如何系統(tǒng)復(fù)習(xí)數(shù)列？系列10講——04【數(shù)列】27個常用裂項放縮不等式，你能熟練寫出幾個？【常見裂項放縮技巧】（一）含負數(shù)冪型裂項放縮（1）；（2）；（3）；（4）注：凡是分母上是某個等差數(shù)列相鄰或相隔固定項相乘的形式都可以進行裂項，在此基礎(chǔ)上放大或縮小，便可達到放縮的效果.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（二）含根式型裂項放縮（5）；（6）；綜合（5）（6），則（7）；（8）（9）（10）；（11）；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（12）（三）含指數(shù)型裂項放縮（13）（14）（15）；（16）．（17）（推導(dǎo)）（18）；（四）含階乘型裂項（19）（20）（五）含組合數(shù)、二項式定理型裂項放縮（21）（22）；（事實上存在極限，極限值為自然數(shù)）（23）（是二項式展開的第項）；（24）由于，于是（25），（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）；（26），（27）糖水不等式若，則；若，則．【典例精講】【例【例1】(1)求的值;(2)求證:.【解析】(1)因為,所以(2)因為,所以【例【例2】(1)求證:(2)求證:(3)求證:(4)求證：【證明】因為,所以(2)(3)先運用分式放縮法證明出,再結(jié)合進行裂項,最后得到答案首先,（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以容易經(jīng)過裂項得到再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以【例【例3】求證:【證明】一方面:因為,所以另一方面:當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以綜上有【例【例4】已知,求證:.【證明】首先可以證明:所以要證只要證:（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故只要證,即等價于,即等價于而正是成立的,所以原命題成立.【例【例5】已知,,求證:.【證明】所以從而【例【例6】已知,,求證:【證明】,因為,所以所以【提升訓(xùn)練】【例【例7】（2022·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前項和，且，數(shù)列前項和為，且，.(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和為，求；(3)證明：.【解析】（1）由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，檢驗時，，所以；因為，（），所以，即（），而，故滿足上式，所以是以，公比等于的等比數(shù)列，即；（2）因為，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，所以；（3）因為，.所以，，因為，，所以，即，即證：；綜上，，，.【例【例8】例8．（2022·山東·濟寧市育才中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，a1＝1．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明．【解析】（1）因為，所以.兩式相減，得，即（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以當(dāng)時，，在中，令，得，所以，又滿足，所以（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，故數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，且.（2），所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.【例【例9】例9．（2022·天津一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足記.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.(3)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求證：.【解析】（1）證明：因為，所以，又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）（3）【例【例10】例10．（2022·全國·成都七中高三開學(xué)考試（理））記數(shù)列?前?項和為，.(1)證明：?為等差數(shù)列；(2)若?，記?為數(shù)列?的前?項積，證明：?.【解析】（1）由題意，得?.則?.兩式相減，得?，即，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）?是等差數(shù)列.（2）因為，由（1）知（也符合此式）故數(shù)列的通項公式為（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）則所以故，得證.【例【例11】例11．（2022·河南·模擬預(yù)測（理）