專題03勾股定理的應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：12大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.知識(shí)點(diǎn)2：平面展開(kāi)圖-最短路徑問(wèn)題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度】例題：（24-25八年級(jí)上·四川成都·期末）每年的11月9日是我國(guó)的消防日，為了增強(qiáng)全民的消防安全意識(shí)，某校師生舉行了消防演練，如圖，云梯長(zhǎng)為25米，云梯頂端C靠在教學(xué)樓外墻上（墻與地面垂直），云梯底端A與墻角O的距離為7米．(1)求云梯頂端C與墻角O的距離的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)云梯頂端C下方4米D處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端C下滑到著火點(diǎn)D處，則云梯底端水平方向向右滑動(dòng)的距離為多少米．【答案】(1)云梯頂端與墻角的距離的長(zhǎng)為(2)云梯底端在水平方向上滑動(dòng)的距離為【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）在中，根據(jù)勾股定理即可得到求解；（2）在中，根據(jù)勾股定理求出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，由勾股定理得，即，解得：；答：云梯頂端與墻角的距離的長(zhǎng)為；（2）解：，，，在中，，，由勾股定理得，即，解得：，，．答：云梯底端在水平方向上滑動(dòng)的距離為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·廣東廣州·期中）如圖，一架長(zhǎng)5米的梯子斜靠在墻上，到墻底端C的距離為3米，此時(shí)梯子的高度達(dá)不到工作要求，因此把梯子的端向墻的方向移動(dòng)了米到B處，此時(shí)梯子的高度達(dá)到工作要求，求梯子的端向上移動(dòng)了多少米．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理知，，在中，，根據(jù)勾股定理知，．答：梯子的端向上移動(dòng)了．2．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，一架長(zhǎng)的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子的底部到墻底端的距離為．(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了至點(diǎn)，求梯子的頂端沿墻垂直下滑了多少米．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理求出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出，得到即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，，，∴在中，答：這個(gè)梯子的頂端距離地面．（2）解：由題意得，，，∴在中，∴答：梯子的頂端沿墻垂直下滑了．3．（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知某消防車的云梯最大能伸長(zhǎng)25米，在一次救援中，消防車云梯伸到最長(zhǎng)25米，它的底部與建筑物之間的水平距離米，云梯底部與地面的距離米．(1)求此時(shí)云梯頂端C離地面的高度為多少米；(2)若云梯頂端需要伸到距離地面17的處，則消防車需要向建筑物方向移動(dòng)多少米到達(dá)處？【答案】(1)此時(shí)云梯頂端離地面的高度為9米(2)4米【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中根據(jù)梯子長(zhǎng)不會(huì)變的等量關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．（1）在中，利用勾股定理求解即可；（2）先求出，在中，由勾股定理求出，然后求出的長(zhǎng)即可求解．【詳解】（1）解：為長(zhǎng)方形，在中，由勾股定理

答：此時(shí)云梯頂端離地面的高度為9米（2）解：，

在中，由勾股定理

答：消防車需要向建筑物方向移動(dòng)4米到達(dá)B處．【題型2應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度】例題：（24-25八年級(jí)下·河南三門峽·期中）八年級(jí)11班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)量如圖的風(fēng)箏的高度，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：①測(cè)得的長(zhǎng)度為8米：（注：）②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為17米；③牽線放風(fēng)箏的松松身高1.6米．(1)求風(fēng)箏的高度．(2)若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】(1)米(2)7米【知識(shí)點(diǎn)】求旗桿高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再加上的長(zhǎng)度，即可求出的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論∶【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得，所以，（負(fù)值舍去），所以，（米），答：風(fēng)箏的高度為米；（2）如圖：由題意得，米，∴米，∴，∴米，∴（米），∴他應(yīng)該往回收線7米．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·北京·期中）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問(wèn)索長(zhǎng)幾何．譯文：現(xiàn)在有一根豎直的木頭，繩子系在其頂端．將繩子垂到地面時(shí)，繩子還有三尺余在地上．拉著繩子后退，離木頭根部八尺時(shí)，繩子被拉直用完．問(wèn)繩子的長(zhǎng)度是多少？【答案】尺【知識(shí)點(diǎn)】求旗桿高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】根據(jù)題意得，繩索，木樁形成直角三角形，根據(jù)勾股定理，即可求出繩索長(zhǎng)．本題考查勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)繩索長(zhǎng)為x尺，則木樁高為尺，∴在中，，，∴根據(jù)勾股定理，得，解得．∴繩索長(zhǎng)為尺．2．（24-25八年級(jí)上·陜西銅川·期中）如圖，同學(xué)們想測(cè)量旗桿的高度（米），他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長(zhǎng)度未知．小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個(gè)問(wèn)題的方案如下：小明：①測(cè)量出繩子垂直落地后還剩余米，如圖：②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部的距離米，如圖．小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到如圖3點(diǎn)處，作垂直于點(diǎn)，．(1)請(qǐng)你按小明的方案求出旗桿的高度；(2)在（）的條件下，已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿的距離米，求此時(shí)繩結(jié)到地面的高度．【答案】(1)米(2)米【知識(shí)點(diǎn)】求旗桿高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】（）設(shè)旗桿的高度為米，則繩子的長(zhǎng)度為米，利用勾股定理解答即可求解；（）由題意可知米，米，，利用勾股定理求出，即得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解；本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)旗桿的高度為米，則繩子的長(zhǎng)度為米，在中，由勾股定理得，，解得，答：旗桿的高度為米；（2）解：由題意可知，米，米，，在中，由勾股定理得米，∴米，∴米，答：此時(shí)繩結(jié)到地面的高度為米．3．（24-25八年級(jí)上·福建泉州·期末）閱讀下列材料，回答問(wèn)題．社區(qū)公園里新安裝了一架秋千，小白對(duì)秋千的高度產(chǎn)生了興趣，星期天他和朋友一起帶著卷尺到公園測(cè)量秋千的高度，他設(shè)計(jì)如下的測(cè)量方案：步驟一：測(cè)得秋千靜止時(shí)的底端與地面的距離；步驟二：如圖，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的繩索被拉直，測(cè)得此時(shí)秋千底端離地面的高度，再測(cè)得小白站立處與秋千靜止時(shí)的水平距離．(1)若設(shè)秋千的高度，則_____（用含的代數(shù)式表示）；(2)根據(jù)上述測(cè)量方案和數(shù)據(jù)，求秋千的高度．【答案】(1)(2)秋千的高度為【知識(shí)點(diǎn)】列代數(shù)式、求旗桿高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，利用勾股定理解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，故答案為：；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，，，，在中，，，即，解得：，答：秋千的高度為．【題型3應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離】例題：（24-25八年級(jí)下·吉林松原·期中）如圖，庭院中有兩棵樹，喜鵲要從一棵高的樹頂飛到一棵高的樹頂上，兩棵樹相距，則喜鵲至少要飛．【答案】13【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥飛行距離(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：，∴．即喜鵲至少要飛．故答案為：13【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·江西撫州·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高5米，兩樹相距24米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，小鳥至少飛行米．【答案】25【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥飛行距離(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出即可．【詳解】解：如圖，設(shè)大樹高為米，小樹高為米，連接，平移到，則米，，兩樹相距米，∴（米），在中，（米），故小鳥至少飛行米．故答案為：25．2．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，兩樹的高分別為米和4米，相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則這只鳥至少飛行米．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥飛行距離(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出，熟練掌握其性質(zhì)，合理添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過(guò)C點(diǎn)作于E，則四邊形是矩形，連接，設(shè)大樹高為，小樹高為，∴，，，在中，答：小鳥至少飛行米，故答案為：3．（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）如圖，一條路的兩邊有兩棵樹，一棵樹高為11米，另一棵樹高為6米，兩樹的距離為12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少要飛行米．【答案】13【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥飛行距離(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理，過(guò)C作平行地面，連接，由題意得米，米，由勾股定理可得的長(zhǎng)，即小鳥至少要飛行的距離．【詳解】解：過(guò)C作平行地面，連接，由題意得，米，米，米，由勾股定理得，米，故答案為：13．【題型4應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度】例題：（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）《九章算術(shù)》中記“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．問(wèn)：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部4尺遠(yuǎn)．問(wèn)：竹子折斷處離地面有幾尺？（1丈尺）【答案】竹子折斷處離地面有4.2尺．【知識(shí)點(diǎn)】求大樹折斷前的高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)竹子折斷處離地面有尺，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面有尺，由題意得：，，，，∴，則：，解得：．答：竹子折斷處離地面有4.2尺．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離為．(1)求旗桿在距地面多高處折斷；(2)工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)的下方的點(diǎn)處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)處吹斷，在距離旗桿底部5米處是否有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？【答案】(1)旗桿距地面處折斷(2)在距離旗桿底部米處有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)【知識(shí)點(diǎn)】求大樹折斷前的高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查的是勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練的從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)長(zhǎng)為，則長(zhǎng)，再利用勾股定理建立方程即可；（2）先畫出圖形，再求解，，再利用勾股定理可得答案．【詳解】（1）解：由題意，知．因?yàn)?，設(shè)長(zhǎng)為，則長(zhǎng)，則，解得．故旗桿距地面處折斷；（2）解：如圖：因?yàn)辄c(diǎn)P距地面，所以，所以，則距離旗桿底部周圍的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)，所以在距離旗桿底部處有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)．2．（24-25八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，有兩棵樹，一棵高米（米），另一棵高米（米），兩樹相距米（米）．

(1)求一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？(2)如圖，臺(tái)風(fēng)過(guò)后，高米的樹在點(diǎn)處折斷，大樹頂部落在點(diǎn)處，則樹折斷處距離地面多少米？【答案】(1)米(2)米【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥飛行距離(勾股定理的應(yīng)用)、求大樹折斷前的高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進(jìn)行直線飛行，飛行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出；（2）由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：兩棵樹的高度差為（米），兩樹相距米（米），根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離（米），答：至少飛了米；（2）解：由勾股定理得：，，解得：，答：樹折斷處距離地面米．3．（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，一根垂直于地面的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離．

(1)求旗桿折斷處點(diǎn)距離地面的高度；(2)工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷處的下方1.4m的點(diǎn)處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將修復(fù)好的旗桿從點(diǎn)處吹斷，旗桿的頂部落在水平地面上的處，形成一個(gè)，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．【答案】(1)米(2)米【知識(shí)點(diǎn)】求大樹折斷前的高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．（1）由題意可知米，根據(jù)勾股定理可得：，又因?yàn)槊祝钥汕蟮玫拈L(zhǎng)；（2）先求出點(diǎn)距地米，米，再根據(jù)勾股定理可以求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：由題意可知：米，，，又米，，米；（2）解：點(diǎn)距地面米，米，（米．【題型5應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問(wèn)題】例題：（24-25八年級(jí)下·廣東江門·期中）如圖，一根長(zhǎng)的牙刷放置于底面半徑是，高為的圓柱水杯中，牙刷露在杯子外面的長(zhǎng)度為，求．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理并讀懂題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出的值，進(jìn)而即可得出答案．【詳解】解：如圖，在中，，根據(jù)勾股定理得．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·福建廈門·階段練習(xí)）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)：水深幾何？”這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問(wèn)題.即，，，，求的長(zhǎng)．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．設(shè)，則，由勾股定理列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，由題意，得：，解得：，即．2．（23-24八年級(jí)下·吉林四平·期末）如圖,一種圓柱形的飲料杯，測(cè)得內(nèi)部底面圓半徑為，杯高，點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)部底面圓上，線段經(jīng)過(guò)杯子的內(nèi)部底面圓心．將吸管一端放在點(diǎn)處，并讓吸管經(jīng)過(guò)點(diǎn)（按如圖所示）放進(jìn)杯里，要求杯門外面至少要露出長(zhǎng)的吸管，問(wèn)至少需要制作多長(zhǎng)的吸管？【答案】至少需要制作長(zhǎng)的吸管【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】此題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用．在吸管(杯內(nèi)部分)、杯底直徑、杯高構(gòu)成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯內(nèi)吸管部分的長(zhǎng)度，再加上外露部分的長(zhǎng)度即可求出吸管的總長(zhǎng)．【詳解】解：由題意可知是直角三角形，，，線段為內(nèi)部底面圓直徑，內(nèi)部底面圓半徑為，，在中，，解得：或（舍去，不符合題意）答：至少需要制作長(zhǎng)的吸管．3．（23-24八年級(jí)下·北京朝陽(yáng)·期末）《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬丈，蘆葦生長(zhǎng)在的中點(diǎn)O處，高出水面的部分尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達(dá)到岸邊時(shí)恰好與水面平齊，即，求水池的深度和蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度；(2)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注解時(shí)，更進(jìn)一步給出了這類問(wèn)題的一般解法．他的解法用現(xiàn)代符號(hào)語(yǔ)言可以表示為：若已知水池寬，蘆葦高出水面的部分，則水池的深度可以通過(guò)公式計(jì)算得到．請(qǐng)證明劉徽解法的正確性．【答案】(1)12尺(2)見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；（1）設(shè)水池深度為x尺，則得蘆葦高度為尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由水池深度，則得蘆葦高度為，由題意有：；由勾股定理即可得證．【詳解】（1）解：設(shè)水池深度為x尺，則蘆葦高度為尺，由題意有：尺；為中點(diǎn)，且丈尺，(尺)；在中，由勾股定理得：，即，解得：；即尺；答：水池的深度為12尺；（2）證明：水池深度，則蘆葦高度為，由題意有：；為中點(diǎn)，且，；在中，由勾股定理得：，即，整理得：；表明劉徽解法是正確的．【題型6應(yīng)用勾股定理解決航海問(wèn)題】例題：（24-25八年級(jí)下·河南三門峽·期中）如圖所示，甲、乙兩船同時(shí)由港口A出發(fā)開(kāi)往海島B，甲船沿東北方向向海島B航行，其速度為15海里/小時(shí)；乙船速度為20海里/小時(shí)，先沿正東方向航行1小時(shí)后，到達(dá)C港口接旅客，停留半小時(shí)后再轉(zhuǎn)向北偏東方向開(kāi)往B島，其速度仍為20海里/小時(shí)．(1)求港口A到海島B的距離；(2)B島建有一座燈塔，在離燈塔方圓5海里內(nèi)都可以看見(jiàn)燈塔，問(wèn)甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔？（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】(1)(2)乙船【知識(shí)點(diǎn)】解決航海問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形的相關(guān)知識(shí)解答．（1）作于點(diǎn)D，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形并解直角三角形，用表示出和，利用和之間的關(guān)系列出方程求解；（2）分別求得兩船看見(jiàn)燈塔的時(shí)間，然后比較即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，在中，，設(shè)，則，在中，，則，，由得，解得，，答：港口A到海島B的距離為海里；（2）解：甲船看見(jiàn)燈塔所用時(shí)間：小時(shí)，乙船看見(jiàn)燈塔所用時(shí)間：小時(shí)，所以乙船先看見(jiàn)燈塔．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）某日我海防巡邏艇在A處探測(cè)到在它正東方向距它30海里的B處有一艘可疑船只，該船只正以每小時(shí)36海里的速度沿北偏西方向行駛，巡邏艇立即沿北偏東的方向前往攔截，半小時(shí)后恰好在C處攔截到該船只．(1)求巡邏艇的速度為每小時(shí)多少海里？(2)求此時(shí)該船只所在處C與的距離為多少海里？【答案】(1)巡邏艇的速度為每小時(shí)48海里(2)此時(shí)該船只所在處C與的距離為海里【知識(shí)點(diǎn)】解決航海問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了利用勾股定理解決航海問(wèn)題．（1）先求得，在中，由勾股定理求解即可；（2）作于，利用等積法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，，，，，∴在中，由勾股定理得，，答：巡邏艇的速度為每小時(shí)48海里；（2）解：作于，，，答：此時(shí)該船只所在處C與的距離為海里．2．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）如圖，一艘船由A島沿北偏東方向航行至B島，然后再沿北偏西方向航行至C島．(1)求A，C兩島之間的距離；(2)確定C島在A島的什么方向？【答案】(1)(2)北偏西【知識(shí)點(diǎn)】與方向角有關(guān)的計(jì)算題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、解決航海問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)方向角的熟練掌握．（1）根據(jù)，，推出，在中，利用勾股定理即可求出距離；（2）證明，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，由題意可知：，∵，∴，∴，在中，，答：A，C兩島之間的距離是；（2）又∵，，∴，∵，∴，∴C島在A島北偏西的方向上．3．（24-25八年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，小島A位于港口C北偏西方向上，小島B位于港口C的北偏東方向上，且與港口C相距200海里，小島B與小島A相距250海里．(1)求小島A與港口C的距離；(2)在小島B處有一艘載滿貨物的貨船，以每小時(shí)20海里的速度從小島B出發(fā)沿B→A方向航行，當(dāng)貨船距離港口C最近時(shí)，求貨船還需航行多長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)小島A？【答案】(1)小島A與港口C的距離為150海里(2)貨船還需航行4.5小時(shí)才能到達(dá)小島A【知識(shí)點(diǎn)】解決航海問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)、垂線段最短【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，首先利用等面積法求出，然后利用勾股定理求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，．在中，，∴．答：小島A與港口C的距離為150海里；（2）解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，當(dāng)貨船航行到點(diǎn)D時(shí)，此時(shí)貨船距離港口C最近．∵，∴，在中，，∴，∴（小時(shí)）．答：貨船還需航行4.5小時(shí)才能到達(dá)小島A．【題型7應(yīng)用勾股定理解決河的寬度】例題：（23-24八年級(jí)下·河北唐山·期中）如圖，池塘邊有兩點(diǎn)，點(diǎn)是與方向成直角的方向上一點(diǎn)，測(cè)得長(zhǎng)為米，長(zhǎng)為米．求兩點(diǎn)間的距離（?。敬鸢浮棵祝痉治觥勘绢}考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理直接計(jì)算即可求解，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，∵米，米，∴米，答：兩點(diǎn)間的距離為米．【變式訓(xùn)練】1.（23-24八年級(jí)下·廣東東莞·期中）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A處偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B處，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多．求該河的寬度的長(zhǎng)．【答案】米【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．設(shè)米，則米，根據(jù)勾股定理得出，求出即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知：設(shè)米，則米，在中，，，即，解得：，即米，答．該河的寬度為75米．2.（24-25八年級(jí)下·陜西延安·期末）如圖，湖的兩岸有兩棵景觀樹，在與垂直的方向上取一點(diǎn)，測(cè)得米，米．求兩棵景觀樹之間的距離．

【答案】?jī)煽镁坝^樹之間的距離是12米【分析】根據(jù)勾股定理：在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt中，由勾股定理，得：，（米）．答：兩棵景觀樹之間的距離是12米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理．3.（24-25八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線橫渡，由于受水流的影響，實(shí)際沿著航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)比河寬多10米．(1)求該河的寬度；（兩岸可近似看作平行）(2)設(shè)實(shí)際航行時(shí)，速度為每秒5米，從C回到A時(shí)，速度為每秒4米，求航行總時(shí)間．【答案】(1)米(2)航行總時(shí)間為67.5秒【分析】（1）根據(jù)題意可知為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊的距離．（2）根據(jù)時(shí)間路程速度，求出行駛的時(shí)間即可．【詳解】（1）解：設(shè)米，則米，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，答：河寬240米．（2）解：（秒），（秒），（秒），答：航行總時(shí)間為67.5秒．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，列出方程是解題的關(guān)鍵．【題型8應(yīng)用勾股定理解決臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度】例題：（24-25八年級(jí)下·重慶長(zhǎng)壽·階段練習(xí)）某學(xué)校為防止雨天地滑，需在一段樓梯臺(tái)階上鋪上一塊地毯，將樓梯臺(tái)階完全蓋?。畼翘菖_(tái)階剖面圖如圖所示，已知，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)若已知樓梯寬，每平方米地毯25元，需要花費(fèi)多少錢地毯才能鋪滿所有臺(tái)階．（假設(shè)地毯在鋪的過(guò)程中沒(méi)有損耗）【答案】(1)的長(zhǎng)為；(2)元【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度(勾股定理的應(yīng)用)、有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理求出的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理列式計(jì)算即可；（2）由長(zhǎng)方形面積公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，，，答：的長(zhǎng)為；（2）解：地毯長(zhǎng)為：，∴地毯的面積為，每平方米地毯25元，需要花費(fèi)（元）；答：需要花費(fèi)元地毯才能鋪滿所有臺(tái)階．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，小明與小華爬山時(shí)遇到一條筆直的石階路，路的一側(cè)設(shè)有與坡面平行的護(hù)欄．小明量得每一級(jí)石階的寬為，高為，爬到山頂后，小華數(shù)得石階一共200級(jí)，若每一級(jí)石階的寬和高都一樣，且構(gòu)成直角，請(qǐng)你幫他們求護(hù)欄的長(zhǎng)度．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求出每一級(jí)石階的斜邊長(zhǎng)，再乘以200即可求出護(hù)欄的長(zhǎng)度．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，每一級(jí)石階的斜邊長(zhǎng)為，．答：護(hù)欄的長(zhǎng)度為．2．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，樓梯的高度為，樓梯坡面的長(zhǎng)度為，要在樓梯的表面鋪上地毯，那么地毯的長(zhǎng)度至少需要多少米？（精確到）【答案】米【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)圖形可得，地毯的長(zhǎng)度等于，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求解，理解地毯的長(zhǎng)度等于是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，由勾股定理得，，∴米，∴米，答：地毯的長(zhǎng)度至少需要米．3．（23-24八年級(jí)上·山東棗莊·階段練習(xí)）某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高、長(zhǎng)、寬的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要多少元？【答案】1020【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】地毯的長(zhǎng)是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即與的和，在直角中，根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)，地毯的長(zhǎng)與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價(jià)即可求解．【詳解】解：由勾股定理得，則地毯總長(zhǎng)為，則地毯的總面積為（平方米），所以鋪完這個(gè)樓道至少需要（元）．故答案為：1020．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長(zhǎng)度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【題型9應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問(wèn)題】例題：（24-25八年級(jí)下·廣西貴港·期中）已知某高速路段限速（即）．如圖，汽車在車速檢測(cè)儀A正前方30米的處，過(guò)了后到處，測(cè)得．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷汽車是否超速．【答案】沒(méi)有超速【知識(shí)點(diǎn)】判斷汽車是否超速(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題成為解題的關(guān)鍵．由勾股定理可得，再根據(jù)小汽車用行駛的路程為，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷即可解答．【詳解】解：汽車沒(méi)有超速，理由如下：依題意，由勾股定理可得：，，，．∴，∴．∴汽車沒(méi)有超速．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到車速檢測(cè)儀A正下方的B處，過(guò)了，小汽車到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為．(1)求的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車超速了嗎？【答案】(1)(2)未超速【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、判斷汽車是否超速(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把條件和問(wèn)題放到直角三角形中進(jìn)行解決．（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)小汽車用行駛的路程和時(shí)間，可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，,由勾股定理，得，∴，故的長(zhǎng)為．（2）解：，∵，∴這輛小汽車未超速．2．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)裝有一車速檢測(cè)儀，它到公路邊的距離米，小汽車行駛過(guò)檢測(cè)儀監(jiān)控區(qū)域，到達(dá)點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，離開(kāi)點(diǎn)時(shí)停止計(jì)時(shí)，已知米．(1)若一輛汽車以的速度勻速通過(guò)監(jiān)控區(qū)域，共用時(shí)幾秒？(2)若另一輛車通過(guò)監(jiān)控區(qū)域共用時(shí)3秒，該車是否超速？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)共用時(shí)4秒(2)該車超速，理由見(jiàn)詳解【知識(shí)點(diǎn)】判斷汽車是否超速(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）勾股定理求出的長(zhǎng)，利用時(shí)間等于路程除以速度進(jìn)行求解即可；（2）利用速度等于路程除以時(shí)間求出車速，進(jìn)行判斷即可【詳解】（1）解：依題意可得，，∴，為直角三角形∵米，米，∴米，，∴答∶共用時(shí)4秒；（2）解：超速，理由如下∶，∵，∴該車超速．3．（24-25八年級(jí)上·寧夏銀川·期中）如圖，一輛小汽車在一條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀處的正前方120米的處，過(guò)了8秒，小汽車到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為200米．(1)求的長(zhǎng)；(2)“中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，這輛小汽車在段是否超速行駛？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)米(2)超速了，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、判斷汽車是否超速(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可；（2）求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速即可．【詳解】（1）解：在中，，，答：的長(zhǎng)為米；（2）解：小汽車的速度為：，，故小汽車超速了．【題型10應(yīng)用勾股定理解決是否受臺(tái)風(fēng)影響問(wèn)題】例題：（23-24八年級(jí)下·廣西河池·期中）由于過(guò)度采伐森林和破壞植物，使我國(guó)許多地區(qū)頻頻遭受沙塵暴的侵襲．近日市氣象局測(cè)得沙塵中心在市正西方向千米的處，以千米/時(shí)的速度向東偏南的方向移動(dòng)，距離沙塵中心千米的范圍是受沙塵暴嚴(yán)重影響的區(qū)域．(1)問(wèn)市會(huì)不會(huì)受到沙塵暴的嚴(yán)重影響？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；(2)若受影響請(qǐng)計(jì)算市受影響的時(shí)間．【答案】(1)市會(huì)受到沙塵暴的嚴(yán)重影響，見(jiàn)解析；(2)小時(shí)．【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查勾股定理，理解題意，掌握勾股定理的計(jì)算方法是關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得到，由此即可求解；（2）設(shè)沙塵中心距點(diǎn)千米處，剛好處在上的兩點(diǎn)，由勾股定理得到千米，則千米，由行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于，由題意得千米，，∴（千米）,∵，∴市會(huì)受到沙塵暴的嚴(yán)重影響；（2）解：設(shè)沙塵中心距點(diǎn)千米處，剛好處在上的兩點(diǎn)，在中，千米，千米，∴千米，∴千米，∴市受影響的時(shí)間為（小時(shí)），故市受影響的時(shí)間為小時(shí)．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·河南漯河·階段練習(xí)）某市夏季經(jīng)常受臺(tái)風(fēng)天氣影響，臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向由點(diǎn)行駛向點(diǎn)，已知點(diǎn)為一海港，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離分別為和，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】(1)海港受臺(tái)風(fēng)影響，理由見(jiàn)解析(2)持續(xù)小時(shí)【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．（1）過(guò)點(diǎn)作，利用勾股定理求出，再利用等面積法得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港是否受臺(tái)風(fēng)影響；（3）假設(shè)當(dāng)，時(shí)，正好影響港口，利用勾股定理得出，，再得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．【詳解】（1）解：海港受臺(tái)風(fēng)影響，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港受臺(tái)風(fēng)影響；（2）解：如圖，假設(shè)當(dāng)，時(shí)，正好影響港口，∴，，∴，∵臺(tái)風(fēng)的速度為千米/小時(shí)，∴（小時(shí)），答：海港受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間會(huì)持續(xù)小時(shí)．2．（24-25八年級(jí)下·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，兩條公路、交于點(diǎn)，在公路旁有一學(xué)校，與點(diǎn)的距離為，點(diǎn)（學(xué)校）到公路的距離為，一大貨車從點(diǎn)出發(fā)，行駛在公路上，貨車周圍范圍內(nèi)有噪音影響．(1)貨車開(kāi)過(guò)學(xué)校是否受噪音影響？為什么？(2)若貨車速度為，則學(xué)校受噪音影響多少秒鐘？【答案】(1)貨車開(kāi)過(guò)學(xué)校受噪音影響，理由見(jiàn)解析(2)學(xué)校受噪音影響時(shí)間是6秒【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查的是勾股定理的實(shí)際應(yīng)用；（1）根據(jù)可得答案；（2）先畫出圖形，設(shè)，則路段是學(xué)校受噪音影響的路段，再利用勾股定理求解，，再進(jìn)一步求解即可.【詳解】（1）解：貨車開(kāi)過(guò)學(xué)校受噪音影響，理由如下：∵，∴貨車開(kāi)過(guò)學(xué)校受噪音影響；（2）解：如圖，設(shè)，則路段是學(xué)校受噪音影響的路段，∵，∴，又，，∴，同理：，∴，∴影響時(shí)間，答：學(xué)校受噪音影響時(shí)間是6秒．3．（24-25八年級(jí)下·湖北黃石·階段練習(xí)）2024年9月第11號(hào)臺(tái)風(fēng)“摩羯”登陸，使我國(guó)很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響．據(jù)報(bào)道，這是今年以來(lái)對(duì)我國(guó)影響最大的臺(tái)風(fēng)，風(fēng)力影響半徑（即以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，為半徑的圓形區(qū)域都會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響）．如圖，線段是臺(tái)風(fēng)中心從市移動(dòng)到市的大致路線，是某個(gè)大型農(nóng)場(chǎng)，且．若之間相距之間相距．(1)判斷農(nóng)場(chǎng)是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為，則臺(tái)風(fēng)影響該農(nóng)場(chǎng)持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？【答案】(1)農(nóng)場(chǎng)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，理由見(jiàn)解析；(2)小時(shí)．【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線，勾股定理的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，過(guò)作于，由勾股定理得到，由此即可求解；（2）如圖，臺(tái)風(fēng)從點(diǎn)開(kāi)始影響該農(nóng)場(chǎng)，到點(diǎn)以后結(jié)束影響，連接，，由勾股定理得，，由此即可求解．【詳解】（1）解：農(nóng)場(chǎng)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，理由如下：如圖，過(guò)作于，，，，的面積，，，，農(nóng)場(chǎng)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；（2）解：如圖，臺(tái)風(fēng)從點(diǎn)開(kāi)始影響該農(nóng)場(chǎng)，到點(diǎn)以后結(jié)束影響，連接，，，，，由勾股定理得，，臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為，臺(tái)風(fēng)影響該農(nóng)場(chǎng)持續(xù)時(shí)間是（小時(shí)）．【題型11應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問(wèn)題】例題：（24-25八年級(jí)下·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，鐵路上有、兩點(diǎn)（看作直線上兩點(diǎn)）相距千米，、為兩村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為、，千米，千米，現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧，使得、兩村到煤棧的距離相等．設(shè)煤棧應(yīng)建在距點(diǎn)千米處的點(diǎn)處，如圖，則千米．

(1)（______）千米；(2)煤棧應(yīng)建在距點(diǎn)多少千米處？【答案】(1)(2)千米處【知識(shí)點(diǎn)】選址使到兩地距離相等(勾股定理的應(yīng)用)【分析】（）連接，則，由勾股定理可得，解之即可求解；（）根據(jù)（）的結(jié)果即可求解；本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，連接，則，∵，，∴，∵千米，∴千米，∵，∴，解得，∴千米，故答案為：；（2）解：由（）得，千米，∴煤棧應(yīng)建在距點(diǎn)千米處．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·陜西渭南·期末）如圖，已知某學(xué)校A與直線公路相距300米（即米，），且與該公路上一個(gè)車站D相距500米（即米），現(xiàn)要在公路邊建一個(gè)超市C，使之與學(xué)校A及車站D的距離相等，那么該超市C與車站D的距離是多少米?【答案】312.5米【知識(shí)點(diǎn)】選址使到兩地距離相等(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，弄清題意，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意，，，由、的長(zhǎng)易求，設(shè)米，米，在中運(yùn)用勾股定理得關(guān)系式求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，在直角三角形中，米，米，（米），設(shè)米，則米，在中，，即，解得：，答：該超市C與車站D的距離是312.5米．2．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距，C，D兩點(diǎn)為兩村莊，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A點(diǎn)多少千米處？【答案】站應(yīng)建在離站處．【知識(shí)點(diǎn)】選址使到兩地距離相等(勾股定理的應(yīng)用)【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，利用，得出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)使得，兩村到站的距離相等，則，再利用勾股定理得出的長(zhǎng)．【詳解】解：，兩村到站的距離相等．，于，于，，，，，設(shè)，則，，，，解得：，．答：站應(yīng)建在離站處．3．（23-24八年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）如圖，小區(qū)A與公路l的距離米，小區(qū)B與公路l的距離米，已知米．(1)政府準(zhǔn)備在公路邊建造一座公交站臺(tái)Q，使Q到A、B兩小區(qū)的路程相等，求的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區(qū)的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值．【答案】(1)475米(2)1000米【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、選址使到兩地距離相等(勾股定理的應(yīng)用)、根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解【分析】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，確定出Q、P的位置是本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，則，根據(jù)利用勾股定理即可得出結(jié)果．（2）作A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交l于P，由對(duì)稱性得的最小值為線段的長(zhǎng)，作于點(diǎn)E，在中，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，根據(jù)題意得：，設(shè)，則，，解得，即的長(zhǎng)為475米；（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線l于點(diǎn)P．則，，的最小值為，如圖，作于點(diǎn)E，在中，米，米，米，的最小值為1000米．【題型12應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中最短路徑問(wèn)題】例題：（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組在研究螞蟻在圓柱側(cè)面爬行問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)螞蟻沿圓柱側(cè)面從一點(diǎn)爬到另一點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題與圓柱的展開(kāi)圖有關(guān)．【實(shí)踐探究】設(shè)計(jì)測(cè)量方案：第一步：測(cè)量圓柱的底面半徑，測(cè)得圓柱底面半徑是2厘米；第二步：測(cè)量圓柱的高，測(cè)得圓柱的高為4厘米；第三步：如圖，假設(shè)螞蟻在圓柱側(cè)面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，研究其最短路徑情況．【問(wèn)題解決】設(shè)螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)度為厘米，通過(guò)計(jì)算即可求得最短路徑長(zhǎng)度．(1)根據(jù)題意知圓柱底面半徑厘米，圓柱的側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)長(zhǎng)方形（取3），其中一條直角邊（圓柱側(cè)面展開(kāi)后長(zhǎng)方形的高）為厘米，另一條直角邊（底面圓周長(zhǎng)的一半）為厘米；(2)在展開(kāi)圖中，螞蟻的最短路徑是連接的線段長(zhǎng)，請(qǐng)你計(jì)算螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程．【答案】(1)，(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)、求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查圓柱側(cè)面展開(kāi)圖與勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將圓柱側(cè)面展開(kāi)，把立體圖形上的最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形中直角三角形的斜邊求解問(wèn)題．（1）先根據(jù)圓柱的相關(guān)數(shù)據(jù)求出側(cè)面展開(kāi)圖長(zhǎng)方形的兩條直角邊的長(zhǎng)度，（2）利用勾股定理求出展開(kāi)圖中連接A、B兩點(diǎn)線段的長(zhǎng)度，即螞蟻爬行的最短路程．【詳解】（1）解：已知圓柱的高為4厘米，圓柱側(cè)面展開(kāi)后長(zhǎng)方形的高就等于圓柱的高，所以其中一條直角邊為4厘米，已知圓柱底面半徑厘米，取3，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，則底面圓周長(zhǎng)的一半為厘米，即另一條直角邊為6厘米，故答案為：，；（2）解：（厘米），答：螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程厘米．【變式訓(xùn)練】1．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為4cm和8cm，高為10cm，若一只螞蟻從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)，若螞蟻的爬行速度為內(nèi)螞蟻能否爬到點(diǎn)？【答案】?jī)?nèi)螞蟻能爬到點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題與勾股定理應(yīng)用，先得到長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)圖，再利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)在同一平面內(nèi)，，．，，內(nèi)螞蟻能爬到點(diǎn)．2．（24-25七年級(jí)上·山東威?！て谀締?wèn)題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2，和是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若點(diǎn)處有一只螞蟻要到點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形，可得到長(zhǎng)為20．寬為15的長(zhǎng)方形，連接，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到長(zhǎng)度為_(kāi)__________，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是，高是，若螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為_(kāi)__________．-【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）（畫出示意圖并進(jìn)行計(jì)算）【答案】（1）（2）（3）【知識(shí)點(diǎn)】幾何體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)、求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了平面展開(kāi)圖—最短路徑問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）將圓柱體展開(kāi)，利用勾股定理求解即可；（3）從玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）由題意得，故答案為：；（2）將圓柱體展開(kāi)，由題意得，故答案為：；（3）如圖，從玻璃杯側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，,，，，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所爬行的最短路程是．3．（24-25八年級(jí)上·廣東梅州·期中）如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為12，圓柱的高為8，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A，C嵌有一圈長(zhǎng)度最短的金屬絲．(1)現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開(kāi)，所得的圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是______．A．

B．

C．

D．(2)如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長(zhǎng)度是多少？(3)現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為的無(wú)蓋長(zhǎng)方體木箱（如圖3，）．現(xiàn)在箱外的點(diǎn)A處有一只蜘蛛，箱內(nèi)的點(diǎn)C處有一只小蟲正在午睡，保持不動(dòng)．請(qǐng)你為蜘蛛設(shè)計(jì)一種捕蟲方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小蟲．（木板的厚度忽略不計(jì)）【答案】(1)A(2)(3)最短為，方案見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】題目主要考查勾股定理及最短距離問(wèn)題，理解題意，作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．（1）結(jié)合圖形即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意得所需金屬絲最短長(zhǎng)度是以底面周長(zhǎng)4倍及高為直角三角形的斜邊長(zhǎng)，即可求解；（3）分三種情況，作出相應(yīng)圖形，利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：將圓柱側(cè)面沿剪開(kāi)，所得的圓柱側(cè)面展開(kāi)圖只有選項(xiàng)A符合題意，故選：A；（2）若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長(zhǎng)度是以底面周長(zhǎng)4倍及高為直角三角形的斜邊長(zhǎng)為：，∴最短長(zhǎng)度是；（3）①把展開(kāi)，如圖此時(shí)總路程為，②把展開(kāi)，如圖此時(shí)的總路程為；③如圖所示，把展開(kāi)，此時(shí)的總路程為，由于，所以第三種方案路程更短，最短路程為．一、單選題1．（遼寧省大連市金普新區(qū)2024-2025年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，則，兩港之間的距離為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】解決航海問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查方位角，勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，證明是直角三角形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出圖形，易證是直角三角形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，得，，，，

∵∴∴∴在中，即，兩港之間的距離為．故選：C．2．（24-25八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期中）在一次研學(xué)活動(dòng)中，小宣同學(xué)欲控制遙控輪船勻速垂直橫渡一條河，但由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)B相距8米，結(jié)果輪船在水中實(shí)際航行的路程比河的寬度多2米，則河的寬度是（

）A．6米 B．9米 C．12米 D．15米【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求河寬(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意可知為直角三角形，根據(jù)勾股定理列方程就可求出直角邊的長(zhǎng)度．【詳解】解：根據(jù)題意，得，，，在中，，∴，解得，即河的寬度是15米，故選：D．3．（24-25八年級(jí)下·新疆烏魯木齊·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高2米，兩樹相距15米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（

）米．A．17 B．15 C．10 D．8【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求小鳥飛行距離(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：兩棵樹的高度差為（米，間距為15米，根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離（米．故選：A．4．（24-25八年級(jí)下·山西呂梁·期中）《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？這道題的意思是：有一個(gè)正方形的池塘，邊長(zhǎng)為1丈（1丈尺），有一棵蘆葦生長(zhǎng)在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，則蘆葦?shù)母叨葹椋?/p>

）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．設(shè)水深尺，則蘆葦長(zhǎng)尺，根據(jù)勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：丈尺，設(shè)水深尺，則蘆葦長(zhǎng)尺，根據(jù)勾股定理得：，解得，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為，故選D．5．（24-25八年級(jí)下·安徽淮南·期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)長(zhǎng)為3，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面到點(diǎn)B處吃食物，那么它爬行最短路程是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】此題主要考查了平面展開(kāi)圖的最短路徑問(wèn)題，展開(kāi)后利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知最短距離為，，，根據(jù)勾股定理得：，螞蟻爬行的最短距離為，故選：C．二、填空題6．（24-25八年級(jí)下·湖北黃石·階段練習(xí)）如圖，某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高，長(zhǎng)，寬的樓道上鋪地毯，已知地毯每平方米元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要元錢．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是明確所鋪地毯的長(zhǎng)是直角三角形兩條直角邊的和，利用勾股定理求出長(zhǎng)度，再求出面積并計(jì)算費(fèi)用即可．【詳解】解：由勾股定理得，樓道的水平寬度為，因?yàn)樗伒靥旱拈L(zhǎng)是直角三角形兩條直角邊的和，即，地毯的面積為，總費(fèi)用為元，故答案為：．7．（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，由于臺(tái)風(fēng)的影響，一棵高度是的樹折斷，樹頂落在離樹干底部處，則這棵樹的折斷處距地面的高度是．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】求大樹折斷前的高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)這棵樹的折斷處距離地面的高度為，這棵樹的折斷處距樹頂?shù)母叨仁牵俑鶕?jù)勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這棵樹的折斷處距離地面的高度為，這棵樹的折斷處距樹頂?shù)母叨仁牵晒垂啥ɡ淼?，解得，∴這棵樹的折斷處距地面的高度是，故答案為：6．8．（24-25八年級(jí)下·重慶·期中）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的飲料盒的底面長(zhǎng)為，寬為，高為，在它的一角處開(kāi)一個(gè)插吸管的小孔，將一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的長(zhǎng)度為，則此吸管的總長(zhǎng)度為．【答案】16【知識(shí)點(diǎn)】解決水杯中筷子問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．如圖（見(jiàn)解析），連接，不妨設(shè)，利用勾股定理可得，，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，不妨設(shè)，由題意得：，，，，，∴在中，，∴在中，，∵將一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的長(zhǎng)度為，∴此吸管的總長(zhǎng)度為，故答案為：16．9．（24-25八年級(jí)下·湖北隨州·期中）如圖，已知一貨輪以30海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一集裝箱船以40海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距海里．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解決航海問(wèn)題(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)輪船向東北航行到，向東南方向航行到，由題意得，海里，海里，，故答案為：．10．（23-24八年級(jí)上·廣東茂名·期中）如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀處的正前方的處，過(guò)了后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為，則這輛小汽車的速度是．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】判斷汽車是否超速(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在中，根據(jù)題意，勾股定理求得，再根據(jù)路程除以時(shí)間等于速度，即可求解．【詳解】解：依題意，在中，，；據(jù)勾股定理可得：，故小汽車的速度為s．故答案為：．三、解答題11．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千在靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（尺），將秋千往前推進(jìn)兩步（尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（尺），求秋千繩索的長(zhǎng)度．【答案】秋千繩索的長(zhǎng)為尺【知識(shí)點(diǎn)】求旗桿高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用；設(shè)秋千繩索的長(zhǎng)為尺，結(jié)合題意可得，，，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)秋千繩索的長(zhǎng)為尺，根據(jù)題意，得，，，在中，，所以，，解得，，所以，秋千繩索的長(zhǎng)為尺．12．（24-25八年級(jí)下·江西南昌·期中）如圖，有一臺(tái)環(huán)衛(wèi)車沿公路由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線上兩點(diǎn)A，B的距離分別為和，又，環(huán)衛(wèi)車周圍以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．(1)學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？(2)若環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為每分鐘50米，環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？【答案】(1)學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．理由見(jiàn)解析(2)環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有2分鐘．【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，正確作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作于D，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出學(xué)校C是否會(huì)受噪聲影響；（2）利用勾股定理得出，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，進(jìn)而得出環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間．【詳解】（1）解：學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于D，∵，∴．∴是直角三角形．∴，∴，解得：米．∵環(huán)衛(wèi)車周圍以內(nèi)為受噪聲