中考試題2025年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)本試卷共7頁，23小題，滿分120分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場號和座位號．將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用塑料橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某品牌乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)是，如果一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作，那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作（）A. B. C. D.2.依據(jù)《廣東省推動低空經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展行動方案（2024-2026年）》，預(yù)計2026年廣東省低空經(jīng)濟規(guī)模將超過3000億元．?dāng)?shù)據(jù)3000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.計算的結(jié)果是（）A.3 B.6 C. D.4.如圖，是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（）A.B.C.D.5.如圖，點，，分別是各邊上的中點，，則（）A. B. C. D.6.某校機器人編程團隊參加廣東省創(chuàng)意機器人大賽，7位評委給出的分?jǐn)?shù)為95，92，96，94，95，88，95．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）A.92，94 B.95，95 C.94，95 D.95，967.廣東省統(tǒng)計局的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，近年來高技術(shù)制造業(yè)呈現(xiàn)快速增長態(tài)勢．某公司工業(yè)機器人在今年5月產(chǎn)值達到2500萬元，預(yù)計7月產(chǎn)值將增至9100萬元．設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，可列出的方程為（）A. B.C. D.8.在理想狀態(tài)下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運行，其電池剩余能量與騎行里程之間的關(guān)系如圖．當(dāng)電池剩余能量小于時，摩托車將自動報警．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（）A.電池能量最多可充B.摩托車每行駛消耗能量C.一次性充滿電后，摩托車最多行駛D.摩托車充滿電后，行駛將自動報警9.如圖，在直徑為的圓內(nèi)有一個圓心角為的扇形．隨機地往圓內(nèi)投一粒米，該粒米落在扇形內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.10.如圖，在矩形中，，是邊上的三等分點，連接，相交于點，連接．若，，則的值是（）A B. C. D.二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11.因式分解：______．12.如圖，把放大后得到，則與的相似比是_____．13.不解方程，判斷一元二次方程的根的情況是_____．14.計算結(jié)果是_____．15.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，但不經(jīng)過原點，則該二次函數(shù)的表達式可以是_____．（寫出一個即可）三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。16.在解分式方程時，小李的解法如下：第一步：，第二步：，第三步：，第四步：．第五步：檢驗：當(dāng)時，．第六步：原分式方程的解為．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依據(jù)是什么？判斷小李的解答過程是否正確．若不正確，請寫出你的解答過程．17.如圖，點是斜邊邊上的一點，以為半徑的與邊相切于點．求證：平分．18.如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長，主塔高，主纜可視為拋物線，主纜垂度，主纜最低處距離橋面，橋面距離海平面約．請在示意圖中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求該拋物線的表達式．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19.如圖，是斜邊上的中線，過點，分別作，，與相交于點．現(xiàn)有以下命題：命題1：若連接交于點，則．命題2：若連接，則．命題3：若連接，則．任選兩個命題，先判斷真假，再證明或舉反例．20.2025年2月，廣東省教育廳發(fā)布《關(guān)于保障中小學(xué)生每天綜合體育活動時間不低于兩小時通知》．某校為更好地落實文件精神并了解學(xué)生參加體育活動的情況，隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，并對所得數(shù)據(jù)進行處理．部分信息如下：調(diào)查問卷監(jiān)理與描述1．你每天參加體育活動（合體育課）的時間（單位：小時）（）（單選）A．B．C．D．2．隨著體育活動時間的延長，學(xué)校擬增設(shè)體育活動項目，你希望增設(shè)的活動項目有（）（可）多選）E．球類F．田徑類G．體操類H．水上類希望地設(shè)的活動項目統(tǒng)計表活動項目球類田徑類體操類水上類百分比根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．（2）估計該校1000名學(xué)生中每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)．（3）基于上述兩項調(diào)查的數(shù)據(jù)，提煉出一條信息，并向?qū)W校提出相應(yīng)的建議．21.綜合與實踐【閱讀材料】如圖，在銳角中，，，的對邊長分別為，，，則有．這是解三角形的重要結(jié)論，可用于解決實際問題．【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地．某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部平面示意圖，現(xiàn)需要知道湖中，兩島間的實際距離．由于地形原因，無法利用測距儀直接測量，該小組對這一問題進行了探究．【方案設(shè)計】工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得，；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得，．【問題解決】（1）請你利用【閱讀材料】中結(jié)論計算，兩島間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【評價反思】（2）設(shè)計其他方案計算，兩島間的距離．要求：選用【方案設(shè)計】中的工具，寫出你的方案和所用的數(shù)學(xué)知識．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14分，共27分．22.《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對研究直角三角形具有重要意義．若直角三角形的三邊長，，都是正整數(shù)，則，，為一組“勾股數(shù)”．下表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù)．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）請補全上表中的勾股數(shù)．（2）根據(jù)上表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示，，，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明．（3）某校計劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個全等的直角三角形組成．種花要求：僅在三角形邊上種花，每個三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為．如果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？23.定義：把某線段一分為二的點，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比，這個點稱為中外比點．（1）如圖，點是線段的中外比點，，，求的長．（2）如圖，用無刻度的直尺和圓規(guī)求作一點把線段分為中外比．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）如圖，動點在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象分別與矩形的邊，相交于點，，與對角線相交于點．當(dāng)是等腰直角三角形時，探究點，，是否分別為，，的中外比點，并證明．2025年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)本試卷共7頁，23小題，滿分120分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場號和座位號．將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用塑料橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某品牌乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)是，如果一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作，那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)．根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，即可解答．【詳解】解：∵一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作，∴那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作．故選：A．2.依據(jù)《廣東省推動低空經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展行動方案（2024-2026年）》，預(yù)計2026年廣東省低空經(jīng)濟規(guī)模將超過3000億元．?dāng)?shù)據(jù)3000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，正確確定以及的值是解題的關(guān)鍵．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，據(jù)此即可求解．【詳解】解：3000億．故選：D．3.計算的結(jié)果是（）A.3 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．直接相乘得出答案．【詳解】．故選：B．4.如圖，是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．找到從左面看所得到的圖形即可．【詳解】解：從左面看得第一層有2個正方形，第二層最左邊有一個正方形．∴它的左視圖是：故選：C．5.如圖，點，，分別是各邊上的中點，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，首先得到，是的中位線，得到，，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵點，，分別是各邊上的中點，∴，是的中位線∴，∴∵∴．故選：C．6.某校機器人編程團隊參加廣東省創(chuàng)意機器人大賽，7位評委給出的分?jǐn)?shù)為95，92，96，94，95，88，95．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）A.92，94 B.95，95 C.94，95 D.95，96【答案】B【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，熟知中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列后位于中間位置的數(shù)；眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：將7個評委分?jǐn)?shù)從小到大排列為：88，92，94，95，95，95，96，中位數(shù)為第4個數(shù)，即95；數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是95（出現(xiàn)3次），故眾數(shù)為95；∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是95，95．故選：B．7.廣東省統(tǒng)計局的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，近年來高技術(shù)制造業(yè)呈現(xiàn)快速增長態(tài)勢．某公司工業(yè)機器人在今年5月產(chǎn)值達到2500萬元，預(yù)計7月產(chǎn)值將增至9100萬元．設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，可列出的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，涉及平均增長率問題，理解題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，根據(jù)連續(xù)兩個月的月均增長率建立方程即可．【詳解】解：設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，根據(jù)題意，得．故選：A．8.在理想狀態(tài)下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運行，其電池剩余的能量與騎行里程之間的關(guān)系如圖．當(dāng)電池剩余能量小于時，摩托車將自動報警．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（）A.電池能量最多可充B.摩托車每行駛消耗能量C.一次性充滿電后，摩托車最多行駛D.摩托車充滿電后，行駛將自動報警【答案】C【解析】【分析】本題考查了實際問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是讀懂函數(shù)圖象，根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)逐項求解判斷即可．【詳解】由圖象可得，當(dāng)時，，∴電池能量最多可充，故A錯誤；，∴摩托車每行駛消耗能量，故B錯誤；由圖象可得，當(dāng)時，，∴一次性充滿電后，摩托車最多行駛，故C正確；∴摩托車充滿電后，行駛將自動報警，故D錯誤；故選：C．9.如圖，在直徑為的圓內(nèi)有一個圓心角為的扇形．隨機地往圓內(nèi)投一粒米，該粒米落在扇形內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖所示，過點A作于點D，證明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分別求出和，然后根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】如圖所示，過點A作于點D∵是直徑∴∵∴是等腰直角三角形∵∴，∴∴，∴該粒米落在扇形內(nèi)的概率為．故選：D．【點睛】此題考查了幾何概率，求扇形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．10.如圖，在矩形中，，是邊上的三等分點，連接，相交于點，連接．若，，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正切值，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明，得到，然后過點作，得到，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例分別求出的長，進而求出的長，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：∵矩形，，是邊上三等分點，，，∴，，，，，∴，∴，∴，過點作，則，∴，∴，∴，，∴，∴；故選：B．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】直接提取公因式ab，進而分解因式得出答案．【詳解】解：a2b+ab2=．故答案：．【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．12.如圖，把放大后得到，則與的相似比是_____．【答案】【解析】【分析】本題考查求兩個位似圖形的相似比，根據(jù)題意，把放大后得到，則與位似，從而得到與的相似比等于對應(yīng)點到位似中心線段的比，即，從而得到答案，掌握相似三角形的相似比與位似圖形之間線段的比例關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：把放大后得到，則與位似，與的相似比為，故答案為：．13.不解方程，判斷一元二次方程的根的情況是_____．【答案】有兩個不相等的實數(shù)根【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程的根的判別式判斷根的情況是解題的關(guān)鍵．先計算一元二次方程的根的判別式，得出，即可得到結(jié)論【詳解】解：∵一元二次方程，∴，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故答案為：有兩個不相等的實數(shù)根．14.計算的結(jié)果是_____．【答案】0【解析】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪，熟練記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別計算零指數(shù)冪以及代入特殊角的三角函數(shù)值計算即可．【詳解】解：，故答案為：0．15.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，但不經(jīng)過原點，則該二次函數(shù)的表達式可以是_____．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式，先由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，得到，再由二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點，得到，從而得確定，若取，即可得到，從而確定函數(shù)表達式．熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)表達式的方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點，，則，若取，則，該二次函數(shù)的表達式可以是，故答案為：（答案不唯一）．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。16.在解分式方程時，小李的解法如下：第一步：，第二步：，第三步：，第四步：．第五步：檢驗：當(dāng)時，．第六步：原分式方程的解為．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依據(jù)是什么？判斷小李的解答過程是否正確．若不正確，請寫出你的解答過程．【答案】見解析【解析】【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程時要注意不要漏乘，解完后要檢驗．先去分母，化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后進行檢驗即可．【詳解】解：第一步是去分母，去分母的依據(jù)是：等式兩邊同時乘以一個不為0的數(shù)（或式子），等式仍然成立；小李的解答過程不正確，正確解答如下：，，解得：，經(jīng)檢驗，是增根，∴原方程無解．17.如圖，點是斜邊邊上的一點，以為半徑的與邊相切于點．求證：平分．【答案】證明見解析【解析】【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得到，則根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)得到，再由等邊對等角得到，即可等量代換求證．【詳解】證明：連接，∵與邊相切于點，∴，即，∵為直角三角形，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴平分．18.如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長，主塔高，主纜可視為拋物線，主纜垂度，主纜最低處距離橋面，橋面距離海平面約．請在示意圖中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求該拋物線的表達式．【答案】該拋物線的表達式為【解析】【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式，先由題意，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，從而得到、，設(shè)該拋物線的頂點式為，將代入解方程即可得到答案．根據(jù)題中示意圖，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并設(shè)出拋物線表達式是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則拋物線頂點坐標(biāo)為，，即，設(shè)該拋物線的表達式為，將代入得，解得，該拋物線的表達式為．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19.如圖，是斜邊上的中線，過點，分別作，，與相交于點．現(xiàn)有以下命題：命題1：若連接交于點，則．命題2：若連接，則．命題3：若連接，則．任選兩個命題，先判斷真假，再證明或舉反例．【答案】命題1是真命題，證明見解析；命題2是真命題，證明見解析；命題3是真命題，證明見解析【解析】【分析】命題1：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，進而得到四邊形是菱形，再由中位線的判定與性質(zhì)得到，最后利用三角形面積公式求解即可得證；命題2：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，進而得到四邊形是菱形即可得證；命題3：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形即可得證．【詳解】解：命題1：若連接交于點，則．命題1是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，且，，為的中點，是的中位線，則，，則；命題2：若連接，則．命題2是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，；命題3：若連接，則．命題3真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，．【點睛】本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、三角形面積公式等知識，熟記平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．20.2025年2月，廣東省教育廳發(fā)布《關(guān)于保障中小學(xué)生每天綜合體育活動時間不低于兩小時的通知》．某校為更好地落實文件精神并了解學(xué)生參加體育活動的情況，隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，并對所得數(shù)據(jù)進行處理．部分信息如下：調(diào)查問卷監(jiān)理與描述1．你每天參加體育活動（合體育課）的時間（單位：小時）（）（單選）A．B．C．D．2．隨著體育活動時間的延長，學(xué)校擬增設(shè)體育活動項目，你希望增設(shè)的活動項目有（）（可）多選）E．球類F．田徑類G．體操類H．水上類希望地設(shè)的活動項目統(tǒng)計表活動項目球類田徑類體操類水上類百分比根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）求參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．（2）估計該校1000名學(xué)生中每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)．（3）基于上述兩項調(diào)查的數(shù)據(jù)，提煉出一條信息，并向?qū)W校提出相應(yīng)的建議．【答案】（1）200人（2）375人（3）見解析（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，統(tǒng)計表等知識點，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖得到參加體育活動（合體育課）的時間人數(shù)，再相加即可；（2）用1000人乘以每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)占比即可；（3）答案不唯一，合理即可．【小問1詳解】解：這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（人），答：參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)有200人；【小問2詳解】解：（人），答：每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)為人；【小問3詳解】解：從第二項活動可看出學(xué)生更加喜歡球類活動，建議：學(xué)校可以適當(dāng)?shù)脑黾佑嘘P(guān)球類活動的項目和設(shè)施．（答案不唯一）21.綜合與實踐【閱讀材料】如圖，在銳角中，，，的對邊長分別為，，，則有．這是解三角形的重要結(jié)論，可用于解決實際問題．【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地．某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部平面示意圖，現(xiàn)需要知道湖中，兩島間的實際距離．由于地形原因，無法利用測距儀直接測量，該小組對這一問題進行了探究．【方案設(shè)計】工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得，；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得，．【問題解決】（1）請你利用【閱讀材料】中的結(jié)論計算，兩島間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【評價反思】（2）設(shè)計其他方案計算，兩島間的距離．要求：選用【方案設(shè)計】中的工具，寫出你的方案和所用的數(shù)學(xué)知識．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)題意可得，代入數(shù)據(jù)求出的長，即可解答；（2）運用解直角三角形、勾股定理等數(shù)學(xué)知識設(shè)計方案即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，由題意得，，又∵，∴，答：，兩島間的距離為．（2）工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點，使得是銳角三角形；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得的度數(shù)；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得，．計算過程：過點作，則，∵在中，，，∴，，∴，∵在中，，∴．答：，兩島間的距離為．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14分，共27分．22.《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對研究直角三角形具有重要意義．若直角三角形的三邊長，，都是正整數(shù)，則，，為一組“勾股數(shù)”．下表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù)．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）請補全上表中的勾股數(shù)．（2）根據(jù)上表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示，，，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明．（3）某校計劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個全等的直角三角形組成．種花要求：僅在三角形邊上種花，每個三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為．如果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？【答案】（1）（2），，，其中、、都是正整數(shù)，，證明見解析（3）280【解析】【分析】（1）先由表中勾股數(shù)規(guī)律，令，，，由勾股數(shù)定義列方程求解即可得到答案；（2）由表中數(shù)據(jù)，分別用代數(shù)式表示出，，，再由整式混合運算求證即可得證明；（3）由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，根據(jù)題意可知，最短邊為20，另一個直角邊為21，然后根據(jù)勾股定理求得斜邊，即可得到答案．【小問1詳解】解：由表中勾股數(shù)的規(guī)律可知，令，，，則由勾股數(shù)定義可知，即，，解得或（舍去）；故答案為：24．【小問2詳解】解：由題意，，，，其中、、都是正整數(shù)，，證明過程如下：，，，，，，，；【小問3詳解】解：由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，如圖所示：設(shè)，即直角三角形中最短邊為，僅在三角形邊上種花，三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為，三角形最短邊種株花，，由題意可知，最小為，那么，那么這塊綠地最少需要種植株花．【點睛】本題考查由勾股數(shù)涉及的數(shù)字規(guī)律問題，難度中等偏上，涉及勾股數(shù)定義、整式加減乘法混合運算、平方差公式等知識，觀察分析所給表中勾股數(shù)，分類找準(zhǔn)規(guī)律并靈活運算解決實際問題是關(guān)鍵．23.定義：把某線段一分為二的點，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比，這個點稱為中外比點．（1）如圖，點是線段中外比點