山西省永濟市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編定向練習考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，將直角三角形紙片沿AD折疊，使點B落在AC延長線上的點E處．若AC＝3，BC=4，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．2、觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，，根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（

）A． B．C． D．3、如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．34、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為A．9 B．6 C．4 D．35、如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長為hcm，則h的取值范圍是（）A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤126、如圖，在中，，兩直角邊，，現(xiàn)將AC沿AD折疊，使點C落在斜邊AB上的點E處，則CD長為（

）A． B． C． D．7、如圖，中，，一同學利用直尺和圓規(guī)完成如下操作：①以點C為圓心，以CB為半徑畫弧，交AB于點G；分別以點G、B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交點K，作射線CK；②以點B為圓心，以適當?shù)拈L為半徑畫弧，交BC于點M，交AB的延長線于N，分別以M、N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作直線BP交AC的延長線于點D，交射線CK于點E．請你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題；過點D作交AB的延長線于點F，若，，則CE的長為（

）A．13 B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、如圖，某農(nóng)舍的大門是一個木制的長方形柵欄，它的高為2m，寬為1.5m，現(xiàn)需要在相對的頂點間用一塊木板加固，則木板的長為________．2、如圖，一架長5米的梯子A1B1斜靠在墻A1C上，B1到墻底端C的距離為3米，此時梯子的高度達不到工作要求，因此把梯子的B1端向墻的方向移動了1.6米到B處，此時梯子的高度達到工作要求，那么梯子的A1端向上移動了_____米．3、已知，在中，，，，則的面積為__．4、如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，那么四邊形ABCD的面積是___________．5、《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學著作之一，在勾股章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折著高幾何？”翻譯成數(shù)學問題是：如圖所示，在ΔABC中，∠ACB=90o，AC+AB=10，BC=3，求AC的長，若設(shè)AC=x，則可列方程為________________．6、如圖1，鄰邊長為2和6的矩形分割成①，②，③，④四塊后，拼接成如圖2不重疊、無縫隙的正方形，則圖2中的值為___________，圖1中的長為_______．7、如圖，在中，，于點D．E為線段BD上一點，連結(jié)CE，將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點落在CD的延長線上．若，，則的面積為__________．8、如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，將△ABC折疊，使點C與點A重合，折痕為DE，則△ABE的周長為．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖所示的一塊地，，，，，，求這塊地的面積．2、如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點在同一條直線上，(1)請從面積出發(fā)寫出一個表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足的有_______個．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．3、如圖，某海岸線MN的方向為北偏東75°，甲，乙兩船分別向海島C運送物資，甲船從港口A處沿北偏東45°方向航行，乙船從港口B處沿北偏東30°方向航行，已知港口B到海島C的距離為30海里，求港口A到海島C的距離．4、下圖是某“飛越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項目，工作人員告訴小敏，該項目AB段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方形CDEF為一木質(zhì)平臺的主視圖．小敏經(jīng)過現(xiàn)場測量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大膽猜想立柱AB段的長為10米，請判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請寫出理由，如果錯誤，請求出立柱AB段的正確長度．5、（1）圖1是由有20個邊長為1的正方形組成的，把它按圖1的分割方法分割成5部分后可拼接成一個大正方形（內(nèi)部的粗實線表示分割線），請你在圖2的網(wǎng)格中畫出拼接成的大正方形．（2）如果（1）中分割成的直角三角形兩直角邊分別為a，b斜邊為c．請你利用圖2中拼成的大正方形證明勾股定理．（3）應(yīng)用：測量旗桿的高度：校園內(nèi)有一旗桿，小希想知道旗桿的高度，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)從頂端垂下一根拉繩，于是他測出了下列數(shù)據(jù)：①測得拉繩垂到地面后，多出的長度為0.5米；②他在距離旗桿4米的地方拉直繩子，拉繩的下端恰好距離地面0.5米．請你根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)設(shè)計可行性方案，解決這一問題．（畫出示意圖并計算出這根旗桿的高度）．6、2020年春季“新冠肺炎”在武漢全面爆發(fā)，蔓延全國，危及到人民生命安全，為了積極響應(yīng)國家防控政策，雙流區(qū)某鎮(zhèn)政府采用了移動宣講的形式進行宣傳防控措施，如圖，筆直公路的一側(cè)點處有一村莊，村莊到公路的距離為600米，假設(shè)宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路上沿方向行駛時：（1）請問村莊能否聽到宣傳，請說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是200米/分鐘，那么村莊總共能聽到多長時間的宣傳？7、勾股定理被譽為“幾何明珠”，在數(shù)學的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位．它是初中數(shù)學中的重要知識點之一，也是初中學生以后解決數(shù)學問題和實際問題中常常運用到的重要知識，因此學好勾股定理非常重要．學習數(shù)學“不僅要知其然，更要知其所以然”，所以，我們要學會勾股定理的各種證明方法．請你利用如圖圖形證明勾股定理：已知：如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點E，且△ABE≌△BCD．求證：AB2＝BE2+AE2．-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】由勾股定理求出AB，設(shè)CD=x，則BD=4-x，根據(jù)求出x得到CD的長，利用面積求出答案．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴，由折疊得AE=AB=5，DE=BD，設(shè)CD=x，則BD=4-x，在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，∵，∴，解得x=1.5，∴CD=1.5，∴圖中陰影部分的面積是，故選：B．【考點】此題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟記勾股定理的計算公式是解題的關(guān)鍵．2、C【解析】【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去4個直角三角形的面積可得問題的答案．【詳解】標記如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故選：C．【考點】此題考查的是利用勾股定理的證明，可以完全平方公式進行證明，掌握面積差得算式是解決此題關(guān)鍵．3、A【解析】【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點D為BC中點，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當直線l⊥AC時，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．【考點】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．4、D【解析】【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長．【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：，每一個直角三角形的面積為：，，，或（舍去），故選：D．【考點】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．5、B【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，先找出h的值為最大和最小時筷子的位置，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，如圖所示：此時，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm．∴h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故選：B．【考點】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用問題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形找出何時h有最大及最小值，同時注意勾股定理的靈活運用，有一定難度．6、A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE，BE的長，從而利用勾股定理可求得CD的長．【詳解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB＝（cm），由折疊的性質(zhì)得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm?6cm＝4cm，∠BED＝90°，設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝8?x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝（8?x）2，解得：x＝3，∴CD＝3cm，故選：A．【考點】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識；熟記折疊性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．7、D【解析】【分析】先證明CE=CD=DF，BC=BF=5，利用勾股定理求出AB，設(shè)CE=CD=DF=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：由作圖知CE⊥AB，BD平分∠CBF，∴∠1=∠2=∠3，∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°，∴∠CEB=∠CDE，∴CD=CE，在△DBC和△DBF中，，∴△BDC≌△BDF（AAS），∴CD=DF，BC=BF=5，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB=，設(shè)EC=CD=DF=x，在Rt△ADF中，則有（12+x）2=x2+182，∴x=，∴CE=，故選D．【考點】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題1、2.5m【解析】【詳解】設(shè)木棒的長為xm，根據(jù)勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的長為2.5m．故答案為2.5m．2、0.8【解析】【分析】梯子的長是不變的，只要利用勾股定理解出梯子滑動前和滑動后的所構(gòu)成的兩直角三角形，分別得出AO，A1O的長即可．【詳解】解：在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理知，A1O==4（m），在Rt△ABO中，由題意可得：BO=1.4（m），根據(jù)勾股定理知，AO==4.8（m），所以AA1=AO-A1O=0.8（米）．故答案為0.8．【考點】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．3、2或14#14或2【解析】【分析】過點B作AC邊的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是鈍角三角形時，②△ABC是銳角三角形時，分別求出AC的長，即可求解．【詳解】解：過點作邊的高，中，，，，在中，，，①是鈍角三角形時，，；②是銳角三角形時，，，故答案為：2或14．【考點】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關(guān)鍵是分類討論思想．4、+24【解析】【分析】連結(jié)BD，可求出BD=6，再根據(jù)勾股定理逆定理，得出△BDC是直角三角形，兩個三角形面積相加即可．【詳解】解：連結(jié)BD，∵，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，S△ABD=，S△BDC=，四邊形ABCD的面積是=S△ABD+S△BDC=+24故答案為：+24．【考點】本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．5、【解析】【分析】設(shè)AC=x，則AB=10-x，再由即可列出方程．【詳解】解：∵，且，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理有：，即：，故可列出的方程為：，故答案為：．【考點】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．6、

【解析】【分析】由等積法解得正方形的邊長，再利用勾股定理解得圖④的直角邊FH的長，在圖2中，利用正弦的定義解得，接著利用勾股定理解得，據(jù)此解得的值，最后利用解答即可．【詳解】解：矩形的面積為：2×6=12正方形的邊長如圖1，如圖2，設(shè)或（舍去）故答案為：，．【考點】本題考查正方形與矩形、圖形的拼接，涉及勾股定理、正弦、余弦等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．7、【解析】【分析】在△ABC中由等面積求出，進而得到，設(shè)BE=x，進而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．【詳解】解：在中由勾股定理可知：，∵，∴，∴，在中由勾股定理可知：，∴，設(shè)BE=x，由折疊可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，在中由勾股定理可知：，代入數(shù)據(jù)：∴，解得，∴，∴，故答案為：．【考點】本題考查了勾股定理求線段長、折疊的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練使用勾股定理求線段長．8、7【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得BC，再根據(jù)折疊性質(zhì)得到AE=CE，進而由三角形的周長=AB+BC求解即可．【詳解】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=.∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周長=AB+BC=3+4=7．故答案是：7．【考點】本題考查勾股定理、折疊性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答的關(guān)鍵．三、解答題1、384【解析】【分析】連接，勾股定理求得，勾股定理的逆定理證明為直角三角形，進而根據(jù)三角形的面積公式計算和的面積之差即可．【詳解】解：連接，在直角中，，，由，解得，在中，，，，∵，∴，∴為直角三角形，要求這塊地的面積，求和的面積之差即可，，答：這塊地的面積為．【考點】本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．2、(1)(2)3(3)7.5【解析】【分析】（1）梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即可得：；（2）根據(jù)勾股定理可得三個圖形中面積關(guān)系滿足的有3個；（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：，進而求解．(1)解：四邊形ABED的面積可以表示為：，也可以表示為，所以，整理得；(2)設(shè)直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則，圖③，∵，∴，圖④，∵∴，圖⑤，∵∴，故答案為：3．(3)∵，∴，∵，∴．【考點】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．3、【解析】【分析】過點C作CD⊥AM垂足為D，設(shè)CD=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求可得AC=2x、BD=BC=x，再利用勾股定理可求得x，進而求得AC的長．【詳解】解：過點C作CD⊥AM垂足為D，∴∠CAD=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=30°，設(shè)CD=x∵在Rt△ACD中，∠CAD=75°-45°=30°∴AC=2x∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°,BC=30∴BD=BC=x∴，解得x=∴AC=2x=．答：港口A到海島C的距離是海里．【考點】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，作垂線構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．4、小敏的猜想錯誤，立柱AB段的正確長度長為9米．【解析】【分析】延長FC交AB于點G，設(shè)BG=x米，在Rt△BGC中利用勾股定理可求x，進而可得AB的正確長度【詳解】解：如圖，延長FC交AB于點G則CG⊥AB，AG=CD=1米，GC=AD=15米設(shè)BG=x米，則BC=(26－1－x)米在Rt△BGC中，∵∴解得

∴BA=BG＋GA=8+1=9（米）∴小敏的猜想錯誤，立柱AB段的正確長度長為9米．【考點】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形5、（1）見解析；（2）見解析；（3）在四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB長0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的長；8米【解析】【分析】(1)將圖1分割成五塊：四個直角邊分別為1、2的直角三角形，一個邊長為2的正方形，再在圖2中，拼成邊長為的正方形即可．(2)根據(jù)20個小正方形的面積的和等于拼成的正方形的面積，根據(jù)勾股定理確定截線的長度即可；(3)根據(jù)題意，畫出圖形，可將該問題抽象為解直角三角形問題，該直角三角形的斜邊比其中一條直角邊多1m，而另一條直角邊長為5m，可以根據(jù)勾股定理求出斜邊的長即可．【詳解】解：（1）如圖（2）==∴