2.6所示的矩形窄脈沖分量之和。圖2.6信號分解為脈沖分量之和按圖2.6的分解方式，將函數(shù)f(t)近似寫作窄脈沖信號的疊加，設(shè)在t1時刻被分解的矩形脈沖高度為f(t1)，寬度為Δt1(見圖2.6)，于是此窄脈沖的表示式就為

f(t1)［u(t－t1)－u(t－t1Δt1)］

當(dāng)t1從－∞變化到∞時，將許多這樣的矩形脈沖單元疊加，即得f(t)的近似表示式取Δt1→0的極限，可以得到若將此積分式中的變量t1改為τ,則上式改寫為(2.12)式(2.12)就是著名的卷積積分公式。我們知道卷積積分（簡稱卷積）的定義為并簡記為

f(t)=f1(t)*f2(t)

(2.13)

可見，式(2.12)可以簡寫為

f(t)=f(t)*δ(t)

(2.14)即連續(xù)時間信號可表示為該信號與單位沖激信號之卷積。2.3.2單位沖激響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分表示

系統(tǒng)在單位沖激信號δ(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)叫單位沖激響應(yīng)h(t)。很顯然，單位沖激響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，而且，此時的輸入信號為單位沖激信號δ(t)。

對于線性時不變系統(tǒng)，沖激響應(yīng)h(t)的性質(zhì)可以表示系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，h(t)的變換域表示更是分析線性時不變系統(tǒng)的重要手段，因而對沖激響應(yīng)h(t)的分析是系統(tǒng)分析極為重要的部分。在經(jīng)典時域分析法中，求解單位沖激響應(yīng)的方法還是解系統(tǒng)的非齊次解。由于系統(tǒng)的激勵信號為單位沖激信號δ(t)，在t≥0+時，系統(tǒng)的輸入為零，因此方程變?yōu)辇R次的，特解為零。然而，由于激勵信號的作用，系統(tǒng)很可能發(fā)生了從0－到0+狀態(tài)的跳變，因此，用經(jīng)典時域法求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)仍然要先確定初始條件，一般情況下是比較麻煩的。最好的方法是采用變換域的方法，這些方法將分別在第6章和第8章介紹。在前面的討論中，我們已經(jīng)得到了連續(xù)信號f(t)的δ(t)分解表達(dá)式，還有系統(tǒng)在基本信號δ(t)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)，即沖激響應(yīng)h(t)。下面將進(jìn)一步利用LTI的線性和時不變性，導(dǎo)出一般信號e(t)激勵下系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法。

設(shè)LTI連續(xù)系統(tǒng)如圖2.7所示。圖中，h(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，rzs(t)為系統(tǒng)在一般信號e(t)激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。為了敘述方便，采用如下簡化符號：

e(t)→rzs(t)［C］

其含義是：系統(tǒng)在e(t)激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)是rzs(t)，［C］中的C代表e(t)→rzs(t)成立所依據(jù)的理由。由于

δ(t)→h(t)［h(t)的定義］

δ(t－τ)→h(t－τ)［系統(tǒng)的時不變特性］

e(τ)δ(t－τ)dτ→e(τ)h(t－τ)dτ［系統(tǒng)的齊次性］

［系統(tǒng)的疊加性］

e(t)*δ(t)=e(t)→e(t)*h(t)［卷積定義及性質(zhì)］因此，LTI連續(xù)系統(tǒng)在一般信號e(t)激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為

rzs(t)=e(t)*h(t)

(2.15)

它是激勵e(t)與沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分。圖2.7系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可見，可以通過求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，并將其與系統(tǒng)的激勵信號求卷積得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

利用上述卷積的關(guān)系，可以很容易得到一些復(fù)雜系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，例如圖2.8所示的并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。圖2.8并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)由圖2.8可得

rzs(t)=e(t)*h1(t)+e(t)*h2(t)=e(t)*［h1(t)+h2(t)］

可見并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和，即

h(t)=h1(t)+h2(t)

同樣對于如圖2.9所示的串聯(lián)系統(tǒng)，可得

rzs(t)=e(t)*h1(t)*h2(t)=e(t)*［h1(t)*h2(t)］

即串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于組成系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之卷積。圖2.9串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)2.4離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和

2.4.1用單位樣值函數(shù)表示離散時間信號

前面已經(jīng)分析得到，任意連續(xù)信號f(t)都可以表示為沖激信號δ(t)的線性組合，與此相類似，離散信號f［n］都可以表示為單位序列δ［n］的線性組合。因為有：

于是有:所以對任意序列f［n］可寫成:即(2.16)式(2.16)即為離散信號的時域分解公式。它表示：任意信號f［n］均可以表示為許多δ［n］序列的線性組合，圖2.10即為上述表示方法的例子。圖2.10序列表示為單位樣值序列之和式(2.16)稱為離散時間單位脈沖序列的篩選性質(zhì)。因為序列δ［n］僅當(dāng)n≠0時為非零，所有在式(2.16)右邊的和就把

f［n］序列作了篩選，而僅保留下對應(yīng)于n=k的值。式(2.16)是卷積和公式，卷積和（也可簡稱為卷積）的定義為

并簡記為

f［n］=f1［n］*f2［n］(2.17)

可見，式(2.16)可以簡寫為

f［n］=f［n］*δ［n］(2.18)

下面將利用離散時間信號的這種表示來建立一個離散時間LTI系統(tǒng)的卷積和表示。2.4.2單位樣值響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和表示

與連續(xù)系統(tǒng)相似，單位樣值響應(yīng)（單位脈沖響應(yīng)）也非常重要，其定義為：在離散系統(tǒng)中，由單位序列δ［n］引起的零狀態(tài)響應(yīng)，記為h［n］。當(dāng)離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)h［n］已知后，系統(tǒng)對于任意輸入序列x［n］的零狀態(tài)響應(yīng)便可確定，其過程推導(dǎo)如下。

對于線性時不變（LTI）離散系統(tǒng)，當(dāng)輸入為δ［n］時，零狀態(tài)響應(yīng)為h［n］，即

δ［n］→h［n］［h［n］的定義］

δ［n－k］→h［n－k］［系統(tǒng)的時不變特性］

x［k］δ［n－k］→x［k］h［n－k］［系統(tǒng)的齊次性］［系統(tǒng)的疊加性］由式(2.16)可知:(2.19)這意味著，當(dāng)輸入為x［n］時，其零狀態(tài)響應(yīng)為即零狀態(tài)響應(yīng)(2.20)式(2.20)說明：線性時不變離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入序列x［n］與單位樣值響應(yīng)h［n］的卷積和。

若x［n］和h［n］均為因果序列，即n<0，x［n］=0和

h［n］=0，則式(2.20)可變?yōu)?2.21)下面，我們來看一具體LTI系統(tǒng)，簡單地說明上述卷積和的計算過程。

例2.5

某LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h［n］，輸入為

x［n］，如圖2.11(a)所示。求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs［n)。

解這時，因為僅在x［0］、x［1］、x［2］為非零，式(2.21)就簡化為

yzs［n］=x［0］h［n－0］+x［1］h［n－1］+x［2］h［n－2］

在求yzs［n］中僅涉及到三個單位脈沖響應(yīng)的移位和加權(quán)的結(jié)果，即h［n］、h［n－1］和h［n－2］三個序列，它們分別示于圖2.11（b）。在每個n值上相加這三個序列就得到

yzs［n］，如圖2.11(c)所示。圖2.11系統(tǒng)的輸入信號和單位脈沖響應(yīng)2.5卷積積分的計算及其性質(zhì)(補(bǔ)充內(nèi)容)

卷積方法最早的研究可追溯到19世紀(jì)初期的數(shù)學(xué)家歐拉(Eu1er)、泊松(Poisson)等人，以后許多科學(xué)家對此問題做了大量工作。近幾年，隨著信號與系統(tǒng)理論研究的深入及計算機(jī)技術(shù)發(fā)展，不僅卷積方法得到廣泛的應(yīng)用，卷積的逆運(yùn)算——反卷積的研究也越來越受到重視。在現(xiàn)代地震勘探、超聲診斷、光學(xué)成像、系統(tǒng)辨識及其他諸多信號處理領(lǐng)域中，卷積和反卷積運(yùn)算無處不在，而且許多都是有待深入開發(fā)研究的課題。本節(jié)將對卷積積分的運(yùn)算方法作一說明，然后闡述卷積的性質(zhì)。

1.卷積的計算

用圖解的方法說明卷積運(yùn)算可以把一些抽象的關(guān)系形象化，便于理解卷積積分的概念及方便運(yùn)算。

從卷積積分的定義

可以看出，計算兩個信號的卷積積分需要以下幾個步驟：

(1)改換圖形中的橫坐標(biāo)，將信號的自變量由t改為τ，即f1(t)→f1(τ),f2(t)→f2(τ);

(2)將其中一個信號反褶并進(jìn)行時移，即

(3)將變換后的兩個信號相乘得f1(τ)·f2(t－τ)，再求積分，同時注意積分區(qū)間的不同導(dǎo)致積分結(jié)果的不同。

下面，通過一道例題，說明上述積分過程。

例2.6

已知兩個信號f1(t)和f2(t)，求f1(t)*f2(t)，其中f1(t)

和f2(t)如下：解根據(jù)步驟（1），將f1(t)和f2(t)分別轉(zhuǎn)換為f1(τ)和

f2(t－τ)，如圖2.12所示。

下面分別討論不同的積分區(qū)間所得的卷積結(jié)果。

（1）t≤－1時，兩波形沒有公共部分，如圖2.13（a）所示，二者乘積f1(τ)·f2(t－τ）為0，即積分為0，卷積g(t)=f1(t)*f2(t)也為0。圖2.12積分前兩個信號的變換圖2.13不同積分區(qū)間的卷積結(jié)果（2）t≥－1時,兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限為－1，上限為t，

t為移動時間，即－1≤t≤1時，如圖2.13（b）所示。則卷積積分為

(3）積分區(qū)間為，即1≤t≤2時兩波形有公共部分，如圖2.13（c）所示。則卷積積分為（4）積分區(qū)間為，即2≤t≤4時兩波形有公共部分，如圖2.13（d）所示。則卷積積分為（5）t－3≥1，即t≥4時，兩波形沒有公共部分，如

圖2.13（e）所示。二者乘積f1(τ)·f2(t－τ)為0，則卷積g(t)=f1(t)*f2(t)也為0。

綜上所述，卷積積分為得到卷積結(jié)果如圖2.14所示。圖2.14卷積積分結(jié)果

2.卷積積分的微分、積分性質(zhì)

卷積積分的微分、積分性質(zhì)非常重要，在很多計算卷積運(yùn)算中經(jīng)常用到。兩個信號卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一個信號之導(dǎo)數(shù)與另一信號之卷積，其表示為

g′(t)=f(t)*h′(t)=f′(t)*h(t)(2.22)

由卷積定義可證明此關(guān)系式如下:上述關(guān)系還可以作如下推廣：

g(－1)(t)=f(t)*h(－1)(t)=f(－1)(t)*h(t)

g(n)(t)=f(t)*h(n)(t)=f(n)(t)*h(t)

微分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合使用為

g(n－m)(t)=f(n)(t)*h(－m)(t)=f(－m)(t)*h(n)(t)(微分n次，積分m次)

和

g(t)=f(n)(t)*h(－n)(t)（m=n,微分次數(shù)=積分次數(shù)）

3.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積

任意信號f(t)與單位沖激信號δ(t)卷積的結(jié)果仍然是信號f(t)本身。根據(jù)卷積定義以及沖激函數(shù)的特性容易證明:由此可得如下推廣公式:

f(t)*δ(t－t0)=f(t－t0)

f(t－t1)*δ(t－t2)=f(t－t1－t2)

f(t)*δ′(t)=f′(t)

f(t)*δ(k)(t)=f(k)(t)

f(t)*δ(k)(t－t0)=f(k)(t－t0)目前，隨著計算機(jī)應(yīng)用的普及，卷積計算很多時候都可以利用數(shù)值計算得到，積分運(yùn)算可用求和代替，類似于卷積和的運(yùn)算過程。卷積積分在分析系統(tǒng)的響應(yīng)、特性時非常有用，也是變換域分析的基礎(chǔ)。

2.6小結(jié)

顧名思義，系統(tǒng)的時域分析法就是以時間為變量研究系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系，系統(tǒng)中的各個信號都表示為時間的函數(shù)。經(jīng)過本章的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)除了可以用微分方程和差分方程來表示系統(tǒng)外，還有另一種系統(tǒng)的表示方法——單位沖激響應(yīng)和單位樣值響應(yīng)。在輸入信號相同和系統(tǒng)零狀態(tài)的條件下，單位沖激響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)就反映了系統(tǒng)的特性。因此，單位沖激響應(yīng)和單位樣值響應(yīng)是一種非常重要的系統(tǒng)表示方法。本章介紹的另一個重要內(nèi)容是系統(tǒng)響應(yīng)求解方法，總結(jié)如下：

（1）利用求解微分/差分方程的方法求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)；

（2）求解系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)，再利用卷積求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；

（3）將上述零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)相加，即可得系統(tǒng)的全響應(yīng)。然而，求解系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)及卷積計算的數(shù)值方法都比較麻煩，因此，從本質(zhì)上講，利用時域方法求解系統(tǒng)的響應(yīng)并不是一個很好的途徑。通常，有兩種方法可以避免繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，一種是利用計算機(jī)進(jìn)行求解，仿真軟件MATLAB中包含了所有的求解單位沖激響應(yīng)、單位樣值響應(yīng)及卷積計算的函數(shù)，因此，我們可以很方便地進(jìn)行求解。另一種方法是利用變換域的方法求解單位沖激響應(yīng)、單位樣值響應(yīng)及卷積計算，我們發(fā)現(xiàn)，時域中繁瑣的求方程的解及卷積計算在變換域中變成了正反變換的過程及簡

單分式相乘，甚至求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)也可以在變換域中實現(xiàn)。正因為如此，本章要求學(xué)會在時域中進(jìn)行系統(tǒng)分析的基本思路，我們將會發(fā)現(xiàn)，在本章中的繁瑣計算在以后的某些章節(jié)中會輕松解決。

關(guān)于簡單信號的卷積計算及卷積的性質(zhì)請查閱本章2.5節(jié)的內(nèi)容，這些在以后的各章學(xué)習(xí)中將會用到。

習(xí)題

2-1題2-1圖所示系統(tǒng)是由幾個“子系統(tǒng)”組成的，各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為

h1(t)=u(t)［積分器］

h2(t)=δ(t－1)［單位延時］

h3(t)=－δ(t)［倒相器］

試求總的系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)。題2-1圖

2-2系統(tǒng)在單位階躍信號u(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)叫單位階躍響應(yīng)。已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)=1.5(e－t－e－3t)u(t),求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

2-3題2-3圖所示系統(tǒng)，已知

h1(t)=δ(t－1),h2(t)=u(t)

試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。題2-3圖

2-4一線性時不變系統(tǒng)，在某起始狀態(tài)下，已知當(dāng)輸入e(t)=u(t)時，全響應(yīng)r1(t)=3e－3tu(t)；當(dāng)e(t)=－u(t)時，全響應(yīng)r2(t)=e－3tu(t)。試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。

2-5一個LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入和輸出的關(guān)系如下:試求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)，并確定如題2-5圖所示并聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。題2-5圖

2-6有一LTI系統(tǒng)對激勵為e1(t)=u(t)的完全響應(yīng)為r1(t)=

2e－tu(t)，對激勵為e2(t)=δ(t)的全響應(yīng)為r2(t)=δ(t)。

（1）求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)rzi(t)。

（2）系統(tǒng)的起始狀態(tài)保持不變，求其對于激勵e3(t)=

e－tu(t)的完全響應(yīng)r3(t)。

2-7某LTI系統(tǒng)，輸入信號e(t)=2e－3tu(t)，在該輸入下的零狀態(tài)響應(yīng)為rzs(t)，即rzs(t)=H［e(t)］，又已知

=－3rzs(t)+e－2tu(t)，求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。

2-8如題2-8圖所示的電路，輸入信號為電壓源電壓us(t)，寫出:

（1）以uC(t)為響應(yīng)的微分方程；

（2）以iL(t)為響應(yīng)的微分方程。題2-8圖

2-9如題2-9圖所示的電路，輸入信號為電流源電流is(t)，寫出:

（1）以u(t)為響應(yīng)的微分方程；

（2）以iC(t)為響應(yīng)的微分方程。題2-9圖

2-10寫出題2-10圖所示各系統(tǒng)的微分方程或差分方程。題2-10圖

2-11題2-11圖(a)是一個簡單的聲學(xué)系統(tǒng)模型。圖中T表示延時T秒的延時器。

(1)聲音信號e(t)在傳播途中遇到障礙物將產(chǎn)生回音。設(shè)回音信號較原信號衰減α倍(α<1)且延遲T秒。寫出r(t)的表示式。信號r(t)表示在某處聽到的聲音。

(2)為消除回音，需構(gòu)造一個消回音系統(tǒng)(如題2-11圖(b)所示)，寫出其輸出d(t)的表示式，并證明d(t)=e(t)。

題2-11圖

2-12某LTI連續(xù)系統(tǒng)，其初始狀態(tài)一定，已知當(dāng)激勵為e(t)時，其全響應(yīng)為

r1(t)=e－t+cos(πt),t≥0

若初始狀態(tài)不變，激勵為2e(t)，其全響應(yīng)為

r2(t)=2cos(πt),t≥0

求初始狀態(tài)不變，而激勵為3e(t)時系統(tǒng)的全響應(yīng)。

2-13某一階LTI離散系統(tǒng)，其初始狀態(tài)為y［0］，已知當(dāng)激勵為x［n］時，其全響應(yīng)為

y1［n］=u［n］

若初始狀態(tài)不變，激勵為－x［n］時，系統(tǒng)的全響應(yīng)為

求初始狀態(tài)為2y［0］，激勵為4x［n］時，系統(tǒng)的全響應(yīng)。

2-14某二階LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為r1(0)和r2(0)，已知當(dāng)r1(0)=1，r2(0)=0時，其零輸入響應(yīng)為

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