專題12二次根式的混合運(yùn)算內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)01二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）知識點(diǎn)02二次根式的分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號.【題型1二次根式的混合運(yùn)算】例題：（24-25八年級下·天津靜?！て谥校┯?jì)算：(1)(2)【變式訓(xùn)練】1．（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)2．（24-25八年級下·山東威?！て谥校┯?jì)算：(1)(2)3．（24-25八年級下·四川南充·期中）計(jì)算：(1)(2)【題型2二次根式的分母有理化】例題：（24-25八年級下·云南昆明·期中）觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，…(1)按照上述規(guī)律，第6個(gè)等式：______；第n個(gè)等式：______；(2)計(jì)算：的值．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·全國·單元測試）觀察下列各式；第一式；由，得．類似可得第二式；，第三式；．(1)照此排列方式，請寫出第n式；(2)的值是多少？2．（24-25八年級下·全國·單元測試）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會得到如這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：；；．以上這種化簡的過程叫分母有理化．還可以用以下方法化簡：．(1)用不同的方法化簡．(2)化簡：．3．（24-25八年級下·山東煙臺·期中）課本知識再現(xiàn)：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式．(1)化簡：=；=；(2)在有關(guān)二次根式的計(jì)算中，當(dāng)出現(xiàn)分母且分母中出現(xiàn)二次根式時(shí)，我們往往將分母中的二次根式通過相關(guān)知識使分母不含二次根式，如：；我們繼續(xù)思考如何化簡的問題．為了使分母之中不含根號，我們想到平方差公式“，其特點(diǎn)是類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和平方差公式，使進(jìn)行變形：，這樣的計(jì)算過程數(shù)學(xué)上稱之為“分母有理化”．請把式子和分別進(jìn)行分母有理化；(3)計(jì)算：．4．（24-25八年級下·全國·單元測試）閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會得到如這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：；；．以上這種化簡的過程叫分母有理化．還可以用以下方法化簡：．(1)用不同的方法化簡．(2)化簡：．【題型3已知字母的值，化簡求值】例題：（湖北省武漢市部分學(xué)校2024—2025學(xué)年下學(xué)期五月質(zhì)量檢測八年級數(shù)學(xué)試題）已知，．(1)直接寫出，的值；(2)求代數(shù)式的值．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·廣東中山·期中）已知，求下列代數(shù)式的值．(1)；(2)．2．（24-25八年級下·云南昆明·期中）已知：，．(1)求的值；(2)求的值．3．（2025八年級下·河南·專題練習(xí)）（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【題型4已知條件式，化簡求值】例題：（2025八年級下·全國·專題練習(xí)）若，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·上?！るA段練習(xí)）已知：，，且，求的值．2．（23-24八年級下·福建廈門·階段練習(xí)）若x，y為實(shí)數(shù)，且，求的值．3．（23-24八年級下·廣西南寧·開學(xué)考試）在解決問題“已知，求的值”時(shí)，小明是這樣分析與解答的：先將a進(jìn)行分母有理化，過程如下，，∴，∴，，∴，∴．請你根據(jù)上述分析過程，解決如下問題：(1)若，請將a進(jìn)行分母有理化；(2)在（1）的條件下，求的值．【題型5比較二次根式的大小】例題：（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）比較與的大小可以采用下面的方法：；．顯然，所以．仔細(xì)研讀上面的解題方法，然后完成下列問題：(1)猜想：與的大小關(guān)系；(2)嘗試計(jì)算：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·全國·課后作業(yè)）比較與的大小可以采用下面的方法：；．顯然，所以．仔細(xì)研讀上面的解題方法，然后完成下列問題：(1)猜想：與的大小關(guān)系；(2)嘗試計(jì)算：．2．（24-25八年級下·重慶渝北·期中）閱讀下列材料，并回答問題．；；；；…(1)填空：__________；比較大小：__________；（填“”或“”）(2)觀察上述算式，仿照上述方法計(jì)算（是正整數(shù)）；(3)計(jì)算：（提示：）．3．（24-25八年級下·吉林長春·期中）閱讀材料：像兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如與，與，與等都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．例如：．解答下列問題：(1)寫出的一個(gè)有理化因式：________，將分母有理化得________．(2)計(jì)算：；(3)比較大?。篲_______（用“＞”、“=”或“＜”填空）．4.（24-25八年級下·山東淄博·期中）像，（，），兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為“有理化因式”，例如，（與、與，與等都是互為“有理化因式”，進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用“有理化因式”可以化去分母中的根號．(1)化簡：①______；②______．(2)計(jì)算：．(3)已知，，，試比較a，b，c的大小，并說明理由．【題型6二次根式的規(guī)律探究問題】例題：（24-25八年級下·四川自貢·期中）探索下列等式規(guī)律，并解決下列問題：【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……【規(guī)律探索】（1）第5個(gè)等式：_______；（2）如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述第n個(gè)等式為_______；【規(guī)律應(yīng)用】（3）計(jì)算：【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·新疆喀什·階段練習(xí)）觀察下列等式：①；②；③；…(1)請寫出第④個(gè)等式；(2)利用規(guī)律計(jì)算：．2．（24-25八年級下·安徽蕪湖·期中）觀察以下等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；．．．．．．按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第4個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明：(3)計(jì)算：．3．（24-25七年級上·山東淄博·期末）細(xì)心觀察下圖，認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題：，；，；，；…(1)請用含n（n為正整數(shù)）的等式表示上述規(guī)律；(2)推算出的長；(3)求的值．【題型7二次根式的新定義運(yùn)算】例題：（24-25八年級下·湖北武漢·期中）定義：若，是有理數(shù)，則稱與是關(guān)于c的“美好數(shù)”例如：，則稱與是關(guān)于的“美好數(shù)”．(1)關(guān)于的“美好數(shù)”是______；(2)化簡：；(3)若是關(guān)于的“美好數(shù)”，請直接寫出的值．【變式訓(xùn)練】1．（2025·河北·模擬預(yù)測）已知a、b互為倒數(shù)，請根據(jù)倒數(shù)的定義完成下列各題：(1)如果，則；如果，則；(2)①如果，求b的值；②若，求m與n的關(guān)系．2．（24-25八年級上·河北石家莊·期末）定義：已知，都是實(shí)數(shù)，若，則稱與是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”．(1)4與_____是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，與是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，則是_____，表示的值的點(diǎn)落在數(shù)軸上的位置位于_____．(2)若，判斷與是否是關(guān)于3的“實(shí)驗(yàn)數(shù)”，并說明理由．3．（2025·福建寧德·二模）定義：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整數(shù)），則稱為完整根式，是的完整平方根．例如：因?yàn)?，所以是一個(gè)完整根式，是的完整平方根．(1)判斷：是否是完整根式的完整平方根，并說明理由；(2)若完整根式的完整平方根是，請用含，的代數(shù)式分別表示，；(3)若是完整根式，證明：一定是完全平方數(shù)．一、單選題1．（24-25八年級下·重慶·期中）估計(jì)的值應(yīng)在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間2．（24-25八年級下·廣西玉林·期中）若，則代數(shù)式的值為（）A．2 B．3 C．4 D．3．（24-25八年級下·山西大同·階段練習(xí)）在算式“”中，“”表示“”“”“”””中的某一個(gè)運(yùn)算符號．當(dāng)算式的結(jié)果最大時(shí)，“口”表示的運(yùn)算符號是（）A． B． C． D．4．（24-25八年級下·山東泰安·期中）甲、乙、丙、丁四人手中各有一張如圖所示的紙質(zhì)卡片，卡片上分別寫有一個(gè)算式，這四張卡片中，算式的計(jì)算結(jié)果是有理數(shù)的有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張5．（24-25八年級下·河北邯鄲·階段練習(xí)）我們定義：若，則稱與是關(guān)于1的平衡數(shù)．比如；則與3是關(guān)于1的平出數(shù)．根據(jù)定義，樹下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．2025與是關(guān)于1的平衡數(shù)B．與是關(guān)于1的平衡數(shù)C．若，則與不是關(guān)于1的平衡數(shù)D．若，則與是關(guān)于1的平衡數(shù)二、填空題6．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）計(jì)算的結(jié)果為．7．（2025八年級下·河南·專題練習(xí)）試寫出一個(gè)式子，使它與之積不含二次根式，你所寫的式子是8．（24-25八年級上·福建漳州·階段練習(xí)）已知：，則的值為．9．（24-25八年級下·重慶長壽·階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右沿直線爬行2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，設(shè)點(diǎn)所表示的數(shù)為，則．10．（24-25八年級下·安徽合肥·階段練習(xí)）對于任意不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，定義一種運(yùn)算“※”如下：，例如：．（1）；（2）．三、解答題11．（遼寧省營口市、鞍山市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：(1)．(2)12．（24-25八年級下·河南三門峽·期中）計(jì)算(1)；(2)．13．（24-25八年級下·天津·期中）計(jì)算：(1)；(2)．(3)14．（24-25八年級下·廣東廣州·期中）已知，，求的值．15．（24-25九年級上·山西長治·階段練習(xí)）定義：若兩個(gè)二次根式，滿足，且是有理數(shù)，則稱與是關(guān)于的和諧二次根式．(1)若與是關(guān)于6的和諧二次根式，求的值．(2)若為有理數(shù)，且與是關(guān)于的和諧二次根式，求和的值．16．（2025·安徽合肥·三模）某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是他的探究過程，請補(bǔ)充完整：(1)具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：____________．(2)觀察、歸納，得出猜想．如果為正整數(shù)，按此規(guī)律第個(gè)式子可以表示為：____________．(3)應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律：①化簡：____________．②若（均為正整數(shù)），則____________．17．（23-24八年級下·江蘇鹽城·期中）定義：我們將與稱為