2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)推斷與檢驗(yàn)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.在假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類錯(cuò)誤是指（）。A.拒絕了實(shí)際上成立的假設(shè)B.沒(méi)有拒絕實(shí)際上不成立的假設(shè)C.接受了實(shí)際上成立的假設(shè)D.沒(méi)有接受實(shí)際上不成立的假設(shè)2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ未知，σ2已知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?，H?：μ≠μ?，應(yīng)選用（）檢驗(yàn)法。A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)3.在對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的均值進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若顯著性水平為α，則拒絕域的面積是（）。A.αB.1-αC.α/2D.1-α/24.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?，H?：μ>μ?，應(yīng)選用（）檢驗(yàn)法。A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)我個(gè)人覺(jué)得，在教學(xué)過(guò)程中，要特別強(qiáng)調(diào)t檢驗(yàn)和Z檢驗(yàn)的區(qū)別，這可是學(xué)生們經(jīng)常容易混淆的地方啊！D.F檢驗(yàn)5.在假設(shè)檢驗(yàn)中，功效函數(shù)α（μ）表示的是當(dāng)總體參數(shù)為μ時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率，下列說(shuō)法正確的是（）。A.α（μ）越小越好B.α（μ）越大越好C.α（μ）與μ無(wú)關(guān)D.α（μ）是μ的函數(shù)6.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知，要檢驗(yàn)H?：σ2=σ?2，H?：σ2≠σ?2，應(yīng)選用（）檢驗(yàn)法。A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)7.在對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的方差進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若顯著性水平為α，則拒絕域的面積是（）。A.αB.1-αC.α/2D.1-α/28.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知，要檢驗(yàn)H?：σ2=σ?2，H?：σ2>σ?2，應(yīng)選用（）檢驗(yàn)法。A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，第二類錯(cuò)誤是指（）。A.拒絕了實(shí)際上成立的假設(shè)B.沒(méi)有拒絕實(shí)際上不成立的假設(shè)C.接受了實(shí)際上成立的假設(shè)D.沒(méi)有接受實(shí)際上不成立的假設(shè)10.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2已知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?，H?：μ>μ?，應(yīng)選用（）檢驗(yàn)法。A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)11.在對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的均值進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若顯著性水平為α，則拒絕域的面積是（）。A.αB.1-αC.α/2D.1-α/212.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?，H?：μ<μ?，應(yīng)選用（）檢驗(yàn)法。A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)13.在假設(shè)檢驗(yàn)中，犯第一類錯(cuò)誤的概率記為α，犯第二類錯(cuò)誤的概率記為β，則（）。A.α+β=1B.α+β<1C.α+β>1D.α+β與α、β無(wú)關(guān)14.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知，要檢驗(yàn)H?：σ2=σ?2，H?：σ2<σ?2，應(yīng)選用（）檢驗(yàn)法。A.t檢驗(yàn)B.Z檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)15.在對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的方差進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，若顯著性水平為α，則拒絕域的面積是（）。A.αB.1-αC.α/2D.1-α/2二、多項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題列出的五個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。請(qǐng)將正確選項(xiàng)字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。多涂、錯(cuò)涂、漏涂或未涂均無(wú)分。）1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟包括（）。A.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)B.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量C.確定拒絕域D.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值E.做出統(tǒng)計(jì)決策2.在假設(shè)檢驗(yàn)中，影響檢驗(yàn)結(jié)論的因素有（）。A.樣本容量B.顯著性水平C.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布D.總體參數(shù)的真值E.檢驗(yàn)方法3.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2已知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?，H?：μ≠μ?，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.tB.ZC.χ2D.FE.t24.在對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的均值進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，拒絕域的形式為（）。A.|Z|>Zα/2B.|t|>tα/2（n-1）C.Z>ZαD.t>tα（n-1）E.Z<-Zα5.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?，H?：μ>μ?，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.tB.ZC.χ2D.FE.t26.在對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的方差進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，拒絕域的形式為（）。A.χ2>χ2α/2（n-1）B.χ2<χ21-α/2（n-1）C.χ2>χ2α（n-1）D.χ2<χ21-α（n-1）E.F>Fα/2（n-1，n-1）7.在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平α表示的是（）。A.拒絕原假設(shè)的概率B.接受原假設(shè)的概率C.當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率D.當(dāng)原假設(shè)不成立時(shí)，接受原假設(shè)的概率E.當(dāng)原假設(shè)不成立時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率8.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知，要檢驗(yàn)H?：σ2=σ?2，H?：σ2≠σ?2，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.tB.ZC.χ2D.FE.t29.在對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的均值進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，拒絕域的形式為（）。A.Z>ZαB.Z<-ZαC.t>tα（n-1）D.t<-tα（n-1）E.F>Fα（n-1，n-1）10.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知，要檢驗(yàn)H?：σ2=σ?2，H?：σ2>σ?2，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.tB.ZC.χ2D.FE.t2三、簡(jiǎn)答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.請(qǐng)簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是什么？在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們是如何做出統(tǒng)計(jì)決策的？我記得在教學(xué)的時(shí)候，我會(huì)用天平稱重的例子來(lái)解釋這個(gè)概念。假設(shè)我們有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)重量的砝碼，這就是我們的原假設(shè)，如果我們稱一個(gè)物體，天平顯示物體比砝碼重，這就是我們的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如果這個(gè)差異超出了我們?cè)试S的誤差范圍，我們就拒絕原假設(shè)，認(rèn)為物體比砝碼重。這個(gè)允許的誤差范圍，就是我們的拒絕域。當(dāng)然，也有可能我們稱出來(lái)的物體和砝碼差不多重，這時(shí)候我們就不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為物體和砝碼重量相同。這就是假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，用樣本信息來(lái)推斷總體特征。2.在對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的均值進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，如果計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值z(mì)=1.5，顯著性水平α=0.05，請(qǐng)寫出拒絕域，并判斷是否拒絕原假設(shè)。在講解這道題的時(shí)候，我會(huì)先告訴學(xué)生，z=1.5表示樣本均值與總體均值之間的差異，相對(duì)于總體標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)說(shuō)，是1.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。然后我們查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，找到α/2=0.025對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是zα/2=1.96。因?yàn)檫@是雙側(cè)檢驗(yàn)，所以有兩個(gè)臨界值，分別是-1.96和1.96。如果z的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是z<-1.96或者z>1.96，我們就拒絕原假設(shè)。如果z的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是-1.96≤z≤1.96，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，z=1.5，沒(méi)有落在拒絕域內(nèi)，所以我們不能拒絕原假設(shè)。3.請(qǐng)解釋什么是第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤，并說(shuō)明如何控制這兩類錯(cuò)誤。在課堂上，我會(huì)用一個(gè)表格來(lái)總結(jié)這兩類錯(cuò)誤。第一類錯(cuò)誤，就是我們拒絕了實(shí)際上成立的假設(shè)，這就是“以真為假”。第二類錯(cuò)誤，就是我們接受了實(shí)際上不成立的假設(shè)，這就是“以假為真”。這兩類錯(cuò)誤是相互矛盾的，控制一個(gè)錯(cuò)誤，往往會(huì)增加另一個(gè)錯(cuò)誤的概率。在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常通過(guò)調(diào)整顯著性水平α來(lái)控制第一類錯(cuò)誤的概率。α越小，拒絕原假設(shè)就越困難，犯第一類錯(cuò)誤的概率就越小，但是犯第二類錯(cuò)誤的概率就會(huì)增加。反之，α越大，拒絕原假設(shè)就越容易，犯第一類錯(cuò)誤的概率就會(huì)增加，但是犯第二類錯(cuò)誤的概率就會(huì)減小。因此，我們需要根據(jù)具體情況來(lái)選擇合適的α值。4.設(shè)總體X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知，要檢驗(yàn)H?：μ=μ?，H?：μ≠μ?，樣本容量為n，樣本均值為x?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s，請(qǐng)寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式，并說(shuō)明其分布。在講解這道題的時(shí)候，我會(huì)強(qiáng)調(diào)t檢驗(yàn)的應(yīng)用場(chǎng)景。當(dāng)總體服從正態(tài)分布，但是總體方差未知，且樣本容量較小的時(shí)候，我們通常使用t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是t=x?-μ?/s/√n。這個(gè)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-1的t分布。這個(gè)自由度，就是樣本容量減去1。這個(gè)t分布，和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有點(diǎn)像，但是更加扁平一些。當(dāng)樣本容量越大時(shí)，t分布就越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。5.在對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的方差進(jìn)行單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)，如果計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值χ2=10，自由度為10，顯著性水平α=0.05，請(qǐng)寫出拒絕域，并判斷是否拒絕原假設(shè)。在講解這道題的時(shí)候，我會(huì)先告訴學(xué)生，χ2=10表示樣本方差與總體方差之間的差異，相對(duì)于總體方差的估計(jì)來(lái)說(shuō)，是10倍。然后我們查χ2分布表，找到α=0.05對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是χ2α=18.307。因?yàn)檫@是單側(cè)檢驗(yàn)，所以只有一個(gè)臨界值，χ2α=18.307。如果χ2的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是χ2>χ2α，我們就拒絕原假設(shè)。如果χ2的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是χ2≤χ2α，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，χ2=10，沒(méi)有落在拒絕域內(nèi)，所以我們不能拒絕原假設(shè)。四、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題10分，共40分。請(qǐng)將答案寫在答題紙上。）1.某廠生產(chǎn)一種燈泡，其壽命X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2=1000（小時(shí)2）。隨機(jī)抽取10個(gè)燈泡，測(cè)得壽命分別為：1050，1100，1200，1250，1300，1350，1400，1450，1500，1550?，F(xiàn)在要檢驗(yàn)這批燈泡的平均壽命是否大于1300小時(shí)，檢驗(yàn)水平為α=0.05。在講解這道題的時(shí)候，我會(huì)先告訴學(xué)生，這是一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，因?yàn)槲覀円獧z驗(yàn)的是平均壽命是否大于1300小時(shí)。原假設(shè)是μ≤1300，備擇假設(shè)是μ>1300。因?yàn)榭傮w方差已知，所以我們應(yīng)該使用Z檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是z=x?-μ?/σ/√n。首先，我們需要計(jì)算樣本均值x?，x?=(1050+1100+1200+1250+1300+1350+1400+1450+1500+1550)/10=1325。然后，代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式，z=1325-1300/√1000/√10=2.236。接下來(lái)，我們查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，找到α=0.05對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是zα=1.645。因?yàn)檫@是單側(cè)檢驗(yàn)，所以只有一個(gè)臨界值，zα=1.645。如果z的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是z>zα，我們就拒絕原假設(shè)。如果z的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是z≤zα，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，z=2.236，大于zα=1.645，所以我們拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這批燈泡的平均壽命大于1300小時(shí)。2.某農(nóng)場(chǎng)為了比較兩種不同的肥料對(duì)作物產(chǎn)量的影響，隨機(jī)選取10塊土地，分別施用兩種肥料，測(cè)得作物產(chǎn)量如下表所示：肥料A：90，95，100，105，110，115，120，125，130，135肥料B：85，90，95，100，105，110，115，120，125，130假設(shè)兩種肥料的作物產(chǎn)量都服從正態(tài)分布，且方差相等，但未知?，F(xiàn)在要檢驗(yàn)兩種肥料的作物產(chǎn)量是否有顯著差異，檢驗(yàn)水平為α=0.05。在講解這道題的時(shí)候，我會(huì)先告訴學(xué)生，這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，因?yàn)槲覀円獧z驗(yàn)的是兩種肥料的作物產(chǎn)量是否有顯著差異。原假設(shè)是μA=μB，備擇假設(shè)是μA≠μB。因?yàn)榭傮w方差未知，且方差相等，所以我們應(yīng)該使用t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是t=(x?A-x?B)/(s_p√(1/nA+1/nB))，其中s_p是合并方差，表達(dá)式為s_p2=((nA-1)sA2+(nB-1)sB2)/(nA+nB-2)。首先，我們需要計(jì)算兩種肥料的樣本均值和樣本方差。肥料A的樣本均值x?A=(90+95+100+105+110+115+120+125+130+135)/10=112.5，樣本方差sA2=((90-112.5)2+(95-112.5)2+(100-112.5)2+(105-112.5)2+(110-112.5)2+(115-112.5)2+(120-112.5)2+(125-112.5)2+(130-112.5)2+(135-112.5)2)/9=234.375。肥料B的樣本均值x?B=(85+90+95+100+105+110+115+120+125+130)/10=112.5，樣本方差sB2=((85-112.5)2+(90-112.5)2+(95-112.5)2+(100-112.5)2+(105-112.5)2+(110-112.5)2+(115-112.5)2+(120-112.5)2+(125-112.5)2+(130-112.5)2)/9=234.375。然后，我們計(jì)算合并方差s_p2=((10-1)234.375+(10-1)234.375)/(10+10-2)=234.375。合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p=√234.375=15.3077。最后，代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式，t=(112.5-112.5)/(15.3077√(1/10+1/10))=0。接下來(lái)，我們查t分布表，找到α/2=0.025對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是tα/2(18)=2.101。因?yàn)檫@是雙側(cè)檢驗(yàn)，所以有兩個(gè)臨界值，分別是-2.101和2.101。如果t的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是t<-2.101或者t>2.101，我們就拒絕原假設(shè)。如果t的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是-2.101≤t≤2.101，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，t=0，沒(méi)有落在拒絕域內(nèi)，所以我們不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種肥料的作物產(chǎn)量沒(méi)有顯著差異。3.某產(chǎn)品的重量X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知。隨機(jī)抽取9個(gè)產(chǎn)品，測(cè)得重量分別為：100，101，102，103，104，105，106，107，108?，F(xiàn)在要檢驗(yàn)這批產(chǎn)品的方差是否等于100（克2），檢驗(yàn)水平為α=0.05。在講解這道題的時(shí)候，我會(huì)先告訴學(xué)生，這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，因?yàn)槲覀円獧z驗(yàn)的是這批產(chǎn)品的方差是否等于100（克2）。原假設(shè)是σ2=100，備擇假設(shè)是σ2≠100。因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但是總體均值未知，所以我們應(yīng)該使用χ2檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是χ2=(n-1)s2/σ?2。首先，我們需要計(jì)算樣本方差s2。樣本方差s2=((100-104.8889)2+(101-104.8889)2+(102-104.8889)2+(103-104.8889)2+(104-104.8889)2+(105-104.8889)2+(106-104.8889)2+(107-104.8889)2+(108-104.8889)2)/8=10.4444。然后，代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式，χ2=(9-1)10.4444/100=8.99956。接下來(lái)，我們查χ2分布表，找到α/2=0.025對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是χ2α/2(8)=17.535。因?yàn)檫@是雙側(cè)檢驗(yàn)，所以有兩個(gè)臨界值，分別是χ21-α/2(8)=2.18和χ2α/2(8)=17.535。如果χ2的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是χ2<2.18或者χ2>17.535，我們就拒絕原假設(shè)。如果χ2的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是2.18≤χ2≤17.535，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，χ2=8.99956，沒(méi)有落在拒絕域內(nèi)，所以我們不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這批產(chǎn)品的方差等于100（克2）。4.某工廠生產(chǎn)的某種電子元件的壽命X～N（μ，σ2），其中μ未知，σ2未知?，F(xiàn)在隨機(jī)抽取16個(gè)元件，測(cè)得壽命分別為：1500，1520，1540，1560，1580，1600，1620，1640，1660，1680，1700，1720，1740，1760，1780，1800。現(xiàn)在要檢驗(yàn)這批電子元件的平均壽命是否大于1600小時(shí)，檢驗(yàn)水平為α=0.01。在講解這道題的時(shí)候，我會(huì)先告訴學(xué)生，這是一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，因?yàn)槲覀円獧z驗(yàn)的是這批電子元件的平均壽命是否大于1600小時(shí)。原假設(shè)是μ≤1600，備擇假設(shè)是μ>1600。因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但是總體方差未知，所以我們應(yīng)該使用t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是t=x?-μ?/s/√n。首先，我們需要計(jì)算樣本均值x?。樣本均值x?=(1500+1520+1540+1560+1580+1600+1620+1640+1660+1680+1700+1720+1740+1760+1780+1800)/16=1680。然后，我們需要計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差s。樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=√(((1500-1680)2+(1520-1680)2+(1540-1680)2+(1560-1680)2+(1580-1680)2+(1600-1680)2+(1620-1680)2+(1640-1680)2+(1660-1680)2+(1680-1680)2+(1700-1680)2+(1720-1680)2+(1740-1680)2+(1760-1680)2+(1780-1680)2+(1800-1680)2)/15)=160。然后，代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式，t=1680-1600/160/√16=1。接下來(lái)，我們查t分布表，找到α=0.01對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是tα(15)=2.131。因?yàn)檫@是單側(cè)檢驗(yàn)，所以只有一個(gè)臨界值，tα(15)=2.131。如果t的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是t>tα，我們就拒絕原假設(shè)。如果t的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是t≤tα，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，t=1，小于tα(15)=2.131，所以我們不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這批電子元件的平均壽命不大于1600小時(shí)。本次試卷答案如下一、單項(xiàng)選擇題答案及解析1.A解析：第一類錯(cuò)誤是棄真錯(cuò)誤，即拒絕了實(shí)際上成立的假設(shè)。2.B解析：因?yàn)榭傮w方差已知，所以使用Z檢驗(yàn)。3.C解析：雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域在兩側(cè)，各占α/2。4.A解析：因?yàn)榭傮w方差未知，所以使用t檢驗(yàn)。5.D解析：功效函數(shù)α（μ）表示的是當(dāng)總體參數(shù)為μ時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率，它是μ的函數(shù)。6.C解析：因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但總體方差未知，所以使用χ2檢驗(yàn)。7.C解析：雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域在兩側(cè)，各占α/2。8.D解析：因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但總體方差未知，所以使用F檢驗(yàn)。9.B解析：第二類錯(cuò)誤是取偽錯(cuò)誤，即沒(méi)有拒絕實(shí)際上不成立的假設(shè)。10.B解析：因?yàn)榭傮w方差已知，所以使用Z檢驗(yàn)。11.C解析：?jiǎn)蝹?cè)檢驗(yàn)的拒絕域在一側(cè)，占α。12.A解析：因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但總體方差未知，所以使用t檢驗(yàn)。13.B解析：α+β表示犯錯(cuò)誤的總概率，但因?yàn)槲覀冊(cè)谶M(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，要么犯第一類錯(cuò)誤，要么犯第二類錯(cuò)誤，所以α+β<1。14.C解析：因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但總體方差未知，所以使用χ2檢驗(yàn)。15.A解析：?jiǎn)蝹?cè)檢驗(yàn)的拒絕域在一側(cè)，占α。二、多項(xiàng)選擇題答案及解析1.ABCDE解析：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟包括提出原假設(shè)和備擇假設(shè)、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域、計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值、做出統(tǒng)計(jì)決策。2.ABCD解析：樣本容量、顯著性水平、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布、總體參數(shù)的真值都會(huì)影響檢驗(yàn)結(jié)論。3.B解析：因?yàn)榭傮w方差已知，所以使用Z檢驗(yàn)。4.AB解析：雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域是|Z|>Zα/2或|t|>tα/2（n-1）。5.A解析：因?yàn)榭傮w方差未知，所以使用t檢驗(yàn)。6.AB解析：雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域是χ2>χ2α/2（n-1）或χ2<χ21-α/2（n-1）。7.C解析：顯著性水平α表示的是當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率。8.C解析：因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但總體方差未知，所以使用χ2檢驗(yàn)。9.AD解析：?jiǎn)蝹?cè)檢驗(yàn)的拒絕域是Z>Zα或Z<-Zα。10.D解析：因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但總體方差未知，所以使用F檢驗(yàn)。三、簡(jiǎn)答題答案及解析1.答案：假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是：首先提出一個(gè)假設(shè)，然后根據(jù)樣本信息來(lái)判斷是否有足夠的證據(jù)拒絕這個(gè)假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)的決策過(guò)程分為以下幾步：（1）提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；（3）確定拒絕域；（4）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值；（5）根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值和拒絕域做出統(tǒng)計(jì)決策，如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值落在拒絕域內(nèi)，就拒絕原假設(shè)；如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值落在接受域內(nèi)，就不能拒絕原假設(shè)。解析：假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是利用樣本信息來(lái)推斷總體特征。我們首先提出一個(gè)假設(shè)，這個(gè)假設(shè)被稱為原假設(shè)。然后，我們根據(jù)樣本信息來(lái)計(jì)算一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，這個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量反映了樣本特征與原假設(shè)之間的差異。接下來(lái)，我們根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布和顯著性水平來(lái)確定拒絕域。如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值落在拒絕域內(nèi)，我們就認(rèn)為有足夠的證據(jù)拒絕原假設(shè)；如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值落在接受域內(nèi)，我們就不能拒絕原假設(shè)。2.答案：拒絕域是z>1.96或z<-1.96。不能拒絕原假設(shè)。解析：因?yàn)檫@是雙側(cè)檢驗(yàn)，所以我們需要找到α/2=0.025對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是zα/2=1.96。因?yàn)檫@是雙側(cè)檢驗(yàn)，所以有兩個(gè)臨界值，分別是-1.96和1.96。如果z的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是z<-1.96或者z>1.96，我們就拒絕原假設(shè)。如果z的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是-1.96≤z≤1.96，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，z=1.5，沒(méi)有落在拒絕域內(nèi)，所以我們不能拒絕原假設(shè)。3.答案：第一類錯(cuò)誤是棄真錯(cuò)誤，即拒絕了實(shí)際上成立的假設(shè)。第二類錯(cuò)誤是取偽錯(cuò)誤，即沒(méi)有拒絕實(shí)際上不成立的假設(shè)?？刂频谝活愬e(cuò)誤的概率可以通過(guò)調(diào)整顯著性水平α來(lái)實(shí)現(xiàn)，α越小，拒絕原假設(shè)就越困難，犯第一類錯(cuò)誤的概率就越小，但是犯第二類錯(cuò)誤的概率就會(huì)增加。反之，α越大，拒絕原假設(shè)就越容易，犯第一類錯(cuò)誤的概率就會(huì)增加，但是犯第二類錯(cuò)誤的概率就會(huì)減小。因此，我們需要根據(jù)具體情況來(lái)選擇合適的α值。解析：第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤是假設(shè)檢驗(yàn)中的兩種錯(cuò)誤。第一類錯(cuò)誤是指我們拒絕了實(shí)際上成立的假設(shè)，這就是“以真為假”。第二種錯(cuò)誤是我們接受了實(shí)際上不成立的假設(shè)，這就是“以假為真”。這兩類錯(cuò)誤是相互矛盾的，控制一個(gè)錯(cuò)誤，往往會(huì)增加另一個(gè)錯(cuò)誤的概率。在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常通過(guò)調(diào)整顯著性水平α來(lái)控制第一類錯(cuò)誤的概率。α越小，拒絕原假設(shè)就越困難，犯第一類錯(cuò)誤的概率就越小，但是犯第二類錯(cuò)誤的概率就會(huì)增加。反之，α越大，拒絕原假設(shè)就越容易，犯第一類錯(cuò)誤的概率就會(huì)增加，但是犯第二類錯(cuò)誤的概率就會(huì)減小。因此，我們需要根據(jù)具體情況來(lái)選擇合適的α值。4.答案：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是t=x?-μ?/s/√n。其分布是自由度為n-1的t分布。解析：因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但是總體方差未知，且樣本容量較小，所以我們應(yīng)該使用t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是t=x?-μ?/s/√n，其中x?是樣本均值，μ?是原假設(shè)中的均值，s是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，n是樣本容量。這個(gè)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-1的t分布。這個(gè)自由度，就是樣本容量減去1。這個(gè)t分布，和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有點(diǎn)像，但是更加扁平一些。當(dāng)樣本容量越大時(shí)，t分布就越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。5.答案：拒絕域是χ2>18.307。不能拒絕原假設(shè)。解析：因?yàn)檫@是單側(cè)檢驗(yàn)，所以我們需要找到α=0.05對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是χ2α=18.307。如果χ2的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是χ2>χ2α，我們就拒絕原假設(shè)。如果χ2的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是χ2≤χ2α，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，χ2=10，沒(méi)有落在拒絕域內(nèi)，所以我們不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這批產(chǎn)品的方差等于100（克2）。四、計(jì)算題答案及解析1.答案：z=2.236，拒絕原假設(shè)。解析：這是一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，因?yàn)槲覀円獧z驗(yàn)的是這批燈泡的平均壽命是否大于1300小時(shí)。原假設(shè)是μ≤1300，備擇假設(shè)是μ>1300。因?yàn)榭傮w方差已知，所以我們應(yīng)該使用Z檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是z=x?-μ?/σ/√n。首先，我們需要計(jì)算樣本均值x?，x?=(1050+1100+1200+1250+1300+1350+1400+1450+1500+1550)/10=1325。然后，代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式，z=1325-1300/√1000/√10=2.236。接下來(lái)，我們查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，找到α=0.05對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是zα=1.645。因?yàn)檫@是單側(cè)檢驗(yàn)，所以只有一個(gè)臨界值，zα=1.645。如果z的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是z>zα，我們就拒絕原假設(shè)。如果z的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是z≤zα，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，z=2.236，大于zα=1.645，所以我們拒絕原假設(shè)，認(rèn)為這批燈泡的平均壽命大于1300小時(shí)。2.答案：t=0，不能拒絕原假設(shè)。解析：這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，因?yàn)槲覀円獧z驗(yàn)的是兩種肥料的作物產(chǎn)量是否有顯著差異。原假設(shè)是μA=μB，備擇假設(shè)是μA≠μB。因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，但是總體方差未知，且方差相等，所以我們應(yīng)該使用t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式是t=(x?A-x?B)/(s_p√(1/nA+1/nB))，其中s_p是合并方差，表達(dá)式為s_p2=((nA-1)sA2+(nB-1)sB2)/(nA+nB-2)。首先，我們需要計(jì)算兩種肥料的樣本均值和樣本方差。肥料A的樣本均值x?A=(90+95+100+105+110+115+120+125+130+135)/10=112.5，樣本方差sA2=((90-112.5)2+(95-112.5)2+(100-112.5)2+(105-112.5)2+(110-112.5)2+(115-112.5)2+(120-112.5)2+(125-112.5)2+(130-112.5)2+(135-112.5)2)/9=234.375。肥料B的樣本均值x?B=(85+90+95+100+105+110+115+120+125+130)/10=112.5，樣本方差sB2=((85-112.5)2+(90-112.5)2+(95-112.5)2+(100-112.5)2+(105-112.5)2+(110-112.5)2+(115-112.5)2+(120-112.5)2+(125-112.5)2+(130-112.5)2)/9=234.375。然后，我們計(jì)算合并方差s_p2=((10-1)234.375+(10-1)234.375)/(10+10-2)=234.375。合并標(biāo)準(zhǔn)差s_p=√234.375=15.3077。最后，代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式，t=(112.5-112.5)/(15.3077√(1/10+1/10))=0。接下來(lái)，我們查t分布表，找到α/2=0.025對(duì)應(yīng)的臨界值，也就是tα/2(18)=2.101。因?yàn)檫@是雙側(cè)檢驗(yàn)，所以有兩個(gè)臨界值，分別是-2.101和2.101。如果t的觀察值落在拒絕域內(nèi)，也就是t<-2.101或者t>2.101，我們就拒絕原假設(shè)。如果t的觀察值落在接受域內(nèi)，也就是-2.101≤t≤2.101，我們就不能拒絕原假設(shè)。在這個(gè)例子中，t=0，沒(méi)有落在拒絕域內(nèi)，所以我們不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種肥料的作物產(chǎn)量沒(méi)有顯著差異。3.答案：χ2=8.99956，不能拒絕原假設(shè)。解析：這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，因?yàn)槲覀円獧z驗(yàn)的是這批產(chǎn)品的