必刷小題8解三角形(分值：73分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.(2024·江門模擬)在△ABC中，B=30°，b=2，c=22，則角A的大小為()A.45° B.135°或45°C.15° D.105°或15°2.(2025·青島模擬)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=2asinB，bc=4，則△ABC的面積為()A.1 B.3 C.2 D.233.(2024·赤峰模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a=9，b=8，c=5，則△ABC的外接圓半徑為()A.151122 B.301111 C.4.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足ba=1-cosBcosA，則△ABCA.鈍角三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰三角形5.在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，AD=6，BD=3，∠ABC=45°，則sin∠ADC的值為()A.2+34 BC.1+74 D6.寶塔山是延安的標(biāo)志，見證了中國(guó)革命的進(jìn)程，在中國(guó)老百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比)，在山坡A處測(cè)得∠CAD=15°，從A處沿山坡往上前進(jìn)66m到達(dá)B處，在山坡B處測(cè)得∠CBD=30°，則寶塔CD的高為()A.44m B.42m C.48m D.46m7.(2025·遼陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2+4b2=6c2，則sin2CsinA.223 B.26 C.28.在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A=2B，b=3，則a的取值范圍是()A.(0，6) B.(32，6)C.(32，33) D.(0，32)二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.則下列各組條件中使得△ABC有唯一解的是()A.a=3，b=4，A=πB.a=3，b=4，cosB=3C.a=3，b=4，C=πD.a=3，b=4，B=π10.某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離126nmile；在A處看燈塔C在貨輪北偏西30°，距離83nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60°方向，則下列說法正確的是()A.A處與D處之間的距離是24nmileB.燈塔C與D處之間的距離是16nmileC.燈塔C在D處的南偏西30°D.D在燈塔B的北偏西30°11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B=π4，BC邊上的高等于a3，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是(A.b=a53B.sinB∠BAC=C.cosC=255D.bD2c2三、填空題(每小題5分，共15分)12.(2025·深圳模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosC=23，a=3，b=4，則cosB=.13.(2025·成都模擬)平面四邊形ABCD中，AB=6，AD=CD=4，BC=2，若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則該四邊形的面積為.

14.(2024·南充模擬)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊.已知a=2，2sinB+2sinC=3sinA.則sinA的最大值為.

答案精析1.D[因?yàn)锽＝30°，b＝2，c＝22，由正弦定理得sinC＝csin因?yàn)閏>b，所以C>B，故C＝45°或135°，可得A＝180°－B－C＝105°或15°.]2.A[根據(jù)正弦定理得sinB＝2sinAsinB，因?yàn)锽∈(0，π)，則sinB≠0，所以1＝2sinA，解得sinA＝12所以S△ABC＝12bcsin＝12×4×12＝3.C[因?yàn)閍＝9，b＝8，c＝5，所以由余弦定理可得cosC＝a2所以sinC＝1-cos設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理可得2R＝csin即R＝1511則△ABC的外接圓半徑為1511114.D[因?yàn)閎a所以由正弦定理得sinB整理得sin(A＋B)＝sinA，即sinC＝sinA，由正弦定理可得a＝c.所以△ABC為等腰三角形.]5.C[如圖，在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝即6sin45°故sin∠BAD＝24.又BD<AD，則∠BAD<∠ABC，故∠BAD只能是銳角，故cos∠BAD＝144所以sin∠ADC＝sin(∠BAD＋∠ABD)＝24×22＋144×6.A[由題可知∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，則∠ACB＝15°，所以BC＝AB＝66，設(shè)坡角為θ，則由題可得tanθ＝73則可求得cosθ＝34在△BCD中，∠BDC＝θ＋90°，由正弦定理可得CDsin30°即CD1解得CD＝44，故寶塔CD的高為44m.]7.C[因?yàn)閍2＋4b2＝6c2≥2a2·4b所以由正弦定理可得sin2C當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)，等號(hào)成立，所以sin2Csin8.C[由正弦定理知asin即asin2B＝3sinB，∴又A＝2B，C＝π－A－B＝π－3B，且△ABC為銳角三角形，∴0<?π6<B<π∴cosB∈22∴a的取值范圍是(32，33).]9.BCD[根據(jù)題意，A中，由正弦定理asinA＝bsinB?sinB＝43因?yàn)?2<23<22，所以角B在π6，π4和3πB中，根據(jù)余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，即16＝9＋c2－185c解得c＝5或c＝－75(舍)所以只有1個(gè)解，滿足題意；C中，條件為邊角邊，根據(jù)余弦定理可以求得唯一的c邊，所以有唯一解，滿足題意；D中，由正弦定理asinA＝bsinB?sinA＝34因?yàn)?8<1所以角A在0，π6和5π6，π上各有一個(gè)解，當(dāng)解在5π6，π上時(shí)，角B10.AC[由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝126，AC＝83，在△ABD中，由正弦定理得ADsin所以AD＝12＝24(nmile)，故A正確；在△ACD中，由余弦定理得CD＝AC2＝83(nmile)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)镃D＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的南偏西30°，故C正確；由∠ADB＝60°，可知D在燈塔B的北偏西60°，故D錯(cuò)誤.]11.ACD[因?yàn)閟inB＝a3c＝a3c＝22，所以c＝a2解得b＝53a，選項(xiàng)Ab2－c2＝53選項(xiàng)D正確；b＝53asinB＝53sin∠BAC＝2則sin∠BAC＝31010，選項(xiàng)cosC＝a2＋b212.1解析由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcosC＝32＋42－2×3×4×23＝9解得c＝3，所以cosB＝a＝9＋13.83解析因?yàn)锳B＝6，AD＝CD＝4，BC＝2，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以B＋D＝π，即cosB＋cosD＝0，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝36＋4－2×6×2cosB＝40－24cosB，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD＝16＋16＋2×4×4cosB＝32＋32cosB，可得40－24cosB＝32＋32cosB，解得cosB＝17，cosD＝－1所以sinB＝sinD＝43所以S四邊形ABCD＝S△ABC＋S＝12AB·BCsinB＋12AD·CDsin＝12×6×2×437＋12×4×414.4解析因?yàn)閍＝2，2sin