專題02一定是直角三角形嗎內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：7大核心考點精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點01：勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數(shù)知識點02：勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如）.（2）驗證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【題型1勾股樹（數(shù)）的判定】例題：（24-25八年級下·廣東東莞·期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（

）．A．3，4，5 B．4，5，6 C．7，8，9 D．8，9，10【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·重慶渝北·期中）下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（

）A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，152．（24-25八年級下·陜西西安·期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，133．（24-25八年級下·遼寧葫蘆島·期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．9，40，41 B．5，12，15 C．1.5，2，2.5 D．13，14，15【題型2判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】例題：（遼寧省大連市金普新區(qū)2024-2025年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）下列各組數(shù)中能作為直角三角形的三邊長的是（

）A．1，2，3 B．5，12，13C．5，6，10 D．12，13，14【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·吉林松原·期中）下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊長的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．（24-25八年級下·云南玉溪·期中）在中，，，的對邊分別為a，b，c，下列所給數(shù)據(jù)中，不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，3．（24-25八年級下·北京密云·期中）在中，，，的對邊分別為，，，下列條件中可以判斷的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【題型3在網(wǎng)格中判斷直角三角形】例題：（24-25八年級下·安徽蚌埠·期中）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為，點，，都在格點上，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B．C．是直角三角形 D．的面積是【變式訓(xùn)練】1．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，連接、，則的度數(shù)為．

2．（24-25八年級下·河南安陽·階段練習(xí)）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的“”的網(wǎng)格中，線段，的端點都在格點上，兩線所夾銳角的度數(shù)為．3．（2025·江蘇鹽城·一模）如圖所示的網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，點是網(wǎng)格線的交點，則．【題型4利用勾股定理的逆定理求解】例題：（23-24八年級下·廣西河池·期末）如圖，在四邊形中，，，，，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·湖北武漢·期中）如圖，在中，是邊上一點，．(1)求證：；(2)若，求的長．2．（24-25八年級下·云南昆明·期中）已知：如圖，四邊形中，，，，，，(1)判斷△ACD的形狀，并說明理由；(2)求四邊形的面積．3．（24-25八年級下·湖南長沙·期中）如圖，在四邊形中，，，，且．(1)求的長；(2)求的度數(shù)；(3)求四邊形的面積．【題型5勾股定理逆定理的實際應(yīng)用】例題：（24-25八年級下·吉林松原·期中）在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖①，小明據(jù)此畫出該島的一個數(shù)學(xué)模型（如圖②的四邊形），是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中，千米，千米，千米．(1)小溪流的長為________千米．(2)求四邊形的面積．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·廣東東莞·期中）如圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，現(xiàn)測得，，，其中與之間由一個固定為的零件連接（即）．(1)請求出的長度；(2)根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足，通過計算說明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn)．2．（24-25八年級下·天津河北·期中）校園規(guī)劃了一片勞動基地（四邊形）用來種植蔬菜和花卉．如圖，花卉區(qū)和蔬菜區(qū)之間用一條長的小路隔開（小路的寬度忽略不計）．經(jīng)測量，花卉區(qū)的邊長，邊長，蔬菜區(qū)的邊長，．(1)求蔬菜區(qū)邊的長；(2)求花卉區(qū)的面積．3．（24-25八年級下·重慶長壽·期中）如圖，長壽某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖中的四邊形），經(jīng)測量，在四邊形中，，，，，．(1)是直角三角形嗎？為什么？(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？【題型6勾股定理逆定理的拓展問題】例題：（24-25八年級下·河南信陽·期中）閱讀下列內(nèi)容：設(shè)，，是一個三角形的三條邊的長，且是最長邊，我們可以利用，，三邊長間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：若，則該三角形是直角三角形；若，則該三角形是鈍角三角形；若，則該三角形是銳角三角形．例如：若一個三角形的三邊長分別是，，，則最長邊是，由于，由結(jié)論可知該三角形是銳角三角形．請解答以下問題：(1)若一個三角形的三邊長分別是，，，則該三角形是________三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)若一個三角形的三邊長分別是，，，且這個三角形是直角三角形，則的值為________．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·江蘇徐州·期中）在中，，設(shè)為最長邊，當(dāng)時，是直角三角形；當(dāng)時，利用代數(shù)式和的大小關(guān)系，探究的形狀（按角分類）．(1)當(dāng)三邊分別為6、8、9時，為________三角形；當(dāng)三邊分別為6、8、11時，為________三角形；(2)猜想：當(dāng)________時，為銳角三角形；當(dāng)________時，為鈍角三角形；（填“>”或“<”或“=”）(3)判斷：當(dāng)時，當(dāng)為直角三角形時，則的取值為________；當(dāng)為銳角三角形時，則的取值范圍________；當(dāng)為鈍角三角形時，則的取值范圍________．2．（23-24八年級下·福建莆田·階段練習(xí)）定義：若a，b，c是的三邊，且，則稱為“方倍三角形”．(1)對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”

B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”

D．①②都一定不是“方倍三角形”(2)如圖，中，，，P為邊上一點，將沿直線進(jìn)行折疊，點A落在點D處，連接，．若為“方倍三角形”，且，求的面積．一、單選題1．（24-25八年級下·湖北武漢·期中）下列數(shù)組中，是勾股數(shù)的是（

）A．5，12，13 B．1，1，1 C． D．，，2．（24-25八年級下·河南洛陽·期中）在中，，則下列不能作為判定△ABC是直角三角形的條件是（）A． B．C． D．3．（2025·河北邯鄲·一模）五根小木棒的長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，下列圖形正確的是（

）A． B．C． D．4．（24-25八年級下·新疆和田·階段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中，每個正方形的邊長均為1，點都在格點上，則下列結(jié)論：①；②是直角三角形；③的面積為10，其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖，已知中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，點為垂足，，，，則的長為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，，，則的面積為．7．（24-25八年級下·湖南張家界·期中）已知，，是一個三角形的三條邊，且滿足，請判斷這個三角形的形狀是．8．（24-25八年級下·湖北宜昌·階段練習(xí)）欲檢驗畫框的兩邊是否垂直，若測得兩邊長分別為和，對角線為，則該畫框填“合格”或“不合格”．9．（24-25八年級下·山西大同·階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，P都在格點（網(wǎng)格線的交點）上，且點在的邊上，則的度數(shù)是．10．（2025·陜西渭南·二模）《幾何原本》中曾介紹：在直角三角形中，對直角的邊上所作的圖形的面積等于夾直角邊上所作與前圖形相似且有相似位置的二圖形面積的和．反之，如圖，若以的三邊長為直徑分別向外作三個半圓，其中兩個半圓面積之和等于第三個半圓面積（即），則可斷定是三角形．（填“銳角”“直角”或“鈍角”）三、解答題11．（24-25八年級下·新疆喀什·期中）如圖，在一條東西走向的河道的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點，，由于某種原因．由村莊到取水點的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點（點，，在同一條直線上），并新修一條路，測得，，．是否為從村莊到河邊最近的路？（即與是否垂直？）請通過計算加以說明．12．（24-25八年級下·安徽蚌埠·期中）如圖，在中，，，點在邊上，且，．(1)求的長；(2)判斷的形狀，并說明理由．13．（24-25八年級下·北京·期中）如圖，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C，D均為格點．(1)直接寫出下列線段的長度：，；(2)連接，判斷形狀，并證明你的結(jié)論．14．（24-25八年級下·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，．(1)求證：(2)求四邊形的面積．15．（24-25八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）為了響應(yīng)國家生態(tài)文明建設(shè)的號召，提升居民生活品質(zhì)，營造更加宜居和諧的居住環(huán)境，呼和浩特某小區(qū)全面啟動了綠化升級工程，以“生態(tài)、美觀、實用”為原則，科學(xué)規(guī)劃，精心布局，打造多功能的綠色空間．社區(qū)在住宅樓和臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如圖，已知，，，，兩條街道互相垂直．(1)由于綠化區(qū)的存在，小區(qū)居民要想從點A走再到點C必須經(jīng)過點B繞行，為了方便居民出入，該小區(qū)計劃在該綠化區(qū)中開辟一條從點A直通點C的小路（小路寬度忽略不計）．若此計劃落實，則居民從點A到點C能少走多少米？(2)求這片綠化區(qū)的面積．16．（24-25八年級下·廣西賀州·期中）【閱讀與思考】勾股定理