專題02一定是直角三角形嗎內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01：勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：①滿足勾股定理②三個(gè)正整數(shù)知識(shí)點(diǎn)02：勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如）.（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【題型1勾股樹(shù)（數(shù)）的判定】例題：（24-25八年級(jí)下·廣東東莞·期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（

）．A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題【分析】本題主要考查了勾股定理問(wèn)題，若三個(gè)正整數(shù)滿足較小的兩個(gè)數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，那么這三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、∵，∴3，4，5這組數(shù)是勾股數(shù)，符合題意；B、∵，∴4，5，6這組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵，∴7，8，9這組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；D、∵，∴8，9，10這組數(shù)不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·重慶渝北·期中）下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題【分析】本題考查勾股數(shù)的定義：在一組（三個(gè)正整數(shù)）數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方，根據(jù)勾股數(shù)定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記勾股數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股數(shù)，不符合題意；B、由可知，5，6，7不是勾股數(shù)，符合題意；C、由可知，7，24，25不是勾股數(shù)，符合題意；D、由可知，9，12，15是勾股數(shù)，不符合題意；故選：B．2．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，13【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題【分析】此題考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)組的定義，如果a，b，c為正整數(shù)，且滿足，那么，a、b、c叫做一組勾股數(shù)．欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【詳解】解：A．∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；

B．∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；C．∵都不是整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；D．∵，∴5，12，13是勾股數(shù)，符合題意故選D．3．（24-25八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題【分析】本題考查的是勾股數(shù)，滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．根據(jù)勾股數(shù)的概念判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，∴9，40，41是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B、∵，∴，∴5，12，15不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵1.5與2.5不是正整數(shù)，∴1.5，2，2.5不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴，∴13，14，15不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【題型2判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】例題：（遼寧省大連市金普新區(qū)2024-2025年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．1，2，3 B．5，12，13C．5，6，10 D．12，13，14【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【分析】本題考查勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的三條邊的長(zhǎng)能否構(gòu)成直角三角形，從而可以解答本題．【詳解】解：A、，故不可以構(gòu)成直角三角形，不符合題意；B、，故可以構(gòu)成直角三角形，符合題意；C、，故不可以構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D、，故不可以構(gòu)成直角三角形，不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·吉林松原·期中）下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊長(zhǎng)的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的條件能否構(gòu)成直角三角形，從而求解即可，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵，∴不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、∵，∴不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、∵，∴不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；、∵，∴能組成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：．2．（24-25八年級(jí)下·云南玉溪·期中）在中，，，的對(duì)邊分別為a，b，c，下列所給數(shù)據(jù)中，不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解決此題．【詳解】解：A、，，，，此時(shí)，是直角三角形；B、由題意，設(shè)，，，∵，∴，是直角三角形；C、，，是直角三角形；D．∵，，，，不是直角三角形．故選：D．3．（24-25八年級(jí)下·北京密云·期中）在中，，，的對(duì)邊分別為，，，下列條件中可以判斷的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，，，，是直角三角形，且，故A選項(xiàng)不符合題意；B、，，，，，故B選項(xiàng)不符合題意；C、，，，，是直角三角形，且，故C選項(xiàng)符合題意；D、，，，，是直角三角形，且，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【題型3在網(wǎng)格中判斷直角三角形】例題：（24-25八年級(jí)下·安徽蚌埠·期中）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．是直角三角形 D．的面積是【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【分析】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出各邊的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形．【詳解】解：A選項(xiàng)：根據(jù)網(wǎng)格可知，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：根據(jù)網(wǎng)格可知，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由網(wǎng)格可知，，是直角三角形，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：．故D選擇錯(cuò)誤。故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，連接、，則的度數(shù)為．

【答案】/45度【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、在網(wǎng)格中判斷直角三角形、等邊對(duì)等角【分析】本題考查了勾股定理，分別在格點(diǎn)三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到，，的長(zhǎng)度，繼而可得出的度數(shù)．【詳解】解：連接，

根據(jù)勾股定理可以得到：，，∵，即，∴是等腰直角三角形．∴．故答案為：．2．（24-25八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的“”的網(wǎng)格中，線段，的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上，兩線所夾銳角的度數(shù)為．【答案】/45度【知識(shí)點(diǎn)】算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用、在網(wǎng)格中判斷直角三角形、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【分析】本題考查了格點(diǎn)中的直角三角形的構(gòu)造和勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題關(guān)鍵．建立格點(diǎn)三角形，利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可解答．【詳解】解：如圖所示：平移到，連接，∴，∴，有圖可知：，，，，，∴且，∴為等腰直角三角形，∴故答案為：．3．（2025·江蘇鹽城·一模）如圖所示的網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度、在網(wǎng)格中判斷直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】延長(zhǎng)交格點(diǎn)于，連接，在網(wǎng)格中求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，且，由等腰直角三角形性質(zhì)求出，由鄰補(bǔ)角求解即可得到答案．【詳解】解：延長(zhǎng)交格點(diǎn)于，連接，如圖所示：，，則，即是等腰直角三角形，且，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求角度，涉及勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、鄰補(bǔ)角等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型4利用勾股定理的逆定理求解】例題：（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期末）如圖，在四邊形中，，，，，求的度數(shù)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用勾股定理的逆定理求解、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】根據(jù)，，可以得到為等邊三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷為直角三角形，從而可以求得，進(jìn)而可求得的度數(shù)．本題考查勾股定理的逆定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出和的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴為等邊三角形，∴，，又∵，，，∴，

，

，∴∴為直角三角形，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出是直角三角形即可；（2）直接根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】（1）證明：，，，，，是直角三角形，且，；（2）解：由（1）知，，，，，．2．（24-25八年級(jí)下·云南昆明·期中）已知：如圖，四邊形中，，，，，，(1)判斷△ACD的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)是直角三角形.(2)【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了四邊形的面積，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，屬于中考常考題型．（1）利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理證明即可；（2）把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積和求解即可．【詳解】（1）是直角三角形，理由：在中，，，，．，，，，，，是直角三角形，；（2）解：；，，四邊形的面積為84．3．（24-25八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，在四邊形中，，，，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的度數(shù)；(3)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，三角形的面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（3）根據(jù)解答即可．【詳解】（1）解：，，；（2）解：，又，，；（3）解：．【題型5勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（24-25八年級(jí)下·吉林松原·期中）在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖①，小明據(jù)此畫出該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型（如圖②的四邊形），是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中，千米，千米，千米．(1)小溪流的長(zhǎng)為_(kāi)_______千米．(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)16平方千米【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、化為最簡(jiǎn)二次根式【分析】本題考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，割補(bǔ)法求解圖形面積，熟記勾股定理與勾股定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理勾股定理求解即可；（2）將四邊形分成兩個(gè)三角形，求證為直角，四邊形面積為兩個(gè)直角三角形面積之和即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵，千米，∴（千米）；（2）解：∵（千米），千米，千米．∴，，，∴，∴是直角三角形，則，∴（平方千米）．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·廣東東莞·期中）如圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，現(xiàn)測(cè)得，，，其中與之間由一個(gè)固定為的零件連接（即）．(1)請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；(2)根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)．【答案】(1)的長(zhǎng)度為(2)該車符合安全標(biāo)準(zhǔn)【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用、二次根式的乘法【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵．（1）在中，由勾股定理求得；（2）由勾股定理的逆定理判斷是否是直角三角形即可；【詳解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：；答：的長(zhǎng)度為；（2）解：，即，∴是直角三角形，且，即；答：該車符合安全標(biāo)準(zhǔn)．2．（24-25八年級(jí)下·天津河北·期中）校園規(guī)劃了一片勞動(dòng)基地（四邊形）用來(lái)種植蔬菜和花卉．如圖，花卉區(qū)和蔬菜區(qū)之間用一條長(zhǎng)的小路隔開(kāi)（小路的寬度忽略不計(jì)）．經(jīng)測(cè)量，花卉區(qū)的邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng)，蔬菜區(qū)的邊長(zhǎng)，．(1)求蔬菜區(qū)邊的長(zhǎng)；(2)求花卉區(qū)的面積．【答案】(1)蔬菜區(qū)邊的長(zhǎng)為(2)花卉區(qū)的面積為【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）在中，運(yùn)用勾股定理即可求解；（2）先通過(guò)勾股定理逆定理證明，即可求解面積．【詳解】（1）解：∵，，，∴

；答：蔬菜區(qū)邊的長(zhǎng)為；（2）∵，∴，∴花卉區(qū)的面積，答：花卉區(qū)的面積為．3．（24-25八年級(jí)下·重慶長(zhǎng)壽·期中）如圖，長(zhǎng)壽某住宅小區(qū)在施工過(guò)程中留下了一塊空地（圖中的四邊形），經(jīng)測(cè)量，在四邊形中，，，，，．(1)是直角三角形嗎？為什么？(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米元，試問(wèn)鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？【答案】(1)是直角三角形，理由見(jiàn)解析(2)元．【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、三角形的面積公式．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．（1）先在中，利用勾股定理可求，在中，易求，再利用勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且；（2）分別利用三角形的面積公式求出，即是四邊形的面積，再乘以80，即可求總花費(fèi)．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：如圖，在中，，，，∴在中，，，∴，∴是直角三角形，；（2）∵，，∴，費(fèi)用（元）．答：鋪滿這塊空地共需花費(fèi)元．【題型6勾股定理逆定理的拓展問(wèn)題】例題：（24-25八年級(jí)下·河南信陽(yáng)·期中）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，且是最長(zhǎng)邊，我們可以利用，，三邊長(zhǎng)間的關(guān)系來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀：若，則該三角形是直角三角形；若，則該三角形是鈍角三角形；若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，則最長(zhǎng)邊是，由于，由結(jié)論可知該三角形是銳角三角形．請(qǐng)解答以下問(wèn)題：(1)若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，則該三角形是________三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，且這個(gè)三角形是直角三角形，則的值為_(kāi)_______．【答案】(1)銳角；(2)或【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、勾股定理逆定理的拓展問(wèn)題【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)閱讀材料中提供的思路進(jìn)行判斷即可．根據(jù)題意，三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，其中最長(zhǎng)邊是，計(jì)算出和的大小，從而可以判斷三角形的形狀；當(dāng)是最長(zhǎng)邊時(shí)，可得方程，解方程求出即可，當(dāng)是最長(zhǎng)邊時(shí)，可得方程，解方程求出即可．【詳解】（1）解：三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，其中最長(zhǎng)邊是，，該三角形是銳角三角形，故答案為：銳角；（2）解：三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，且這個(gè)三角形是直角三角形，當(dāng)是最長(zhǎng)邊時(shí)，可得：，解得：，當(dāng)是最長(zhǎng)邊時(shí)，可得：，解得：，故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）在中，，設(shè)為最長(zhǎng)邊，當(dāng)時(shí)，是直角三角形；當(dāng)時(shí)，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀（按角分類）．(1)當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為_(kāi)_______三角形；當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為_(kāi)_______三角形；(2)猜想：當(dāng)________時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)________時(shí)，為鈍角三角形；（填“>”或“<”或“=”）(3)判斷：當(dāng)時(shí)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的取值為_(kāi)_______；當(dāng)為銳角三角形時(shí)，則的取值范圍________；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，則的取值范圍________．【答案】(1)銳角；鈍角(2)(3)①；②；③【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理逆定理的拓展問(wèn)題【分析】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)兩直角邊為6、8時(shí)，利用勾股定理可得斜邊的長(zhǎng)度，當(dāng)三角形最長(zhǎng)的邊小于所求邊為銳角三角形，反之為鈍角三角形；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，可求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理求出下面情況的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)兩直角邊為6、8時(shí)，斜邊當(dāng)三邊分別為6、8、9時(shí)，為銳角三角形當(dāng)三邊分別為6、8、11時(shí)，為鈍角三角形（2）解：由勾股定理逆定理可得，當(dāng)時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形；（3）解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，；當(dāng)為銳角三角形時(shí)，，；當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，，則的取值范圍為，兩邊之和大于第三邊，．2．（23-24八年級(jí)下·福建莆田·階段練習(xí)）定義：若a，b，c是的三邊，且，則稱為“方倍三角形”．(1)對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說(shuō)法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”

B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”

D．①②都一定不是“方倍三角形”(2)如圖，中，，，P為邊上一點(diǎn)，將沿直線進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接，．若為“方倍三角形”，且，求的面積．【答案】(1)A(2)【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理逆定理的拓展問(wèn)題、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)“方倍三角形”定義可得，等邊三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”進(jìn)而可以判斷；（2）根據(jù)題意可得，根據(jù)“方倍三角形”定義可得為等邊三角形，從而證明為等腰直角三角形，可得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，根據(jù)為等腰直角三角形，可得，進(jìn)而可以求的面積．【詳解】（1）解：對(duì)于①等邊三角形，三邊相等，設(shè)邊長(zhǎng)為，則，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：等邊三角形一定是“方倍三角形”；對(duì)于②直角三角形，三邊滿足關(guān)系式：，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案為：；（2）由題意可知：，，，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，，，，，，，為等腰直角三角形，，．一、單選題1．（24-25八年級(jí)下·湖北武漢·期中）下列數(shù)組中，是勾股數(shù)的是（

）A．5，12，13 B．1，1，1 C． D．，，【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題【分析】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三邊滿足，則是直角三角形．根據(jù)勾股定理的逆定理分別進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：A、是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B、，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．（24-25八年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期中）在中，，則下列不能作為判定△ABC是直角三角形的條件是（）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，，，能判定是直角三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；B、，即，根據(jù)勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故B選項(xiàng)不符合題意；C、，設(shè)，，根據(jù)勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故C選項(xiàng)不符合題意；D、，，不能判定是直角三角形，故D選項(xiàng)符合題意．故選：D．3．（2025·河北邯鄲·一模）五根小木棒的長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，下列圖形正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用勾股定理的逆定理求解【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】解：A、，，故A不正確；B、，，故B正確；C、，，故C不正確；D、，，故D不正確．故選：B．4．（24-25八年級(jí)下·新疆和田·階段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論：①；②是直角三角形；③的面積為10，其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積，由勾股定理求出，，即可判定①；由勾股定理的逆定理可判定②；根據(jù)三角形的面積公式求出的面積可判定③，據(jù)此即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故①正確；，，∵，∴是直角三角形，故②正確；，故③錯(cuò)誤；故選：A．5．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖，已知中，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為垂足，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出的長(zhǎng)，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【詳解】解：連接，

∵，，∴，∵的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故選：D．二、填空題6．（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，，，則的面積為．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】利用勾股定理的逆定理求解【分析】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用．先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，再利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵，∴是直角三角形，且，∴的面積為，故答案為：6．7．（24-25八年級(jí)下·湖南張家界·期中）已知，，是一個(gè)三角形的三條邊，且滿足，請(qǐng)判斷這個(gè)三角形的形狀是．【答案】直角三角形【知識(shí)點(diǎn)】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、絕對(duì)值非負(fù)性【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握運(yùn)用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對(duì)值、完全平方數(shù)和算術(shù)平方根的非負(fù)性，可求解出a、b、c的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，∵，∴此三角形是直角三角形．故答案為：直角三角形．8．（24-25八年級(jí)下·湖北宜昌·階段練習(xí)）欲檢驗(yàn)畫框的兩邊是否垂直，若測(cè)得兩邊長(zhǎng)分別為和，對(duì)角線為，則該畫框填“合格”或“不合格”．【答案】合格【知識(shí)點(diǎn)】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【分析】本題考查了勾股定理逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理計(jì)算即可判斷畫框的兩邊是否垂直．【詳解】解：∵，∴畫框兩邊與對(duì)角線構(gòu)成直角三角形，∴畫框的兩邊垂直；故答案為：合格．9．（24-25八年級(jí)下·山西大同·階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C，P都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，且點(diǎn)在的邊上，則的度數(shù)是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、三角形的外角的定義及性質(zhì)、在網(wǎng)格中判斷直角三角形、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【分析】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用；先計(jì)算，，可得，，再進(jìn)一步求解即可.【詳解】解：∵點(diǎn)A，B，C，P都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，且點(diǎn)在的邊上，∴，，∴，，∴，，∴；故答案為：10．（2025·陜西渭南·二模）《幾何原本》中曾介紹：在直角三角形中，對(duì)直角的邊上所作的圖形的面積等于夾直角邊上所作與前圖形相似且有相似位置的二圖形面積的和．反之，如圖，若以的三邊長(zhǎng)為直徑分別向外作三個(gè)半圓，其中兩個(gè)半圓面積之和等于第三個(gè)半圓面積（即），則可斷定是三角形．（填“銳角”“直角”或“鈍角”）【答案】直角【知識(shí)點(diǎn)】以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積、利用勾股定理的逆定理求解【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論，如果三角形的三邊長(zhǎng)滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．【詳解】解：，，，，，即，是直角三角形，故答案為：直角．三、解答題11．（24-25八年級(jí)下·新疆喀什·期中）如圖，在一條東西走向的河道的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)，，由于某種原因．由村莊到取水點(diǎn)的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)（點(diǎn)，，在同一條直線上），并新修一條路，測(cè)得，，．是否為從村莊到河邊最近的路？（即與是否垂直？）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．【答案】是，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用【分析】此題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、垂線段最短，熟練掌握勾股逆定理是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理驗(yàn)證為直角三角形，進(jìn)而得到，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短即可解答；【詳解】解：是，理由如下：在中，∵，，∴，∴，∴為直角三角形，且，∴，∴由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知，是從村莊到河邊的最近路；12．（24-25八年級(jí)下·安徽蚌埠·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，．(1)求的長(zhǎng)；(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是直角三角形，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理是關(guān)鍵．（1）在直角中利用勾股定理得，進(jìn)而求得，在中，勾股定理即可求解．（2）利用勾股定理的逆定理即可判斷．【詳解】（1）解：，是直角三角形，．．∴在中，（2）是直角三角形，理由如下：∵，，，是直角三角形，是直角．13．（24-25八年級(jí)下·北京·期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，A，B，C，D均為格點(diǎn)．(1)直接寫出下列線段的長(zhǎng)度：，；(2)連接，判斷形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)；5(2)是直角三角形，證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、在網(wǎng)格中判斷直角三角形【分析】本題考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解題關(guān)鍵是牢記公式．（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）先計(jì)算，再利用勾股定理的逆定理即可證明．【詳解】（1）解：，；（2）解：是直角三角形；證明：∵，，，∴，∴是直角三角形．14．（24-25八年級(jí)下·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，