8.3雙曲線五年高考考點(diǎn)1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)2雙曲線的幾何性質(zhì)目錄三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練能力拔高練創(chuàng)新風(fēng)向練高考新風(fēng)向·創(chuàng)新考法

思維引導(dǎo)回歸本質(zhì)(2024新課標(biāo)Ⅱ,19,17分,難)知雙曲線C:x2-y2=m(m>0),點(diǎn)P1(5,4)在C上,k為常數(shù),0<k<1.按

照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn(n=2,3,…):過(guò)Pn-1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn-1,令Pn

為Qn-1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn).記Pn的坐標(biāo)為(xn,yn).(1)若k=

,求x2,y2;(2)證明:數(shù)列{xn-yn}是公比為

的等比數(shù)列;(3)設(shè)Sn為△PnPn+1Pn+2的面積.證明:對(duì)任意正整數(shù)n,Sn=Sn+1.創(chuàng)新考法

本題融合了直線、雙曲線和數(shù)列知識(shí),試題突出創(chuàng)新導(dǎo)向,設(shè)計(jì)全新的試題情境、呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式,提升了壓軸題的思維量,突出理性思維和數(shù)學(xué)探究,考查學(xué)

生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.本題創(chuàng)新性強(qiáng),在

具體內(nèi)容和難度設(shè)計(jì)上環(huán)環(huán)相扣,設(shè)計(jì)布局科學(xué)合理,對(duì)今后的數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的導(dǎo)

向作用.

解析

(1)如圖1所示,由已知直線P1Q1的方程為y-4=

(x-5),即y=

x+

,又點(diǎn)P1(5,4)在雙曲線x2-y2=m上,∴m=52-42=9,聯(lián)立

消去y得x2-2x-15=0,解得x=5或x=-3,由P1(5,4),知Q1(-3,0),由已知Q1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P2,則P2(3,0),故x2=3,y2=0.(2)證法一:由已知Pn(xn,yn)在雙曲線上,如圖2所示,設(shè)Pn-1(xn-1,yn-1)(n=2,3,…),則

-

=9,由已知得直線Pn-1Qn-1的方程為y-yn-1=k(x-xn-1),聯(lián)立

消去y得(1-k2)x2-2k(yn-1-kxn-1)x-(yn-1-kxn-1)2-9=0,(※)設(shè)Qn-1(x0,y0),∵xn-1是方程(※)的一個(gè)根,∴由根與系數(shù)的關(guān)系得x0+xn-1=

,∴x0=

,∴y0=k(x0-xn-1)+yn-1=

,即Qn-1

,則Pn

,∴xn-yn=

-

=

=

,∴

=

=

(n=2,3,…)(0<k<1),∴數(shù)列{xn-yn}是公比為

的等比數(shù)列.證法二:由已知Pn(xn,yn),則Pn關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是Qn-1(-xn,yn),又Pn-1(xn-1,yn-1)且Pn-1Qn-1是斜率為k的直線,∴

=k,又Pn-1,Qn-1兩點(diǎn)都在雙曲線上,∴

①-②可得(xn-xn-1)(xn+xn-1)=(yn-yn-1)(yn+yn-1),∴

=

=-k,即

④-③得(xn-yn)-(xn-1-yn-1)=k[(xn-yn)+(xn-1-yn-1)],∴(1-k)(xn-yn)=(1+k)(xn-1-yn-1),∴

=

,∴數(shù)列{xn-yn}是公比為

的等比數(shù)列.(3)證法一:如圖3,設(shè)Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1),Pn+2(xn+2,yn+2),∴

=(xn-xn+1,yn-yn+1),

=(xn+2-xn+1,yn+2-yn+1).∴

=

|

|·|

|·sin∠PnPn+1Pn+2=

|

||

|·

=

=

|(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)-(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)|,又∵xn-yn=(x1-y1)

=

(n=1,2,3,…),且(xn,yn)在雙曲線x2-y2=9上,∴

-

=9.∴xn+yn=

=9·

,令

=p,由0<k<1,得p>1,且

∴xn=

(pn-1+9p1-n),yn=

(9p1-n-pn-1),∴(xn-xn+1)(yn+2-yn+1)=

(pn-1+9p1-n-pn-9p-n)(9p-1-n-pn+1-9p-n+pn)=

[9(1-p)2p-2+(1-p)2p2n-1-81(p-1)2p-2n-1-9(p-1)2]=

(p-1)2(9p-2-9+p2n-1-81p-2n-1),又(xn+2-xn+1)(yn-yn+1)=

(pn+1+9p-n-1-pn-9p-n)(9p1-n-pn-1-9p-n+pn)=

[(p-1)2p2n-1+9(p-1)2-81(1-p)2p-2n-1-9(1-p)2p-2]=

(p-1)2(9-9p-2+p2n-1-81p-2n-1),∴

=

×

|18(p-1)2-18(1-p)2p-2|=

[(p-1)2-(1-p)2·p-2],∴Sn=

[(p-1)2-(1-p)2·p-2]=

(p-1)2

=

=

·

=

(常數(shù)),故{Sn}為常數(shù)列,從而Sn=Sn+1.證法二:要證Sn+1=Sn,即證

=

,即證PnPn+3∥Pn+1Pn+2,(三角形同底等高模型)設(shè)

=p,同證法一得xn-yn=pn-1,xn=

(pn-1+9p1-n),yn=

(9p1-n-pn-1),則

=

=

=1-

=1-

.

=

=

=1-

=1-

.故

=

,即PnPn+3∥Pn+1Pn+2,原式得證.五年高考考點(diǎn)1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2021北京,5,4分,易)若雙曲線

-

=1的離心率為2,且過(guò)點(diǎn)(

,

),則雙曲線的方程為()A.2x2-y2=1

B.x2-

=1C.5x2-3y2=1

D.

-

=1B解析

設(shè)雙曲線的半焦距為c,由題意可知

解得

則雙曲線的方程為x2-

=1.小題巧解已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(

,

),經(jīng)檢驗(yàn)可知,只有雙曲線x2-

=1符合此條件,故選B.2.(2020浙江,8,4分,易)已知點(diǎn)O(0,0),A(-2,0),B(2,0).設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2,且P為函數(shù)y=

3

圖象上的點(diǎn),則|OP|=

()A.

B.

C.

D.

D解析

由雙曲線定義可知,點(diǎn)P在以A,B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支上,設(shè)P(x,y),則x2-

=1(x≥1),將y=3

代入可得x2=

,∴y2=3(x2-1)=

,∴|OP|=

=

,故選D.3.(2022天津,7,5分,中)已知雙曲線

-

=1(a>0,b>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,拋物線y2=4

x的準(zhǔn)線l經(jīng)過(guò)F1,且l與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A.若∠F1F2A=

,則雙曲線的方程為

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-y2=1

D.x2-

=1D解析

由y2=4

x知,準(zhǔn)線方程為x=-

,故c=

.由

-

=1(a>0,b>1)知,雙曲線的漸近線方程為y=±

x,由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,則A

,在Rt△F2F1A中,由∠F1F2A=

,得

=2c,結(jié)合a2+b2=c2=5,得a=1,b=2,故雙曲線的方程為x2-

=1.選D.4.(2020課標(biāo)Ⅰ文,11,5分,中)設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2-

=1的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上且|OP|=2,則△PF1F2的面積為()A.

B.3

C.

D.2B解析

由題易知a=1,b=

,∴c=2,又∵|OP|=2,∴△PF1F2為直角三角形,易知||PF1|-|PF2||=2,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,∴|PF1|·|PF2|=

=6,∴

=

|PF1|·|PF2|=3,故選B.5.(2024天津,8,5分,中)雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.點(diǎn)P在雙曲線右支上,直線PF2的斜率為2.若△PF1F2是直角三角形,且面積為8,則雙曲線的方程為

()A.

-

=1

B.

-

=1C.

-

=1

D.

-

=1A解析

由已知,得∠F1PF2=90°.由直線PF2的斜率為2,得|PF1|=2|PF2|,又由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2a,從而|PF1|=4a,|PF2|=2a,故△PF1F2的面積為

|PF1|·|PF2|=

×4a×2a=4a2,則有4a2=8,a2=2,在Rt△F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=20a2,則4c2=20a2,即c2=5a2,則b2=c2-a2=4a2=8,故

雙曲線的方程為

-

=1.考點(diǎn)2雙曲線的幾何性質(zhì)1.(2024全國(guó)甲理,5,5分,易)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0,4),(0,-4),點(diǎn)(-6,4)在該雙曲

線上,則該雙曲線的離心率為

()A.4

B.3

C.2

D.

C解析

由已知得c=4,2a=|

-

|=4.∴a=2,∴離心率e=

=

=2.2.(2023全國(guó)甲理,8,5分,中)已知雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的離心率為

,C的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=

()A.

B.

C.

D.

D解析

由雙曲線方程可知e=

=

,∴

=2,由圖形知與圓相交的漸近線方程為y=2x,即2x-y=0,又圓(x-2)2+(y-3)2=1的圓心為(2,3),半徑r=1,∴圓心到直線2x-y=0的距離d=

=

,∴|AB|=2

=

,故選D.3.(2020課標(biāo)Ⅲ理,11,5分,中)設(shè)雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為

.P是C上一點(diǎn),且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4,則a=

()A.1

B.2

C.4

D.8A解析

設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則|r1-r2|=2a,∴

+

-2r1r2=4a2.由F1P⊥F2P,得

+

=4c2,∴4c2-2r1r2=4a2,∴r1r2=2b2.∵

=

r1r2=

×2b2=b2=4,∴e=

=

=

,解得a2=1,即a=1.故選A.4.(2020課標(biāo)Ⅱ,文9,理8,5分,中)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=a與雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn).若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為

()A.4

B.8

C.16

D.32B解析

直線x=a與雙曲線C的兩條漸近線y=±

x分別交于D、E兩點(diǎn),則|DE|=|yD-yE|=2b,所以S△ODE=

·a·2b=ab,即ab=8.所以c2=a2+b2≥2ab=16(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)),即cmin=4,所以雙曲線的焦距2c的最小值為8,故選B.5.(2023全國(guó)乙理,11,5分,中)設(shè)A,B為雙曲線x2-

=1上兩點(diǎn),下列四個(gè)點(diǎn)中,可以為線段AB中點(diǎn)的是

()A.(1,1)

B.(-1,2)C.(1,3)

D.(-1,-4)D解析

由雙曲線方程x2-

=1知a=1,b=3,則其漸近線方程為y=±3x.觀察選項(xiàng)知,四個(gè)點(diǎn)均在雙曲線外,∴點(diǎn)A,B分別在雙曲線的兩支上,∴-3<kAB<3.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

作差得(

-

)-

=0,則kAB=

=

.對(duì)于A,

則kAB=9,∵kAB=9>3,∴A不滿足題意.對(duì)于B,

則kAB=-

,∵kAB=-

<-3,∴B不滿足題意.對(duì)于C,

則kAB=3,∴C不滿足題意.對(duì)于D,

則kAB=

,則直線AB的方程為y+4=

(x+1),即y=

x-

.由

消去y,得63x2+126x-193=0,∵Δ=1262-4×63×(-193)>0,且x1x2<0,∴直線AB與雙曲線的兩支分別相交,∴D滿足題意.故選D.6.(2024新課標(biāo)Ⅰ,12,5分,易)設(shè)雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2作平行于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),若|F1A|=13,|AB|=10,則C的離心率為

.解析

如圖所示,在△AF1F2中,|F1A|=13,|AF2|=

|AB|=5,∠AF2F1=90°,

∴|F1F2|=

=12,設(shè)雙曲線的焦距為2c,則2c=12,c=6.又2a=|F1A|-|F2A|=13-5=8,∴a=4,因此C的離心率e=

=

.7.(2022北京,12,5分,易)已知雙曲線y2+

=1的漸近線方程為y=±

x,則m=

.-3解析

由題意知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,且m<0,所以漸近線方程為y=±

x,所以-

=

,所以m=-3.8.(2023北京,12,5分,易)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),離心率為

,則C的方程為

.-

=1解析

由題意設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

-

=1(a>0,b>0),由題知c=2,

=

,則a=

,又c2=a2+b2,∴b2=2,則C的方程為

-

=1.9.(2021全國(guó)乙文,14,5分,易)雙曲線

-

=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y-8=0的距離為

.解析

由

-

=1得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),則由點(diǎn)到直線的距離公式得所求距離d=

=

.10.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0),離心率e=2,則雙曲線C的漸近線方程為

,

.

y=

xy=-

x解析

因?yàn)殡p曲線

-

=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以e=

=

=2,所以

=3,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±

x=±

x.11.(2021全國(guó)乙理,13,5分,易)已知雙曲線C:

-y2=1(m>0)的一條漸近線為

x+my=0,則C的焦距為

.4解析

由雙曲線C:

-y2=1(m>0),得漸近線方程為y=±

x,結(jié)合題設(shè)得-

=-

,∴m=3,∴雙曲線C的方程為

-y2=1,∴C的焦距為2

=4.12.(2022全國(guó)甲文,15,5分,中)記雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值:

.2(答案不唯一,在(1,

]范圍內(nèi)取值均可)解析

欲使直線y=2x與雙曲線C無(wú)公共點(diǎn),則0<

≤2,所以e=

=

=

∈(1,

].所以當(dāng)e∈(1,

]時(shí),直線y=2x與雙曲線C無(wú)公共點(diǎn).答案不唯一,可取e=2.13.(2023新課標(biāo)Ⅰ,16,5分,中)已知雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B在y軸上,

⊥

,

=-

,則C的離心率為

.解析

由題可知|F1B|=|F2B|.設(shè)|F1B|=|F2B|=m(m>0),∵

=-

,∴A,F2,B三點(diǎn)共線,|F2A|=

,∴|AB|=|F2A|+|F2B|=

,∴|F1A|=

=

=

,又2a=|F1A|-|F2A|=

,∴m=3a.∴|F1A|=4a,|F2A|=2a,|AB|=5a,又|F1F2|=2c,cos∠F1AB=

=

,∴

=

=

,整理得

-

=

,即e2=

.∵e>1,∴e=

.三年模擬1.(2024山東聊城一模,5)設(shè)F1,F2是雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若C的一條漸近線的傾斜角為60°,且|PF1|-|PF2|=2,則C的焦距等于

()A.1

B.

C.2

D.4D解析

由一條漸近線的傾斜角為60°,可得

=tan60°=

,由|PF1|-|PF2|=2,可得2a=2,故a=1,b=

,則c=

=2,故2c=4.故選D.2.(2025屆重慶烏江新高考協(xié)作體聯(lián)考,5)已知雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)點(diǎn)F1且與漸近線垂直的直線與雙曲線C左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),若

tan∠F1BF2=

,則雙曲線的離心率為

()A.

B.

C.

D.

A解析

由題意知,取焦點(diǎn)F1(-c,0),漸近線y=-

x,則F1到y(tǒng)=-

x的距離為d=

=

=b,所以cos∠BF1F2=

,sin∠BF1F2=

,

因?yàn)閠an∠F1BF2=

>0,∠F1BF2∈(0,π),所以∠F1BF2∈

,sin∠F1BF2=

cos∠F1BF2,因?yàn)閟in2∠F1BF2+cos2∠F1BF2=1,所以

cos2∠F1BF2+cos2∠F1BF2=1,得cos∠F1BF2=

,則sin∠F1BF2=

,在△BF1F2中,由正弦定理得

=

,即

=

,得|BF2|=

a,由雙曲線的定義知|BF1|-|BF2|=2a,所以|BF1|=

a,在△BF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|cos∠F1BF2,即4c2=

+

-2×

a×

a×

,整理得c2=

a2,即25c2=61a2,所以離心率為e=

=

.故選A.3.(2025屆湖北武漢江漢開學(xué)考,7)已知雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn),若△ABF1的周長(zhǎng)為10a,則雙曲線離心

率的取值范圍為

()A.

B.

C.

D.

D解析

根據(jù)雙曲線定義知△AF1B的周長(zhǎng)為4a+2|AB|,而|AB|≥

,(AB⊥x軸時(shí)最短)所以4a+2|AB|≥4a+

,而△AF1B的周長(zhǎng)為10a,所以4a+

≤10a,即2b2≤3a2,所以2(c2-a2)≤3a2,解得e≤

,又e>1,所以雙曲線離心率的取值范圍是

.故選D.4.(2024山東泰安二模,8)已知F是雙曲線C:x2-

=1的右焦點(diǎn),P是C左支上一點(diǎn),A(0,6

),當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí),該三角形的面積為()A.36

B.24

C.18

D.12

D解析

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,連接PF1,由雙曲線定義知|PF|=2a+|PF1|,∴△APF的周長(zhǎng)為|PA|+

|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a,∵2a+|AF|是定值,∴要使△APF的周長(zhǎng)最小,則|PA|+|PF1|最小,即A、P、F1共線且點(diǎn)P在

線段AF1上,∵A(0,6

),F1(-3,0),∴直線AF1的方程為

+

=1,即x=

-3,代入x2-

=1整理得y2+6

y-96=0,解得y=2

或y=-8

(舍),所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2

,∴S△APF=

-

=

×6×6

-

×6×2

=12

.故選D.5.(多選)(2025屆湖南郴州一模,10)已知曲線C:x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈(0,π),則下列說(shuō)法正

確的是

()A.若cosθ=0,則曲線C表示兩條直線B.若cosθ>0,則曲線C是橢圓C.若cosθ<0,則曲線C是雙曲線D.若cosθ=-sinθ,則曲線C的離心率為

ACD解析

若cosθ=0,則sinθ=1,此時(shí)曲線C:y=±1表示兩條直線,故A正確;因?yàn)棣取?0,π),所以sinθ>0,若cosθ>0,則曲線C:x2cosθ+y2sinθ=1可化為

+

=1,當(dāng)cosθ=sinθ時(shí),曲線C表示圓,當(dāng)cosθ≠sinθ時(shí),曲線C表示橢圓,故B錯(cuò)誤;因?yàn)棣取?0,π),所以sinθ>0,若cosθ<0,則曲線C表示雙曲線,故C正確;若cosθ=-sinθ,又θ∈(0,π),所以cosθ=-

,sinθ=

,則曲線C為

-

=1,故曲線C為等軸雙曲線,離心率為

,故D正確.故選ACD.6.(2025屆北京中關(guān)村中學(xué)月考,14)已知雙曲線x2-

=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn),則雙曲線的漸近線為

,

·

的最小值為

.

y=±

x-2解析

根據(jù)x2-

=1得雙曲線的漸近線方程為y=±

x.易得A1(-1,0),F2(2,0),設(shè)P(x,y)(x≥1),所以

·

=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=x2-x+y2-2=4x2-x-5,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=1時(shí),

·

取得最小值,為-2.7.(2025屆江蘇南通名校聯(lián)盟聯(lián)考,12)已知F1,F2是雙曲線E:

-

=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,如果

⊥

,則△MF1F2的面積為

.16解析

由題意得a=3,b=4,所以c=

=5,不妨設(shè)|MF1|>|MF2|,根據(jù)雙曲線定義可得|MF1|-|MF2|=2a=6①,又

⊥

,所以

+

=

=4c2=100②,聯(lián)立①②解得|MF1|·|MF2|=32,所以△MF1F2的面積為S=

|MF1|·|MF2|=16.8.(2025屆湖南長(zhǎng)沙六校聯(lián)考,13)已知雙曲線E:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為2,過(guò)點(diǎn)F1的直線l交E的左支于A,B兩點(diǎn).|OB|=|OF1|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)O到

直線l的距離為d,則

=

.解析

由離心率為2,得

=2,即c=2a,取F1B的中點(diǎn)D,連接OD,由|OB|=|OF1|,得OD⊥F1B,則|OD|=d,

連接F2B,由O為F1F2的中點(diǎn),得BF2∥OD,|BF2|=2d,BF2⊥BF1,|F1B|=2d-2a,由|BF2|2+|BF1|2=|F1F2|2,得(2d)2+(2d-2a)2=(4a)2,整理得

-

-

=0,又

>0,所以

=

.1.(2025屆浙江省名校協(xié)作體開學(xué)考,7)已知A,B是橢圓

+

=1與雙曲線

-

=1的公共頂點(diǎn),M是雙曲線上一點(diǎn),直線MA,MB分別交橢圓于C,D兩點(diǎn),若直線CD過(guò)橢圓的焦點(diǎn)

F,則線段CD的長(zhǎng)度為

()A.

B.3

C.2

D.

B解析

不妨令A(yù),B分別為左、右頂點(diǎn),F為橢圓右焦點(diǎn),則A(-2,0),B(2,0),F(1,0),設(shè)M(x0,y0),則kMA=

,kMB=

,因?yàn)?/p>

-

=1,所以kMA·kMB=

·

=

,設(shè)C(x1,y1),則kCA=

,kCB=

,又因?yàn)?/p>

+

=1,所以kCA·kCB=

·

=-

,因?yàn)閗MA=kCA,所以kMB=kBD=-kCB,所以直線CB,DB關(guān)于x軸對(duì)稱,所以直線CD⊥x軸,又因?yàn)橹本€CD過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F,所以C(1,y1),代入橢圓方程得y1=±

,所以|CD|=3.故選B.2.(2024浙江杭州二中模擬,7)已知雙曲線

-

=1(a,b>0)的左焦點(diǎn)為F,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn),且|

|=4|

|,∠AFB=

,則雙曲線的漸近線方程為

()A.y=±

x

B.y=±

xC.y=±

x

D.y=±

xC解析

由對(duì)稱性不妨令kAB>0.設(shè)右焦點(diǎn)為F',連接AF',BF',由A,B,且F,F'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可知四邊

形FAF'B是平行四邊形,則|FA|=|F'B|,∠FBF'=

,由|

|=4|

|得|

|=4|

|,由雙曲線的定義得|

|-|

|=2a,解得|

|=

,|

|=

,在△FBF'中,由余弦定理得|FF'|2=|FB|2+|F'B|2-2|FB|·|F'B|cos∠FBF',4c2=

a2+

a2-2×

a·

a·cos

=

a2,即e=

,則

=

=

=

=

,故漸近線方程為y=±

x,故選C.

3.(2024浙江杭州二中、紹興一中、溫州中學(xué)、金華一中三模,8)已知雙曲線

-

=1(a,b>0)上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的兩點(diǎn)A,B,以及雙曲線上的另一點(diǎn)C,使得△ABC為正

三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是

()A.(

,+∞)

B.(

,+∞)C.(2,+∞)

D.

A解析

由題意可知:雙曲線的漸近線方程為y=±

x,令A(yù)在第一象限,C在第三象限,設(shè)點(diǎn)A(x,y),C(x0,y0),由CO⊥AB,且|CO|=

|AO|,得

·

=-1①,

=

②,聯(lián)立①②解得C(-

y,

x),因?yàn)锳,C在雙曲線上,

則

整理得

=

<

,解得b2>a2,即c2-a2>a2,可得

>2,則e=

=

>

,所以該雙曲線離心率的取值范圍是(

,+∞).故選A.4.(多選)(2025屆浙江新陣地聯(lián)盟聯(lián)考,10)已知F1、F2分別是雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦

點(diǎn),點(diǎn)Q是圓A:(x-2)2+(y-3)2=

上的動(dòng)點(diǎn),下列說(shuō)法正確的是

()A.三角形AF1F2的周長(zhǎng)是12B.若雙曲線E與雙曲線C有相同的漸近線,且雙曲線E的焦距為8,則雙曲線E的方程為x2-

y2=8C.若|QF1|+|QF2|=8,則Q的位置不唯一D.若P是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn),則|PF2|+|PQ|的最小值是5+

ACD解析

由題意得雙曲線C:

-

=1,則a=

,b=

,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),由圓A的方程可得圓心坐標(biāo)為A(2,3),半徑r=

.對(duì)于A,|F1F2|=2c=4,|AF1|=

=5,|AF2|=

=3,所以△AF1F2的周長(zhǎng)是12,故A正確;對(duì)于B,由題意可設(shè)雙曲線E的方程為

-

=λ或

-

=λ,λ≠0,λ≠1,(分焦點(diǎn)在x軸或y軸上兩種情況討論)即

-

=1或

-

=1,λ≠0,λ≠1,又雙曲線E的焦距為8,所以2λ+2λ=42?λ=4,所以雙曲線E的方程為x2-y2=8或y2-x2=8,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,|QF1|+|QF2|=8,所以Q點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,且2a1=8?a1=4,又c1=2,所

以

=12,

所以Q點(diǎn)的軌跡方程為

+

=1,易知圓心A(2,3)在橢圓

+

=1上,畫出圖形如圖,由圖可知圓A與橢圓

+

=1有兩個(gè)交點(diǎn),所以Q的位置不唯一,故C正確;對(duì)于D,由雙曲線的定義可得|PF2|-|PF1|=2a=2

,所以|PF2|=|PF1|+2

,所以|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|+2

,因?yàn)閨PF1|+|PQ|≥|QF1|,所以當(dāng)P,Q,F1三點(diǎn)共線時(shí),|PF1|+|PQ|取得最小值|QF1|,又因?yàn)閨QF1|的最小值為|AF1|-r=5-

,所以|PF2|+|PQ|的最小值是5-

+2

=5+

,故D正確.故選ACD.5.(多選)(2024重慶一中模擬,10)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分

別為F1,F2,過(guò)F2作斜率為

的直線,與雙曲線相交于點(diǎn)P,若|PF1|=

|F1F2|,則雙曲線的離心率可能是

()A.

B.

+1

C.

+1

D.

+2AD解析

設(shè)F1,F2分別為左、右焦點(diǎn).由題意得|F1F2|=2c,因?yàn)閨PF1|=

|F1F2|,則|PF1|=2

c,設(shè)|PF2|=x,①若雙曲線的漸近線的斜率

<

,則e=

<2,如圖(1),因?yàn)檫^(guò)F2作斜率為

的直線,所以∠PF2F1=

,由余弦定理得12c2=4c2+x2-2×2c·x·cos

,整理得x2+2cx-8c2=0,解得x=2c或x=-4c(舍去),所以2a=|PF1|-|PF2|=2(

-1)c,可得a=(

-1)c,所以離心率為e=

=

=

<2,滿足題意,所以A正確;②若雙曲線的漸近線的斜率

>

,則e=

>2,如圖(2),因?yàn)檫^(guò)F2作斜率為

的直線,所以∠PF2F1=

,由余弦定理得12c2=4c2+x2-2×2c·x·cos

,整理得x2-2cx-8c2=0,解得x=4c或x=-2c(舍去),所以2a=|PF1|-|PF2|=(4-2

)c,可得a=(2-

)c,所以離心率為e=

=

=2+

>2,滿足題意,所以D正確,故選AD.6.(多選)(2025屆湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)月考,11)直線y=kx與雙曲線

-

=1交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P位于第一象限,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)F為雙曲線的左焦點(diǎn),則

()A.若|PQ|=2

,則PF⊥QFB.若PF⊥QF,則△PQF的面積為4C.

>2D.|PF|-|PN|的最小值為4AD解析

設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F1,連接PF1,QF1,由題意可知,四