綜合訓(xùn)練08立體幾何初步（28種題型60題專練）一．構(gòu)成空間幾何體的基本元素（共1小題）1．（2023?淮北一模）如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′﹣ABC，則剩余的部分是（）A．三棱錐 B．四棱錐 C．三棱柱 D．組合體二．棱柱的結(jié)構(gòu)特征（共2小題）2．（2023?中衛(wèi)一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MP∥平面CND1，則下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn) B．線段MP的最大值為 C．點(diǎn)P的軌跡是正方形 D．點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為3．（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，P為BC中點(diǎn)，AP＝BC，Q為A1C1上一點(diǎn)，A1Q＝，則經(jīng)過(guò)A，P，Q三點(diǎn)的平面截此三棱柱所成截面的面積是（）A． B．4 C． D．5三．棱錐的結(jié)構(gòu)特征（共2小題）4．（2023?天津一模）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐側(cè)面積的一半，那么其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）A． B． C． D．5．（2023?龍華區(qū)校級(jí)模擬）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式．宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑．如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐，若此正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為α，則側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為（）A． B． C． D．四．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征（共2小題）6．（2023?柳南區(qū)二模）如圖，ABC﹣A1B1C1是一個(gè)正三棱臺(tái)，而且下底面邊長(zhǎng)為6，上底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為3，則棱臺(tái)的高為（）A． B． C． D．7．（2023?二模擬）在正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，上、下底面邊長(zhǎng)分別為，該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為100π，則該正四棱臺(tái)的高為．五．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）（共2小題）8．（2023?河北模擬）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積為，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A．3 B．3 C．6 D．9．（2023?讓胡路區(qū)校級(jí)二模）古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即V＝sl（V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，s表示平面圖形的面積，l表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）．如圖直角梯形ABCD，已知AD∥BC，AB⊥AD，AD＝4，BC＝2，則重心G到AB的距離為（）A． B． C．3 D．2六．球內(nèi)接多面體（共4小題）10．（2023?武功縣校級(jí)模擬）如果一個(gè)凸多面體的每個(gè)面都是全等的正多邊形，而且每個(gè)頂點(diǎn)都引出相同數(shù)目的棱，那么這個(gè)凸多面體叫做正多面體．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其著作《幾何原本》的卷13中系統(tǒng)地研究了正多面體的作圖，并證明了每個(gè)正多面體都有外接球．若正四面體、正方體、正八面體的外接球半徑相同，則它們的棱長(zhǎng)之比為（）A． B． C． D．11．（2023?山西模擬）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，以C1為球心，為半徑的球面與側(cè)面ABB1A1的交線長(zhǎng)為（）A． B． C． D．12．（2023?梅河口市校級(jí)模擬）若球O是正三棱錐A﹣BCD的外接球，，點(diǎn)E在線段BA上，BA＝3BE，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（）A． B．2π C． D．π13．（2023?河南二模）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，以C1為球心，為半徑的球面與側(cè)面ABB1A1的交線長(zhǎng)為（）A． B． C． D．七．球外切幾何體（共2小題）14．（2023?全國(guó)模擬）四個(gè)半徑為1的球兩兩相切，則它們的外切四面體棱長(zhǎng)為（）A． B． C． D．（多選）15．（2023?小店區(qū)校級(jí)模擬）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的內(nèi)切球球心為O，E、F分別是棱AB、CC1的中點(diǎn)，G在棱BC上移動(dòng)，則（）A．對(duì)于任意點(diǎn)G，OA∥平面EFG B．存在點(diǎn)G，使OD⊥平面EFG C．直線EF的被球O截得的弦長(zhǎng)為 D．過(guò)直線EF的平面截球O所得截面圓面積的最小值為八．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共3小題）16．（2023?深圳模擬）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為（）A．384π B．392π C．398π D．404π17．（2023?漳州模擬）已知某圓錐的底面半徑為1，高為，則它的側(cè)面積與底面積之比為（）A． B．1 C．2 D．418．（2023?徐州模擬）在2023年3月12日馬來(lái)西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來(lái)自中國(guó)的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績(jī)打破了“解三階魔方平均用時(shí)最短”吉尼斯世界紀(jì)錄稱號(hào)．如圖，一個(gè)三階魔方由27個(gè)單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了45°之后，表面積增加了（）A．54 B． C． D．九．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共10小題）19．（2023?蕉城區(qū)校級(jí)模擬）“辛普森（Simpson）公式”給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）的面積S0的4倍、下底面的面積S'之和乘以高h(yuǎn)的六分之一，即．我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體稱為擬柱體．在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面．中國(guó)古代名詞“芻童”（原來(lái)是草堆的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體．已知某“芻童”尺寸如圖所示，且體積為，則它的高為（）A． B． C． D．420．（2023?張家口三模）風(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期，相傳墨翟以木頭制成木鳥(niǎo)，研制三年而成，是人類最早的風(fēng)箏起源．如圖，是某高一年級(jí)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體ABCEF，D為AB的中點(diǎn)，四邊形EFDC為矩形，且DF⊥AB，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，當(dāng)AE⊥BE時(shí)，多面體ABCEF的體積為（）A． B． C． D．（多選）21．（2023?湖北模擬）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2，P是直線A1D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．BP的最小值為 B．PA+PC的最小值為 C．三棱錐B1﹣ACP的體積不變 D．以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面AB1C的交線長(zhǎng)（多選）22．（2023?華容縣模擬）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，將△ADE沿著DE翻折，使點(diǎn)A到點(diǎn)P處，得到四棱錐P﹣BCED，則（）A．翻折過(guò)程中，該四棱錐的體積有最大值為3 B．存在某個(gè)點(diǎn)P位置，滿足平面PDE⊥平面PBC C．當(dāng)PB⊥PC時(shí)，直線PB與平面BCED所成角的正弦值為 D．當(dāng)時(shí)，該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為（多選）23．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P為線段AD1（包括端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A．異面直線AD1與A1C1所成的角為60° B．三棱錐B1﹣PBC1的體積為定值 C．不存在點(diǎn)P，使得AD1⊥平面PCD D．PB+PC的最小值為24．（2023?西安模擬）表面積為100π的球面上有四點(diǎn)S、A、B、C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若面SAB⊥面ABC，則棱錐S﹣ABC體積的最大值為．25．（2023?齊齊哈爾二模）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，DC＝AD＝PD＝1，AB＝2，E為線段PA上一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB上且CF⊥BD．（1）若E為PA的中點(diǎn)，求四面體BCEP的體積；（2）在線段PA上是否存在點(diǎn)E，使得FE與平面PFC所成角的余弦值是？若存在，求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（2023?福州模擬）如圖，四邊形A1ABB1是圓柱的軸截面，CC1是母線，點(diǎn)D在線段BC上，直線A1C∥平面AB1D．（1）記三棱錐B1﹣ABD的體積為V1，三棱錐B1﹣ABC的體積為V2，證明：V2＝2V1；（2）若CA＝2，CB＝4，直線A1C到平面AB1D的距離為，求直線CC1與平面AB1D所成角的正弦值．27．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）如圖，圓錐PO的高為3，AB是底面圓O的直徑，四邊形ABCD是底面圓O的內(nèi)接等腰梯形，且AB＝2CD＝2，點(diǎn)E是母線PB上一動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面ACE⊥平面POD；（2）若二面角A﹣EC﹣B的余弦值為，求三棱錐A﹣ECD的體積．28．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，AB＝AC＝1，將△PAB繞著PA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△PAD的位置，得到如圖所示的組合體，M為PD的中點(diǎn)．（1）當(dāng)∠BAC為何值時(shí)，該組合體的體積最大，并求出最大值；（2）當(dāng)PC∥平面MAB時(shí)，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值．一十．球的體積和表面積（共6小題）29．（2023?惠州校級(jí)模擬）米斗是我國(guó)古代稱量糧食的量器，是官倉(cāng)、糧棧、米行及地主家里必備的用具，其外形近似一個(gè)正四棱臺(tái)．米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文化的味，如今也成為了一種頗具意趣的藏品．已知一個(gè)斗型工藝品上下底面邊長(zhǎng)分別為2和4．側(cè)棱長(zhǎng)為．則其外接球的表面積為（）A． B． C．32π D．40π30．（2023?蕉城區(qū)校級(jí)模擬）將一個(gè)半徑為2的球削成一個(gè)體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（）A． B． C． D．（多選）31．（2023?深圳模擬）如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，M，N分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，O為線段MN的中點(diǎn)，球O的表面正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則下列結(jié)論中正確的是（）A．AO⊥平面BCD B．球O的體積為 C．球O被平面BCD截得的截面面積為 D．球O被正四面體ABCD表面截得的截面周長(zhǎng)為32．（2023?屯昌縣二模）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝，BC＝3，點(diǎn)P在棱BB1上，且PA⊥PC1，當(dāng)△APC1的面積取最小值時(shí)，三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為．33．（2023?張家口三模）已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥底面ABCD，，則四棱錐P﹣ABCD外接球表面積為；若點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|+|QB|的最小值為．34．（2023?興國(guó)縣模擬）如圖，正三角形ABC中，D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，其中AB＝4，把△ADE沿著DE翻折至△A′DE的位置，則當(dāng)四棱錐A′﹣BCED的體積最大時(shí)，四棱錐A′﹣BCED外接球的表面積為．一十一．多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題（共2小題）35．（2023?郴州模擬）已知圓臺(tái)的上、下底面圓半徑分別為10和5，側(cè)面積為300π，AB為圓臺(tái)的一條母線（點(diǎn)B在圓臺(tái)的上底面圓周上），M為AB的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，繞圓臺(tái)側(cè)面一周爬行到點(diǎn)M，則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為（）A．30 B．40 C．50 D．6036．（2023?高新區(qū)校級(jí)模擬）已知點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段B1C1上一點(diǎn)，NC1＝2B1N，DM⊥BN，則動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．一十二．三角形五心（共2小題）37．（2023?河南模擬）已知點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，在△ABC中，滿足，，則點(diǎn)O為該三角形的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心38．（2023?禪城區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心一十三．組合幾何體的面積、體積問(wèn)題（共1小題）39．（2023?東湖區(qū)校級(jí)一模）在多面體ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四邊形ACDE為直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，且點(diǎn)G滿足．（1）證明：GF∥平面ABC；（2）求多面體ABCDE的體積最大值．一十四．平面圖形的直觀圖（共1小題）40．（2023?彌勒市校級(jí)模擬）如圖，若斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角△A'B'C'（B'與O'重合）是水平放置的△ABC的直觀圖，則△ABC的面積為（）A．2 B．2 C．4 D．8一十五．斜二測(cè)法畫(huà)直觀圖（共1小題）41．（2023?建水縣校級(jí)模擬）水平放置的平行四邊形OABC，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖O'A'B'C'，如圖所示．此直觀圖恰好是個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，則原平行四邊形OABC的面積為．一十六．簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖（共1小題）42．（2023?甘肅一模）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）．一十七．平行投影及平行投影作圖法（共1小題）43．（2023?濟(jì)南三模）如圖，正四面體ABCD的棱AB與平面α平行，且正四面體內(nèi)的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成圖形面積的最小值是，則該正四面體的棱長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．2一十八．由三視圖求面積、體積（共1小題）44．（2023?蒼梧縣校級(jí)模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，圖中小方格的長(zhǎng)度為1，則該幾何體的表面積為（）A．65 B． C． D．60一十九．平面的基本性質(zhì)及推論（共2小題）45．（2023?吉林模擬）已知α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，則A∈l B．若A，B，C是平面α內(nèi)不共線三點(diǎn)，A∈β，B∈β，則C?β C．若直線a?α，直線b?β，則a與b為異面直線 D．若A∈α且B∈α，則直線AB?α46．（2023?合肥模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M，N分別是側(cè)面CD1和側(cè)面BC1的中心，過(guò)點(diǎn)M的平面α與直線ND垂直，平面α截正方體AC1所得的截面記為S，則S的面積為（）A．5 B．4 C．7 D．9二十．異面直線及其所成的角（共2小題）47．（2023?瓊山區(qū)校級(jí)一模）在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，AA1，BB1，CC1，DD1均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，則圖中異面直線AB1與CD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．48．（2023?蕉城區(qū)校級(jí)二模）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D和CD1與底面所成的角分別為30°和45°，則異面直線A1D和B1D1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二十一．異面直線的判定（共1小題）（多選）49．（2023?保山模擬）如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示GH，MN是異面直線的圖形為（）A． B． C． D．二十二．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系（共1小題）50．（2023?順義區(qū)二模）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱DD1和線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足與DD1垂直的直線MN（）A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有且僅有3條 D．有無(wú)數(shù)條二十三．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系（共1小題）51．（2023?嵊州市模擬）已知不重合的平面α，β，γ和直線l，則“α∥β”的充分不必要條件是（）A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行 B．l⊥α且l⊥β C．γ⊥α且γ⊥β D．α內(nèi)的任何直線都與β平行二十四．直線與平面平行（共2小題）52．（2023?白山二模）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1D1的中點(diǎn)，則（）A．EF∥平面BB1D1 B．EF∥平面B1CD1 C．EF⊥平面A1BD D．EF⊥平面BC1D53．（2023?葫蘆島一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝PD，AB⊥PA，AD＝4，AB＝BC＝2．E為PD的中點(diǎn)．（1）求證：CE∥平面PAB；（2）再?gòu)臈l件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：點(diǎn)D到平面PAB的距離．條件①：四棱錐VP﹣ABCD＝4；條件②：直線PB與平面ABCD所成的角正弦值為．二十五．直線與平面垂直（共2小題）54．（2023?深圳模擬）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點(diǎn)P在直線AD1上，Q為線段BD的中點(diǎn)，則下列命題中假命題為（）A．存在點(diǎn)P，使得PQ⊥A1C1 B．存在點(diǎn)P．使得PQ∥A1B C．直線PQ始終與直線CC