第06講分式方程內(nèi)容導航串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點一．分式方程的定義及分式方程的解1.分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)．2.分式方程的解：求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．知識點二．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．知識點三．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．知識點四．分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．考點一：分式方程的定義例1．（24-25八年級下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2025·上海閔行·模擬預測）在下列方程中，分式方程是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（24-25七年級上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（24-25八年級下·上?！るA段練習）下列關(guān)于的方程：，，，中，是分式方程的有（

）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點二：解分式方程例2.（2025七年級下·全國·專題練習）解方程：(1)(2)【變式2-1】（2025七年級下·全國·專題練習）解方程：(1)；(2)．【變式2-2】（2025八年級下·全國·專題練習）解下列分式方程：(1)(2)【變式2-3】（24-25八年級上·山東淄博·期中）解方程：(1)(2)考點三：解分式方程錯解復原問題例3.（2025·浙江寧波·二模）小明解分式方程如下圖所示，小慧認為小明過程有錯誤，請指出過程中首次出錯的是__________（填序號），并給出正確的解題過程．解方程：解：去分母得，------①移項得，

----------------②所以，

--------------------③經(jīng)檢驗：不是原方程的根，原方程無解．----④【變式3-1】（2025·寧夏銀川·一模）下面是某同學解分式方程的過程，請認真閱讀并完成相應的學習任務(wù)：．解：去分母，得……第一步去括號，得……第二步移項、合并同類項，得……第三步解得……第四步經(jīng)檢驗：是原分式方程的解……第五步(1)上面的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是______．(2)請你幫這個同學正確解答這個分式方程．【變式3-2】（24-25八年級上·江西贛州·期末）下面是某位同學解分式方程的過程：解：方程兩邊同乘以，得．①．②解得：．③檢驗：當時，，④所以，原分式方程的解為．(1)填空：第______步開始出現(xiàn)了錯誤（只填序號）；(2)請從出現(xiàn)錯誤的那一步開始補全正確的解題過程．【變式3-3】（2025·寧夏固原·二模）解分式方程：．下面是解題過程，請認真閱讀并完成任務(wù)．解：………第一步…………第二步……第三步解得：……第四步任務(wù)一：填空（1）第______步是去分母，去分母的依據(jù)是______．（2）第______步出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是______．任務(wù)二：填空（3）直接寫出該分式方程的正確結(jié)果______．（4）解完分式方程，最后還少了一步，請補充完整．考點四：分式方程無解與增根例4．（23-24八年級下·甘肅蘭州·期末）若方程有增根，則的值是．【變式4-1】（24-25八年級上·山東聊城·期末）關(guān)于的分式方程有增根，則．【變式4-2】（24-25八年級上·河北廊坊·期末）若關(guān)于的分式方程無解，則．【變式4-3】（24-25八年級上·黑龍江綏化·期末）若關(guān)于的分式方程無解，則．考點五：已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍例5.（24-25八年級上·江蘇南通·期末）若關(guān)于的分式方程的解是負數(shù)，則的取值范圍是__________．【變式5-1】（24-25八年級上·湖南株洲·期末）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是．【變式5-2】（24-25八年級上·山東濟南·期末）若關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，求的取值范圍．【變式5-3】（24-25八年級上·全國·期末）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負數(shù)，則m的取值范圍是．考點六：與分式方程有關(guān)的規(guī)律性問題例6.（24-25八年級上·福建福州·期末）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想方程的解是；(2)利用材料提供的方法解關(guān)于x的方程：；(3)已知，利用材料提供的方法解關(guān)于x的方程：.（結(jié)果保留a）【變式6-1】（24-25八年級上·福建廈門·期末）觀察下列等式：第1個等式；；第2個等式：；第3個等式；；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請計算的值；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并說明理由；(3)若，求n的值．【變式6-2】（23-24八年級上·江西贛州·期末）觀察下面的變化規(guī)律，解答下列問題：．(1)若為正整數(shù)，猜想_______，并且驗證你的猜想；(2)解分式方程：；(3)再探索上述規(guī)律并計算：．【變式6-3】（24-25八年級上·湖南懷化·期末）根據(jù)規(guī)律答題．小明同學在一次教學活動中發(fā)現(xiàn)：方程的解為方程的解為方程的解為以此類推：(1)請你依據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，猜想關(guān)于x的方程的解是______；(2)根據(jù)上述的規(guī)律，猜想由關(guān)于x的方程得到________；(3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程時，可變形轉(zhuǎn)化為的形式求值，按要求寫出你的變形求解過程．考點七：分式方程的實際應用例7．（2025·山東臨沂·二模）某校在商場購進A、B兩種品牌的籃球，購買A品牌籃球花費了3000元，購買B品牌籃球花費了2000元，且購買A品牌籃球數(shù)量是購買B品牌籃球數(shù)量的2倍，已知購買一個B品牌籃球比購買一個A品牌籃球多花20元．(1)問購買一個A品牌、一個B品牌的籃球各需多少元？(2)該校決定再次購進A、B兩種品牌籃球共50個，恰逢商場對兩種品牌籃球的售價進行調(diào)整，A品牌籃球售價比第一次購買時提高了，B品牌籃球按第一次購買時售價的9折出售，如果該校此次購買A、B兩種品牌籃球的總費用不超過3500元，那么該校此次最多可購買多少個B品牌籃球？【變式7-1】（2025·湖南常德·二模）某校為舉辦風箏藝術(shù)節(jié)計劃購買一批風箏．已知哪吒2系列風箏的單價比普通動物風箏的單價多35元，用1300元購買哪吒2系列風箏的數(shù)量與用600元購買普通動物風箏的數(shù)量相同．(1)求哪吒2系列風箏和普通動物風箏的單價；(2)若購買150個風箏，哪吒2系列風箏的數(shù)量不少于普通動物風箏數(shù)量的，問：購買哪吒2系列風箏的數(shù)量為多少時，學?；ㄙM最少．【變式7-2】（2025·江蘇宿遷·二模）為了更好的服務(wù)各云計算中心，某科技公司計劃購進兩類服務(wù)器升級后再銷售．高性能服務(wù)器每臺的進價是普通服務(wù)器每臺進價的倍．花費480萬元購進高性能服務(wù)器的臺數(shù)比花費560萬元購進普通服務(wù)器的臺數(shù)少6臺．(1)高性能服務(wù)器和普通服務(wù)器每臺的進價各是多少萬元？(2)若該科技公司采購這兩種服務(wù)器共100臺，且購買的總費用不超過5400萬元．高性能服務(wù)器每臺售價80萬元，普通服務(wù)器按進價的2倍標價后再打7折銷售，請你幫該科技公司設(shè)計利潤最大的進貨方案，并求出最大利潤．【變式7-3】（2025年貴州省中考二模數(shù)學試題）貴州省麻江縣盛產(chǎn)藍莓，藍莓可以制作成藍莓原漿，藍莓原漿中含有豐富的膳食纖維，能緩解眼疲勞、增強免疫力等．某超市老板準備購進、兩種包裝的藍莓原漿產(chǎn)品，下表是這兩種產(chǎn)品的進價和售價：藍莓原漿進價/（元/盒）售價/（元/盒）60100若用2000元購進產(chǎn)品的數(shù)量與用3400元購進產(chǎn)品的數(shù)量相同．(1)產(chǎn)品每盒的進價是多少元？(2)在（1）的條件下，超市老板購進、兩種產(chǎn)品共300盒，且產(chǎn)品的數(shù)量不少于產(chǎn)品數(shù)量的一半．若購進的這批貨全部售完．當產(chǎn)品的數(shù)量為多少時，該超市獲得的總利潤最大？并求出最大利潤．考點八：與分式方程有關(guān)的新定義型問題例8.（24-25八年級上·吉林·期末）定義新運算：對于任意實數(shù)a，b（其中），都有，等式右邊是通常的加法、減法及除法運算，例如．(1)求的值；(2)若，求x的值．【變式8-1】（24-25八年級上·山西呂梁·期末）定義新運算：對于非零的兩個實數(shù)，，規(guī)定，如．(1)求的值；(2)計算．(3)若，求的值．【變式8-2】（24-25八年級上·福建廈門·期末）新定義：如果兩個實數(shù)、b使得關(guān)于x的分式方程的解是成立，那么我們就把實數(shù)a，b組成的數(shù)對稱為關(guān)于x的分式方程的一個“友好數(shù)對”．例如：，使得關(guān)于x的分式方程的解是成立，所以數(shù)對就是關(guān)于x的分式方程的一個“友好數(shù)對”．(1)判斷下列數(shù)對是否為關(guān)于x的分式方程的“友好數(shù)對”，若是，請在括號內(nèi)打“√”．若不是，打“×”．①（）；②（）．(2)請判斷數(shù)對是否有可能是關(guān)于x的分式方程的“友好數(shù)對”，如果可能，請求出此時的n需滿足什么條件？如果不可能，請說明理由．(3)若數(shù)對是關(guān)于x的分式方程的“友好數(shù)對”，，，試比較M、N的大?。咀兪?-3】（24-25八年級下·重慶石柱·開學考試）新定義：如果兩個實數(shù)，使得關(guān)于的分式方程的解是成立，那么我們就把實數(shù)，組成的數(shù)對稱為關(guān)于的分式方程的一個“關(guān)聯(lián)數(shù)對”．例如：，使得關(guān)于的分式方程的解是成立，所以數(shù)對就是關(guān)于的分式方程的一個“關(guān)聯(lián)數(shù)對”．(1)判斷下列數(shù)對是否為關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，①（______）；②（______）．若是，請在括號內(nèi)打“√”若不是，打“×”．(2)若數(shù)對是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，求的值．(3)若數(shù)對（，且，）是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對”，且關(guān)于的方程有整數(shù)解，求整數(shù)的值．一、單選題1．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）下列關(guān)于的方程中，是分式方程的是（

）A． B． C． D．2．（2025·廣東廣州·二模）賽龍舟是端午節(jié)的重要習俗之一，凝聚著團結(jié)、協(xié)作和勇往直前的精神，某地龍舟賽的賽程為500米，A，B兩隊在同一起點同時出發(fā)，已知A隊的平均速度是B隊的倍，結(jié)果A隊比B隊提前了25秒到達終點，若設(shè)B隊的平均速度是x米/秒，可列方程為（

）A． B．C． D．3．（2025·四川自貢·二模）若分式方程無解，則的值為（

）A．0 B．2 C．0或2 D．1或24．（2025·四川綿陽·一模）已知關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，則所有正整數(shù)m的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（24-25八年級下·四川宜賓·期中）對于實數(shù)、，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是通常的實數(shù)運算．例如：，則方程的解是（

）A． B． C． D．無解二、填空題6．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）下列方程中，是分式方程的有（填序號）．①；②；③；④．7．（24-25八年級下·上海崇明·期中）如果分式方程有增根，那么的值是．8．（2025·江蘇宿遷·三模）若關(guān)于的分式方程的解為負數(shù)，則的取值范圍是．9．（2025·江蘇常州·二模）在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“”，其運算規(guī)則為．根據(jù)這個規(guī)則，方程的解是．10．（重慶市銅梁區(qū)2024-2025學年九年級下學期學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題）若關(guān)于x的不等式組解集為，且關(guān)于y的方程的解為正整數(shù)，則符合題意的所有整數(shù)a的和為．三、解答題11．（2025八年級下·全國·專題練習）解方程：(1)；(2)12．（24-25八年級下·吉林四平·階段練習）小明解分式方程時，出現(xiàn)了錯誤，他的解答過程如下：解：去分母，得第一步解得第二步所以，原分式方程的解為第三步(1)小明的解答過程從第___________步開始出錯；(2)請你寫出此題正確的解答過程．13．