3.3二項式定理與楊輝三角教學設(shè)計-2025-2026學年高中數(shù)學人教B版2019選擇性必修第二冊-人教B版2019課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、設(shè)計思路本課以“3.3二項式定理與楊輝三角”為主題，結(jié)合人教B版2019選擇性必修第二冊教材，通過引導(dǎo)學生探究二項式定理的推導(dǎo)過程，以及楊輝三角的規(guī)律，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和數(shù)學應(yīng)用能力。課程設(shè)計緊密圍繞課本內(nèi)容，注重理論聯(lián)系實際，引導(dǎo)學生從實際問題中抽象出數(shù)學模型，實現(xiàn)知識遷移。二、核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，通過二項式定理的探究，使學生學會從具體實例中抽象出一般規(guī)律。

2.提升學生的數(shù)學抽象能力，通過楊輝三角的學習，使學生能夠理解組合數(shù)學的基本思想。

3.增強學生的數(shù)學建模能力，通過實際問題引入，引導(dǎo)學生將數(shù)學知識應(yīng)用于解決實際問題。三、學習者分析1.學生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學生在進入本節(jié)課之前，已具備代數(shù)基本運算、指數(shù)運算以及組合數(shù)學的基本概念，如排列組合等。此外，學生對二項式系數(shù)和二項式展開式有一定的了解。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中學生對數(shù)學的學習興趣因人而異，部分學生可能對數(shù)學問題充滿好奇心，喜歡探索數(shù)學規(guī)律；而另一部分學生可能對數(shù)學較為抵觸，需要更多的鼓勵和引導(dǎo)。學生的學習能力方面，部分學生具備較強的邏輯思維能力，能夠快速理解和掌握新知識；而部分學生則需要更多的時間來消化和吸收。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學習二項式定理與楊輝三角的過程中，學生可能會遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是理解二項式定理的推導(dǎo)過程，二是掌握楊輝三角的規(guī)律及其應(yīng)用，三是將二項式定理和楊輝三角應(yīng)用于解決實際問題。此外，學生可能對數(shù)學證明的邏輯性要求較高，需要教師提供適當?shù)闹笇?dǎo)和幫助。四、教學資源1.軟硬件資源：計算機、投影儀、白板、黑板。

2.課程平臺：人教版高中數(shù)學教學資源網(wǎng)站。

3.信息化資源：二項式定理推導(dǎo)動畫、楊輝三角生成軟件。

4.教學手段：多媒體課件、實物教具（如彩色卡片，用于展示楊輝三角的構(gòu)建過程）。五、教學過程一、導(dǎo)入新課

1.老師首先提問：“同學們，我們已經(jīng)學習了二項式展開式，大家還記得二項式展開式的基本形式嗎？”

2.學生回答后，老師總結(jié)：“是的，二項式展開式是將一個二項式乘以另一個二項式后，按照一定的規(guī)律展開得到的式子。那么，今天我們將要學習的是二項式定理，它將幫助我們更方便地展開二項式。”

二、新課講授

1.老師介紹二項式定理的定義：“二項式定理是描述二項式展開式的規(guī)律，它告訴我們，一個二項式的n次冪可以展開成n+1項的和，每一項的系數(shù)都是組合數(shù)?！?/p>

2.老師通過實例展示二項式定理的應(yīng)用：“例如，(a+b)^3可以展開成a^3+3a^2b+3ab^2+b^3?！?/p>

3.老師引導(dǎo)學生思考：“那么，如何推導(dǎo)出二項式定理呢？”

4.學生分組討論，老師巡視指導(dǎo)，幫助學生理解二項式定理的推導(dǎo)過程。

三、探究活動

1.老師提出問題：“同學們，楊輝三角與二項式定理有什么關(guān)系呢？”

2.學生分組討論，老師巡視指導(dǎo)，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)楊輝三角中每一行的數(shù)字都是組合數(shù)，且每一行的數(shù)字都滿足二項式定理的系數(shù)規(guī)律。

3.老師引導(dǎo)學生總結(jié)：“通過觀察楊輝三角，我們可以發(fā)現(xiàn)，二項式定理的系數(shù)正好對應(yīng)楊輝三角的行，這為我們解決二項式展開問題提供了便利?！?/p>

四、實際應(yīng)用

1.老師提出問題：“同學們，如何利用二項式定理和楊輝三角解決實際問題呢？”

2.學生分組討論，老師巡視指導(dǎo)，引導(dǎo)學生將所學知識應(yīng)用于實際問題，如計算二項式的系數(shù)、求解二項式展開式的特定項等。

3.學生展示解題過程，老師點評并總結(jié)。

五、課堂小結(jié)

1.老師總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容：“今天我們學習了二項式定理與楊輝三角，掌握了二項式定理的推導(dǎo)過程、楊輝三角的規(guī)律及其應(yīng)用?！?/p>

2.老師強調(diào)重點：“重點掌握二項式定理的推導(dǎo)過程、楊輝三角的規(guī)律及其應(yīng)用，能夠?qū)⑺鶎W知識應(yīng)用于解決實際問題。”

六、課后作業(yè)

1.老師布置作業(yè)：“請同學們完成以下練習題，鞏固所學知識?！?/p>

2.作業(yè)內(nèi)容：

（1）推導(dǎo)二項式定理的通項公式；

（2）利用二項式定理和楊輝三角計算下列二項式的系數(shù)：

a.(a+b)^5

b.(x-2y)^4

（3）利用二項式定理和楊輝三角求解下列二項式展開式的特定項：

a.(2x-3y)^6中的x^4y^2項

b.(3x+y)^5中的x^3y^2項

七、教學反思

1.老師對本節(jié)課的教學效果進行反思：“本節(jié)課通過引導(dǎo)學生探究二項式定理與楊輝三角的關(guān)系，使學生掌握了二項式定理的推導(dǎo)過程、楊輝三角的規(guī)律及其應(yīng)用。在教學中，我注重引導(dǎo)學生自主探究，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和數(shù)學抽象能力?！?/p>

2.老師提出改進措施：“在今后的教學中，我將進一步優(yōu)化教學設(shè)計，提高課堂教學效果，激發(fā)學生的學習興趣，使學生在輕松愉快的氛圍中掌握數(shù)學知識。”六、教學資源拓展1.拓展資源：

-《組合數(shù)學引論》：這本書深入探討了組合數(shù)學的基本概念和理論，包括排列、組合、二項式定理等，可以作為學生進一步學習組合數(shù)學的參考資料。

-《數(shù)學之美》：這本書通過豐富的實例，向讀者展示了數(shù)學在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，特別是數(shù)學在計算機科學和工程中的應(yīng)用，可以激發(fā)學生對數(shù)學的興趣。

-《數(shù)學家的故事》：通過介紹歷史上著名的數(shù)學家的故事，這本書可以幫助學生了解數(shù)學發(fā)展的歷史，以及數(shù)學家們的創(chuàng)新精神和解決問題的方法。

2.拓展建議：

-學生可以嘗試解決一些經(jīng)典的數(shù)學競賽題目，如美國數(shù)學競賽（AMC）、加拿大數(shù)學競賽（CMM）等，這些題目往往涉及二項式定理和組合數(shù)學的深入應(yīng)用。

-鼓勵學生參與數(shù)學建?；顒?，通過解決實際問題來應(yīng)用二項式定理和組合數(shù)學的知識，如設(shè)計優(yōu)化算法、解決排隊問題等。

-學生可以嘗試編寫程序，利用二項式定理和楊輝三角的性質(zhì)來生成二項式系數(shù)，這有助于加深對數(shù)學概念的理解。

-組織學生進行小組討論，讓他們分享自己在家或?qū)W校中遇到的應(yīng)用二項式定理的實際例子，這樣可以提高學生的實際應(yīng)用能力和團隊合作能力。

-引導(dǎo)學生閱讀有關(guān)概率論和統(tǒng)計學的基礎(chǔ)書籍，了解二項分布和二項式定理在概率論中的應(yīng)用，這有助于學生建立更全面的數(shù)學知識體系。

-鼓勵學生參與數(shù)學研究項目，通過研究二項式定理的新性質(zhì)或應(yīng)用，提高學生的科研能力和創(chuàng)新思維。七、反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.老師通過引入實際問題，讓學生在解決實際問題的過程中學習二項式定理和楊輝三角，這種教學方式能夠激發(fā)學生的學習興趣，提高他們的實踐能力。

2.利用多媒體技術(shù)展示二項式定理的推導(dǎo)過程，以及楊輝三角的生成過程，使抽象的數(shù)學概念更加直觀易懂，有助于學生更好地理解。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.在教學過程中，我發(fā)現(xiàn)部分學生對二項式定理的理解還不夠深入，對于一些復(fù)雜的應(yīng)用問題，他們往往感到無從下手。

2.課堂互動方面，雖然我盡量鼓勵學生提問和討論，但實際效果并不理想，學生參與度有待提高。

3.在教學評價方面，我主要依靠作業(yè)和考試來評價學生的學習成果，缺乏多元化的評價方式。

反思改進措施（三）改進措施

1.針對學生對二項式定理理解不深入的問題，我計劃在課后提供一些輔導(dǎo)材料，如視頻講解、習題集等，幫助學生鞏固知識點。

2.為了提高課堂互動性，我打算在課堂上設(shè)置更多的討論環(huán)節(jié)，鼓勵學生提出問題，并引導(dǎo)他們共同探討解決方案。

3.在教學評價方面，我計劃引入過程性評價，關(guān)注學生在學習過程中的表現(xiàn)，如課堂參與度、小組合作等，以更全面地評價學生的學習成果。

4.我會嘗試將二項式定理和楊輝三角的知識與其他學科相結(jié)合，如計算機科學、物理學等，讓學生在跨學科的學習中感受到數(shù)學的魅力。

5.定期與學生交流，了解他們的學習需求和困難，針對性地調(diào)整教學策略，確保每一位學生都能跟上教學進度。

6.加強與同行的交流與合作，學習借鑒其他教師的教學經(jīng)驗，不斷提升自己的教學水平。八、課堂小結(jié)，當堂檢測課堂小結(jié)：

同學們，今天我們學習了二項式定理與楊輝三角，這是一個非常重要的數(shù)學概念。通過本節(jié)課的學習，我們掌握了以下幾點：

1.二項式定理的定義：二項式定理是一個描述二項式展開式的規(guī)律，它告訴我們，一個二項式的n次冪可以展開成n+1項的和，每一項的系數(shù)都是組合數(shù)。

2.二項式定理的推導(dǎo)過程：我們通過實例推導(dǎo)了二項式定理，了解了二項式定理的成立原因。

3.楊輝三角與二項式定理的關(guān)系：楊輝三角中的每一行的數(shù)字都是組合數(shù)，且每一行的數(shù)字都滿足二項式定理的系數(shù)規(guī)律。

4.二項式定理的實際應(yīng)用：我們通過實例了解了二項式定理在解決實際問題中的應(yīng)用，如計算二項式的系數(shù)、求解二項式展開式的特定項等。

當堂檢測：

1.請同學們寫出二項式定理的通項公式。

2.計算下列二項式的系數(shù)：

a.(a+b)^5

b.(x-2y)^4

3.利用二項式定理和楊輝三角計算下列二項式展開式的特定項：

a.(2x-3y)^6中的x^4y^2項

b.(3x+y)^5中的x^3y^2項

4.請同學們舉例說明二項式定理在實際問題中的應(yīng)用。板書設(shè)計①二項式定理的定義：

-通項公式：\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]

-其中，\[\binom{n}{k}\]表示組合數(shù)，表示從n個不同元素中取出k個元素的組合數(shù)。

②二項式定理的推導(dǎo)過程：

-展開式：\[(a+b)^n=a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+\ldots+b^n\]

-逐步推導(dǎo)每一項的系數(shù)：通過遞推關(guān)系或數(shù)學歸納法推導(dǎo)每一項的系數(shù)。

③楊輝三角與二項式定理的關(guān)系：

-楊輝三角的每一行的數(shù)字對應(yīng)組合數(shù)：\[\binom{n}{k}\]

-楊輝三角的每一行的數(shù)字滿足二項式定理的系數(shù)規(guī)律：\[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\]典型例題講解例題1：

計算二項式\[(3x-2)^4\]的展開式。

解答：

\[(3x-2)^4=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(3x)^{4-k}(-2)^k\]

\[=\binom{4}{0}(3x)^4(-2)^0+\binom{4}{1}(3x)^3(-2)^1+\binom{4}{2}(3x)^2(-2)^2+\binom{4}{3}(3x)^1(-2)^3+\binom{4}{4}(3x)^0(-2)^4\]

\[=81x^4-216x^3+216x^2-96x+16\]

例題2：

求二項式\[(a+b)^6\]展開式中\(zhòng)(a^3b^3\)的系數(shù)。

解答：

\[\text{系數(shù)}=\binom{6}{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=20\]

例題3：

求\((x^2-3)^5\)展開式中\(zhòng)(x^8\)的系數(shù)。

解答：

\[x^8\text{的系數(shù)}=\binom{5}{3}(x^2)^3(-3)^2=\binom{5}{3}x^6(-3)^2=10\cdot9\cdot9=810\]

例題4：

已知\((x+y)^n\)的展開式中\(zhòng)(x^5y^3\)的系數(shù)為120，求n的值。

解答：

\[\binom{n}{5}=120\]

\[\frac{n!}{5!(n-5)!}=120\]

\[n(n-1)(