§5.5復(fù)數(shù)

【考試要求】1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)2理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)

相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運算，了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義.

【知識梳理】

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義：形如。+歷(a,6GR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中二是實部，女是虛部，i為虛數(shù)單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+6i(a,bGR)

|實數(shù)S三0),

i虛數(shù)(6五0)(其中，當(dāng)a三。時為純虛數(shù)).

⑶復(fù)數(shù)相等：

a+6i=c+c且,b,c,dGR).

(4)共輾復(fù)數(shù)：

a+歷與c+di互為共朝復(fù)數(shù)<=>a=c,6=—d(a,b,c,dGR).

(5)復(fù)數(shù)的模：

向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z—a+bi的?；蚪^對值，記作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+歷|=/必+b\a,

bGR).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

■■又寸卜"

⑴復(fù)數(shù)z=a+歷(a,bGR)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b).

(2)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,bGR)一對應(yīng)平面向量龍.

3.復(fù)數(shù)的四則運算

(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則：

設(shè)zi=〃+Z?i,Z2=c+di(mb,c,d￡R),則

①力口法：zi+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+S+如；

②減法：zi-Z2=(〃+Z?i)—(c+di)=(a—c)+(77-J)i；

③乘法：z「Z2=(〃+歷)?(c+di)=3c—M)+(ad+bc)i;

④…P除人去z\『a嗝+bi=(值a+bi就)(c—』di)=ac=-\-+bd產(chǎn),bc-產(chǎn)ad9,+力力

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZiZZ?可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即宓=歷1+

OZ2，ZiZ2=OZ2—OZ\.

yz

4

0\x

【常用結(jié)論】

,1+i1-i

1.(1土i)2=±2i；"[1^=-i.

2.—6+ai=i(a+bi)(a,6GR).

3.i4"=l,i4,,+1=i,i4,1+2=-l,i4,j+3=-i(neN).

4.i4n+i4n+1+i4n+i+i4ra+s=0(neN).

5.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

(l)°W|z|W6表示以原點0為圓心，以。和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)|z—(a+歷)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)復(fù)數(shù)z=a一歷(a,bGR)中，虛部為6.(X)

(2)復(fù)數(shù)可以比較大小.(X)

(3)已知z=a+歷(a,bGR),當(dāng)a=0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(X)

(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的

模.(V)

【教材改編題】

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(2+i)z=l-i,其中i是虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

2.復(fù)數(shù)z=(3+i)(l—4i),則復(fù)數(shù)z的實部與虛部之和是.

答案一4

解析z=(3+i)(l—4i)=3—12i+i+4=7—Hi,故實部和虛部之和為7—11=—4.

3.若z=('"2+/"-6)+(“z—2)i為純虛數(shù)，則實數(shù)根的值為.

答案一3

題型一復(fù)數(shù)的概念

例1(1)(2021?浙江)已知aGR,(l+ai)i=3+i(i為虛數(shù)單位)，則a等于()

A.-1B.1C.-3D.3

答案C

解析方法一因為(l+ai)i=—a+i=3+i,所以一a=3,解得。=-3.

方法二因為(1+〃i)i=3+i,所以l+〃i=-j—=1—3i,所以〃=—3.

(2)(2022?新余模擬)若復(fù)數(shù)z滿足1一.則復(fù)數(shù)》的虛部為()

A.iB.-iC.1D.-1

答案C

z(l+i)i3

角牛析-5―：—=l——i,

2—1

.,.z(l+i)(-i)=(2-i)(l-i),

z(l-i)=(2—i)(l—i),.\z=2-i,

z=2+i,z的虛部為1.

【教師備選】

1.(2020?全國III)若，(l+i)=l—i,則z等于()

A.1-iB.1+iC.-iD.i

答案D

解析因為=

1+1(1+1)(1—1)

所以z=i.

2.(2020?全國I)若z=l+i,則目一2z|等于()

A.0B.1C.eqD.2

答案D

解析方法一z2—2z=(l+i)2—2(l+i)=—2,

|，一2z|=|-2|=2.

方法二方一2z|=|(l+i)2—2(l+i)|

=|(l+i)(-l+i)|=|l+i|.|-l+i|=2.

思維升華解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項

(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只

需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.

(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,bdR)的形式，以確定實部和虛部.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?衡水中學(xué)模擬)已知蓋=l—yi,其中x,y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，貝Ux

+yi的共軌復(fù)數(shù)為()

A.2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

答案B

解析由岸y=i一同，得M，

即〉五二1—yi,

解得x=2,y=1,

...x+yi=2+i,

???其共扼復(fù)數(shù)為2—i.

(2)已知z=l—3i,則|T—i|=.

答案小

解析Vz=l-3i,.\7=l+3i,

z-i=l+3i—i=l+2i,

/.|z—i|=-\/l2+22=V5.

題型二復(fù)數(shù)的四則運算

例2⑴(2021?新高考全國I)已知z=2—i,則z(；+i)等于()

A.6—2iB.4—2i

C.6+2iD.4+2i

答案c

解析因為Z=2—i,

所以z(7+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.

(2)設(shè)Zl,Z2,Z3為復(fù)數(shù)，Z1W0.給出下列命題：

①若比|=閡，則Z2=±Z3；

②若Z1Z2=Z1Z3，貝!IZ2=Z3；

③若Z2=Z3,貝!J|ZIZ2|=|Z1Z3|；

④若Z1Z2=|Z1F，則Z1=Z2.

其中所有正確命題的序號是()

A.①③B.②③C.②④D.③④

答案B

解析由|i|=|l|,知①錯誤；

Z1Z2=Z1Z3,則zQ—Z3)=0,又Z1W0,所以Z2=Z3,故②正確；

憶㈤=|Z1||Z2|，憶㈤=憶1|閡，

又Z2=Z3,所以|Z2|=|Z2|=閡,故③正確,

令Zl=i,Z2=—i,滿足Z1Z2=|Z1『，不滿足Z1=Z2,故④錯誤.

【教師備選】

1.(2020?新高考全國I)"式等于()

A.1B.-1C.iD.-i

答案D

鏟桁2—i_Q—i)(l—2i)_—5i_.

用牛仞l+2i-(l+2i)(l-2i)-5—L

ab

2.在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式反為由〃所確定的二階行列式.若在復(fù)數(shù)域內(nèi)，zi=l+i,

ca

2+i—ziZ21

Z2="jZ3=Z2,則當(dāng)=5—1時，Z4的虛部為_________.

LlZ3Z42

答案一2

Z1Z2

解析依題意知，=Z1Z4-Z2Z3,

Z3Z4

因為Z3=Z2,

2+i(2+i)(l+i)l+3i

且Z2=H=2=T-，

所以Z2Z3=|Z2『=|,

因此有(l+i)Z4—i,

即(1+i)z4=3—i,

,,3—i(3—i)(l—i).

故Z4=]?j=2=1-2i?

所以Z4的虛部是一2.

思維升華(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算.

(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共朝復(fù)數(shù).

跟蹤訓(xùn)練2(1)(2021?全國乙卷)設(shè)iz=4+3i,貝Uz等于()

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

答案C

解析方法一(轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)除法運算)

因為iz=4+3i,

濟14+3i(4+3i)(—i)—4i—3i?

所以z—i—i(-i)―-i2

=3—4i.

方法二（利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式）

設(shè)2=°+歷（a,6WR）,

則由iz=4+3i,可得i（a+6i）=4+3i,

[—6=4,

即一6+ai=4+3i,所以?

匕=3,

方法三(巧用同乘技巧)因為iz=4+3i,所以Li=(4+3i>i,所以一z=4i—3,

所以z=3—4i.

:2023_

(2)右z=]j,貝”z|=；z+z=.

答案坐1

題型三復(fù)數(shù)的幾何意義

例3（1）（2021.新高考全國H）復(fù)數(shù)/二看在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

解析W=（2-喘+3i）=沙=等,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為?，0,該點

在第一象限.

（2）（2020?全國II）設(shè)復(fù)數(shù)zi,Z2滿足團|=憶2|=2,zi+z2=<§+i,則向一z?|=.

答案24

解析方法一設(shè)zi—Z2=a+0i,a,b^R,

因為zi+z2=，5+i,

所以2zi=（小+〃）+（1+b）i,

2Z2=（V^—。）+（1—。）工

因為憶1|=核|=2,所以|2ZI|=|2Z2|=4,

所以■(小+。)2+(1+1)2=4,①

、(斤a)2+(l—b)2=4,②

①2+②2,得*+62=12.

所以|zi—Z2I^yja2+b2=2y[3.

方法二設(shè)復(fù)數(shù)zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)向量近，OB,

則Z1+Z2對應(yīng)向量近+勵.

由題意知|方|=|協(xié)1=1亦+而1=2,

如圖所示，以。4,。2為鄰邊作平行四邊形OACB,

BC

OA

則Zi—Z2對應(yīng)向量函，

^\OA\=\AC\=\OC\=2,

可得|函|=2|而|sin60°=2-73.

故|ZLZ2|=|函|=2小.

【教師備選】

1.(2020?北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2),則i?z等于()

A.l+2iB.—2+i

C.1—2iD.12-i

答案B

解析由題意知，z=l+2i,

.*.i-z=i(l+2i)=-2+i.

2.(2019?全國I)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),貝1()

A.(x+l^+y2—1B.(x—l)2+y2=l

C./+。-1)2=1D.W+(y+l)2=l

答案C

解析：z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),

.,.z=_x+yi(無，yGR).

???|z-i|=l,.?.|尤+。一1川=1,

Z.^+Cy—1)2=1.

思維升華由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾

何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

跟蹤訓(xùn)練3(1)如圖，若向量0-Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,貝！Jz+羨4示的復(fù)數(shù)為()

A.l+3iB.-3-i

C.3-iD.3+i

答案D

444(1+i)

解析由題圖可得Z(l,T),即—所以-

4+4i.

卜一2-=1—i+2+2i=3+i.

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=l,那么|z+2g+i|的最大值是()

A.3B.2^3

C.1+2吸D.4

答案D

解析|z|=l表示單位圓上的點，那么|z+2吸+i|表示單位圓上的點至U點(一2吸，一1)的距離，

求最大值轉(zhuǎn)化為點(一2地，一1)到原點的距離加上圓的半徑.因為點(一2吸，一1)到原點的

距離為3,所以所求最大值為4.

在如圖的復(fù)平面中，r=\ja2+b2,cossintan0=^(a#O).

任何一個復(fù)數(shù)z=q+bi都可以表示成z=?cos夕+isin。)的形式.其中，廠是復(fù)數(shù)z的模；0

是以工軸的非負(fù)半軸為始邊，向量位所在射線(射線0Z)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=〃+歷的

輻角.

我們把r(cos8+isin。)叫做復(fù)數(shù)的三角形式.

對應(yīng)于復(fù)數(shù)的三角形式，把z=a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示：

已知復(fù)數(shù)zi=n(cosa+isin仇),

Z2=々(cos。2+isin02),貝U

zi?Z2=n「2[cos(4+4)+isin(4+ft)].

2=%[cos(4—02)+isin(4—刈)].

(兀兀、(JI兀

例1(1)1cos2+isin2JX3lcos^+isin

等于()

答案c

解析卜os^+isin習(xí)X3卜os5+isin襲

、兀\一

=3［cosG+/,is(gR+制

=39os牛+isin受)

一1+半.

（2）復(fù)數(shù)cos號+isin蕤過〃次乘方后，所得的事等于它的共軌復(fù)數(shù)，則〃的值等于（）

A.3B.12

C.6左一1（左GZ）D.6Z+1（左GZ）

答案C

解析由題意，得卜os^+ising，，=cos詈+isin^=cosisin?

由復(fù)數(shù)相等的定義，得

rm7i1

cos~^~=cosJ=29

.mi.兀A/3

sin-=—sin~~2■

解得管=2far—界￡Z),

?"=6jt—l(Z￡Z).

（3）復(fù)數(shù)z=cosy|+isin點是方程x5—a=0的一個根，那么a的值等于（

)

答案B

解析由題意得，a=9os*+isin*)5

71...7C_1.Vf.

—cosw十isin］一］十2,

例2已知i為虛數(shù)單位，zi=-\/2(cos60°+isin60°),z)=2/(sin30°—icos30°),則z「Z2的

二角形式是()

A.4(cos90°+isin90°)

B.4(cos30°+isin30°)

C.4(cos300-isin30°)

D.4(cos0°+isin0°)

答案D

角翠析Vz2=2V2(sin30°-icos30°)

=2限(cos300°+isin300°),

；.zrz2=6(cos60°+isin60°>2陋(cos300°+isin3000)=4(cos360°+isin3600)

=4(cos0°+isin00).

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（2022?福州模擬）已知i是虛數(shù)單位，則“a=i”是“/=一J’的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析i是虛數(shù)單位，則i2=—1,“a=i”是“片=—1”的充分條件;

由/=-1,得a=±i,

故“a=i”是“/=—1”的不必要條件；

故“a=i”是“/=―-的充分不必要條件.

2.設(shè)復(fù)數(shù)Zl，Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，Zl=3-i,則Z1Z2等于（）

A.-10B.10C.-8D.8

答案A

解析Vzi=3-i,zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，

?'?Z2=-3—i,

；.ziZ2=-9—1——10.

3.（2022?長春實驗中學(xué)模擬）若復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為，且滿足三?（l+2i）=l—i,則復(fù)數(shù)z的虛

部為（）

人口3.

A.eqB.一亍

3

C.eqiD.一5

答案A

解析z-(l+2i)=l—i,

?———i_(1—i)(l—2i)

*-z-l+2i-(l+2i)(l-2i)

-l~3i13.

-5一廠引，

,,z-5+5I'

3

復(fù)數(shù)z的虛部為亍

4.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z=i2023+i(i-l)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析因為Z=i2023+i(i—1)=—i—1—i=—1—2i,所以復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是(一1,

-2),位于第三象限.

5.(2022?濰坊模擬)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，已知p,q為實數(shù)，l—i是關(guān)于x的方程f+px+q=0的

一個根，則p+q等于()

A.2B.1C.0D.-1

答案C

解析因為1一i是關(guān)于x的方程F+px+qn。的一個根，則1+i是方程f+px+q=0的另

一根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得

1(l+i)+(l—i)=一P，

1(l+i)(l-i)=q,

解得p=—2,q=2,

所以p+q=0.

6.(2022?蘇州模擬)若復(fù)數(shù)z滿足(l+i>z=5+3i(其中i是虛數(shù)單位)，則下列結(jié)論正確的是

()

A.z的虛部為一i

B.z的模為行

C.z的共朝復(fù)數(shù)為4-i

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限

答案B

解析由(l+i>z=5+3i得

5+3i(5+3i)(l—i)8—2i_

z=1+i=(l+i)(l-i)=2=4-b

所以z的虛部為一1,A錯誤；

z的模為弋42+(—1)2=＜萬,B正確；

Z的共軻復(fù)數(shù)為4+i,C錯誤；Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(4,-1),位于第四象限，D錯誤.

a—|—，

7.若z=(a—g)+歷為純虛數(shù)，其中aGR,則用［=.

答案一i

［a—也=0,

解析：z為純虛數(shù)，

.a+i［小T_("—i)(l——i)

-1+出―1+啦1(l+6i)(l一小i)

-3i.

=亍=一1,

z

8.(2022?溫州模擬)已知復(fù)數(shù)2=°+萬3,6611,1為虛數(shù)單位),且不口=3+21,則a=

b=.

答案51

解析由z=〃+bi(〃，b^R,i為虛數(shù)單位)，

貝Uz—a-bi9

z1+i

所以-j~=~~5-(〃-bi)

1—1乙

a-\~b,a—b

=-^-+—^-i=3+2i,

,,a-\-ba~b，

故~~2-=3,-2-=2,所以〃=5,b=1.

加2—I—yyi-￡_

9.當(dāng)實數(shù)7〃為何值時，復(fù)數(shù)z=——--十(川一2〃z)i為①實數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù).

fm2-2m=0,

解①當(dāng)為

即m=2時，復(fù)數(shù)z是實數(shù).

②當(dāng)根2—2m￡0,且加W0,

即機70且mW2時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).

<m2+m—6

------m-------=0,

③當(dāng)〈zc

<m2—2m^=0,

即m=—3時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

10.如圖所示，在平行四邊形。48C中，頂點O,A,。分別表示0,3+2i,—2+4i,試求:

(1)AO,正所表示的復(fù)數(shù)；

(2)對角線均所表示的復(fù)數(shù)；

(3*點對應(yīng)的復(fù)數(shù).

解⑴：助=一瓦

；.A。所表不的復(fù)數(shù)為-3—2i,

'：BC^AO,

...BC所表不的復(fù)數(shù)為-3—2i.

(2)：8=殖一沆，...無所表示的復(fù)數(shù)為

(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.

⑶油=a+無，

二.5^所表示的復(fù)數(shù)為

(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,

所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+6i.

或技能提升練

11.歐拉公式b=cosx+isinX是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域

擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，

被譽為數(shù)學(xué)中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項不正確的是()

A.復(fù)數(shù)ea對應(yīng)的點位于第二象限

n.

B.”為純虛數(shù)

1

C.復(fù)數(shù)場e石^的模長等于方1

D.的共軌復(fù)數(shù)為:一半i

答案D

解析對于A,e2i=cos2+isin2,

因為彳<2<兀，

即cos2<0,sin2>0,復(fù)數(shù)e?，對應(yīng)的點位于第二象限，A正確;

7T.7T.

—1JTJT—1

對于B,e2=cos]+isin]=i,e2為純虛數(shù)，

B正確；

「exlcosx+isinx

對于C'

（cosx+isinx）（小一i）

（小+i）（市-i）

小cosx+sinx,小sincosx.

_1

=1

C正確；

—iITIT、巧1

對于D,e6=cos耳+isin彳=4-+手，

其共軻復(fù)數(shù)為坐一D不正確.

12.（2022?武漢模擬）下列說法中，正確的個數(shù)有（）

①若|z|=2,則z,z—4；

②若復(fù)數(shù)Zi，Z2滿足|Z1+Z2|=|ZLZ2|,則Z1Z2=O；

③若復(fù)數(shù)Z的平方是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)Z的實部和虛部相等；

④是“復(fù)數(shù)2=（〃一1）+（次一l）i（〃￡R）是虛數(shù)”的必要不充分條件.

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案B

解析若|z|=2,則Z?Z=|ZF=4,故①正確；

設(shè)zi=的+bii（〃i,biR）,

22=。2+岳1（〃2,/?2R）,

由|zi+z2|=|zi-Z2I，

可得|zi+Z2P=(防+。2)2+31+bl)2

=|zi—Z2/=3—〃2)2+(bl—岳)2

則的〃2+%。2=0,

而Z1Z2=(?i+b[i)(a2+fei)

=。1。2—b\b2~\~ct\b^x~\~b\a^

=2aia2+aib2i+bia2i不一定為0,故②錯誤；

當(dāng)Z=l—i時，z2=—2i為純虛數(shù)，其實部和虛部不相等，故③錯誤；

若復(fù)數(shù)Z=(〃-l)+(〃2—是虛數(shù)，

則〃2—iwo,即〃w±i,

所以是“復(fù)數(shù)z=m—1)+(/—l)i(〃￡R)是虛數(shù)”的必要不充分條件，故④正確.