第5章

勾股定理與實(shí)數(shù)5.1勾股定理及其逆定理第1課時(shí)勾股定理知識(shí)點(diǎn)1

勾股定理在直角三角形中，如果兩條直角邊長(zhǎng)分別是a和b，斜邊長(zhǎng)為c，那么__________．用自然語(yǔ)言可敘述為_(kāi)_________________________________________．在我國(guó)古代，人們將直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以這個(gè)定理在我國(guó)被稱為“勾股定理”．a(chǎn)2＋b2＝c2直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方【注意】(1)勾股定理體現(xiàn)的是直角三角形中三邊之間的關(guān)系；(2)勾股定理只對(duì)直角三角形適用，應(yīng)注意分清題目中的直角邊和斜邊，不要看到a，b，c就以為a，b為直角邊，c為斜邊．知識(shí)點(diǎn)2

勾股定理的驗(yàn)證我們可以利用趙爽弦圖、畢氏證法、總統(tǒng)證法等方式來(lái)證明勾股定理．知識(shí)點(diǎn)3

勾股定理的應(yīng)用利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(直角三角形)．考點(diǎn)1利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算典例1[2025·蚌埠期中]如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)，若AC＝5，AB＝13，CD＝4，則BD的長(zhǎng)是()A．6B．7C．8D．9思路導(dǎo)析根據(jù)勾股定理求出BC＝12，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求得答案．變式1[2025·合肥期中]如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)D，B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)H的位置，折痕為EF，則△ABE的面積為()A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2變式2[2025·江門(mén)期中]如圖，在直線l上有正方形a，b，c，若a，c的面積分別為4和16，則b的面積為_(kāi)__．20考點(diǎn)2

勾股定理的驗(yàn)證典例2勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法，給出了勾股定理的證明，后人稱之為“趙爽弦圖”流傳至今．如圖，下列式子中，可以用來(lái)表示從圖1到圖2的變化的是()思路導(dǎo)析根據(jù)兩個(gè)圖形面積相等列式，即可求解．變式下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是()考點(diǎn)3勾股定理的實(shí)際應(yīng)用典例3[2025·云浮一模]我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是(丈和尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺)()A．5尺，6尺B．10尺，11尺C．11尺，12尺D．12尺，13尺思路導(dǎo)析本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)AC＝x尺，則AB＝AB′＝(x＋1)尺，在Rt△ACB′中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．變式1[2025·哈爾濱期中]如圖，由于臺(tái)風(fēng)的影響，一棵高度是16m的樹(shù)折斷，樹(shù)頂落在離樹(shù)干底部8m處，則這棵樹(shù)的折斷處距地面的高度是__m.6變式2[2025·南京期末]如圖，把擺鐘的擺錘看作一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)它擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，擺錘離底座的垂直高度DE＝5cm，當(dāng)它擺動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，擺錘離底座的垂直高度BF＝7cm，且與擺錘在最低點(diǎn)時(shí)的水平距離為BC＝10cm，求鐘擺AD的長(zhǎng)度．解：由題意可知AD＝AB，CE＝BF＝7cm，所以CD＝CE－DE＝7－5＝2(cm)，設(shè)AB＝xcm，則AC＝AD－CD＝(x－2)cm