2.9函數(shù)模型及應(yīng)用五年高考考點(diǎn)常見函數(shù)模型目錄三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練能力拔高練五年高考考點(diǎn)常見函數(shù)模型1.(2019北京,文7,理6,5分,易)在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩

顆星的星等與亮度滿足m2-m1=

lg

,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為(

)A.1010.1

B.10.1

C.lg10.1

D.10-10.1A解析

依題意得m1=-26.7,m2=-1.45,所以

·lg

=-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg

=25.25×

=10.1,所以

=1010.1.故選A.2.(2022北京,7,4分,中)在北京冬奧會(huì)上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化

碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳

所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論

中正確的是

(

)A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí),二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)T=270,P=128時(shí),二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)T=360,P=729時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D解析

對(duì)于A,當(dāng)T=220,P=1026時(shí),lgP=lg1026=3+lg1.026∈(3,4),由題圖可知,二氧化碳處于

固態(tài),∴A錯(cuò)誤.對(duì)于B,當(dāng)T=270,P=128時(shí),lgP=lg128=2+lg1.28∈(2,3),由題圖可知,二氧化碳處于液態(tài),

∴B錯(cuò)誤.對(duì)于C,當(dāng)T=300,P=9987時(shí),lgP=3+lg9.987≈3+1=4,由題圖可知,二氧化碳處于固態(tài),∴C錯(cuò)誤.對(duì)于D,當(dāng)T=360,P=729時(shí),lgP=lg729=2+lg7.29∈(2,3),由題圖可知,二氧化碳處于超臨

界狀態(tài),∴D正確.故選D.3.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅰ,10,5分,中)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音

的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí)Lp=20×lg

,其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060~90混合動(dòng)力汽車1050~60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1,p2,p3,

則(

)A.p1≥p2

B.p2>10p3C.p3=100p0

D.p1≤100p2ACD解析

對(duì)于C,由題意知20×lg

=40,即lg

=2,所以p3=100p0,故C正確.對(duì)于A,由題意知

≥

,所以20×lg

≥20×lg

,所以p1≥p2,故A正確.對(duì)于B,

=20×lg

∈[50,60],所以

≤lg

≤3,所以p2∈[1

p0,103p0],即p2≤103p0=10p3,故B錯(cuò)誤.對(duì)于D,

=20×lg

∈[60,90],所以3≤lg

≤

,所以p1∈[103p0,1

p0],因?yàn)?00p2∈[1

p0,105p0],所以p1≤100p2,故D正確,故選ACD.4.(2020北京,15,5分,中)為滿足人民對(duì)美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污

水治理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f(t),

用-

的大小評(píng)價(jià)在[a,b]這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論:①在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);②在t2時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);③在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo);④甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[0,t1]的污水治理能力最強(qiáng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

.①②③解析

設(shè)y=-

,易得甲、乙兩個(gè)企業(yè)在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi)污水治理能力強(qiáng)弱的數(shù)值計(jì)算式為-

,由題圖易知y甲>y乙,即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),所以①對(duì);由題意知在某一時(shí)刻企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱由這一時(shí)刻的切線的斜率的絕對(duì)值表

示,所以②對(duì);在t3時(shí)刻,由題圖可知甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以

下,所以③對(duì);由計(jì)算式-

可知,甲企業(yè)在[0,t1]這段時(shí)間內(nèi)污水治理能力最弱,所以④錯(cuò).綜上,正確結(jié)論的序號(hào)為①②③.三年模擬1.(2025屆遼寧沈陽市郊聯(lián)體開學(xué)考,5)通常用聲強(qiáng)來度量聲音的強(qiáng)弱,假設(shè)講話瞬間發(fā)

出聲音的聲強(qiáng)為W0,則經(jīng)過t秒后這段聲音的聲強(qiáng)變?yōu)閃(t)=W0

,其中τ是一個(gè)常數(shù).定義聲音的聲強(qiáng)衰減到原來的10-3所需的時(shí)間為TR,則TR約為

(

)附:ln2≈0.7,ln5≈1.6.A.148τ

B.6.9τ

C.13.8τ

D.6.72τB解析

由題意知,W(TR)=10-3W0,即

=10-3,等號(hào)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得ln

=ln10-3,即-

=-3ln10,所以TR=τ×3ln10=τ×3×(ln2+ln5)≈3τ×(0.7+1.6)=6.9τ.故選B.2.(2025屆北京人大附中開學(xué)考,9)某農(nóng)貿(mào)市場出售西紅柿,當(dāng)價(jià)格上漲時(shí),供給量相應(yīng)增

加,而需求量相應(yīng)減少,具體調(diào)查結(jié)果如表:表一:市場供給量單價(jià)/(元/kg)22.42.83.23.64供給量/t506070758090表二:市場需求量單價(jià)/(元/kg)43.42.92.62.32需求量/t506065707580根據(jù)以上提供的信息,市場供需平衡點(diǎn)(即供給量和需求量相等時(shí)的單價(jià))應(yīng)在區(qū)間(

)A.(2.3,2.6)內(nèi)

B.(2.4,2.6)內(nèi)C.(2.6,2.8)內(nèi)

D.(2.8,2.9)內(nèi)C解析

當(dāng)供給量和需求量均為50時(shí),供給單價(jià)和需求單價(jià)相差為2;當(dāng)供給量和需求量均為60

時(shí),供給單價(jià)和需求單價(jià)相差為1;當(dāng)供給量和需求量均為70時(shí),供給單價(jià)和需求單價(jià)相

差為0.2;當(dāng)供給量和需求量均為75時(shí),供給單價(jià)和需求單價(jià)相差為0.9;當(dāng)供給量和需求

量均為80時(shí),供給單價(jià)和需求單價(jià)相差為1.6.當(dāng)供給量和需求量均為70時(shí),供給單價(jià)和

需求單價(jià)相差最小,所以市場供需平衡點(diǎn)(即供給量和需求量相等時(shí)的單價(jià))應(yīng)在區(qū)間

(2.6,2.8)內(nèi).故選C.3.(2025屆廣東江門調(diào)研,7)金針菇被采摘后會(huì)很快失去新鮮度,甚至腐爛,所以超市銷售

金針菇時(shí)需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度h與其被采摘后時(shí)間t(天)

滿足的函數(shù)解析式為h=mln(t+a)(a>0).若被采摘后1天,金針菇失去的新鮮度為40%;若

被采摘后3天,金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為60%,則被采摘

后的天數(shù)為

(

)(結(jié)果保留一位小數(shù),

≈1.41)A.1.5

B.1.8

C.2.0

D.2.1B解析

由題意可得

兩式相除可得

=2,則ln(3+a)=2ln(1+a),3+a=(1+a)2,∵a>0,∴a=1,設(shè)t天后金針菇失去的新鮮度為60%,則mln(t+1)=0.6,又mln(1+1)=0.4,∴

=

,2ln(t+1)=3ln2,(t+1)2=23=8,t+1=2

≈2×1.41=2.82,則t=2.82-1=1.82≈1.8,故選B.4.(2025屆吉林長春質(zhì)量監(jiān)測(cè),4)某學(xué)?？萍紕?chuàng)新小組準(zhǔn)備模擬東風(fēng)-31彈道導(dǎo)彈的發(fā)射

過程,假設(shè)該小組采用的飛行器的飛行高度y(單位:米)與飛行時(shí)間x(單位:秒)之間的關(guān)

系可以近似用函數(shù)y=alog3x+b來表示.已知飛行器發(fā)射后經(jīng)過2秒時(shí)的高度為10米,經(jīng)過

6秒時(shí)的高度為30米,欲達(dá)到50米的高度,需要

(

)A.15秒

B.16秒

C.18秒

D.20秒C解析

由題意可得

解得a=20,b=10-20log32,設(shè)達(dá)到50米的高度需要t秒.則20log3t+10-20log32=50,解得t=18,所以達(dá)到50米的高度需要18秒.故選C.5.(2025屆北京人大附中質(zhì)檢,7)深度學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型之一是指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)

率模型:L=L0

,其中,L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率,L0表示初始學(xué)習(xí)率,D表示衰減系數(shù),G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),G0表示衰減速度.已知,某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)

習(xí)率為0.5,衰減速度為18.經(jīng)過18輪迭代學(xué)習(xí)時(shí),學(xué)習(xí)率衰減為0.4,則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以

下所需要的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為

(

)(參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010)A.71

B.72

C.73

D.74D解析

由題意得L=0.5×

,依題意0.4=0.5×

,則D=

,則L=0.5×

,由L=0.5×

<0.2,得到

<

,所以G>18lo

=

=

≈73.9,所以所需要的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74,故選D.6.(2025屆山東聊城期中,13)我國火力發(fā)電廠大氣污染物排放標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:排放廢氣中二

氧化硫最高允許濃度為20mg/m3.已知我國某火力發(fā)電廠排放廢氣中二氧化硫的初始

濃度為100mg/m3,現(xiàn)通過某種工藝對(duì)排放廢氣進(jìn)行過濾處理,處理后廢氣中剩余二氧

化硫的濃度y(單位:mg/m3)與處理時(shí)間t(單位:分鐘)滿足關(guān)系式:y=N0

,那么從現(xiàn)在起至少經(jīng)過

分鐘才能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,結(jié)果

取整數(shù))16解析

依題意知100

≤20,即

≤

,取以10為底的對(duì)數(shù)得lg

≤lg

,即tlg

≤lg

,t(lg9-1)≤-lg5,則t(1-2lg3)≥lg5=1-lg2,則t≥

≈

≈15.26,∴t=16,故至少經(jīng)過16分鐘才能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).7.(2025屆安徽合肥一六八中學(xué)月考,16)某地區(qū)上年度天然氣價(jià)格為2.8元/m3,年用氣量

為am3.本年度計(jì)劃將天然氣單價(jià)下調(diào)到2.55元/m3至2.75元/m3之間.經(jīng)調(diào)查測(cè)算,用戶期

望天然氣單價(jià)為2.4元/m3,下調(diào)單價(jià)后新增用氣量和實(shí)際單價(jià)與用戶的期望單價(jià)的差成

反比(比例系數(shù)為k).已知天然氣的成本價(jià)為2.3元/m3.(1)寫出本年度天然氣價(jià)格下調(diào)后燃?xì)夤镜氖找鎦(單位:元)關(guān)于實(shí)際單價(jià)x(單位:元/m3)的函數(shù)解析式;(收益=實(shí)際用氣量×(實(shí)際單價(jià)-成本價(jià)))(2)設(shè)k=0.2a,當(dāng)天然氣單價(jià)最低定為多少時(shí),仍可保證燃?xì)夤镜氖找姹壬夏甓戎辽僭?/p>

加20%?解析

(1)由題意得y=

(x-2.3),x∈[2.55,2.75].(2)由題意可知要同時(shí)滿足以下條件:

化簡不等式可得

∴2.6≤x≤2.75,即單價(jià)最低定為2.6元/m3.1.(多選)(2024重慶八中等多校適應(yīng)性考試,10)吸光度是指物體在一定波長范圍內(nèi)透過

光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通過物體的能量占發(fā)出光能量的比

例.在實(shí)際應(yīng)用中,通常用吸光度A和透光率T來衡量物體的透光性能,它們之間的換算

公式為T=

,下表為不同玻璃材料的透光率:玻璃材料材料1材料2材料3T0.60.70.8設(shè)材料1、材料2、材料3的吸光度分別為A1、A2、A3,則

(

)A.A1>2A2

B.A2+A3>A1

C.A1+A3>2A2

D.A1A3<

BCD解析

由T=

,得A=-lgT,則A1=-lg0.6,A2=-lg0.7,A3=-lg0.8,2A2=-2lg0.7=-lg0.49,lg0.6>lg0.49,-lg0.6<-lg0.49,即A1<2A2,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;A2+A3=-lg0.7-lg0.8=-lg0.56>-lg0.6=A1,B選項(xiàng)正確;A1+A3=-lg0.6-lg0.8=-lg0.48>-lg0.49=-2lg0.7=2A2,C選項(xiàng)正確;A1A3=(-lg0.6)(-lg0.8)=lg0.6·lg0.8,

=(-lg0.7)2=(lg0.7)2,

=

=log0.70.6,

=

=log0.80.7,log0.70.6-

=log0.7

=

=log0.7

<log0.71=0,log0.80.7-

=log0.8

=log0.8

=log0.8

>log0.81=0,所以log0.70.6<log0.80.7,則有

<

,又lg0.7·lg0.8>0,則A1A3<

,D選項(xiàng)正確.故選BCD.2.(多選)(2024山東部分學(xué)校開學(xué)聯(lián)考,11)某同學(xué)根據(jù)著名物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓的物

體冷卻模型:若物體原來的溫度為θ0(單位:℃),環(huán)境溫度為θ1(θ1<θ0,單位:℃),物體的溫度

冷卻到θ(θ>θ1,單位:℃)需用時(shí)t(單位:分鐘),推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系為t=f(θ)=

[ln(θ0-θ1)-ln(θ-θ1)],k