第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省株洲二中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知f(x)=ln(2x)，則f′(1)=(

)A.ln2 B.2 C.12 D.2.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a3A.43 B.44 C.87 D.883.志愿者甲參加第21屆文博會的服務(wù)工作，甲從住所到文博會選擇乘地鐵、乘公交車、騎共享單車的概率分別為14，14，12，且乘地鐵、乘公交車、騎共享單車按時到達(dá)文博會的概率分別為45，34，A.173240 B.93173 C.801734.(x?1x)n(n∈A.8 B.12 C.15 D.?205.一家制造廠有n條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線每天生產(chǎn)一件產(chǎn)品，每個產(chǎn)品是“良品”的概率為p，否則為“次品”，每條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立.每天生產(chǎn)結(jié)束后對所有產(chǎn)品進(jìn)行檢測，“良品”被誤檢測為“次品”的概率(即漏檢率)為1?r，“次品”被誤檢測為“良品”的概率(即誤接受率)為t.被檢測為“良品”的產(chǎn)品出貨，否則報廢.則該制造廠每天出貨的產(chǎn)品件數(shù)平均為(

)A.np(1?r?t) B.np(1?r+t) C.n[(1?p)r+pt] D.n[pr+(1?p)t]6.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，若S3=9，A.72 B.81 C.90 D.997.若函數(shù)f(x)=lnx+ax2?2在區(qū)間(14,3)A.(?∞,?12) B.(?18,+∞)8.關(guān)于x的不等式e2a+x?lnx<x2+2ax對?x∈(0,1)A.[?12,0] B.[?12,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.由某班數(shù)學(xué)考試成績的數(shù)據(jù)分析可知，男生成績X與女生成績Y均服從正態(tài)分布，且X～N(100,16)，Y～N(100,25)，則(

)A.E(X)=100 B.D(Y)=5

C.P(X<92)+P(X≤108)=1 D.P(X≤112)≤P(Y≤112)10.拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交E于A，B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l的傾斜角為α，若|AB|=16|OF|=16，則(

)A.p=2 B.sinα=12

C.|AF|=8+43 11.記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，實(shí)數(shù)A，B，qA.若{an}為等差數(shù)列，則{Snn}為等差數(shù)列B.若Sn=An2+Bn，則{an三、填空題：本題共3小題，共15分。12.雙曲線x29?13.從按直線方向排列的10塊地中選2塊種植A，B兩種作物，且A，B至少間隔6塊，有___種不同的種植．14.已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn=anan+1+14．

(1){四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=2x2?x，

(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式a16.(本小題15分)

從某學(xué)校獲取了容量為400數(shù)學(xué)成績語文成績合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀20050250優(yōu)秀6090150合計(jì)260140400(1)依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？

(2)假設(shè)用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從全校數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人中任取3人，記這3人中語文成績優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

參考公式：χ2=n(ad?bcα0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82817.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=aex?1，g(x)=ln(x+1)．

(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)a≥1時，設(shè)函數(shù)18.(本小題17分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E為棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn)．

(1)19.(本小題17分)

與橢圓x29+y25=1有公共焦點(diǎn)的雙曲線C過點(diǎn)M(3,6)，過點(diǎn)E(2,0)作直線l交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，連接AO并延長交雙曲線左支于點(diǎn)P(O為坐標(biāo)原點(diǎn))答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，涉及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=1代入計(jì)算可得答案．

【解答】解：根據(jù)題意，f(x)=ln(2x)=ln2+lnx，其導(dǎo)數(shù)f′(x)=1x，

則f′(1)=1，2.【答案】B

【解析】解：∵{an}是等差數(shù)列，

∴a1+a8=a3+a6，

∴S3.【答案】C

【解析】解：設(shè)“甲乘地鐵”為事件A，“甲乘公交車”為事件B，“甲騎共享單車”為事件C，“甲按時到達(dá)文博會”為事件D，

則P(A)=14，P(B)=14，P(C)=12，P(D|A)=45，P(D|B)=34，P(D|C)=23，

則P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)?P(D|C)

=14×44.【答案】C

【解析】解：由(x?1x)n(n∈N?)的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，

可知：2n=64?n=6，

故通項(xiàng)公式為Tr+1=C6rx6?r(?1x)5.【答案】D

【解析】解：由題意可知，“良品”被檢測為“良品”的概率為r，“次品”被誤檢測為“良品”的概率為t，

所以該制造廠每天每條生產(chǎn)線的產(chǎn)品被檢測為“良品”的概率為pr+(1?p)t，

設(shè)該制造廠每天可出貨的產(chǎn)品件數(shù)為X，

則X～B(n,pr+(1?p)t)，

所以該制造廠每天出貨的產(chǎn)品件數(shù)平均為E(X)=n[pr+(1?p)t]．

故選：D．

由全概率求出該制造廠每天每條生產(chǎn)線的產(chǎn)品被檢測為“良品”的概率即可結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式求解．

本題主要考查了全概率公式，考查了二項(xiàng)分布的期望公式，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】B

【解析】解：∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，S3=9，S6=36，

∴S3，S6?S3，S9?S6成等比數(shù)列，

∴9，36?9，S9?S6成等比數(shù)列，7.【答案】D

【解析】解：若f(x)在區(qū)間(14,3)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，

則f′(x)=1x+2ax<0在區(qū)間(14,3)上有解，

可得a<?12x2在區(qū)間(14,3)上有解，

又因?yàn)間(x)=?12x2在區(qū)間(14,3)上單調(diào)遞增，則g(x)<g(3)=?1188.【答案】B

【解析】解：由e2a+x?lnx<x2+2ax，可得lnxx<2a+xe2a+x，

即lnxelnx<2a+xe2a+x，

當(dāng)a≥0時，lnxelnx<0,2a+xe2a+x>0，不等式lnxelnx<2a+xe2a+x在(0,1)上顯然成立；

當(dāng)a<0時，令f(x)=xex，

則f(lnx)<f(2a+x)在(0,1)上恒成立．

因?yàn)閒′(x)=1?xex，

則在x∈(?∞,1)上f′(x)>0，所以f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增，

又x∈(0,1)時，lnx∈(?∞,0)，2a+x∈(?∞,1)，

所以只需lnx<2a+x在(0,1)上恒成立，

即2a>lnx?x恒成立．

令g(x)=lnx?x，

則g′(x)=1?xx>0，

9.【答案】AC

【解析】解：對于AC，由X～N(100,16)，得E(X)=100，該正態(tài)曲線的對稱軸為直線：x=100，

所以P(X<92)+P(X≤108)=P(X>108)+P(X≤108)=1，AC正確；

對于B，由Y～N(100,25)，得D(Y)=25，B錯誤；

對于D，因?yàn)閄～N(100,16)，Y～N(100,25)，

所以P(Y≤112)=P(Y≤100+12)<P(Y≤100+15)=P(X≤100+12)=P(X≤112)，D錯誤．

故選：AC．

由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)逐一判斷各個選項(xiàng)即可求解．

本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．10.【答案】ABD

【解析】解：由已知，16|OF|=16，所以16×p2=8p=16，所以p=2，故A正確；

因?yàn)閘過點(diǎn)F，所以|AB|=2psin2α=4sin2α=16，sin2α=14，又α∈[0,π)，故sinα=12，故B正確；

由已知可得，cosα=32，|AF|=p1?cosα或p11.【答案】ABD

【解析】解：對于A，若{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，

則Snn=d2n2+(a1?d2)nn=d2n+a1?d2，為等差數(shù)列，故A正確；

對于B，若Sn=An2+Bn，

則n≥2時，an=Sn?Sn?1=2An+B?A，n=1時，an=A+B，符合上式，

所以an=2An+B?A，{an}12.【答案】arctan24【解析】解：由雙曲線x29?y216=1，可得其漸近線的方程為y=±43x，

又43>1，

則漸近線y=43x與x軸的夾角arctan43>π4，

設(shè)漸近線y=43x與y軸的夾角為θ，

則tanθ=13.【答案】12

【解析】解：對作物A所種的位置進(jìn)行分類：

①當(dāng)A種在第1塊時，B只能種在第8，9，10塊上，有3種方法，

②當(dāng)A種在第2塊時，B只能種在第9，10塊上，有2種方法，

③當(dāng)A種在第3塊時，B只能種在第10塊上，有1種方法，

由加法原理得3+2+1=6(種)，

再對換A，B，可得共有12種不同的種植方法．

故答案為：12．

對作物A所種的位置進(jìn)行分類分別求出種植方法．

本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】2n?1；

[98【解析】解：(1)因?yàn)镾n=anan+1+14，因此4Sn=anan+1+1，

當(dāng)n≥2時，可得4Sn?1=an?1an+1，

兩式相減得4an=an(an+1?an?1)，

因?yàn)閍n≠0，故an+1?an?1=4，

因此a1，a3，…，a2n?1，...及a2，a4，…，a2n，...均為公差為4的等差數(shù)列，

當(dāng)n=1時，由a1=1及S1=a1a2+14，解得a2=3，

因此a2n?1=2(2n?1)?1，a2n=2(2n)?1，

因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n?1．

(2)由(1)15.【答案】an=4n?3；

3x?y?2=0【解析】解：(1)根據(jù)題意可得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=f(n)=2n2?n，

當(dāng)n≥2且n∈N?時，an=Sn?Sn?1=(2n2?n)?[2(n?1)2?(n?1)]=4n?3．

又當(dāng)n=1時，a1=S1=2×12?1=1，也滿足上式，

所以an=4n?3；

(2)因?yàn)?6.【答案】認(rèn)為語文成績和數(shù)學(xué)成績有關(guān)聯(lián)；

分布列見解析，95．【解析】(1)零假設(shè)為：H0：語文成績和數(shù)學(xué)成績無關(guān)．

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：

χ2=400(200×90?50×60)2250×150×260×140=600091≈65.9>3.841=x0.05．

語文成績和數(shù)學(xué)成績有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．

(2)從全校數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人中任取1人語文成績優(yōu)秀的概率為p=90150=35．

可得X服從二項(xiàng)分布，即X～B(3,35)．

X取值為X0123P8365427E(X)=3×35=95．

(1)計(jì)算出χ2，比較臨界值可得結(jié)果；

(2)確定X取值為0，1，2，3，再計(jì)算出從數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人中任取1人語文成績優(yōu)秀的概率，利用二項(xiàng)分布的概率公式得到分布列，再利用期望公式計(jì)算期望．17.【答案】y=x；

a=1時，?(x)有1個零點(diǎn)；當(dāng)a>1時，?(x)沒有零點(diǎn)．

【解析】(1)當(dāng)a=1時，f(x)=ex?1，

求導(dǎo)得f′(x)=ex，所以f′(0)=1，又f(0)=0，

所以f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=x．

(2)當(dāng)a=1時，?(x)=ex?ln(x+1)?1，所以?′(x)=ex?1x+1=xex+ex?1x+1，

令g(x)=xex+ex?1，求導(dǎo)得g′(x)=ex+xex+ex=ex(x+2)，

因?yàn)閤>?1，所以g(x)在(?1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(?1)=?1．

因?yàn)?′(0)=0，所以當(dāng)?1<x<0時，?′(x)<0，當(dāng)x>0時，?′(x)>0，

所以?(x)在(?1,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增，

又?(0)=0，所以?(x)有唯一零點(diǎn)x=0；

下證當(dāng)a>1時，?(x)無零點(diǎn)：

先證ex≥x+1：

記u(x)=ex?x?1，則u′(x)=ex?1，

當(dāng)x∈(?∞,0)時，u′(x)<0；當(dāng)x∈(0,+∞)時，u′(x)>0，

所以u(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以u(x)≥u(0)=0，即ex≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立，

再證lnx≤x?1：

由ex≥x+1，得18.【答案】解：(1)證明：如圖所示，以DA、DC、DD1

所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，

B(1,1,0)，E(0,0,1)，A1(1,0,2)，

C1(0,1,2)，B1(1,1,2)，F(xiàn)(1,1,1)，

∵FC1=(?1,0,1)，AE=(?1,0,1)，

∴FC1//AE，

∴FC1/?/AE；

又EF=(1,1,0)，

設(shè)直線FC1到直線AE的距離為d2，

則d2即為F到直線AE的距離，

又d2=|EF|2?(AE?EF|AE|)2【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間點(diǎn)到直線距離公式求出直線FC1到直線AE的距離即可；

(2)求出平面AB19.【答案】解：(1)由題意設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2a2