【中考數(shù)學】二元一次方程組易錯壓軸解答題(附答案)一、二元一次方程組易錯壓軸解答題1．閱讀下列材料，然后解答后面的問題.我們知道方程2x+3y＝12有無數(shù)組解，但在實際生活中我們往往只需求出其正整數(shù)解.例：由2x+3y＝12得y＝＝4﹣x（x，y為正整數(shù)）.∴則有0＜x＜6，又∵y＝4﹣x為正整數(shù)，∴x為正整數(shù).由2與3互質(zhì)，可知x為3的倍數(shù)，從而x＝3，代入y＝4﹣x＝2.∴2x+3y＝12的正整數(shù)解為.問題：（1）請你寫出方程3x+y＝7的一組正整數(shù)解：________.（2）若為自然數(shù)，則滿足條件的x值有

.A.2個B.3個C.4個D.5個（3）為了開展“陽光體育”活動，某班計劃購買甲、乙兩種體育用品（每種體育用品至少購買1件），其中甲種體育用品每件20元，乙種體育用品每件30元，共用去180元，問有幾種購買方案.2．已知關于、的方程組（1）若是方程組的解時，求的值；（2）當時，若方程組的解滿足為非正數(shù)，為負數(shù)，化簡：．3．關于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常數(shù)），b＝a+1，c＝b+1.（1）當時，求c的值.（2）當a＝時，求滿足|x|＜5，|y|＜5的方程的整數(shù)解.（3）若a是正整數(shù)，求證：僅當a＝1時，該方程有正整數(shù)解.4．在平面直角坐標系中，對于點，若點的坐標為，則稱點是點的“演化點”.例如，點的“演化點”為，即.（1）已知點的“演化點”是，則的坐標為________；（2）已知點，且點的“演化點”是，則的面積為________；（3）己知，，，，且點的“演化點”為，當時，________．5．青山化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連，這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料經(jīng)鐵路120km和公路10km運回工廠，制成每噸8000元的產(chǎn)品經(jīng)鐵路110km和公路20km銷售到B地．已知鐵路的運價為1.2元/（噸·千米），公路的運價為1.5元/（噸·千米），且這兩次運輸共支出鐵路運費124800元，公路運費19500元．（1）設原料重x噸，產(chǎn)品重y噸，根據(jù)題中數(shù)量關系填寫下表原料x噸產(chǎn)品y噸合計（元）鐵路運費124800公路運費19500根據(jù)上表列方程組求原料和產(chǎn)品的重量．（2）這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元?6．已知關于x，y的二元一次方程組（a為實數(shù)）．（1）若方程組的解始終滿足y=a+1，求a的值．（2）己知方程組的解也是方程bx+3y=1(b為實數(shù)，b≠0且b≠-6)的解．①探究實數(shù)a，b滿足的關系式．②若a，b都是整數(shù)，求b的最大值和最小值．7．某中學組織學生春游，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿，已知45座客車每日每輛租金為220元，60座客車每日每輛租金為300元．試問：（1）春游學生共多少人，原計劃租45座客車多少輛？（2）若租用同一種車，要使每位同學都有座位，怎樣租車更合算．8．如圖，在平面直角坐標系中，長方形ABCD的邊AB在y軸正半軸上，頂點A的坐標為（0，2），設頂點C的坐標為（a，b）．（1）頂點B的坐標為________，頂點D的坐標為________（用a或b表示）；（2）如果將一個點的橫坐標作為x的值，縱坐標作為y的值，代入方程2x+3y＝12成立，就說這個點的坐標是方程2x+3y＝12的解．已知頂點B和D的坐標都是方程2x+3y＝12的解，求a，b的值；（3）在（2）的條件下，平移長方形ABCD，使點B移動到點D，得到新的長方形EDFG，這次平移可以看成是先將長方形ABCD向右平移________個單位長度，再向下平移________個單位長度的兩次平移；（4）若點P（m，n）是對角線BD上的一點，且點P的坐標是方程2x+3y＝12的解，試說明平移后點P的對應點P′的坐標也是方程2x+3y＝12的解．9．已知為三個非負數(shù)，且滿足（1）用含的代數(shù)式分別表示得（2）若求S的最小值和最大值.10．定義：對任意一個兩位數(shù)，如果滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“迥異數(shù)”．將一個“迥異數(shù)”個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與的商記為．例如：，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，和與的商為，所以．根據(jù)以上定義，回答下列問題：（1）填空：①下列兩位數(shù)：，，中，“迥異數(shù)”為________．②計算：________，________．（2）如果一個“迥異數(shù)”的十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，且；另一個“迥異數(shù)”的十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，且，請求出“迥異數(shù)”和．（3）如果一個“迥異數(shù)”的十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，另一個“迥異數(shù)”的十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，且滿足，請直接寫出滿足條件的所有的值________．11．水果商販老徐上水果批發(fā)市場進貨，他了解到草莓的批發(fā)價格是每箱60元，蘋果的批發(fā)價格是每箱40元.老徐購得草莓和蘋果共60箱，剛好花費3100元.（1）問草莓、蘋果各購買了多少箱？（2）老徐有甲、乙兩家店鋪，每售出一箱草莓或蘋果，甲店分別獲利15元和20元，乙店分別獲利12元和16元.設老徐將購進的60箱水果分配給甲店草莓箱，蘋果箱，其余均分配給乙店.由于他口碑良好，兩家店都很快賣完了這批水果.①若老徐在甲店獲利600元，則他在乙店獲利多少元？________②若老徐希望獲得總利潤為1000元，則=________.（直接寫出答案）12．一個長方形的長和寬分別為x厘米和y厘米（x，y為正整數(shù)），如果將長方形的長和寬各增加5厘米得到新的長方形，面積記為，將長方形的長和寬各減少2厘米得到新的長方形，面積記為．（1）請說明：與的差一定是7的倍數(shù)．（2）如果比大196，求原長方形的周長．（3）如果一個面積為的長方形和原長方形能夠沒有縫隙沒有重疊的拼成一個新的長方形，請找出x與y的關系，并說明理由．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、二元一次方程組易錯壓軸解答題1．（1）{x=1y=4（2）B（3）解：設購買甲種體育用品x件，購買乙種體育用品y件，依題意得：20x+30y＝180，2x+3y＝18，y＝6﹣23x，∵x，y是正整數(shù)，當x＝解析：（1）（2）B（3）解：設購買甲種體育用品x件，購買乙種體育用品y件，依題意得：20x+30y＝180，2x+3y＝18，y＝6﹣x，∵x，y是正整數(shù)，當x＝3時，y＝4.當x＝6時，y＝2.故有兩種購買方案：①購買甲種體育用品3件，購買乙種體育用品4件;②購買甲種體育用品6件，購買乙種體育用品2件.【解析】【解答】解：（1）由3x+y＝7，得y＝7﹣3x（x、y為正整數(shù)）.則當x＝1時，y＝4;當x＝2時，y＝1.故方程的正整數(shù)解是

或（只要寫出其中的一組即可）.（2）同樣，若為自然數(shù)，則有：0＜x﹣2≤9，即2＜x≤11.當x＝3時，＝9;當x＝5時，＝3;當x＝11時，＝1.即滿足條件x的值有3個，故答案為：B.【分析】（1）求方程3x+y＝7的正整數(shù)解，可給定x一個正整數(shù)值，計算y的值，如果y的值也是正整數(shù)，那么就是原方程的一組正整數(shù)解;（2）參照例題的解題思路進行解答;（3）設購買甲種體育用品x件，購買乙種體育用品y件，根據(jù)“甲種體育用品每件20元，乙種體育用品每件30元，共用去180元”列出方程，并解答.2．（1）把{x=2y=1代入方程組，得{-7-n=3n+3m=1解得{n=-103m=11∴3m+n=11-10=1（2）當n=-2時，解方程組得解得；解析：（1）把代入方程組，得解得∴3m+n=11-10=1（2）當n=-2時，解方程組得解得；【解析】【分析】（1）將x=2，y=1代入方程組，即可得到m和n的值，計算得到3m+n的值即可；（2）將n=-2代入方程組，用含m的代數(shù)式表示x和y，根據(jù)x為非正數(shù)，y為負數(shù)表示出其范圍，即可得到m的取值范圍，繼而化簡得到答案即可。3．（1）∵b＝a+1，c＝b+1.∴c＝a+2，由題意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝13，∴c＝a+2＝73；（2）當a＝12時，12x+32y=52，解析：（1）∵b＝a+1，c＝b+1.∴c＝a+2，由題意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，∴c＝a+2＝；（2）當a＝時，x+y=，化簡得，x+3y＝5，∴符合題意的整數(shù)解是：，，；（3）由題意，得ax+（a+1）y＝a+2，整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，∵x、y均為正整數(shù)，∴x+y﹣1是正整數(shù)，∵a是正整數(shù)，∴2﹣y是正整數(shù)，∴y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，∴a＝1，此時，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整數(shù)解是.【解析】【分析】（1）由題意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，即可求得c＝；（2）當a＝時，方程為x+y=，即x+3y＝5，根據(jù)方程即可求得；（3）由題意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均為正整數(shù)，則x+y﹣1是正整數(shù)，a是正整數(shù)，則2﹣y是正整數(shù)，從而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此時方程的正整數(shù)解是.4．（1）（2，14）（2）20（3）【解析】【解答】解：（1）由題意可知：點的“演化點”是，即，故答案為：（2，14）（2）設Q點坐標為（x，y），由題意可知：{2解析：（1）（2，14）（2）20（3）【解析】【解答】解：（1）由題意可知：點的“演化點”是，即，故答案為：（2，14）（2）設Q點坐標為（x，y），由題意可知：，解得：∴Q點坐標為（0，4）∴故答案為：20；（3）由題意可知：AD=3，OC=5的坐標為，即點的坐標為當點位于y軸正半軸時，，∴或（此情況不合題意，舍去）又∵∴，解得：（舍去）當點位于y軸正半軸時，，∴又∵∴，解得：，即故答案為：．【分析】（1）根據(jù)題意a=3，x=-1，y=5時，求點的坐標；（2）根據(jù)題意列方程組求點Q的坐標，然后結合坐標系中點的位置，利用割補法求三角形面積；（3）根據(jù)題意求出，然后分點在y軸正半軸和負半軸兩種情況討論，利用三角形面積列方程求解．5．（1）解：設該工廠從A地購買了x噸原料，制成運往B地的產(chǎn)品y噸，依題意，得：，解得：{x=500y=400．填表如下：

原料x噸

產(chǎn)品y噸

合計（元）

鐵路運解析：（1）解：設該工廠從A地購買了噸原料，制成運往B地的產(chǎn)品噸，依題意，得：，解得：．填表如下：原料x噸產(chǎn)品y噸合計（元）鐵路運費7200052800124800公路運費75001200019500答：該工廠從A地購買了噸原料，制成運往B地的產(chǎn)品噸；（2）解：8000×400-（1000×500+19500+124800）=2555700（元）．答：這批產(chǎn)品的銷售款比原料費與運輸費的和多2555700元【解析】【分析】（1）設該工廠從A地購買了噸原料，制成運往B地的產(chǎn)品噸，由這兩次運輸共支出公路運輸費19500元、鐵路運輸費124800元，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）由總價=單價×數(shù)量結合多的費用=銷售總額-（原料費+運輸費），即可求出結論．6．（1）解：將方程組②-①，得3y=6a-3∴y=2a-1∵y=a+1∴2a-1=a+1∴a=2（2）解：①將y=2a-1代入方程①，可得x=a+2∴方程組的解為{x=a+2y=解析：（1）解：將方程組②-①，得3y=6a-3∴y=2a-1∵y=a+1∴2a-1=a+1∴a=2（2）解：①將y=2a-1代入方程①，可得x=a+2∴方程組的解為∵方程組的解也是方程bx+3y=1的解∴b(a+2)+3(2a-1)=1∴ab+6a+2b=4②由ab+6a+2b=4可得b=∴b=∵a，b都是整數(shù)∴a+2=±1，±2，±4，±8，±16∴當a+2=1時，b有最大值10；當a+2=-1時，b有最小值-22【解析】【分析】（1）把a看成已知數(shù)，解關于x、y的方程組，解得y用a來表示，再將已知式y(tǒng)=a+1代入解得a的值即可。（2）①將y=2a-1代入方程①，使x也用a來表示，

將x、y的值代入bx+3y=1中，則a、b的關系式可求。

②要求b的最大值和最小值，將a、b的關系式變形，使b用a來表示，因為a、b都是整數(shù)，根據(jù)整數(shù)的特點，把b的關系式變形，使分子不含有字母，以便取整數(shù)。列出所有符合條件的a+2值，找出b的最大值和最小值即可。7．（1）解：設參加春游的學生共x人，原計劃租用45座客車y輛．根據(jù)題意，得，解這個方程組，得．答：春游學生共240人，原計劃租45座客車5輛（2）解：租45座客車：240÷4解析：（1）解：設參加春游的學生共x人，原計劃租用45座客車y輛．根據(jù)題意，得，解這個方程組，得．答：春游學生共240人，原計劃租45座客車5輛（2）解：租45座客車：240÷45≈5.3（輛），所以需租6輛，租金為220×6=1320（元），租60座客車：240÷60=4（輛），所以需租4輛，租金為300×4=1200（元）．答：租用4輛60座客車更合算【解析】【分析】（1）設參加春游的學生共x人，原計劃租用45座客車y輛,

本題的等量關系為：45×45座客車輛數(shù)+15=學生總數(shù)，60×（45座客車輛數(shù)-1）=學生總數(shù)，據(jù)此列方程組求出x,y即可求解；（2）根據(jù)總人數(shù)÷每輛車的座位數(shù)=車輛數(shù)，分別計算單獨租用兩種車需要的車輛數(shù)，再分別計算兩種租車方案下的租金，比較租金即可得出那輛車更合算。8．（1）（0，b）；（a，2）（2）解：∵頂點B和D的坐標都是方程2x+3y＝12的解，∴{3b=122a+6=12，解得{a=3b=4．（3）3；2（4）解：點P（m，n解析：（1）（0，b）；（a，2）（2）解：∵頂點B和D的坐標都是方程2x+3y＝12的解，∴，解得．（3）3；2（4）解：點P（m，n）平移后的坐標為（m+3，n﹣2），∵點P的坐標是方程2x+3y＝12的解，∴2m+3n＝12，將P′的坐標代入方程2x+3y＝12，2（m+3）+3（n﹣2）＝2m+3n＝12，∴P′的坐標也是方程2x+3y＝12的解．【解析】【解答】解：（1）由A的坐標為（0，2），C的坐標為（a，b），以及長方形ABCD的性質(zhì)可知，AB=b,AD=a,則B（0，b），D（a，2），故答案為（0，b），（a，2）；（3）在（2）的條件下，平移長方形ABCD，使點B移動到點D，得到新的長方形EDFG，這次平移可以看成是先將長方形ABCD向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度的兩次平移；故答案為3，2；【分析】（1）由題意，結合長方形的性質(zhì)可得點B和點D的坐標；（2）因為點B和D的坐標都是方程2x+3y＝12的解，則將B、D兩點坐標帶入方程2x+3y＝12，得到方程組，求解即可得到答案.（3）①本題考查平移，利用平移的性質(zhì)可以得到答案；（4）將點P的坐標和P′的坐標代入方程2x+3y＝12，若兩者相等，即可證明.9．（1）z-10|-2z+40（2）解：∵x=z-10，y=-2z+40；∴S=3（z-10）+2（-2z+40）+5z=4z+50，∵x，y，z為三個非負實數(shù)，∴z-10≥0，-2z解析：（1）z-10|-2z+40（2）解：∵x=z-10，y=-2z+40；∴S=3（z-10）+2（-2z+40）+5z=4z+50，∵x，y，z為三個非負實數(shù)，∴z-10≥0，-2z+40≥0，z≥0，∴10≤z≤20，當z=20時，S有最大值，最大值=40+50=130，當z=10時，S有最小值，最小值=40+50=90．【解析】【解答】（1），①×3-②得3x-2x+3z-4z=-10，解得x=z-10，①×2-②得2y-3y+2z-4z=-40，解得y=-2z+40；故答案為：z-10，-2z+40；【分析】（1）把看作為關于x和y的二元一次方程組，然后利用加減消元法可得到x=z-10，y=-2z+40；（2）把x=z-10，y=-2z+40代入s=3x+2y+5z中得S=4z+50，再根據(jù)x，y，z為三個非負實數(shù)，即z-10≥0，-2z+40≥0，z≥0，解得10≤z≤20，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解．10．（1）21；8；m+n（2）解：∵f(10m+n)=m+n，且∴∴{k=3m=2∴；（3）5或7【解析】【解答】解:（1）①∵對任意一個兩位數(shù)a，如果解析：（1）21；8；m+n（2）解：∵，且∴∴∴；（3）5或7【解析】【解答】解:（1）①∵對任意一個兩位數(shù)a，如果a滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“迥異數(shù)”∴“迥異數(shù)”為21；②；（3）∵∴，解得x<8∵x?3>0，x?4>0∴x>4∴4<x<8，且x為正整數(shù)∴x=5，6，7當x=5時，m=52，n=12，當x=6時，m=63，n=22(不合題意，舍去)，當x=7時，m=74，n=32，綜上所述：x為5或7.【分析】（1）①由“迥異數(shù)”的定義可得；②根據(jù)定義計算可得；（2）由，可求k的值，即可求b；（3）根據(jù)題意可列出不等式，可求出5<x<9，即可求x的值.11．（1）解：設草莓購買了x箱、蘋果購買了y箱,根據(jù)題意得：x+y=6060x+40y=3100解之：x=35y=25答：草莓購買了35箱、蘋果購買了25箱.（2）340；52或53解析：（1）解：設草莓購買了x箱、蘋果購買了y箱,根據(jù)題意得：解之：答：草莓購買了35箱、蘋果購買了25箱.（2）