第03講三角形內容導航串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點01三角形的概念及分類1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次聯結所組成的圖形.2.三角形的分類(1)按邊分類可以分為；(2)按角分類可以分為知識點02三角形基本元素角與邊的有關定理(1)三角形的內角和等于.(2)直接三角形兩個銳角互余.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.知識點03三角形的中線、角平分線、中線三角形的高：從三角形的一個頂點向對邊作垂線，頂點與垂足之間的線段；三角形的中線：聯結三角形一個頂點與對邊中點的線段；三角形的重心：三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．這點稱為三角形重心。三角形的角平分線：三角形的一個內角的角平分線與對邊相交于一點頂點與交點之間的線段；三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．知識點04全等三角形的概念和性質能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形．兩個全等的三角形，經過變換而重合，相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角．全等三角形的對應邊相等，對應角相等．邊、角分別對應相等的兩個三角形全等．知識點05全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（可以寫成“角角邊”或“AAS”）知識點06全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．全等三角形的對應邊相等，對應角相等．邊、角分別對應相等的兩個三角形全等．考點一：三角形的穩(wěn)定性例1．（24-25七年級下·四川成都·期中）2023年8月2日，成都大運會射擊項目中國隊選手頂住壓力，包攬10米氣步槍和10米氣手槍混合團體兩枚金牌，為他們的大運會之旅畫上圓滿的句號，射擊隊員在瞄準目標時，手、肘、肩構成托槍三角形，這種方法應用的幾何原理是（

）A．三角形具有穩(wěn)定性 B．兩點之間，線段最短C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【變式1-1】（24-25七年級下·吉林長春·期中）三角形結構在生活中有著廣泛的應用，如圖所示，利用三角形支架固定手機，其蘊含的數學道理是（

）A．兩點之間，線段最短 B．三角形的穩(wěn)定性C．三角形的內角和等于180° D．三角形的任意兩邊之和大于第三邊【變式1-2】（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，師傅安裝空調在墻上時，一般都會增加一邊固定，這種應用方法的幾何原理是（

）A．兩點確定一點直線 B．三角形具有穩(wěn)定性C．兩點之間線段最短 D．垂線段最短【變式1-3】（24-25八年級上·福建廈門·期中）下列生活實物圖形中，不是運用三角形的穩(wěn)定性的是（

）A．B．C．D．考點二：判斷三邊是否能構成三角形例2.（24-25七年級下·上海松江·期中）下列長度的三根鐵條能首尾順次連接做成三角形框架的是（

）A．23、10、8 B．15、23、8C．18，10、23 D．18、10、8【變式2-1】（24-25七年級下·河南周口·階段練習）以下列各組長度的線段為邊，能組成三角形的是（

）A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，3，9【變式2-2】（2025·江蘇南通·二模）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，4，9 B．3，4，8 C．3，4，7 D．3，4，6【變式2-3】（24-25八年級下·黑龍江綏化·期中）下列長度的三條線段能首尾相接能構成三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，考點三：已知三角形的兩邊長，求第三邊的取值范圍例3.（2025·廣東·二模）一個三角形的兩邊長分別為2和3，則第三邊的長可以是（

）A．1 B．2 C．6 D．9【變式3-1】（24-25七年級下·河南南陽·階段練習）已知三角形的三邊長分別為，，，則不可能是（

）A．2 B．5 C．7 D．8【變式3-2】（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）一個三角形的兩邊長分別為和，那么第三邊的長可能是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（24-25七年級下·寧夏中衛(wèi)·期中）下列長度的四根木棒中，能與、長的兩根木棒釘成一個三角形的是（

）A． B． C． D．考點四：判斷是否三角形的高線例4．（24-25七年級下·吉林長春·期中）在中，邊的高說法中正確的是（）A． B．C． D．【變式4-1】（24-25七年級下·河北秦皇島·期中）用三角板畫點到所在直線的垂線段，下列三角板的擺放位置正確的是（

）A． B．C． D．【變式4-2】（24-25七年級下·貴州貴陽·期中）如圖，在中，邊上的高是（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【變式4-3】（24-25七年級下·四川甘孜·期中）如圖，在中，關于高的說法正確的是（）A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高考點五：根據三角形的中線求解例5.（24-25七年級下·四川成都·階段練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多，則．【變式5-1】（24-25八年級上·廣東汕頭·階段練習）如圖，中，，，是的中線，則的周長比的周長大．【變式5-2】（24-25七年級下·吉林長春·期中）如圖，在中，點、、分別是、、的中點，若的面積為16，則．【變式5-3】（24-25八年級下·湖北黃石·階段練習）如圖，，，分別是的邊，，的中點，連接，，交于點，的面積為6，設的面積為，的面積為，則．考點六：在網格中畫三角形的中線、高線及求三角形的面積例6.（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C均在小正方形的頂點上，請利用格點解決下列問題：(1)畫出的邊上的高；(2)畫出的邊上的中線；(3)過點B作的平行線；(4)線段，直接寫出點C到直線的距離______．【變式6-1】（24-25七年級下·山西·期中）如圖，正方形網格中所有小正方形的邊長都為1，規(guī)定每個小正方形的頂點格點，點，，都在格點上．(1)只利用無刻度的直尺按要求畫出下列圖形：①；②的高，垂足為點；(2)的面積為________；【變式6-2】（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在下面的網格圖中，每個小正方形的邊長為1，的三個頂點都在格點上．(1)畫出邊上的高和中線；(2)畫出邊上的高，并直接寫出的長（提示：的長等于5）．【變式6-3】（2025·浙江金華·二模）的頂點都在正方形網格格點（圖中網格線的交點）上，每個小正方形邊長為1．請借助網格和無刻度直尺按要求作圖．(1)在圖①中，作出的中線；(2)在圖②中，作出的重心，記為點．考點七：利用三角形的中線、高線、角平分線求解例7．（24-25七年級下·江西吉安·階段練習）如圖，在中，，于，平分(1)若，求的度數．(2)若，求的長．【變式7-1】（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在中，是中線，，．(1)求與的周長差．(2)點E在邊上，連接，若與四邊形的周長相等，求線段的長．【變式7-2】（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖，是的中線，是的中線．(1)求證：；(2)若，求的面積．【變式7-3】（24-25八年級上·山東臨沂·期末）等面積法是一種常用的、重要的數學解題方法．(1)如圖1，在中，，，，，，垂足為點，則的長是______________；(2)如圖2，在中，，，則的高與的比是____________；(3)如圖3，在中，，，點，分別在邊，上，且，，，垂足分別為點，．若，，求的值．考點八：利用全等三角形的性質求解例8.（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，，若，，則．【變式8-1】（2025·浙江臺州·二模）如圖，，點D在邊上，若，，則．【變式8-2】（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）如圖：、是的邊、上的點，，下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（填序號）．【變式8-3】（24-25七年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，已知長方形的邊長，點E在邊上，．如果點P從點B出發(fā)在線段上以的速度向點C運動，同時，點Q在線段上由點D向點C運動，那么當與全等時，運動時間t的值為．考點九：全等三角形判定和性質多結論問題例9.（24-25七年級下·河南周口·階段練習）如圖，已知，，，以下結論：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式9-1】（24-25八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，在中，，的角平分線，相交于點P，過P作交的延長線于點F，交于點H．有下列結論：①；②；③；④；其中正確的個數是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【變式9-2】（24-25八年級上·湖北十堰·期末）如圖，在中，為中線，過點B作于點E，過點C作于點F．延長至點G，使得，連接．下列結論中正確的個數為（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式9-3】（23-24八年級上·四川南充·階段練習）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點E為上一點，連接，，連接．下列結論：①；②；③若，則；④．其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4考點十：全等三角形的性質和判定綜合問題例10．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，，，垂足分別是點B、C，點E是線段上一點，且，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【變式10-1】（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，，，(1)求證：．(2)，，求當中邊的取值范圍．【變式10-2】（24-25七年級下·上?！るA段練習）如圖，在中，已知，平分，，(1)若的面積是，求的面積；(2)求證：．【變式10-3】（24-25七年級下·山東青島·階段練習）已知點C為線段上一點，分別以，為邊在線段同側作和，且，，，直線與交于點F．(1)如圖1，求證：；(2)若，則；(3)如圖2，若，則．（用含a的式子表示）一、單選題1．（2025年湖南省長沙市初中學業(yè)水平考試數學試卷（二））下列各組數中，能構成三角形三邊長的是（

）A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，72．（2025·廣東深圳·二模）如圖，已知，則等于（

）A． B． C． D．3．（2025·福建三明·二模）如圖，網格中每個小正方形的邊長相等，則的度數是（

）A． B． C． D．4．（2025·湖南衡陽·二模）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線的兩側，且，，，若，，則的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．105．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖，對面積為的逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長、、至點、、，使得，，，順次連接、、，得到，記其面積為；第二次操作，分別延長、、至點、、，使得，，，順次連接、、，得到，記其面積為；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到，則其面積為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（24-25七年級下·貴州貴陽·期中）在中，的補角是，則是三角形．7．（2025七年級下·全國·專題練習）已知三角形的三條邊長分別為2，7，x，則x的取值范圍是．8．（2025·山東濟南·二模）現有下列長度的四根木棒：3，6，9，11，從中任取三根，可以組成三角形的概率為．9．（24-25七年級下·四川雅安·期中）如圖，在中，、兩點分別在、邊上，且，現增加一個條件，使得一定成立，則該條件可以是下列中的．①；②；③；④．10．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖所示，已知四邊形中，，，，，點E為線段的中點，點P在線段上以的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段上由點C向點D運動．當點Q的運動速度為cm/s時，能夠使與全等．三、解答題11．（24-25八年級上·河北滄州·階段練習）如圖，中，為的高線，，，．(1)畫出中邊上的高線．(2)求的長．12．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，已知：，，．(