8.4拋物線五年高考考點(diǎn)1拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)目錄三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練能力拔高練創(chuàng)新風(fēng)向練五年高考考點(diǎn)1拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2020課標(biāo)Ⅰ理,4,5分,易)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離

為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=

()A.2

B.3

C.6

D.9C解析

設(shè)焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,y0),由拋物線定義得|AF|=x0+

,∵點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9,∴x0=9,∴9+

=12,∴p=6.故選C.2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離為

,則p=()A.1

B.2

C.2

D.4B解析

拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

,由點(diǎn)

到直線x-y+1=0的距離為

,可得

=

,即

=2,解得p=2或p=-6,又∵p>0,∴p=2.故選B.3.(2022全國乙理,5,5分,中)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B(3,0),若|AF|=|BF|,

則|AB|=

()A.2

B.2

C.3

D.3

B解析

設(shè)A(xA,yA),依題意可得F(1,0),由B(3,0)得|BF|=2=|AF|=xA+1,所以xA=1,根據(jù)拋物線的對(duì)稱

性,不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,把xA=1代入y2=4x,得yA=2,所以A(1,2),所以|AB|=

=2

.故選B.4.(2023北京,6,4分,易)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上.若M到直線x=-3的距離

為5,則|MF|=

()A.7

B.6

C.5

D.4D解析

由拋物線C:y2=8x知F(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,由M到直線x=-3的距離為5,知M到直線x=-2的距離為4.由拋物線定義可知|MF|=4.5.(2024北京,11,5分,易)拋物線y2=16x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

.(4,0)解析

y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)在x軸正半軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為

,∴y2=16x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0).考點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)1.(2020課標(biāo)Ⅲ理,5,5分,中)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩

點(diǎn),若OD⊥OE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

()A.

B.

C.(1,0)

D.(2,0)B解析

由拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)D在x軸上方、E在x軸下方.由

得D(2,2

),E(2,-2

),∵OD⊥OE,∴

·

=4-4p=0,∴p=1,∴C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

,故選B.2.(多選)(2024新課標(biāo)Ⅱ,10,6分,中)拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線為l,P為C上動(dòng)點(diǎn).過P作☉A:x2+

(y-4)2=1的一條切線,Q為切點(diǎn).過P作l的垂線,垂足為B.則

()A.l與☉A相切B.當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí),|PQ|=

C.當(dāng)|PB|=2時(shí),PA⊥ABD.滿足|PA|=|PB|的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)ABD解析

由y2=4x得2p=4,p=2,因此準(zhǔn)線l:x=-1,顯然l與☉A相切,選項(xiàng)A正確.當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí),yP=4,xP=

=4,∴|PA|=4,又|AQ|=1,∴|PQ|=

=

=

,選項(xiàng)B正確.當(dāng)|PB|=2時(shí),xP+1=2,即xP=1,因此P(1,±2),若P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),則B(-1,2),又A(0,4),∴

=(-1,2),

=(-1,-2),∴

·

=1-4=-3≠0,此時(shí),PA與AB不垂直,同理P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)時(shí),PA與AB也不垂直.選項(xiàng)C錯(cuò)誤.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則F(1,0),由|PA|=|PB|得|PA|=|PF|,∴線段AF的垂直平分線經(jīng)過P點(diǎn).線段AF垂直平分線的方程為y-2=

,即2x-8y+15=0.由

消去x得y2-16y+30=0.Δ=(-16)2-4×1×30=136>0.∴線段AF的垂直平分線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),因此,滿足題意的點(diǎn)P有2個(gè),選項(xiàng)D正確.故選ABD.3.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅱ,10,5分,中)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=-

(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線,則

()A.p=2B.|MN|=

C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形AC解析

由于y2=2px的焦點(diǎn)為

,直線y=-

(x-1)過焦點(diǎn),所以-

=0,解得p=2,A正確;聯(lián)立

消去y得3x2-10x+3=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=

,所以|MN|=x1+x2+p=

,B不正確;以MN為直徑的圓的圓心的橫坐標(biāo)為

=

,圓心到準(zhǔn)線l的距離d=

+1=

=

|MN|,故以MN為直徑的圓與l相切,C正確;不妨令點(diǎn)M在第一象限,由3x2-10x+3=0得x1=

,x2=3,所以y1=

,y2=-2

,所以|ON|=

=

,|OM|=

=

,又|MN|=

,所以△OMN不是等腰三角形,D不正確.故選AC.4.(多選)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直

線與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn)M(p,0).若|AF|=|AM|,則

()A.直線AB的斜率為2

B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°ACD解析

如圖,取線段FM的中點(diǎn)H,連接AH,

∵|AF|=|AM|,∴AH⊥x軸,又∵F

,M(p,0),∴H

,則xA=

p,代入拋物線方程得yA=

p(舍負(fù)),∴A

,由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得xA·xB=

,則xB=

,則B

,∴kAB=kAF=

=2

,故A正確;|OB|=

=

p,|OF|=

,∴|OB|≠|(zhì)OF|,故B錯(cuò)誤;|AB|=

+

+p=

>2p=4|OF|,故C正確;∵|OA|2=

,|OB|2=

,|AM|2=

,|BM|2=

,|OM|=p,

∴|OA|2+|AM|2>|OM|2,|OB|2+|BM|

2>|OM|2,∴∠OAM,∠OBM均為銳角,可得∠OAM+∠OBM<180°,故D正確.故選ACD.5.(多選)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)

上,過點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則

()A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2BCD解析

由點(diǎn)A(1,1)在拋物線C上,知1=2p,所以拋物線C:x2=y,其準(zhǔn)線方程為y=-

,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.易知AB:y-(-1)=

(x-0),即y=2x-1,聯(lián)立

消去y得x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,即直線AB與C相切,故選項(xiàng)B正確.設(shè)PQ:y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立

消去y得x2-kx+1=0,則

且Δ=k2-4>0,即k2>4.由于

·

=x1x2+y1y2=x1x2+

=2=|OA|2,|

|·|

|≥

·

且向量

,

不共線,所以|

|·|

|>

·

,即|OP|·|OQ|>|OA|2,故選項(xiàng)C正確.因?yàn)?/p>

·

=x1x2+(y1+1)(y2+1)=y1+y2+3=k(x1+x2)+1=k2+1,因?yàn)閗2>4,并注意到|

|·|

|=

·

,

=1+4=5,所以|

|·|

|>|BA|2,故選項(xiàng)D正確.故選BCD.6.(2023全國乙理,13,5分,易)已知點(diǎn)A(1,

)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準(zhǔn)線的距離為

.解析

∵點(diǎn)A(1,

)在拋物線C:y2=2px上,∴(

)2=2p×1,∴p=

,∴A到C的準(zhǔn)線的距離為xA+

=1+

=

.7.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率為

的直線過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=

.解析

在拋物線y2=4x中,2p=4,又斜率為

的直線傾斜角θ=

且過焦點(diǎn),∴|AB|=

=

=

=

.8.(2021北京,12,5分,易)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線上,MN垂直x軸于點(diǎn)N.

若|MF|=6,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

;△MNF的面積為

.54

解析

由題意得,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),則有|FM|=x0+1=6,解得x0=5,

所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是5.將x0=5代入y2=4x,得|y0|=2

,由題意得S△FMN=

×(5-1)×2

=4

.9.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上

一點(diǎn),PF與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為

.x=-

解析

∵點(diǎn)P在拋物線上且PF⊥x軸,不妨設(shè)點(diǎn)P位于x軸上方,∴P

,∴

=

,由題知F

,∵Q為x軸上一點(diǎn),且PQ⊥OP,∴Q在F右側(cè),又∵|FQ|=6,∴Q

,∴

=(6,-p),∵PQ⊥OP,∴

·

=

×6-p2=0,∴p=3或p=0(舍),∴C的準(zhǔn)線方程為x=-

.三年模擬1.(2025屆湖南長沙明德中學(xué)月考,8)過拋物線y2=2x上一動(dòng)點(diǎn)P作圓C:(x-4)2+y2=r2(r為常

數(shù)且r∈N*)的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,若|AB|·|PC|的最小值是4

,則r=

()A.1

B.2

C.3

D.4B解析

設(shè)P(x0,y0),則

=2x0.圓C的圓心C(4,0),半徑為r,由PA,PB與圓C切于點(diǎn)A,B,得PC⊥AB,PA⊥AC,PB⊥BC,

則|AB|·|PC|=2S四邊形PACB=4S△PAC=2|PA|·|AC|=2r

=2r

=2r

=2r

≥2r

,當(dāng)且僅當(dāng)x0=3時(shí),等號(hào)成立,則2r

=4

,整理可得r4-7r2+12=0,解得r2=4或r2=3,因?yàn)閞∈N*,所以r2=4,r=2.故選B.2.(2024湖南衡陽三模,4)已知點(diǎn)F(2,0),動(dòng)圓P過點(diǎn)F,且與x=-2相切,記動(dòng)圓圓心P點(diǎn)的軌

跡為曲線Γ,則曲線Γ的方程為

()A.y2=2x

B.y2=4x

C.y2=8x

D.y2=12xC解析

由題意知,點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離和它到直線x=-2的距離相等,所以點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為焦

點(diǎn)的拋物線,所以Γ的方程為y2=8x,故選C.3.(2025屆河北定州中學(xué)開學(xué)考,6)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)B(3,0),C上一

點(diǎn)A到l的距離等于|AB|,則△AFB的面積為

()A.2

B.2

C.3

D.3

B解析

過A作AD⊥l于點(diǎn)D,如圖,由題意得,F(1,0),A到l的距離為|AD|,|AD|=|AF|=|AB|,即點(diǎn)A在線

段FB的垂直平分線上,

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,將x=2代入y2=4x,得A(2,2

),所以△AFB的面積為

×2×2

=2

.故選B.4.(2025屆江蘇南通名校聯(lián)盟模擬,2)已知點(diǎn)P在拋物線x2=-5y上,且A(0,-3),則|PA|的最小

值為

()A.

B.

C.

D.

D解析

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則x2=-5y,且|PA|2=x2+(y+3)2=y2+y+9=

+

,又因?yàn)閥≤0,所以當(dāng)y=-

時(shí),|PA|2有最小值

.所以|PA|的最小值為

.故選D.5.(2024廣東深圳寶安期末,6)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三

個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在該拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,若|FA|=7,|FB|=

,則

=

()

A.

B.

C.

D.3D解析

如圖,過A,B作y軸的垂線,垂足分別是M,N,則BN∥AM.

設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),由|FA|=7,|FB|=

及拋物線定義可得xA+1=7,xB+1=

,故xA=6,xB=

,即|AM|=xA=6,|BN|=xB=

,所以

=

=

,故

=3,故選D.6.(2025屆浙江金華一中月考,5)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線l與C交于A,B兩

點(diǎn),FA⊥FB,|FA|=2|FB|,則l的斜率是

()A.±1

B.±

C.±

D.±2D解析

當(dāng)直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí),根據(jù)對(duì)稱性,不妨令l的斜率大于0.如圖,過點(diǎn)A,B作C的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A1,B1,過B作BH⊥AA1,垂足為H.

設(shè)|FA|=2|FB|=2a,a>0,則|AB|=

a.而|AH|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=a,所以|BH|=

=2a,則l的斜率k=tan∠BAH=

=2.根據(jù)對(duì)稱性可知k=-2時(shí)也滿足題意.當(dāng)直線l經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí),可知一交點(diǎn)為O,則FO⊥FA,|FA|=2|FO|=p,得l的斜率為

=2,根據(jù)對(duì)稱性可知k=-2時(shí)也滿足題意.故選D.7.(多選)(2025屆河北保定部分地區(qū)模擬,10)拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為l,P為C上的

動(dòng)點(diǎn),過P作圓M:(x-a)2+(y-2)2=4的兩條切線,A,B為切點(diǎn),過P作l的垂線,垂足為Q,則

(

)A.當(dāng)a=1時(shí),l與圓M相切B.當(dāng)

=a時(shí),|PA|+|PQ|的最小值為2

C.當(dāng)|AB|=2

時(shí),

·

為定值D.存在點(diǎn)P,使得△PAB為等邊三角形CD解析

對(duì)于A,圓M:(x-1)2+(y-2)2=4的半徑r=2,圓心(1,2)到準(zhǔn)線x=-

的距離為1+

,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1,p=2時(shí),l與圓M相切,故A不正確;對(duì)于B,如圖所示,

當(dāng)P,A,Q三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+|PQ|有最小值,最小值為p,故B不正確;對(duì)于C,在△AMB中,因?yàn)閨AB|=2

,|MA|=|MB|=2,所以由余弦定理的推論得cos∠AMB=

=

=-

,所以∠AMB=120°,所以

·

=|

|×|

|×cos∠AMB=2×2×

=-2,故C正確;對(duì)于D,當(dāng)|AB|=2

時(shí),∠AMB=120°,所以∠APB=60°,此時(shí)△PAB為等邊三角形,故D正確.故選CD.8.(2025屆河北“五個(gè)一”名校聯(lián)盟聯(lián)考,13)拋物線C:y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)P到直線y=x+3的

距離最短時(shí),P到C的焦點(diǎn)的距離為

.2解析

設(shè)P

,則點(diǎn)P

到直線x-y+3=0的距離為d=

=

=

,當(dāng)y0=2,即P(1,2)時(shí),拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)P到直線x-y+3=0的距離最短,則P到C的焦點(diǎn)的

距離為x0+1+1+1=2.9.(2025屆湖南名校聯(lián)合體聯(lián)考,13)設(shè)拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)的直線l與

拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn),則|AF|+|BF|=

.14解析

由題意可得F(3,0),拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-3,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),過A,B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足為C,D,根據(jù)拋物線的定義,得|AF|=|AC|=x1+3,|BF|=|BD|=x2+3,故|AF|+|BF|=(x1+x2)+6,因?yàn)锳B的中點(diǎn)為P(4,1),所以

(x1+x2)=4,可得x1+x2=8,所以|AF|+|BF|=(x1+x2)+6=14.1.(2024山東菏澤一中月考,7)焦點(diǎn)為F的拋物線C:y2=2px(p>0)的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)A,

點(diǎn)B在拋物線C上且在第一象限,在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,則cos∠FBA=

(

)A.

B.

C.

D.

C解析

過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,作x軸的垂線,垂足為E,

由拋物線的定義可得|BF|=|BH|,在△ABF中,由3sin∠AFB=4sin∠FAB結(jié)合正弦定理可得|AB|=

|BF|=

|BH|,故|AH|=

|BH|,則sin∠BAF=

=

=

,cos∠BAF=

,sin∠BFE=sin∠AFB=

sin∠FAB=

×

=

,cos∠BFE=

,所以cos∠FBA=cos(∠BFE-∠BAF)=cos∠BFEcos∠BAF+sin∠BFEsin∠BAF=

×

+

×

=

.故選C.2.(2024山東棗莊一模,8)已知F為拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在E上,P為

AB的中點(diǎn),且

=2

,則|FA|+|FB|的最大值為

()A.4

B.5

C.3

D.4

B解析

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由E:y2=4x可得F(1,0),由

=2

,P為AB的中點(diǎn),得

=2

=

+

,即

+

+

=0,則F為三角形的重心,則1=

+

+

,即x1+x2+x3=3,故x1+x2=3-x3,|FA|+|FB|=x1+

+x2+

=x1+x2+2=5-x3,又x3≥0,故|FA|+|FB|=5-x3≤5-0=5,點(diǎn)C在原點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故選B.3.(2025屆湖北高中名校聯(lián)盟聯(lián)考,8)設(shè)拋物線C:x2=2y的焦點(diǎn)為F,過拋物線C上的點(diǎn)P作

C的切線交x軸于點(diǎn)M,若∠FPM=30°,則|FP|=

()A.

B.2

C.

D.

B解析

由已知得,F

,設(shè)P(x0,y0),y0>0,則

=2y0,由x2=2y,即y=

x2,得y'=x,所以過拋物線C上點(diǎn)P的切線的斜率為x0,則切線方程為y-y0=x0(x-x0),當(dāng)y=0時(shí),x=

=

,即M點(diǎn)的坐標(biāo)為

,則|PM|=

=

,|FM|=

=

,|FP|=y0+

,在△FPM中,由余弦定理得,|FM|2=|FP|2+|PM|2-2|FP||PM|cos∠FPM,則

+

=

+

-2

×

×

,整理得2

+y0-

×

=0,2y0

-

=0,解得y0=

,所以|FP|=

+

=2.故選B.4.(2025屆江蘇蘇州黃埭中學(xué)開學(xué)考,12)已知點(diǎn)A為拋物線y2=4x上一點(diǎn),過A作x軸垂線交

拋物線于B,過A作y軸垂線交拋物線的準(zhǔn)線于C,設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F,若∠CAF=2∠ABC,

則|AB|=

.4

解析

設(shè)AB與x軸交于H,連接CF.當(dāng)點(diǎn)H在焦點(diǎn)F左側(cè)時(shí),如圖1,設(shè)∠ABC=θ,則∠ACB=90°-θ,∠CAF=2∠ABC=2θ,由拋物線的定義可知|AF|=|AC|,則∠ACF=∠AFC=

=90°-θ.故∠ACF=∠ACB,這與∠ACF<∠ACB矛盾,故點(diǎn)H不在焦點(diǎn)F左側(cè).當(dāng)點(diǎn)H與焦點(diǎn)F重合時(shí),如圖2,同理可得∠ACF=∠ACB,這與∠ACF<∠ACB矛盾,故點(diǎn)H也不與焦點(diǎn)F重合.當(dāng)點(diǎn)H在焦點(diǎn)F右側(cè)時(shí),如圖3,

同理可得∠ACF=∠ACB,即C,F,B三點(diǎn)共線.設(shè)∠ABC=α,由對(duì)稱性可知,|AF|=|BF|,所以∠ABC=∠BAF=α,∠CAF=∠AFH=2α,在Rt△AFH中,∠HAF+∠AFH=90°,故α=30°,故Rt△AFH的三內(nèi)角度數(shù)分別為30°,60°,

90°,則|AF|=2|FH|=|AC|,設(shè)A(x0,y0),x0>1,則x0+1=2(x0-1),解得x0=3.代入拋物線方程y2=4x可得y0=±2

,則|AB|=2|y0|=4

.5.(2025屆廣東部分學(xué)校第二次模擬,13)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,若C上存在三點(diǎn)

P1,P2,P3,且F為△P1P2P3的重心,則△P1P2P3三邊中線長之和為

.解析

如圖,

依題意知F

,設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),因?yàn)镕為