大學期末考試自動控制原理題(附帶答案)一、選擇題（每題3分，共15分）1.已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，當\(K\)增大時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將（）。A.保持穩(wěn)定B.由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定C.由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定D.始終不穩(wěn)定2.二階欠阻尼系統(tǒng)的超調量僅與（）有關。A.自然振蕩頻率\(\omega_n\)B.阻尼比\(\zeta\)C.時間常數(shù)\(T\)D.開環(huán)增益\(K\)3.根軌跡起始于（）。A.開環(huán)零點B.開環(huán)極點C.閉環(huán)零點D.閉環(huán)極點4.若系統(tǒng)的伯德圖中，對數(shù)幅頻特性在截止頻率\(\omega_c\)處的斜率為\(-40\,\text{dB/dec}\)，則系統(tǒng)的相位裕度可能為（）。A.\(80^\circ\)B.\(45^\circ\)C.\(10^\circ\)D.\(-20^\circ\)5.采用滯后校正裝置改善系統(tǒng)性能時，主要是利用其（）特性。A.高頻段幅值衰減B.中頻段斜率變陡C.低頻段相位超前D.高頻段相位滯后二、簡答題（每題8分，共24分）1.簡述勞斯穩(wěn)定判據(jù)的基本思想，并說明當勞斯表某一行全為零時的處理方法。2.說明開環(huán)頻率特性中“截止頻率\(\omega_c\)”和“相位裕度\(\gamma\)”的物理意義，并解釋二者對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。3.比較線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)在穩(wěn)定性分析上的主要區(qū)別（至少列出3點）。三、計算題（共61分）1.（12分）某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}\)。（1）求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)\)；（2）判斷系統(tǒng)的阻尼類型（欠阻尼、臨界阻尼或過阻尼）；（3）計算系統(tǒng)的超調量\(\sigma\%\)、調節(jié)時間\(t_s\)（取\(5\%\)誤差帶）和峰值時間\(t_p\)。2.（15分）已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}\)（單位負反饋）。（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡圖（要求標注關鍵點：起點、終點、分離點/會合點、漸近線等）；（2）確定系統(tǒng)穩(wěn)定時\(K\)的取值范圍；（3）當\(K=6\)時，判斷系統(tǒng)是否存在主導極點，若存在，近似計算其超調量。3.（14分）某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖1所示（圖中未畫出，文字描述：低頻段斜率為\(0\,\text{dB/dec}\)，在\(\omega=1\)處斜率變?yōu)閈(-20\,\text{dB/dec}\)，在\(\omega=10\)處斜率變?yōu)閈(-40\,\text{dB/dec}\)，截止頻率\(\omega_c=5\,\text{rad/s}\)）。（1）寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)\)；（2）繪制對應的對數(shù)相頻特性草圖（標注關鍵頻率點的相位值）；（3）計算系統(tǒng)的相位裕度\(\gamma\)，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4.（20分）某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.01s+1)}\)。（1）繪制原系統(tǒng)的伯德圖（對數(shù)幅頻和相頻特性），計算相位裕度\(\gamma_0\)，并分析原系統(tǒng)的動態(tài)性能（超調量、響應速度）；（2）設計一個滯后校正裝置\(G_c(s)=\frac{Ts+1}{\betaTs+1}\)（\(\beta>1\)），使校正后系統(tǒng)的相位裕度\(\gamma'\geq45^\circ\)，且截止頻率\(\omega_c'\approx1\,\text{rad/s}\)（要求確定\(T\)和\(\beta\)的值）；（3）繪制校正后系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖（標注關鍵頻率點），并說明滯后校正對系統(tǒng)性能的改善效果。答案與解析一、選擇題1.答案：B解析：系統(tǒng)開環(huán)極點為\(s=0,-1,-2\)，三階系統(tǒng)，勞斯表首列符號變化次數(shù)隨\(K\)增大而變化。當\(K\)較小時系統(tǒng)穩(wěn)定，\(K\)超過臨界值后不穩(wěn)定，故選B。2.答案：B解析：二階欠阻尼系統(tǒng)超調量公式\(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\)，僅與\(\zeta\)有關。3.答案：B解析：根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點（或無窮遠）。4.答案：C解析：斜率\(-40\,\text{dB/dec}\)對應二階無阻尼或欠阻尼環(huán)節(jié)，相位滯后較大，相位裕度可能較?。ㄈ鏫(10^\circ\)），而\(-20^\circ\)表示不穩(wěn)定。5.答案：A解析：滯后校正利用其高頻段幅值衰減特性，降低截止頻率，增加相位裕度。二、簡答題1.勞斯穩(wěn)定判據(jù)基本思想：通過系統(tǒng)特征方程系數(shù)構造勞斯表，根據(jù)首列元素符號是否變化判斷穩(wěn)定性（無符號變化則穩(wěn)定）。當某一行全為零時，用該行上一行的元素構造輔助多項式，求導后代替全零行，繼續(xù)計算。2.截止頻率\(\omega_c\)：開環(huán)幅頻特性幅值為1時的頻率，反映系統(tǒng)響應速度（\(\omega_c\)越大，響應越快）。相位裕度\(\gamma=180^\circ+\angleG(j\omega_c)\)，反映系統(tǒng)穩(wěn)定裕度（\(\gamma>0\)時穩(wěn)定，\(\gamma\)越大，超調量越?。?。3.區(qū)別：（1）線性系統(tǒng)穩(wěn)定性僅與結構參數(shù)有關，非線性系統(tǒng)可能隨輸入幅值變化；（2）線性系統(tǒng)穩(wěn)定是全局的，非線性系統(tǒng)可能局部穩(wěn)定；（3）線性系統(tǒng)可用勞斯、奈奎斯特判據(jù)，非線性系統(tǒng)需用描述函數(shù)法、相平面法等。三、計算題1.（1）閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{4}{s^2+2s+4}\)；（2）特征方程\(s^2+2s+4=0\)，標準二階形式\(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0\)，得\(\omega_n=2\,\text{rad/s}\)，\(2\zeta\omega_n=2\Rightarrow\zeta=0.5\)（欠阻尼）；（3）超調量\(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\approx16.3\%\)；調節(jié)時間\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}=\frac{3}{0.5\times2}=3\,\text{s}\)（5%誤差帶）；峰值時間\(t_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi}{2\times\sqrt{1-0.25}}\approx1.81\,\text{s}\)。2.（1）開環(huán)極點\(p_1=0,p_2=-1,p_3=-3\)，無有限零點，根軌跡分支數(shù)3，漸近線夾角\(60^\circ,180^\circ,300^\circ\)，漸近線交點\(\sigma_a=\frac{0+(-1)+(-3)-0}{3-0}=-\frac{4}{3}\)；分離點：由\(\frac{1}ncc41jj+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3}=0\)，解得\(d\approx-0.46\)（舍去負實部更大的根）；根軌跡圖：從0、-1、-3出發(fā)，兩條分支向左上方和左下方延伸，一條沿負實軸向左，分離點在\(d\approx-0.46\)。（2）特征方程\(s^3+4s^2+3s+K=0\)，勞斯表：第一行\(zhòng)(1\)\(3\)第二行\(zhòng)(4\)\(K\)第三行\(zhòng)(\frac{12-K}{4}\)\(0\)第四行\(zhòng)(K\)穩(wěn)定條件：首列全正，即\(\frac{12-K}{4}>0\)且\(K>0\)，故\(0<K<12\)。（3）\(K=6\)時，特征方程\(s^3+4s^2+3s+6=0\)，用勞斯表判斷無符號變化，系統(tǒng)穩(wěn)定。假設主導極點為一對共軛復根，近似忽略實根（-4附近），則閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)，\(\zeta\approx0.5\)，超調量約16.3%（需驗證根位置，實際根為\(s=-3.73\)和\(s=-0.135\pmj1.26\)，復根為主導極點，超調量近似16%）。3.（1）低頻段斜率0，無積分環(huán)節(jié)；\(\omega=1\)處斜率變-20，對應一階慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{s+1}\)；\(\omega=10\)處斜率變-40，對應另一階慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{0.1s+1}\)。設開環(huán)增益為\(K\)，低頻段幅值\(20\lgK\)，在\(\omega=1\)處幅值為\(20\lgK-20\lg1=20\lgK\)，在\(\omega=10\)處幅值為\(20\lgK-20\lg10-20\lg(10/1)=20\lgK-40\)。截止頻率\(\omega_c=5\)時幅值為0，即\(20\lgK-20\lg5=0\RightarrowK=5\)。故\(G(s)=\frac{5}{(s+1)(0.1s+1)}\)（或寫成時間常數(shù)形式\(\frac{5}{(s+1)(\frac{s}{10}+1)}\)）。（2）相頻特性：\(\angleG(j\omega)=-\arctan\omega-\arctan(0.1\omega)\)。關鍵頻率點：\(\omega=1\)時，相位\(-\arctan1-\arctan0.1\approx-45^\circ-5.7^\circ=-50.7^\circ\)；\(\omega=10\)時，相位\(-\arctan10-\arctan1\approx-84.3^\circ-45^\circ=-129.3^\circ\)；\(\omega_c=5\)時，相位\(-\arctan5-\arctan0.5\approx-78.7^\circ-26.6^\circ=-105.3^\circ\)。（3）相位裕度\(\gamma=180^\circ+\angleG(j\omega_c)=180^\circ-105.3^\circ=74.7^\circ>0\)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。4.（1）原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.01s+1)}\)，頻率特性：低頻段（\(\omega<10\)）：斜率-20dB/dec，幅值\(20\lg10-20\lg\omega=20-20\lg\omega\)；\(\omega=10\)時，斜率變-40dB/dec（對應\(0.1s+1\)環(huán)節(jié)）；\(\omega=100\)時，斜率變-60dB/dec（對應\(0.01s+1\)環(huán)節(jié)）。截止頻率\(\omega_c\)滿足\(|G(j\omega_c)|=1\)，近似計算：在\(\omega_c\)位于\(10\sim100\)之間，幅值\(20\lg10-20\lg\omega_c-20\lg(\omega_c/10)=0\)，即\(20-20\lg\omega_c-20(\lg\omega_c-1)=0\)，解得\(\omega_c\approx31.6\,\text{rad/s}\)。相位裕度\(\gamma_0=180^\circ+\angleG(j\omega_c)=180^\circ-90^\circ-\arctan(0.1\times31.6)-\arctan(0.01\times31.6)\approx90^\circ-72.5^\circ-17.5^\circ=0^\circ\)，實際因近似誤差，原系統(tǒng)接近臨界穩(wěn)定，超調量大（甚至發(fā)散），響應速度快（\(\omega_c\)大）。（2）設計滯后校正：目標\(\omega_c'=1\,\text{rad/s}\)，需在校正后\(|G_c(j\omega_c')G(j\omega_c')|=1\)。原系統(tǒng)在\(\omega=1\)處幅值\(|G(j1)|=\frac{10}{1\times\sqrt{1+0.1^2}\times\sqrt{1+0.01^2}}\approx10\)，故校正裝置需衰減\(10\)倍，即\(\beta=10\)（因\(|G_c(j\omega)|\approx\frac{1}{\beta}\)在\(\omega\gg1/T\)時）。取\(1/T=0.1\omega_c'=0.1\,\text{rad/s}\)（保證校正裝置相位滯后在\(\omega_c'\)處較?。?，則\(T=10\,\text{s}\)，校正裝置\(G_c(s