第7章Ｚ變換7.1

Z變換及其收斂域7.2

Z變換的性質(zhì)7.3

Z反變換

7.4小結(jié)習(xí)題7.1Z變換及其收斂域

7.1.1Z變換的定義

應(yīng)用于離散時(shí)間信號(hào)的復(fù)頻域變換稱(chēng)為Z變換，離散時(shí)間信號(hào)x［n］的Z變換定義為（7.1）式中：z為一個(gè)復(fù)數(shù)。如果求和從n=0開(kāi)始，那么稱(chēng)為信號(hào)x［n］的單邊Z變換，定義為（7.2）也記作X(z)。如果x［n］是因果信號(hào)，那么其單邊Z變換和雙邊Z變換是一樣的。本書(shū)著重討論單邊Z變換。從式（7.1）和式（7.2）可知，Z變換是z－1的冪級(jí)數(shù)，使級(jí)數(shù)收斂的復(fù)數(shù)z的集合稱(chēng)為Z變換的收斂域。7.1.2Z變換的收斂域

由高等數(shù)學(xué)的知識(shí)可知，級(jí)數(shù)X(z)收斂的充分必要條件是:（7.3）即序列x［n］絕對(duì)可和。式（7.3）中，左邊是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以用比值判別法或根值判別法判定其收斂性并獲得Z變換的收斂域，具體方法可以參考高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容。下面就通過(guò)幾種不同的序列情況來(lái)討論一下Z變換的收斂域問(wèn)題。

1.右邊序列

對(duì)于右邊序列，其Z變換可以表示為（7.4）式中：

N1為一個(gè)有限值，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)。若要使式（7.4）收斂，需要滿(mǎn)足:（7.５）即z是一個(gè)復(fù)數(shù)，|z|是復(fù)數(shù)的模，|z|>R1表示z平面上一個(gè)半徑為R1的圓外部分，如圖7.1所示。如果N1是一個(gè)負(fù)數(shù)，即N1<0，因?yàn)閆變換定義式中包含z的正冪次項(xiàng)，這些項(xiàng)將隨著|z|→∞而變成無(wú)界的，所以收斂域不包括z=∞。對(duì)于因果序列，當(dāng)n<0時(shí)，x［n］=0，即N1≥0，收斂域包括z=∞。圖7.1右邊序列的收斂域

2.左邊序列

對(duì)于左邊序列，其Z變換可以表示為（7.6）式中:N2為一個(gè)有限值，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)。若要使式（7.6）收斂，需要滿(mǎn)足:（7.７）即

|z|<R2表示z平面上一個(gè)半徑為R2的圓內(nèi)部分，如圖7.2所示。如果N2是一個(gè)正數(shù)，即N2>0，因?yàn)閆變換定義式中包含z的負(fù)冪次項(xiàng)，這些項(xiàng)將隨著|z|→0而變成無(wú)界的，所以收斂域不包括z=0;如果N2≤0，即對(duì)于全部n>0，x［n］=0，收斂域包括z=0。圖7.2左邊序列的收斂域

3.雙邊序列

雙邊序列的Z變換為（7.8）可以把它看成是一個(gè)右邊序列和一個(gè)左邊序列的Z變換的和，即（7.9）根據(jù)前面的推導(dǎo)，式（7.9）右邊第一項(xiàng)為右邊序列的Z變換，設(shè)其收斂域?yàn)閨z|>R1；式（7.9）右邊第二項(xiàng)為左邊序列的Z變換，設(shè)其收斂域?yàn)閨z|<R2。如果R1<R2，則X(z)的收斂域?yàn)檫@兩個(gè)收斂域的重合部分，表示為R1<|z|<R2，這是一個(gè)

z平面內(nèi)的圓環(huán)區(qū)域，如圖7.3所示;如果R1>R2，則上述兩個(gè)級(jí)數(shù)的收斂域沒(méi)有重合部分，X(z)的收斂域不存在。圖7.3雙邊序列的收斂域

4.有限長(zhǎng)序列

一個(gè)有限長(zhǎng)序列x［n］只在N1≤n≤N2有非零的有限值，其Z變換可以表示為（7.10）對(duì)于z不等于零或無(wú)窮大，式（7.10）中每一項(xiàng)都是有限的，X(z)一定收斂。如果N1為負(fù)，N2為正，那么x［n］對(duì)n<0和n>0都有非零值，式（7.10）中的和式既包括z的正冪次項(xiàng)，又包括z的負(fù)冪次項(xiàng)。當(dāng)|z|→0時(shí)，z的負(fù)冪次項(xiàng)就會(huì)變成無(wú)界；而當(dāng)|z|→∞時(shí)，z的正冪次項(xiàng)就會(huì)變成無(wú)界。因此，對(duì)于N1為負(fù)、N2為正的情況，X(z)的收斂域不包括z=0和z=∞。如果N1為正值或零，那么式（7.10）中僅有z的負(fù)冪次項(xiàng)，這時(shí)，X(z)的收斂域可以包括z=∞;如果N2為負(fù)值或零，那么式（7.10）中僅有z的正冪次項(xiàng)，X(z)的收斂域可以包括z=0。

對(duì)于Z變換來(lái)說(shuō)，由于收斂域不同，不同的序列可能會(huì)對(duì)應(yīng)同一個(gè)Z變換的形式，因此，在做雙邊Z變換時(shí)，給出Z變換的收斂域是十分必要的。而對(duì)于單邊Z變換來(lái)說(shuō)，其收斂域是一個(gè)|z|>R1的圓外區(qū)域。

如果離散信號(hào)x［n］的Z變換X(z)是一個(gè)有理函數(shù)，那么其收斂性與X(z)的極點(diǎn)有關(guān)，對(duì)X(z)收斂性與極點(diǎn)的關(guān)系將在第8章討論。7.1.3基本離散信號(hào)的Z變換

下面給出常用的基本離散信號(hào)的Z變換。

1.單位脈沖序列

由式（1.22）定義，單位脈沖序列為

對(duì)其做Z變換，得（7.11）其收斂域?yàn)閨z|≥0，即為整個(gè)z平面。

2.階躍序列

由式（1.21）定義，階躍序列為對(duì)其做Z變換，得（7.12）其收斂域?yàn)閨z|>1。

3.單邊指數(shù)序列

單邊指數(shù)序列為（7.13）對(duì)其做Z變換，得（7.14）其收斂域?yàn)閨z|>|a|。7.1.4Z變換與拉氏變換的關(guān)系

離散信號(hào)可以通過(guò)對(duì)連續(xù)信號(hào)抽樣獲得，如式（1.20）

所示。離散信號(hào)x［n］可以看做是對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)均勻抽樣的結(jié)果：

x［n］=x(t)|t=nT=x(nT)

式中:T為抽樣間隔。

拉氏變換是連續(xù)信號(hào)的復(fù)頻域變換，Z變換是離散信號(hào)的復(fù)頻域變換，二者之間具有一定的聯(lián)系。下面我們就說(shuō)明一下二者的關(guān)系。如果抽樣脈沖序列為（7.15）那么，用抽樣脈沖序列p(t)與連續(xù)信號(hào)x(t)相乘能得到抽樣信號(hào)xs(t)為（7.16）對(duì)抽樣信號(hào)xs(t)做拉氏變換為（7.17）如果令z=esT，則式(7.17)可以寫(xiě)為（7.18）式中:x(nT)為離散信號(hào)。式（7.18）即為信號(hào)xs(t)的Z變換。通過(guò)以上推導(dǎo)可以看出，x(nT)為連續(xù)信號(hào)抽樣時(shí)刻的樣本值，相當(dāng)于連續(xù)信號(hào)和抽樣脈沖序列相乘得到的抽樣信號(hào)xs(t)各沖激函數(shù)的強(qiáng)度，可以寫(xiě)成離散信號(hào)x［n］的形式。如果令z=esT，那么用抽樣信號(hào)xs(t)的拉氏變換可以表示其對(duì)應(yīng)的離散信號(hào)x(nT)的Z變換。因此，Z變換與拉氏變換具有一定的對(duì)應(yīng)規(guī)律，

z平面與s平面也有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。7.1.5Z變換與離散時(shí)間傅里葉變換的關(guān)系

離散信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）也稱(chēng)為序列的傅里葉變換，定義為X(ejΩ)是頻率變量Ω的復(fù)數(shù)函數(shù)。|X(ejΩ)|是它的模函數(shù)，表示離散信號(hào)的幅頻特性；j(Ω)是它的輻角函數(shù)，表示離散信號(hào)的相頻特性。為了與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換區(qū)別，這里頻率變量用Ω表示，它們的物理意義是一樣的。（7.19）與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換不一樣的是，離散時(shí)間傅里葉變換X(ejΩ)是一個(gè)周期為2π的周期函數(shù)。下面證明X(ejΩ)的周

期性:注意到，對(duì)所有的整數(shù)n有:

e－j2πn=cos2πn－jsin2πn=1所以

X(ej(Ω+2π))=X(ejΩ)因此，在求離散時(shí)間傅里葉變換時(shí)，只需要求出一個(gè)2π間隔內(nèi)的結(jié)果即可，一般選擇0≤Ω<2π或－π≤Ω<π的區(qū)間。在離散信號(hào)的頻率分量中，可能的最高頻率是在Ω=π處。由7.1.4節(jié)的推導(dǎo)可得，復(fù)變量z和復(fù)變量s的關(guān)系為z=esT。如果把z表示成極坐標(biāo)形式，設(shè)

z=rejθ

其中，r為z的模，θ為z的相位角，則有:

rejθ=esT

由

s=σ+jω進(jìn)而可以得到

rejθ=e(σ+jω)T

所以有：

r=eσ

θ=ωT

即

z=rejωT

通過(guò)以上推導(dǎo)可以看出，如果令Ω=ωT，當(dāng)|z|=1，即r=1時(shí)，離散時(shí)間信號(hào)的Z變換就是離散時(shí)間傅里葉變換（離散時(shí)間傅里葉變換也可以用ω作為頻率變量來(lái)定義，其形式與式（7.19）相同，僅在頻率上有一個(gè)尺度變換）。對(duì)于因果信號(hào)x［n］，當(dāng)X(z)的收斂域包括|z|=1時(shí)，它的離散時(shí)間傅里葉變換X(ejΩ)就等于z=ejΩ時(shí)的Z變換:

（7.20）

即單位圓上的Z變換就是信號(hào)x［n］的離散時(shí)間傅里葉變換。這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系在分析離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性時(shí)會(huì)用到。

7.2Z變換的性質(zhì)

本節(jié)介紹Z變換的性質(zhì)，這些性質(zhì)可以用來(lái)求得復(fù)雜信號(hào)的Z變換，在離散信號(hào)與系統(tǒng)分析中有重要的作用。

1.線性

與拉氏變換一樣，Z變換也是一種線性變換，具有線性特性。

若xi［n］Xi(z)(i=1,2,…,n)，則（7.21）式中：

ai為常數(shù);n為正整數(shù)。線性性質(zhì)可以用Z變換的定義證明，這里從略。一般情況下，線性疊加信號(hào)的Z變換的收斂域?yàn)楦鲉蝹€(gè)Z變換收斂域的重合部分。如果線性組合的Z變換中有零極點(diǎn)相抵消的情況出現(xiàn)，那么其收斂域可能增大。

例7.1

用線性性質(zhì)求單邊正弦序列x[n]=sin[ω0n]u[n]的Z變換。

解根據(jù)歐拉公式得又由單邊指數(shù)序列的Z變換得根據(jù)線性性質(zhì)，有:可得單邊正弦序列的Z變換為其收斂域?yàn)閨z|>1。

例7.2

求序列x［n］=u［n］－u［n－1］的Z變換。

解已知且根據(jù)線性性質(zhì)，有:序列u［n］和u［n－1］的Z變換的收斂域均為|z|>1，但是，由于

u［n］－u［n－1］=δ［n］

所以x［n］=u［n］－u［n－1］的Z變換的收斂域增大為整個(gè)Z平面。

2.時(shí)域移位特性

序列的移位特性表明了序列經(jīng)過(guò)右移（延時(shí)）或左移（超前）后，其Z變換與原序列的Z變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于序列的情況不同，需要分別進(jìn)行討論。

1)單邊Z變換

（1）序列右移。

如果序列為單邊序列x［n］u［n］，其單邊Z變換為X(z),那么該序列右移m個(gè)單位可以表示為x［n－m］u［n－m］，其單邊Z變換為

Z［x［n－m］u［n－m］］=z－mX(z)（7.22）

式中:m為整數(shù)。

證明根據(jù)單邊Z變換的定義得令n－m=k，則n=m+k，上式為得證。如果序列為雙邊序列x［n］，其單邊Z變換為X(z)，那么該序列右移m個(gè)單位后單邊Z變換可以表示為（7.23）

證明根據(jù)單邊Z變換的定義得令n－m=k，則n=m+k，上式為得證。（2）序列左移。

不論序列為單邊序列x［n］u［n］還是雙邊序列x［n］，設(shè)其單邊Z變換為X(z)，那么序列左移m個(gè)單位的單邊Z變換可以表示為（7.24）式中:m為整數(shù)。

證明根據(jù)單邊Z變換的定義得令n+m=k，則n=k－m，上式為得證。

2)雙邊Z變換

如果序列x［n］的雙邊Z變換為X(z)，那么序列右移m個(gè)單位的雙邊Z變換可以表示為

Z［x［n－m］］=z－m［X(z)］（7.25）

序列左移m個(gè)單位的雙邊Z變換可以表示為

Z［x［n+m］］=zm［X(z)］（7.26）

式中:m為整數(shù)。

證明當(dāng)序列右移m個(gè)單位時(shí)，根據(jù)Z變換的定義得令n－m=k，則n=m+k，上式為同理，當(dāng)序列左移m個(gè)單位時(shí)，有:令n+m=k，則n=k－m，上式為得證。通過(guò)以上情況的分析可以看出，由于序列右移或左移可能使序列的部分樣值被移入或移出n≥0的范圍，因此求序列的單邊Z變換時(shí)需要注意這個(gè)問(wèn)題。雙邊Z變換是在整個(gè)時(shí)間軸上進(jìn)行的，所以序列的移位不影響求Z變換的樣值。

Z變換的時(shí)域移位性質(zhì)可用于求解差分方程。利用線性和移位特性，可以把差分方程轉(zhuǎn)化為Z域的代數(shù)方程，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，然后通過(guò)Z反變換獲得離散系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，對(duì)此應(yīng)用的詳細(xì)討論將在第8章進(jìn)行。

例7.3

求下列序列的Z變換。

（1）x1［n］=u［n］－u［n－5］；

（2）x2［n］=u［n+2］－u［n－3］的單邊Z變換；

（3）x2［n］=u［n+2］－u［n－3］的雙邊Z變換。

解將序列x1［n］和x2［n］的波形畫(huà)出來(lái)，如圖7.4所示。序列x2［n］在n<0時(shí)雖然有非零樣值，但是求序列x2［n］的單邊Z變換，其變換的時(shí)間是從

n=0開(kāi)始的，n<0的樣值點(diǎn)要被去掉，應(yīng)用式（7.24）計(jì)算；而求信號(hào)x2［n］的雙邊Z變換，其變換的時(shí)間是從n=－2開(kāi)始的，應(yīng)用式（7.26）計(jì)算。圖7.4例7.3圖現(xiàn)分別計(jì)算如下。

（1）已知根據(jù)時(shí)域移位特性，由式（7.22）得（2）容易看出由于求單邊Z變換，根據(jù)式（7.24）得整理得（3）根據(jù)式（7.26）得x2［n］的雙邊Z變換為

3.線性加權(quán)特性（Z域微分）若x［n］X(z)，則證明根據(jù)單邊Z變換的定義得將上式兩邊對(duì)z求導(dǎo)數(shù)，得則得證。如果將nx［n］再乘以n，由式（7.27）可得即（7.28）以此類(lèi)推，可以得到nmx［n］的Z變換。

例7.4

求斜變序列x［n］=nu［n］的Z變換。

解已知根據(jù)線性加權(quán)特性，得則

4.指數(shù)加權(quán)特性（Z域尺度）

若x［n］X(z)，則（7.29）式中：a為任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。如果X(z)的收斂域用R表示，那么的收斂域可以表示為|a|R。證明根據(jù)單邊Z變換的定義得則

例7.5

求序列x［n］=(－1)n［u［n］－u［n－5］］的Z變換。解由例7.3可知根據(jù)指數(shù)加權(quán)特性，得

5.卷積定理若x1［n］X1(z)，x2［n］X2(z)，則（7.30）證明:由卷積定義可知，因果序列的卷積為（7.31）由于n=－1,－2,…

時(shí)，x2［n］=0，因此卷積的運(yùn)算可以從k=0進(jìn)行到k=∞，即（7.32）對(duì)式（7.32）兩端求單邊Z變換有:（7.33）交換兩次求和的順序得（7.34）令m=n－k,有:（7.35）由于m<0時(shí)，x2［m］=0，因此式（7.35）可寫(xiě)為（7.36）得證。卷積定理表明，離散信號(hào)卷積的Z變換等于各信號(hào)Z變換的乘積，即離散信號(hào)時(shí)域的卷積對(duì)應(yīng)于Z域的乘積，與連續(xù)時(shí)間情況下的拉氏變換性質(zhì)相似。這個(gè)性質(zhì)可用于線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的推導(dǎo)，在第8章將給出對(duì)應(yīng)的

例子。

在一般情況下，式（7.36）得到的Z變換的收斂域是X1(z)和X2（z)收斂域的重疊部分，但是，如果位于某一個(gè)Z變換的收斂域邊緣的極點(diǎn)被另一個(gè)Z變換的零點(diǎn)抵消，則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。

例7.6

設(shè)因果序列x[n]的Z變換為X(z)，求

的Z變換。

解

y［n］是一個(gè)因果序列x［n］的部分和，并且有:階躍序列的Z變換為根據(jù)卷積定理得

6.初值定理

若x［n］是因果序列，且x［n］X(z)，則x［n］的初值可以根據(jù)下面的關(guān)系式計(jì)算出來(lái):（7.37）證明:根據(jù)單邊Z變換的定義得（7.38）當(dāng)z→∞時(shí)，在式（7.38）中，除了第一項(xiàng)外，其他各項(xiàng)都將趨近于零，所以有:得證。初值定理表明，如果因果序列的x［0］是有限值，那么就是有限值;如果X(z)可以表示成兩個(gè)多項(xiàng)式之比，那么分子多項(xiàng)式的階次不能大于分母多項(xiàng)式的階次。初值定理可以用于檢驗(yàn)一個(gè)信號(hào)Z變換的正確性。

例7.7

利用初值定理驗(yàn)證例7.5中Z變換的正確性。

解例7.5中有：根據(jù)初值定理有:而即

7.終值定理若x［n］為因果序列，且x［n］X(z)，那么，當(dāng)n→∞時(shí)x［n］具有極限，則終值定理可以表示為（7.39）證明:因?yàn)閮蛇吶O限有:整理得得證。與拉氏變換的性質(zhì)類(lèi)似，在應(yīng)用Z變換終值定理時(shí)必須注意，即使n→∞時(shí)x［n］的極限不存在，式（7.39）右端的極限也可能存在。因此，終值定理只有在n→∞時(shí)x［n］收斂的條件下才可以應(yīng)用。如果X(z)可以表示為z的有理函數(shù)，即X(z)可以化成N(z)/D(z)的形式(其中N(z)和D(z)均為z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式)，那么要使n→∞時(shí)x［n］收斂，就要求X(z)的極點(diǎn)滿(mǎn)足其幅值嚴(yán)格小于1，即位于單位圓內(nèi)（除了其中一個(gè)極點(diǎn)可以等于1外）。

終值定理可以用來(lái)通過(guò)Z變換的結(jié)果確定信號(hào)的極限值，而不必計(jì)算出信號(hào)的反變換。

例7.8

已知信號(hào)x［n］的Z變換為用終值定理確定信號(hào)x［n］的極限值。解令X(z)的分母多項(xiàng)式等于零，即

z3－2z2+1.5z－0.5=0

極點(diǎn)為z1=1，z2,3=0.5±j0.5。除了z1=1，z2和z3的幅值等于0.707，小于1。因此可以用終值定理，即將Z變換的主要性質(zhì)列于表7-1中，便于查閱。7.3Z反變換

若X(z)為離散信號(hào)x［n］的Z變換，那么信號(hào)x［n］可以通過(guò)對(duì)X(z)求Z反變換得到:（7.40）式中：C為包圍X(z)zn－1所有極點(diǎn)的逆時(shí)針閉合積分路線，通常選擇z平面收斂域內(nèi)以原點(diǎn)為中心的圓。與拉氏反變換一樣，式（7.40）的計(jì)算也是比較復(fù)雜的。當(dāng)離散時(shí)間信號(hào)x［n］的Z變換X(z)為z的有理函數(shù)時(shí)，可以通過(guò)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法或部分分式展開(kāi)法獲得

x［n］。

1.冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法

由x［n］的Z變換得可以看出，X(z)是z－1的冪級(jí)數(shù)。因此，只要把X(z)展成冪級(jí)數(shù)的形式，級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x［n］的樣值。如果信號(hào)x［n］的Z變換為有理函數(shù)，那么X(z)可以表示為有理分式:(7.41)式中:M和N為正整數(shù)；系數(shù)b0,b1,b2,…,bM－1,bM和a0,a1,a2,…,aN－1,aN為實(shí)數(shù)。如果X(z)的收斂域?yàn)閨Z|>R，那么信號(hào)x［n］一定是因果序列，分子多項(xiàng)式N(z)和分母多項(xiàng)式D(z)都可寫(xiě)成z的降冪形式。一般假設(shè)N(z)和D(z)沒(méi)有公用因子，如果有，應(yīng)該約去。利用長(zhǎng)除法就可以把X(z)展成冪級(jí)數(shù)的形式，得到信號(hào)x［n］。

例7.9

利用長(zhǎng)除法計(jì)算下式的Z反變換x［n］:解由于X(z)的收斂域是|z|>2，因此x［n］是因果序列。X(z)的分子和分母多項(xiàng)式都是按z的降冪形式排列的，做長(zhǎng)除法得所以（7.42）根據(jù)Z變換的定義有:（7.4３）比較式（7.42）和式（7.43）可得x［n］的值為

2.部分分式展開(kāi)法

應(yīng)用長(zhǎng)除法計(jì)算Z反變換，對(duì)于任何整數(shù)值n可以由X(z)計(jì)算出x［n］。但是，如果要得到對(duì)所有n≥0都成立的x［n］的解析表達(dá)式，需要應(yīng)用部分分式展開(kāi)法。

仍然設(shè)X(z)以有理分式的形式給出:由于是求x［n］的單邊Z變換，因此分子多項(xiàng)式N(z)的階數(shù)小于等于分母多項(xiàng)式D(z)的階數(shù)。如果N(z)的階數(shù)等于D(z)的階數(shù)，X(z)不能直接用部分分式展開(kāi)。但用N(z)除以D(z)得到X(z)下面的形式:（7.44）式中：x［0］為x［n］在n=0的樣值；R(z)為z的多項(xiàng)式，若其階數(shù)嚴(yán)格小于D(z)的階數(shù)，則R(z)/D(z)可以展開(kāi)成部分分式的形式。還有另一種對(duì)X(z)的處理方法，可以使處理的結(jié)果直接進(jìn)行部分分式展開(kāi)，并且容易獲得其反變換的結(jié)果，就是先將式（7.41）兩邊除以z，得到:（7.45）即使N(z)的階數(shù)等于D(z)的階數(shù)，N(z)的階數(shù)也會(huì)嚴(yán)格小于zD(z)的階數(shù)，X(z)/z可以直接展開(kāi)成部分分式的形式。然后乘以z得到X(z)的部分分式展開(kāi)式，并且每一項(xiàng)均對(duì)應(yīng)Z變換的基本形式，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系即可得到Z反變換x［n］下面就根據(jù)X(z)的不同極點(diǎn)情況分別討論展開(kāi)方法。

1)一階極點(diǎn)

如果p1,p2,…,pN為X(z)的N個(gè)互不相同的極點(diǎn)且均不為零，那么X(z)/z可以展開(kāi)成部分分式為（7.46）式中:k0為實(shí)數(shù)，其值為（7.47）其他系數(shù)ki為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)，其值由下式給出:

（7.48）將式（7.46）兩端乘以z可以得到X(z)的展開(kāi)式:（7.49）對(duì)式（7.49）中每一項(xiàng)取反變換得（7.50）

例7.10

利用部分分式展開(kāi)法計(jì)算下式的Z反變換x［n］:解將X(z)除以z得展開(kāi)得式中:所以由于X(z)的收斂域是|z|>2，因此x［n］是因果序列:（7.51）比較例7.10和例7.9的結(jié)果可以看出，式（7.51）即為例7.9結(jié)果的解析表達(dá)式。

用本節(jié)提到的第一種方法也可以得到X(z)的Z反變換，結(jié)果的形式雖然與式（7.51）不同，但是所表示的信號(hào)x［n］是一樣的，請(qǐng)讀者自己驗(yàn)證。

例7.11

利用部分分式展開(kāi)法計(jì)算下式的Z反變換x［n］:解將X(z)除以z得展開(kāi)得式中:所以由于X(z)的收斂域是|z|>1，因此x［n］是因果序列:例7.11中，X(z)的分母多項(xiàng)式有一對(duì)共軛的復(fù)根，所以X(z)有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)?？梢宰C明，這一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系數(shù)也是互為共軛的。因此，在求解系數(shù)時(shí)，可以只求其中一個(gè)，另一個(gè)通過(guò)共軛關(guān)系得到。

2)高階極點(diǎn)

仍用p1,p2,…,pN表示X(z)的N個(gè)極點(diǎn)且均不為零，設(shè)p1為r重極點(diǎn)，其他

N－r

個(gè)極點(diǎn)均為單極點(diǎn)，那么可以展開(kāi)成部分分式為（7.52）其中，

k0