11.1用樣本估計(jì)總體五年高考考點(diǎn)抽樣方法與總體分布的估計(jì)目錄三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練能力拔高練五年高考考點(diǎn)抽樣方法與總體分布的估計(jì)1.(2024新課標(biāo)Ⅱ,4,5分,易)某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水

稻,得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)并整理得下表:畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列結(jié)論中正確的是

()A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間C解析

列出頻率分布表如下:畝產(chǎn)量頻數(shù)頻率[900,950)60.06[950,1000)120.12[1000,1050)180.18[1050,1100)300.30[1100,1150)240.24[1150,1200)100.10合計(jì)1001.00對(duì)于A,由頻率分布表,知前三組的頻率之和為0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前四組的頻率

之和為0.06+0.12+0.18+0.30=0.66>0.5,因此中位數(shù)在[1050,1100)內(nèi).因此中位數(shù)大于或

等于1050kg,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由頻率分布表,知畝產(chǎn)量在[900,1100)內(nèi)的頻率為0.06+0.12+0.18+0.30=0.66<0.80,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由題意知1200-900=300,1150-950=200,所以這100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間,故C正確;對(duì)于D,設(shè)這100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為

(單位:kg),則

=925×0.06+975×0.12+1025×0.18+1075×0.30+1125×0.24+1175×0.10=1067>1000,因此D錯(cuò)誤.故選C.2.(2022全國(guó)甲,2,5分,易)某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí).為了解

講座效果,隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民,讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)

問(wèn)卷,這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖:則

()A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差B解析

根據(jù)散點(diǎn)圖,講座前問(wèn)卷答題正確率的10個(gè)數(shù)據(jù)中,小于或等于70%的有5個(gè),這意味著

中位數(shù)必然大于70%,故A錯(cuò)誤.講座后問(wèn)卷答題正確率的10個(gè)數(shù)據(jù)中,有1個(gè)為80%,4個(gè)為85%,其余數(shù)據(jù)大于或等于90%,經(jīng)估算知,平均數(shù)大于85%,故B正確.從散點(diǎn)圖可以看出,與講座后的正確率的數(shù)據(jù)相比,講座前正確率的數(shù)據(jù)更為分散,故標(biāo)

準(zhǔn)差更大,故C錯(cuò)誤.從散點(diǎn)圖可直接看出,講座前正確率的極差更大,故D錯(cuò)誤.3.(2021全國(guó)甲理,2,5分,易)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣

調(diào)查,將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:

根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是

()A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù),其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間C解析

該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)的比率估計(jì)值為(0.02+0.04)×100%=6%,故A中

結(jié)論正確;該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)值為(0.04+0.02×3)×100%=10%,

故B中結(jié)論正確;該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比率估計(jì)值為(0.10+0.14+0.20×2)×100%=64%>50%,故D中結(jié)論正確;該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值的估計(jì)值為3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68(萬(wàn)元),超過(guò)6.5萬(wàn)元,故C中結(jié)論錯(cuò)誤.綜上,結(jié)論中不正確的是C.小題速解

觀察直方圖可知,有70%的數(shù)據(jù)集中在6.5萬(wàn)元以上,所以平均數(shù)應(yīng)超過(guò)6.5

萬(wàn)元,故C中結(jié)論錯(cuò)誤.4.(2020課標(biāo)Ⅲ文,3,5分,易)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10x1,10x2,…,10xn的方差為

()A.0.01

B.0.1

C.1

D.10C解析

由已知條件可知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=

,方差

=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(xn-

)2]=0.01,則數(shù)據(jù)10x1,10x2,…,10xn的平均數(shù)為

=10

.所以這組數(shù)據(jù)的方差

=

[(10x1-10

)2+(10x2-10

)2+…+(10xn-10

)2]=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(xn-

)2]=100

=100×0.01=1,故選C.小題速解若x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2,所以10x1,10x2,…,10xn的

方差為102×0.01=1,故選C.5.(多選)(2021新高考Ⅱ,9,5分,易)下列統(tǒng)計(jì)量中可用于度量樣本x1,x2,…,xn離散程度的有

()A.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差

B.x1,x2,…,xn的中位數(shù)C.x1,x2,…,xn的極差

D.x1,x2,…,xn的平均數(shù)AC解析

由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知,標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度;由中位數(shù)的定義可知,中位數(shù)考

查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì);由極差的定義可知,極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度;由平均數(shù)的

定義可知,平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).故選AC.6.(多選)(2021新高考Ⅰ,9,5分,易)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)

據(jù)y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù),則

()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同CD解析

A項(xiàng),設(shè)

=

xi,則

=

yi=

(xi+c)=

xi+c,因?yàn)閏≠0,所以

=

+c,所以

≠

,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B項(xiàng),因?yàn)閥i=xi+c(i=1,2,…,n),所以y1,y2,…,yn的中位數(shù)是x1,x2,…,xn的中位數(shù)加c,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C項(xiàng),設(shè)

=

(xi-

)2,

=

(yi-

)2,所以

=

(xi+c-

-c)2=

(xi-

)2,所以

=

,所以?xún)山M數(shù)據(jù)的方差相同,從而這兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同,所以C選項(xiàng)正確.D項(xiàng),設(shè)x1<x2<…<xn,則第一組數(shù)據(jù)的極差為xn-x1,設(shè)y1<y2<…<yn,則第二組數(shù)據(jù)的極差為yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn-x1,所以?xún)山M數(shù)據(jù)的極差相

同,所以D選項(xiàng)正確,故選CD.7.(多選)(2023新課標(biāo)Ⅰ,9,5分,中)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,

則

()A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,…,x6的中位數(shù)C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1,x2,…,x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,…,x6的極差BD解析

A錯(cuò)誤,舉反例,設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6分別為1,2,3,4,5,8,則

=

=3.5,

=

≠3.5;B正確,設(shè)這組數(shù)據(jù)從小到大排列為x1,x'2,x'3,x'4,x'5,x6,則x2,x3,x4,x5的中位數(shù)為

,x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位數(shù)為

,∴x2,x3,x4,x5的中位數(shù)等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位數(shù);C錯(cuò)誤,設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6分別為1,2,2,2,2,3,則

=

=2,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為2,則x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差為0,x1,x2,x3,x4,x5,x6的標(biāo)準(zhǔn)差s=

=

>0;D正確,由B選項(xiàng)知x2,x3,x4,x5的極差為x'5-x'2,x1,x2,x3,x4,x5,x6的極差為x6-x1,顯然x6-x1≥x'5-x'2.8.(2021全國(guó)乙,文17,理17,12分,中)某廠(chǎng)研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗(yàn)新設(shè)備

生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高,用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各

件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如表:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為

和

,樣本方差分別記為

和

.(1)求

,

,

,

;(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高

如果

-

≥2

,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高

.解析

(1)

=

(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0.

=

(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.

=

[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036.

=

[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.(2)由(1)得

-

=0.3,

+

=0.076,從而(

-

)2=0.09,

=

(

+

)=0.0304.所以(

-

)2>

,又

>

,故

-

>2

,因此新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.9.(2023全國(guó)乙理,17,12分,難)某廠(chǎng)為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效

應(yīng),進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn),每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個(gè)

用甲工藝處理,另一個(gè)用乙工藝處理,測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝

處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗(yàn)結(jié)果如下:試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yi(i=1,2,…,10),記z1,z2,…,z10的樣本平均數(shù)為

,樣本方差為s2.(1)求

,s2;(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否

有顯著提高

如果

≥2

,則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高

.解析

(1)zi=xi-yi(i=1,2,…,10)依次為9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,則

=

×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,s2=

×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61.(2)由(1)知

=11,s2=61,則

-2

=11-2

>0,∴

≥2

,即甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.10.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病

患者的年齡,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)

總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病

的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概

率,精確到0.0001).解析

(1)平均年齡為(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(歲).(2)設(shè)事件A為“該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,∴估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率為0.89.(3)設(shè)事件B=“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”,事件C=“任選一人患這種疾病”,由

條件概率公式可得P(C|B)=

=

=

=0.0014375≈0.0014.11.(2023新課標(biāo)Ⅱ,19,12分,難)某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者

的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過(guò)大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻

率分布直方圖:

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性,小于

或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小

值.解析

(1)由題意知(c-95)×0.002=0.5%,

(1分)得c=97.5,

(2分)q(c)=0.01×2.5+5×0.002=0.035=3.5%.

(4分)(2)當(dāng)c∈[95,100]時(shí),f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02.

(7分)當(dāng)c∈(100,105]時(shí),f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.∴f(c)=

(9分)由于f(c)在區(qū)間[95,100]單調(diào)遞減,在區(qū)間(100,105]單調(diào)遞增,(該理由一定要寫(xiě),不寫(xiě)扣

分)(10分)∴f(c)min=f(100)=0.02.

(12分)三年模擬1.(2024河南名校高考模擬,1)已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的8人的成績(jī)(單位:

分)為72,78,80,81,83,86,88,90,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是

()A.86

B.87

C.88

D.90B解析

因?yàn)?×75%=6,且數(shù)據(jù)已從小到大排序,所以第75百分位數(shù)是

=87.故選B.2.(2024重慶第二次質(zhì)量檢測(cè),4)一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2,4,m,13,16,17,若該

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的

,則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是

()A.4

B.4.5

C.5

D.9C解析

極差為17-2=15,故該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是15×

=9,共有6個(gè)數(shù)據(jù),故中位數(shù)為

=9,解得m=5,因?yàn)?×40%=2.4,故該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為5.故選C.3.(2024山西部分學(xué)校月考,6)已知一組正數(shù)x1,x2,x3,x4,x5的方差為s2=

-9,則另一組數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均數(shù)為

()A.4

B.5

C.6

D.7B解析

由s2=

(xi-

)2=

(

-5

)=

-

,可得

=9,由

>0,解得

=3,故數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均數(shù)為2×3-1=5.故選B.4.(2025屆云南昆明一中第二次聯(lián)考)從某小型加工廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100件作為樣

本,將該樣本進(jìn)行某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值測(cè)量,下圖是測(cè)量結(jié)果x的頻率分布直方圖.若同一組

中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,則在下列選項(xiàng)中,關(guān)于該樣本統(tǒng)計(jì)量的敘述不正

確的選項(xiàng)是()A.質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間[195,205)的產(chǎn)品約有33件B.質(zhì)量指標(biāo)值的極差在50與70之間C.質(zhì)量指標(biāo)值的第60百分位數(shù)大于205D.質(zhì)量指標(biāo)值的方差的估計(jì)值是150C解析

質(zhì)量指標(biāo)值x∈[195,205)的樣本頻率是10×0.033=0.33,所以質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間[195,205)

的產(chǎn)品約有100×0.33=33件,A中敘述正確;質(zhì)量指標(biāo)值的最大極差為235-165=70,最小極

差為225-175=50,B中敘述正確;由題中頻率分布直方圖可得出,從第一組至第七組的頻

率依次是0.02,0.09,0.22,0.33,0.24,0.08,0.02,所以質(zhì)量指標(biāo)值的第60百分位數(shù)在[195,20

5)內(nèi),小于205,C中敘述不正確;抽取的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,則方差為s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150,D中敘述正確,故選C.5.(多選)(2025屆廣東部分學(xué)校大聯(lián)考,9)降雨量是指從天空降落到地面上的液態(tài)或固

態(tài)(經(jīng)融化后)水,未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度,一般以毫米為單位.

降雨量可以直觀地反映一個(gè)地區(qū)某一時(shí)間段內(nèi)降水的多少,它對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水利工

程、城市排水等有著重要的影響.如圖,這是A,B兩地某年上半年每月降雨量的折線(xiàn)統(tǒng)

計(jì)圖.下列結(jié)論正確的是

()A.這年上半年A地平均月降雨量比B地平均月降雨量大B.這年上半年A地月降雨量的中位數(shù)比B地月降雨量的中位數(shù)大C.這年上半年A地月降雨量的極差比B地月降雨量的極差大D.這年上半年A地月降雨量的80%分位數(shù)比B地月降雨量的80%分位數(shù)大ACD解析

由題圖可知:A地月降雨量按從小到大排列為25,27,28,38,42,50,B地月降雨量按從小到大排列為22,25,30,37,40,45.對(duì)于A,A地平均月降雨量為

=

×(25+27+28+38+42+50)=35,B地平均月降雨量為

=

×(22+25+30+37+40+45)=

,因?yàn)?/p>

>

,所以這年上半年A地平均月降雨量比B地平均月降雨量大,因此A正確;對(duì)于B,A地月降雨量的中位數(shù)為

=33,B地月降雨量的中位數(shù)為

=33.5,因?yàn)?3<33.5,所以這年上半年A地月降雨量的中位數(shù)比B地月降雨量的中位數(shù)小,因此B錯(cuò)誤;對(duì)于C,A地月降雨量的極差為50-25=25,B地月降雨量的極差為45-22=23,因?yàn)?5>23,所以這年上半年A地月降雨量的極差比B地月降雨量的極差大,因此C正確;對(duì)于D,因?yàn)?×80%=4.8,所以A地月降雨量的80%分位數(shù)為42,B地月降雨量的80%分位數(shù)為40,因?yàn)?2>40,所以

這年上半年A地月降雨量的80%分位數(shù)比B地月降雨量的80%分位數(shù)大,因此D正確.故

選ACD.6.(多選)(2025屆重慶名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考,10)甲、乙兩支田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為:甲隊(duì)體

重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩

隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4,則下列說(shuō)法正確的是()A.甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重是68kgB.甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重是65kgC.甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員體重的方差是296D.甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員體重的方差是306AC解析

根據(jù)題意甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重是

×60+

×70=68kg,即可得A正確,B錯(cuò)誤;甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員體重的方差是s2=

×[200+(60-68)2]+

×[300+(70-68)2]=296,可知C正確,D錯(cuò)誤.故選AC.1.(2024上海虹口期末,14)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),其對(duì)應(yīng)關(guān)系如

下表:空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)0~5051~100101~150151~200201~300>300空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染為監(jiān)測(cè)某化工廠(chǎng)排放廢氣對(duì)周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響,某科學(xué)興趣小組在工廠(chǎng)附近某

處測(cè)得10月1日—20日AQI的數(shù)據(jù)并繪成折線(xiàn)圖如下:下列敘述正確的是

()A.這20天中AQI的中位數(shù)略大于150B.10月4日到10月11日,空氣質(zhì)量越來(lái)越好C.這20天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占25%D.10月上旬AQI的極差大于中旬AQI的極差C解析

對(duì)于A,由折線(xiàn)圖知150以上的數(shù)據(jù)有5個(gè),150以下的數(shù)據(jù)有15個(gè),因此中位數(shù)小于150,故

A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由折線(xiàn)圖知10月4日到5日AQI變大,從5日到6日AQI變小,從6日到11日AQI逐漸

變大,則空氣質(zhì)量先變差再變好,最后變差,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由折線(xiàn)圖知AQI小于50的有5天,則20天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占25%,故C正確;對(duì)于D,由折線(xiàn)圖知10月上旬AQI的最小值與中旬AQI的最小值差不多,但10月上旬AQI

的最大值比中旬AQI的最大值小得多,則10月上旬AQI的極差小于中旬AQI的極差,故D錯(cuò)誤.故選C.2.(多選)(2025屆甘肅高考模擬,9)已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10是公差為2的等差數(shù)列,若去掉

首末兩項(xiàng),則

()A.平均數(shù)變大

B.中位數(shù)不變C.方差變小

D.極差變小BCD解析

對(duì)于A,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

=

xi=

×5(x5+x6)=

,去掉首末兩項(xiàng)后的平均數(shù)為

'=

xi=

×4(x5+x6)=

,故平均數(shù)不變,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

,去掉首末兩項(xiàng)后的中位數(shù)為

,故中位數(shù)不變,B正確;對(duì)于C,原數(shù)據(jù)的方差為

=

(xi-

)2=

×[(-9)2+(-7)2+(-5)2+(-3)2+(-1)2+12+32+52+72+92]=33,去掉首末兩項(xiàng)后的方差為

=

(xi-

')2=

×[(-7)2+(-5)2+(-3)2+(-1)2+12+32+52+72]=21,故方差變小,C正確;對(duì)于D,原數(shù)據(jù)的極差為x10-x1=18,去掉首末兩項(xiàng)后的極差為x9-x2=14,故極差變小,D正確.

故選BCD.3.(多選)(2024重慶渝中期中,9)在某市高三年級(jí)舉行的一次模擬考試中,某學(xué)科共有20000人參加考試.為了了解本次考試學(xué)生成績(jī)情況,從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)

(成績(jī)均為正整數(shù),滿(mǎn)分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代

表).則下列說(shuō)法正確的是

()A.樣本的眾數(shù)為70B.樣本的80%分位數(shù)為78.5C.估計(jì)該市全體學(xué)生成績(jī)的平均分為70.6D.該市參加測(cè)試的學(xué)生中低于60分的學(xué)生大約有320人BC解析

對(duì)于A,樣本的眾數(shù)為75,故A中說(shuō)法錯(cuò)誤.對(duì)于B,0.16+0.3=0.46<0.8,0.16+0.3+0.4=0.86>0.8,所以樣本的80%分位數(shù)在[70,80)內(nèi),設(shè)

為x,則0.16+0.3+(x-70)×0.04=0.8,解得x=78.5,故B中說(shuō)法正確.對(duì)于C,估計(jì)該市全體學(xué)生成績(jī)的平均分為55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6,故C中說(shuō)法正確.對(duì)于D,低于60分的學(xué)生大約有20000×0.16=3200人,故D中說(shuō)法錯(cuò)誤.故選BC.4.(多選)(2025屆浙江杭州開(kāi)學(xué)考,9)有一組互不相等的樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,平均數(shù)為

,若隨機(jī)刪去其中一個(gè)數(shù)據(jù),得到一組新數(shù)據(jù),記為y1,y2,…,y5,平均數(shù)為

,則

()A.新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差B.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)C.若

=

,則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差D.若

=

,則新數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)AC解析

對(duì)于A,若刪除的數(shù)據(jù)既不是最大值,也不是最小值,則新數(shù)據(jù)的極差等于原數(shù)據(jù)的極差,

因此A正確;對(duì)于B,數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,假設(shè)x1<x2<…<x6,其中位數(shù)為

(x3+x4),一定不在x1,x2,…,x6之中,隨機(jī)刪去其中一個(gè)數(shù)據(jù),得到一組新數(shù)據(jù),按原來(lái)次序排成y1,y2,…,y5,其中位數(shù)是y3,y3是原數(shù)

據(jù)中的數(shù),即新數(shù)據(jù)的中位數(shù)不會(huì)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù),因此B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若

=

,則刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù),結(jié)合數(shù)據(jù)全不相等及方差的計(jì)算公式知,新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差,因此C正確;對(duì)于D,假設(shè)原來(lái)數(shù)據(jù)為1.5,2,2.5,3,4,5,因?yàn)?/p>

=

,所以刪除的數(shù)據(jù)恰好為原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即刪除的數(shù)據(jù)為3,新數(shù)據(jù)為1.5,2,2.5,4,5,原來(lái)數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為2.5,新數(shù)據(jù)的

第40百分位數(shù)為2.25,因此D錯(cuò)誤.故選AC.5.(2025屆福建漳州第一次質(zhì)檢,14)2024年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷多選題的計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下:①本題共3小題,每小題6分,共18分;②每小題四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng),全部選對(duì)的得6分,有選錯(cuò)或不選的得0分;③部分選對(duì)的得部分分.考生甲在此卷多選題的作答中,第一小題選了三個(gè)選項(xiàng),第二小

題選了兩個(gè)選項(xiàng),第三小題選了一個(gè)選項(xiàng),則他多選題的所有可能總得分(相同總分只

記錄一次)的第80百分位數(shù)為

.13解析

甲在此卷多選題的作答中,第一小題選了三個(gè)選項(xiàng),因此甲此題的得分可以是0分,6分;第二小題選了兩個(gè)選項(xiàng),因此甲此題的得分可以是0分,4分,6分;第三小題選了一個(gè)選項(xiàng),因此甲此題的得分可以是0分,2分,3分,因此甲多選題的所有可能總得分為0,2,3,4,6,7,8,9,10,12,13,14,15,共13種情況,因?yàn)?3×80%=10.4,所以甲多選題的所有可能總得分(相同總分只記錄一次)的第80百分

位數(shù)為13.6.(2025屆湖南衡陽(yáng)四中月考,18)2023年,某地為了幫助中小微企業(yè)渡過(guò)難關(guān),給予企業(yè)

一定的專(zhuān)項(xiàng)貸款資金支持.該地120家中小微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額(萬(wàn)元)的頻率分布直

方圖如圖.(1)確定a的值,并估計(jì)這120家中小微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù)).(2)按專(zhuān)項(xiàng)貸款金額進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣,從這120家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取20家,記專(zhuān)項(xiàng)

貸款金額在[200,300]內(nèi)應(yīng)抽取的中小微企業(yè)數(shù)為m.①求m的值;②從這m家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取3家,求這3家中小微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額都在[200,250)內(nèi)的概率.解析

(1)根據(jù)頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為1得(0.002+0.003+a+0.006+a+0.001)×50=1,解得a=0.004,設(shè)中位數(shù)為t,專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在[0,150)內(nèi)的頻率為0.45,在[0,200)內(nèi)的頻率為0.75,所以t在[150,200)內(nèi),則(t-150)×0.006=0.5-0.45,解得t≈158,所以估計(jì)這120家中小微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額的

中位數(shù)為158萬(wàn)元.(2)①由題意,知抽樣比為

=

,專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在[200,300]內(nèi)的中小微企業(yè)共有120×(0.004+0.001)×50=30家,所以專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在[200,300]內(nèi)應(yīng)抽取的中小微企業(yè)有30×

=5家,即m=5.②專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在[200,250)內(nèi)和在[250,300]內(nèi)的頻率之比為4∶1,故在抽取的5家中小

微企業(yè)中,專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在[200,250)內(nèi)的有5×

=4家,分別記為A,B,C,D,專(zhuān)項(xiàng)貸款金額在[250,300]內(nèi)的有5×

=1家,記為E,從這5家中小微企業(yè)中隨機(jī)抽取3家的可能情況為ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,

BCE,BDE,CDE,共10種,其中這3家中小微企業(yè)的專(zhuān)項(xiàng)貸款金額都在[200,250)內(nèi)的情況有ABC,ABD,ACD,BCD,

共4種,所以所求概率