2024-2025學年廣東省廣州外國語學校高二（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知向量五=（1,2）,向量了=（巾,3）,若向量方1苗—五），則實數(shù)機=（）

A.-2B.2C.-1D.1

2.已知角a6R,則“a為第二象限角”是“cosa<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.某次高二數(shù)學調(diào)研測試中，考生成績X服從正態(tài)分布N（75,02）,若P（60<X<90）=|,則從參加這次考

試的考生中任意選取1名考生，該考生的成績高于90的概率為（）

A-B-C-D—

A.36912

4.我國新能源汽車的卓越性能贏得全球人民的信賴，某品牌新能源汽車憑借科研創(chuàng)新、廣告宣傳和可靠的

售后保障，在全球贏得了很好的營銷局面，如表為該品牌新能源汽車的科研經(jīng)費投入和全球市場規(guī)模統(tǒng)計.

科研經(jīng)費々（單位：百億元）2461216

市場規(guī)模%（單位：百萬輛）11.5233.5

如此得到y(tǒng)關于x的經(jīng)驗回歸方程：y=0.18x+a,估計當該品牌新能源汽車的科研經(jīng)費投入20（百億元）時,

全球市場規(guī)模將達到（）百萬輛.

A.4B.4.14C,4.36D.4.58

5.用0,1,2,3四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有（）個.

A.16B.12C.10D.8

6.“端午節(jié)”是我國四大傳統(tǒng)節(jié)日之一，吃粽子、賽龍舟、掛艾草等均是端午節(jié)的習俗.今年端午節(jié)，兄妹

兩人一起去超市購買粽子，若他們分別從“鮮肉粽、臘肉粽、蛋黃粽、原味粽、赤豆粽、八寶粽"六種粽

子里各自挑選三種并各購買一個，則購買的6個粽子中至多有一種相同的概率是（）

1927

A,2B，20C,5D-20

22

7.已知產(chǎn)是雙曲線C：%—方=1（。>0為〉0）的右焦點，直線4x—3y=0與C交于P,Q兩點，若以PQ為

直徑的圓經(jīng)過點F,貝IJC的離心率為（）

A.2B.75C.3D.710

8.已知函數(shù)/'（久）=（久+a-l）ex+號久2+ab久一ab在R上單調(diào)遞增，則ab的最小值為（）

11

A.—B.-C.—1D.1

ee

第1頁，共14頁

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.關于(>2一|)6的二項展開式，下列說法正確的是()

A.展開式在合并同類項之后共有7項B.展開式中常數(shù)項為15

C.展開式的系數(shù)之和為1D.展開式的最后一項的系數(shù)最大

10.如圖是函數(shù)f(x)=2s出(3久+9)的部分圖象，下列說法正確的是()

A.點4的坐標為(?,0)

B.，的一個可能值是日

C.將函數(shù)/Q)的圖象向右平移,個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)是奇函數(shù)

D"(—篝77T)</(兀)

11.在一個不透明的盒子中裝有材質(zhì)、大小完全相同的幾個小球，將它們分別編號為1,2,3,九每次從

盒子中隨機抽取一個小球，記錄編號后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，記總的摸球次數(shù)為X“，下列

結論正確的是()

A.P(X2=3)=*1B.P(X2=2)<P(X3=3)

C.P(X3=k)>P(X3=fc+1),其中k>3D.E(X2)=3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.sin50°cosl00—cos50°cosl00°=____.

13.已知直線y=x+1與曲線y=Inx+a相切，則a的值為.

14.一只螞蟻從正四面體力-BCD的頂點2出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點為一次爬行，若它選

擇三個方向爬行的概率相等，則螞蟻爬行5次后仍在頂點力的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知首項為1的正項數(shù)列｛an?兩足，五a-=4a2.

(1)求。2；

(2)求｛%｝的通項公式；

(3)求數(shù)列｛尋而｝的前n項和S%

16.(本小題15分)

DeepSeek是由中國杭州的DeepSeek公司開發(fā)的人工智能模型，其技術在多領域有著普惠應用，為提高

第2頁，共14頁

DeepSeek的應用能力，某公司組織全體員工參加DeepSeek培訓，培訓結束之后，公司舉行了一次。eepSeek

專業(yè)知識比賽，比賽分為預賽與決賽，預賽通過后才能參加決賽，預賽從8道題中隨機抽取4道作答，答

對3道及以上則進入決賽，否則被淘汰.

(1)若這8道題中甲能答對其中5道，計算甲進入決賽的概率；

(2)已知甲進入了決賽，決賽需要回答3道題目，若全部答對則獲得一等獎，獎勵300元；若答對2道題目

則獲得二等獎，獎勵150元；若答對1道題目則獲得三等獎，獎勵50元；若全部答錯則沒有獎勵.若甲答

對每道題目的概率均為多且每次答題相互獨立，設甲獲得獎金為求f的分布列及數(shù)學期望.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=Inx+Jp

(1)若a=2,求函數(shù)f(x)在(1"(1))處的切線方程；

(2)若對任意xe(0,+8),/(久)=舟。6夫)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

18.(本小題17分)

某工廠員工每天選擇坐班車或開私家車去上班.統(tǒng)計可知，該工廠員工若前一天坐班車，則第二天仍坐班車

的概率為J，第二天改開私家車的概率為弓；若前一天開私家車，則第二天仍開私家車的概率為第二天改

坐班車的概率為今若該工廠員工上班第一天坐班車和開私家車的概率均為去該工廠某員工第幾天坐班車的概

率為pn.

(I)設該工廠某3位員工中第二天坐班車的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

(II)求Pn；

(in)為緩解交通壓力，工廠決定每天抽調(diào)io人到班車停車場和私家車停車場參加安保工作，請合理分配每

天去班車停車場和私家車停車場參加安保工作的人數(shù)，并說明理由.

19.(本小題17分)

已知橢圓E：卷+3=1(。>6>0)過點(1￥),右焦點?(1,0).

(1)求橢圓E的方程；

(2)設直線/：y=kx(k70)與橢圓E交于P,A兩點，過點「(配,如)作PC，》軸，垂足為點C,直線AC交橢圓E

于另一■點B.

(i)證明:AP1BP.

陋)求44BP面積的最大值.

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答案解析

1.【答案】c

【解析】解：向量社=(1,2),向量刃=(科3),

則b—彼=(m—1,1),

又N_L(b-a),

故m—1+2=0,解得m=-1.

故選：C.

計算出石-方=(爪-1,1),根據(jù)向量垂直得到方程，求出答案.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：(Wa是第二象限角，貝Ucosa<0,

②當cosa<0時，貝山是第二象限角或者第三象限角或者終邊在x軸負半軸上，

“a為第二象限角”是“cosa<0”的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)象限角的性質(zhì)即可結合充分必要條件的定義求解.

本題考查的知識點：三角函數(shù)的符號，命題的充分條件和必要條件的應用，主要考查學生的運算能力，屬

于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可知，P(60<X<90)=|,

正態(tài)曲線的對稱軸為x=75,

故P(X>90)=￡x(1—|)=與

故選：B.

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.

本題考查了正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可知，x=8,y=2.2,

故樣本中心為(8,2.2),

故a=y—0.18x=2.2—0.18X8=0.76,

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故當％=20時，y=0.18x20+0.76=4.36.

故選：C.

求出樣本中心代入方程可得a值，即可根據(jù)x=20代入求解.

本題考查了經(jīng)驗回歸，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：當個末位數(shù)字是0時，前三位任意排有題=6個，

當末位數(shù)字式2是，首位只能從1,3中選，再排中間兩位共有虺=4個.

根據(jù)分類計數(shù)原理得沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)共有6+4=10個.

故選：C.

用數(shù)字0、1、2、3能組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)，末位上的數(shù)字只能是2或0,分末位上數(shù)是0

和2兩類來討論.

本題主要考查了分類計數(shù)原理，如何分類是關鍵，要考慮特殊元素0.屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：購買的6個粽子種類各不相同的概率為：

_1_1

匕p一訴I一五'

購買的6個粽子種類恰有一個相同的概率為：

巳P一—次怎一—元9’

他們分別從“鮮肉粽、臘肉粽、蛋黃粽、原味粽、赤豆粽、八寶粽"六種粽子里各自挑選三種并各購買一

個，

購買的6個粽子中至多有一種相同的概率是P=P1+\

故選：A.

分購買的6個種類粽子各不相同和購買的6個粽子種類恰有一個相同，分別求其概率，再把它們相加即可.

本題考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：設「01，月)，由雙曲線與直線的對稱性，Q(—判,一月)，

因為以PQ為直徑的圓過尸(G。)，則而?而=0,

即(%i-c)(_%]_,)+y1(-yQ=0=>好+比=洛

又P在雙曲線段一患=1和直線yi=上，將yi=2第1代入/+%=得好=美，

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再代入雙曲線方程：短-募=1,

由匕2=。2-。2,設？=￡,化簡得：9e4-50e2+25=0,

a

令〃=/,解得〃=5(〃=亮舍去，因故？=

故選：B.

根據(jù)雙曲線與直線的對稱性即可求解.

本題考查了雙曲線與直線的對稱性，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：由題意，函數(shù)/(%)=(x+a-l)ex+1%2+abx-ab的定義域為R,

導函數(shù)為//(%)=e"+(%+a—l)ex+bx+ab=(x+a)(ex+b),

因為函數(shù)f(%)在R上單調(diào)遞增，所以//(%)=(%+a)(ex+h)>0在R上恒成立，

若b>0,則第V-。時,f/(%)<0矛盾,

所以bVO,(%+口)與(d+力)同號,

所以—a=ln(—b),即匕=一？一。，故。力=一看，

令加=-*貝%/(a)=等,

令g，(a)>0,則a>1；令gz(a)<0,則a<1,

所以g(a)在(-*1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以ab的最小值為g(a)7n加=g(l)=-：.

故選：A.

利用/'(嗎20恒成立，討論分析得到a、6的關系式，化簡代入ab,把得到的函數(shù)構造為y=g(a),求導

得到最小值點，從而得出答案.

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對于4由于n=6,故展開式共有7項，/正確；

對于8,二項式的展開式的通項為例/尸(-|)『=似-2),產(chǎn)31"=0,1,2,3,456,

令12—3r=0,貝懺=4,故常數(shù)項為牖(一2廣爐2-3x4=240,故8錯誤；

對于C,令％=1,則系數(shù)和為(I?一,)6=1,故C正確；

對于。，展開式的最后一項的系數(shù)為琮(-2尸=64<240,因此最后一項的系數(shù)并不是最大的，故。錯誤.

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故選:AC.

根據(jù)二項式展開式的性質(zhì)即可求解4根據(jù)通項即可求解BD,利用賦值法即可求解C.

本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

10.【答案】BC

【解析】解：由于的最小正周期為年，故/=卷+“亭=3,故A(%o),故/錯誤，

31Z4344

將第=卷代入可得f(卷)=2sin(3X/+R)=2,故3*卷+0=羨+2kn,kEZ,

解得0=￡+2/CTT,kCZ,取k=0,cp=J,故5正確，

44

由于f(%)=2s譏(3%+，+2而)=2s譏(3%+[),將/(%)的圖象向右平移卷個單位長度后得到

441Z

f(x—77)=2sin(3(x—77)+7)=2sin3x,由于函數(shù)y=2s譏3%為奇函數(shù)，故C正確，

121Z4

百丁c/7TT、，7T—23TT,Ti257r

由于3x(—謳)+1=丁，兀+這=而,

因此;/(一疊)=2s仇梁，/(兀)=-2sin^=2s譏舞；

5〈亭，且丫=sinx在(5,等)單調(diào)遞減，所以/'(一票)>/(兀),故。錯誤，

乙NiU乙U乙乙乙J.O

故選：BC.

根據(jù)周期即可求解4根據(jù)最高點的坐標即可求解B,利用函數(shù)圖像的平移，即可求解C,由正弦函數(shù)的單調(diào)

性即可求解D.

本題考查的知識點：三角函數(shù)的關系式的求法，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學生的運算能力，屬于中檔

題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對于4n=2時，3次停止，共有23=8種，

其中恰好在第3次摸完的情況：第1次任意摸一個并記錄編號，第2次只能摸第1次記了編號的，

第3次摸剩下未記編號的，故共有2x1x1=2種，

則P(X2=3)=等蟲=",故/正確；

對于8,「氏=2)=綏=打&=3)=空=熱

則P(X2=2)>P(X3=3),故P錯誤;

對于C,PE=k)=3X2；”=窘，

P(X3=k+l)=*=咚/x含，

第7頁，共14頁

所以P(X3=k)>P(X3=k+1),故C正確;

9vin—1i

對于D，P(X2=n)=2n=布，

所以分布列為：

X?23n

111

P

2212?i-i

111

E(X2)=2x-+3H----1-

1ii1

2^(^2)=2x^+3+n—,

兩式相減可得白E(Xz)=2X,+=+=+—-n*

_14x(l-2九-1)n_3n+1

=1H7ZI2^=2~2rl+1'

2

所以51(X2)=3一琮

TL->+8時，F(xiàn)(%2)=3———>3,故。正確.

故選：ACD.

對于ABC,可用分步計數(shù)原理求相關概率求解，對于。，根據(jù)題意列出分布列，表示出期望，再利用錯位相

減法求和判斷.

本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望，應用錯位相減法求和是判斷。選項的關鍵，屬于中檔題.

12.【答案】苧

【解析】解：因為coslOO。=cos(90°+10°)=-sinlO°,

所以原式=sin50°cosl00+cos50°sinl00=sin(50°+10°)=sin60°=芋.

故答案為：苧.

根據(jù)誘導公式、兩角和的正弦公式進行求解，即可得到本題的答案.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式與誘導公式等知識，屬于基礎題.

13.【答案】2

【解析】解：、="X+。的導數(shù)為丫'=§,

設切點P(&,yo),則y()=xo+l,y0=lnx0+a,

又切線方程y=x+l的斜率為1,即。=1,解得為=1,

%0

第8頁，共14頁

則Vo=2,a=y0-lnx0=2,

故答案為：2.

切點在切線上也在曲線上得到切點坐標滿足兩方程；又曲線切點處的導數(shù)值是切線斜率得第三個方程.三

個方程聯(lián)立即可求出a的值.

此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道基礎題.學生在解方程時注意利用消元

的數(shù)學思想.

14.【答案】案

ol

【解析】解；設“螞蟻爬行幾次后仍在頂點力”為事件4,“不在頂點力”為事件%,

則P(a)=0,=PQ4n)+P(%)=l，P(An+1\Bn)=l，

1111

P(4n+1)=PR)-P(An+1IBn)=|P(Bn)=|[1-P(An)]=-jP(An)+i,

11111

則尸(4+1)-Z=-§[P(4n)一力又尸(&)一％=一/°，

所以數(shù)列｛P(4,)V｝是等比數(shù)列，首項為-白，公比為

11111-11

所以P(4J-1=-1x(-打一i=(一/,所以P(4,)=?*x(-打t,

*I、I”4、11120

所以尸(45)=4-4X87=87，

44olO1

所以螞蟻爬行5次后仍在頂點4的概率為案.

ol

故答案為：案.

ol

設“螞蟻爬行n次后仍在頂點4”為事件4，“不在頂點4”為事件治,貝”(4)=0,P(Bi)=1,P(An)+

P(4+1)=

P(Bn)=1,根據(jù)n9「(8相)求出PQ4n),再代入n=5可得結果.

本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎題.

15.【答案】4；

2￡

an=n；

n

SnF

___1

【解析】(1)當n=1時，有，藥一，五=(。2,又的=1，

所以。2-4，瓦+4=0,解得&2=4；

(2)由/數(shù)石-，既=1,得｛、鬲｝是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，

所以，^—1+n—1-n,即廝=*；

第9頁，共14頁

1_1_11___1_

⑶由2，

an+y[a^n+nn(n+l)nn+l

+工__1__]___1__n

所以s九=+■+一

nn+1n+1n+1

(1)根據(jù)題意可得J詼-，可=/。2,進一步結合國=1即可求出的值;

(2)易知｛問｝是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，從而四=1+九一1=n，%="；

(3)由(2)可得日忘=*=品y=：—Nr進一步利用裂項相消求和法即可求出

本題主要考查數(shù)列的遞推公式與裂項相消求和法，考查學生歸納推理與數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

16.【答案】~

分布列見解析；數(shù)學期望為苧元.

【解析】(1)記X為甲在預賽答對的題數(shù)，則x的取值為1,2,3,4,

所以P(X=3)=等=卜P(X=4)=||=2，

u8u8

記甲進入決賽為事件4,則甲進入決賽的概率為PQ4)=P(X=3)+P(X=4)=?=點

(2)由題可知§的取值為O50,150,300,

所以PG=0)=6X")3=5p(f=50)=禺X|X(E)2JP(4=150)==x(|)2Wp(4=

300)=Cx(|)3=捺,

所以f的分布列如下：

5050150300

1248

P

279927

E(f)=0x*+50■+ISOx+300x(兀)，

即甲獲得獎金的數(shù)學期望為弊元.

(1)由題知X的取值為123.4,而甲進入決賽有可能答3或4道題，利用組合數(shù)計算概率即可；

(2)由題可知f的取值為0,50,150,300,再利用二項分布計算概率，寫出分布列，計算期望即可.

本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.

17.【答案】x—2y+1=0；

(一°°,2].

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,7

【解析】(1)。=2時，/(%)=Inx+—,

所以〃(%)=舄涔

=1⑴=]

所以所求切線方程為y-1=-1),即久一2y+l=0；

(2)因為對任意(0,+8),/(X)<^±1,

所以對任意xe(O,+oo),+號■恒成立.

因為X>0,所以％+1>0,

所以對任意i6(0,+8),a<絲———(%+1),久恒成立，

設g(%)=@受——(x+l)Znx(x>0),則g7(%)=%-^-Inx,

令h(%)=x---Inx,貝!Jh/(%)=1+^---=x-@+”>0,

''X'，xLXx￡XL

所以/i(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又入⑴=0,

所以當％G(0,1)時，g/(%)=h(x)<h(l)=0,g(%)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減；

當久E(1,+8)時，g'(%)=h(x)>h(l)=0,g(%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增；

故當％=1時，g(%)取得極小值，也是最小值，且9(%)加出=g(l)=2,

所以若Q<g(%)在%G(0,+8)上恒成立,則Q<g(x)min=2,

所以實數(shù)。的取值范圍是(-8,2].

(1)由條件求/(I),再由導數(shù)的幾何意義求切線的斜率，利用點斜式求切線方程并化簡；

(2)條件可轉化為a(苧--(%+1)仇%在％G(0,+8)上恒成立，利用導數(shù)求g(%)=攵苧-一(％+

l)Znx(x>0)的最小值，由此可得結論.

本題考查函數(shù)的切線方程的求解，恒成立問題的求解，屬中檔題.

18.【答案】分布列見解析，

去班車停車場4人，去私家車停車場6人，理由見解析.

【解析】(1)由題可知，該工廠員工第二天坐班車的概率P2=]xj+]x[=，，

Z4ZZo

,2

所以X?B(3,《)

O

第11頁，共14頁

X的所有可能取值為0,1,2,3,

P(X=0)=X《)3X4)。=焉,

P(X=1)=嗎義(沁()1=磊,

P(X=2)=穹x《)ix()2=1g,

P(X=3)=^X()0X0)3=^,

所以X的分布列為:

X0123

12522513527

P

512512512512

3Q

以X)=3x*=*

11

(2洱+1=一意”+也

717

則匕i+l-5=-4(^71-5)

所以任九-2是首項為焉，公比為-抽等比數(shù)列，

所以乙-|=*(-"尸，乙=|+2(-彳尸；

(3)由(2)可知，當n趨向于正無窮大時，P九趨向于不

所以工廠每天抽調(diào)的10人中，去班車停車場參加安保工作的應有10x|=4人，去私家車停車場參加安保

工作的應有10x?=6人.

(1)先求某同學第二天選擇坐班車的概率，然后根據(jù)二項分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二項

分布期望公式可得期望；

(2)根據(jù)題意先求Pn與P“+l的關系，然后利用構造法可得通項；

(3)由乙7|確定兩停車場安保人數(shù)分配.

本題考查離散型隨機變量的均值(數(shù)學期望)，屬于中檔題.

2

19.【答案】為+y2=i；

(i)證明見解析；5)*

第12頁，共14頁

【解析】（1）由題意橢圓右焦點F（L。）可得c=l，

因為橢圓E過點（1,苧），所以/+2=1，

=1（_e

11CL—\21

聯(lián)立，滔+市=1,解得-b=1,

、次=房+1=1

2

所以橢圓E的方程為號+y2=i.

2/

（2）（。證明：因為直線心丫