分類、分析、表示是認(rèn)識圖形的重要方法，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出：“會根據(jù)角的特征對三角形分類，認(rèn)識直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形；能根據(jù)邊的相等關(guān)系，認(rèn)識等腰三角形和等邊三角形。”那么，一線教師如何在教學(xué)中凸顯圖形分類的價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生深入認(rèn)識圖形特征？本研究以“三角形的分類”系列教學(xué)為例，在第一課時引導(dǎo)學(xué)生按照角的特點(diǎn)對三角形進(jìn)行分類，認(rèn)識銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，明確每類三角形的特征。學(xué)生在本節(jié)課中能感受到細(xì)化分類及觀察每類三角形關(guān)鍵特征的重要性。第二課時按邊的特點(diǎn)分類，注重遷移研究方法，倡導(dǎo)用多種方法進(jìn)行驗(yàn)證，認(rèn)識等腰三角形和等邊三角形，明確每類三角形的特征。最后，深人溝通兩種分類間的內(nèi)在聯(lián)系，并由關(guān)注顯性要素分類到關(guān)注隱性要素分類。通過系列化、進(jìn)階性的教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生不斷深化對圖形特征的認(rèn)識，形成初步的幾何直觀，發(fā)展空間觀念和推理意識。一、三角形按照角的特點(diǎn)分類之思維進(jìn)階（一）初步分類，統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)中，教師首先呈現(xiàn)各種雜亂無章的三角形（如圖1），一是引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形的外在特征（三條邊、三個角、三個頂點(diǎn)）；二是啟發(fā)學(xué)生面對各種形狀的三角形要深人研究，并初步感受分類的必要性；三是明確研究主題，即進(jìn)行三角形分類?；顒右唬航o三角形分類1.思考分類的標(biāo)準(zhǔn)。2.擺一擺，分一分，將三角形分類。圖1三角形類型學(xué)生借助操作進(jìn)行探究，主要形成三類作品（如圖2）。作品1：按照邊的特征分類一一分為三條邊都相等的、兩條邊相等的、三條邊都不相等的三類。作品2：按照角的特征分類一一分為有直角的、沒有直角的兩類。作品3：標(biāo)準(zhǔn)不一致一一分為等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、不規(guī)則三角形四類。學(xué)生借助生生評價(jià)，對于作品3的分類標(biāo)準(zhǔn)提出改進(jìn)建議，即作品3的分類標(biāo)準(zhǔn)可以是按照邊的特征分，也可以是按照角的特征分，分類標(biāo)準(zhǔn)不明確。而分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，就會出現(xiàn)重復(fù)和遺漏的情況，例如2號按照邊的特征來說是等腰三角形，按照角的特征來說是直角三角形。學(xué)生在生生質(zhì)疑對話中達(dá)成共識：分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一。（二）按角分類，深化特征在明確了分類中要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)后，教師引導(dǎo)學(xué)生按照角的特征再次給這些三角形分類?；顒佣喊凑战堑牟煌o三角形分類一是先觀察這些三角形的角都有什么特點(diǎn)；二是可以量一量，將分類的標(biāo)準(zhǔn)、結(jié)果和每類三角形的特征記錄在學(xué)習(xí)單上。圖2學(xué)生作品1.以有無直角為標(biāo)記分類，簡單分為兩類作品1的學(xué)生：分類標(biāo)準(zhǔn)是按照三角形有沒有直角來分類?？煞譃閮深悾旱谝活愑?個直角；第二類一個直角也沒有。學(xué)生評價(jià)：分類標(biāo)準(zhǔn)是清楚的，而且根據(jù)是不是直角也進(jìn)行了清楚的分類，他們組的分類是正確的。對他們組的建議是對沒有直角的三角形還可以再進(jìn)行分類（基于同學(xué)們的建議，作品1的學(xué)生進(jìn)一步觀察沒有直角的三角形特征，并進(jìn)行再次細(xì)化分類）。2.再次分類，分為三類作品2的學(xué)生：分類標(biāo)準(zhǔn)是按照角的大小來進(jìn)行的。學(xué)生借助細(xì)致觀察，發(fā)現(xiàn)直角三角形可以分為兩類：一類是有鈍角的；一類全是銳角的。因此，學(xué)生們將三角形分為三類：第一類，三個角都是銳角；第二類，有一個角是直角，另外兩個角是銳角；第三類，有一個角是鈍角，另外兩個角是銳角的?！窘虒W(xué)思考】借助對比，學(xué)生深入觀察，體會到了分類要細(xì)致，以便確認(rèn)三角形可以按照角的特征分為三類。3.深人圖形，把握關(guān)鍵特征作品3：分類標(biāo)準(zhǔn)是按照三個角中最大的角來分類。第一類三角形的最大角是直角；第二類三角形最大角是銳角；第三類三角形最大角是鈍角。評價(jià)：作品3關(guān)注最大的角，最大的角是銳角，其三角形就是銳角三角形；作品2關(guān)注了三個角，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形。只看最大的角，抓住每類三角形的關(guān)鍵特征，更為簡潔?！窘虒W(xué)思考】第二次對比，學(xué)生經(jīng)歷對三角形特征的進(jìn)一步挖掘，由關(guān)注三角形每個角的特征，到抓住每類三角形的關(guān)鍵特征，也就是最大角的不同，加深對每類三角形的認(rèn)識。（三）命名三角形，應(yīng)用特征1.抓住獨(dú)有特征，合理命名借助分類活動，學(xué)生已明確每類三角形的特征，絕大部分學(xué)生能夠有意識地根據(jù)三角形的特征正確命名三類三角形：3個角都是銳角的三角形是銳角三角形；1個直角、2個銳角的三角形是直角三角形；1個鈍角、2個銳角的三角形是鈍角三角形。部分學(xué)生質(zhì)疑：直角三角形和鈍角三角形也有銳角，為什么選擇用直角和鈍角命名呢？教師引導(dǎo)學(xué)生深人辨析，明白其實(shí)命名也是依據(jù)每類三角形的最大角，也就是其獨(dú)有特征來進(jìn)行的。教師抓住三角形的獨(dú)有特征進(jìn)行命名，在解釋數(shù)學(xué)名稱的合理性中，進(jìn)一步深化對三角形關(guān)鍵特征的認(rèn)識。2.借助觀察推理，構(gòu)建聯(lián)系如果將三角形看作一個整體的話，銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形可以作為這個整體中的一部分。如何借助集合圖表示三類三角形的關(guān)系？學(xué)生呈現(xiàn)了四種典型作品（如圖3所示）。按角的特點(diǎn)分類，三類三角形是并列關(guān)系，不是包含關(guān)系，因此作品1排除；通過幾何畫板，固定底邊不變，從左到右動態(tài)演示角的變化過程和邊的變化過程，明確按照角的特點(diǎn)分類，只能分為這三類三角形，沒有第四類，因此作品3排除。學(xué)生經(jīng)歷觀察、想象、推理活動，構(gòu)建三類三角形的聯(lián)系，進(jìn)一步深化對圖形特征的認(rèn)識。圖3學(xué)生作品【教學(xué)思考】學(xué)生在構(gòu)建關(guān)系中，明確三類三角形之間是并列關(guān)系，進(jìn)一步加深對三角形特征的認(rèn)識。學(xué)生在借助幾何畫板的動態(tài)演示中進(jìn)行觀察和推理，明確三角形按照角的特點(diǎn)只能分為這三類。學(xué)生初步感受三角形三條邊和三個角的變化之間的內(nèi)在聯(lián)系，為其后續(xù)進(jìn)行三邊關(guān)系和內(nèi)角和的探究做好鋪墊。二、三角形按照邊的特點(diǎn)分類之實(shí)施建議（一）方法遷移，自主規(guī)劃研究路徑學(xué)生有了按照角的特點(diǎn)進(jìn)行分類的豐富體驗(yàn)后，本節(jié)課中教師注重學(xué)生自主遷移能力的培養(yǎng)，促進(jìn)其思維水平的進(jìn)階。教師引導(dǎo)學(xué)生自主制定研究規(guī)劃，從邊的特點(diǎn)來給三角形分類。在研究不同規(guī)劃方案的過程中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠遷移已有的研究方法，三角形按邊的特點(diǎn)進(jìn)行分類，需要同樣經(jīng)歷“觀察一測量一分類一命名一找聯(lián)系\"的過程，并能制定對應(yīng)的研究規(guī)劃。（二）嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證，工具方法多樣化學(xué)生不斷觀察、對比各種各樣的三角形，對于有些三角形無法直觀判斷兩條邊的長度，如何較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)仳?yàn)證兩條邊的長度關(guān)系？教師需要啟發(fā)學(xué)生采用多種驗(yàn)證方法，鼓勵學(xué)生選擇喜歡的工具來驗(yàn)證三角形的邊是否相等。學(xué)生可以借助尺規(guī)工具，運(yùn)用多種方法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)驗(yàn)證：其一，量一量（用尺子測量長度）;其二，比一比（用圓規(guī)比長度）；其三，折一折（對折后是否重疊）。有的學(xué)生將三角形按照有相等邊和無相等邊進(jìn)行分類。借助同伴啟發(fā)，再次觀察并細(xì)化分類，將三角形按照三條邊相等、兩條邊相等、三條邊都不相等進(jìn)行分類。（三）尺規(guī)作圖，深化圖形內(nèi)在聯(lián)系在給三角形命名的過程中，同樣需要再次回歸圖形本身特征，兩條邊相等的三角形是等腰三角形，三條邊都相等的三角形是等邊三角形（正三角形）。這兩類三角形之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？教師可以借助尺規(guī)作圖（新課標(biāo)的新增內(nèi)容），尺規(guī)作圖在三角形學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要價(jià)值。教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：用尺規(guī)作圖的方法，畫3個底邊是7厘米的等腰三角形；畫1個底邊是7厘米的等邊三角形。學(xué)生借助尺規(guī)作圖等腰三角形時，發(fā)現(xiàn)這樣的等腰三角形可以畫無數(shù)個，而等邊三角形只能畫一個，等邊三角形中的兩條腰也是相等的，因此等邊三角形是特殊的等腰三角形。三、三角形的分類之提升拓展（一）審視按角和邊的特征分類，溝通邊與角兩個要素間的內(nèi)在聯(lián)系三角形既可以按照角的特征分類，又可以按照邊的相等關(guān)系分類，那么二者之間又有哪些內(nèi)在的聯(lián)系呢？教師設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)任務(wù)，把按角的特點(diǎn)分類和按邊的特點(diǎn)分類的這兩幅圖合并成一幅圖。該任務(wù)中教師引導(dǎo)學(xué)生將按照邊分類融人按照角分類中，引導(dǎo)學(xué)生借助操作推理，深化等腰三角形、等邊三角形和銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形之間的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生借助幾何畫板觀察（如圖4），當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的中線上時，三角形ABC為等腰三角形（也就是軸對稱圖形）。隨著角C逐漸變大，可以是等腰銳角三角形、等腰直角三角形，也可以是等腰鈍角三角形。而任意一個等邊三角形，三個角都是確定的，每個角都是60度，只能是銳角三角形。因此，學(xué)生在按照角分類的基礎(chǔ)上，將等腰三角形與三類三角形（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）都建立聯(lián)系，其中，等邊三角形既屬于等腰三角形，同時也屬于銳角三角形。（二）關(guān)注隱性要素，按高分類，溝通高與角兩個要素之間的內(nèi)在聯(lián)系學(xué)生在單元起始課“三角形的認(rèn)識\"中，不僅認(rèn)識了三角形的顯性要素邊、角，還認(rèn)識了三角形的隱性要素高。然而，大部分學(xué)生更多關(guān)注角和邊這兩個顯性要素并進(jìn)行分類。如何實(shí)現(xiàn)由顯性要素深入到隱性要素來分類？學(xué)生經(jīng)歷了“操作一觀察一聯(lián)系一歸納\"的全過程。圖4首先，借助操作性任務(wù)一一畫三角形（如圖5），學(xué)生自主在方格紙中畫出指定底和高的三角形（以線段長為4cm的AB為底，高為6cm）。通過操作畫圖，學(xué)生體會到這樣的三角形能畫很多，它們可以是銳角三角形，也可以是直角三角形和鈍角三角形。圖5畫三角形接著，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察AB底上高的位置，互相交流。學(xué)生初步建立聯(lián)系后發(fā)現(xiàn)