2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市衡南縣高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,3,4},QuB={4},則4CB=()

A.{1}B.{3,4}C.{123,4}D.{1,3}

2.已知命題p：3x>0,%3<x,則命題p的否定為()

A.3x>0,x3<xB,3x<0,x3>x

C.Vx>0,x3<xD.Vx>0,x3>x

3.已知z-(2-0=1+i,貝“z|=()

A6c275c710n2/10

A.—B.C.—D.—

4.一個體育隊有4名女運動員和3名男運動員，現(xiàn)從隊伍抽樣尿檢，每次從中抽選1個運動員，抽出的運

動員不再檢查，則在第1次抽到女運動員的條件下，第2次抽到男運動員的概率為()

1313

AyB-wC-2Dq

5.已知向量方=(2,—1),1=(久,2),若(23+1)1方，則|萬一刃|的值為()

A.4B.3<5C.5D.475

6.已知4張卡片的正、反兩面分別寫有數(shù)字1,2；3,4；5,6；7,8.將這4張卡片排成一排，則可構(gòu)成

不同的四位數(shù)的個數(shù)為()

A.384B.360C.120D.368

7.不等式2<6s譏/sin強力<3在區(qū)間［0,2025］上的整數(shù)解的個數(shù)是()

A.674B.676C,1352D.1348

8.定義在R上的函數(shù)"久)的導(dǎo)函數(shù)為f'(久)，且滿足1</'(%)<2,/(—1)=0,/⑸>10,則下列不等

式一定成立的是()

A./(0)>|B./(I)<3C./(3)>6D,f(4)<9

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.設(shè)隨機變量X?N(l,02),且尸(X<0)=02貝!1()

A.P(0<XV2)=0.4B.P(X<2)=0.8

C.y=2X+1的方差為402D,若(T增大,則尸(|X-1|<1)增大

525

10.已知(1—2%)=a0+arx+a2x4---卜a5x,則下列結(jié)論正確的是()

第1頁，共17頁

A.a。=1

B.%+0,2+的+。4+的=2

C.%=-80

5

D.|劭|+la/+\a2\+|a3|+\a4\+|a5|=3

11.已知定義域為R的函數(shù)y=/(%)滿足/(2024-%)=/(%-2022),且函數(shù)y=f(2x-1)是奇函數(shù),/(0)=

苧，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(%)的一個周期是8

日￡雷7(@=苧

C,函數(shù)y=/(x-3)是偶函數(shù)

D.若/(1)=73,則￡鬻°(-2)fe/(4fc-3)=73(2-22024)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若一個正四棱錐的底面是邊長為4的正方形，高為22，則側(cè)棱長為.

13.已知等差數(shù)列｛%｝的前n項和為幻,滿足sin(a—2)+3a2+cos停-a)+3a2023=則

2442023Z

14.已知％,尸2分別為雙曲線Cl：y-^=1的左、右焦點,過點r(一3,0)作直線［與C的左、右兩支分別相交

于M,N兩點，直線與F2M相交于點P.若〃/2乂貝UlP4I-伊川=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，側(cè)面P4D為正三角形，側(cè)面P力￡>1底面力BCD,底面4BCD為正方形，E,F

分別為ZB,PC的中點.

(1)求證：直線EF〃平面PAD；

(2)若4。=2,求側(cè)面PBC與側(cè)面PAD所成角的余弦值.

16.(本小題15分)

已知列｛。九｝［兩足—19a九+i=2a九+1.

第2頁，共17頁

(1)證明｛an+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式a”；

(2)令%=(2n-l)(an+1),求數(shù)列｛，,｝前n項的和

17.(本小題15分)

某學(xué)校校慶時統(tǒng)計連續(xù)5天進入學(xué)校參加活動的校友數(shù)(單位：千人)如下:

日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日

第X天12345

參觀人數(shù)y2.22.63.15.26.9

(1)由表格數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與％的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)r加以說明(保留小數(shù)點后兩位)；(若

|r|>0.75,則認(rèn)為y與久的線性相關(guān)性很強)，并求出y關(guān)于久的線性回歸方程；

(2)校慶期間學(xué)校開放1號門、2號門和3號門供校友出入，校友從1號門、2號門和3號門進入學(xué)校的概

率分別為J、p且出學(xué)校與進學(xué)校選擇相同門的概率為去選擇與入校不同兩門的概率各為"假設(shè)校友從

1號門、2號門、3號門出入學(xué)?；ゲ挥绊?，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校參加活動，

設(shè)X為4人中從2號門出學(xué)校的人數(shù)，求X的分布列、期望及方差.

附：參考數(shù)據(jù)：

葭遇力=72,葭*=55,3=4,%=95.86,71^=12.59.

參考公式：回歸直線方程y=6比+a,其中6=標(biāo)必二竺La=亍—成.

2

^=1xj-nx

相關(guān)系數(shù)7=I第

18.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系中，分別以無軸和y軸為實軸和虛軸建立復(fù)平面，已知復(fù)數(shù)z=%+yi(x,yeR),在復(fù)平面

內(nèi)滿足|z+1|+|z-1|為定值的點z的軌跡為曲線小且點P(2,0)在曲線「上.

(1)求「的方程；

(2)48是過「右焦點的弦Q4B不是長軸)，的中點為G,過點4B分別作直線八x=4的垂線，垂足分別為

C,D,1與x軸的交點為￡

(i)證明：AE//CD；

(ii)記CG與AE的交點為M,DG與BE的交點為N,求四邊形MGNE面積的最大值.

19.(本小題17分)

na

/(%)=anx+%-1廿-14------卜的久+a0(ieR,i=0,1,2,…,n)稱為實系數(shù)一元多項式.若實數(shù)x()滿足

第3頁，共17頁

f(%o)=0,稱&是多項式/(%)的實數(shù)根，則X-而是多項式/(%)的因式，即存在多項式g(%)使得/(%)=(%-

%o)g(%)，設(shè)多項式P(%)=x4-x3-1.

(1)判斷P(%)的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由；

(2)記p(%)的所有實數(shù)根的和為Q,p(%)的所有實數(shù)根的積為上

(i)證明：a,b滿足a=，+1；

(五)證明：bv—非且

第4頁，共17頁

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：因為全集峰={123,4},集合4={1,3,4},&集={4},

所以8={1,2,3},

故MB={1,3}.

故選：D.

根據(jù)集合的基本運算求解即可.

本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，命題p：3%>0,%3<%,是存在量詞命題,

則命題p的否定為：Vx>0,x3>x.

故選：D.

根據(jù)題意，由存在命題和全稱量詞命題的關(guān)系，分析可得答案.

本題考查命題的否定，注意特稱存在命題和全稱量詞命題的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：z-(2-i)=1+i,

則z=

加,I__11+4

故團一|百|(zhì)一商一五一亍.

故選：C.

結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：設(shè)第1次抽到女運動員為事件4第2次抽到男運動員為事件B,

c\c

則PQ4B)=春=5P(a)=9

所以第1次抽到女運動員的條件下，第2次抽到男運動員的概率為:

PCM)=需1

2

第5頁，共17頁

故選：c.

利用條件概率公式求解即可.

本題考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：向量方=(2,—1),了=(久,2),

則Za+b=(4+i,0),

若(23+6)la,

則(2五+石)?彼=2(4+x)+0=0,解得％=-4<

a—b=(6,—3),

則口_方|=J62+(—3)2=375.

故選：B.

結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，以及向量模公式，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：4張不同的卡片排成一排，有4種方式，

每張卡片有正反兩面，可選擇其中一個數(shù)字，因此每張卡片有2種選擇方式，

所以可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個數(shù)為4X24=384.

故選：A.

利用排列組合知識，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理求解.

本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，可得6sin肥sin區(qū)32=6s譏等sin(等-3)=-6s譏,cos￡=-3s譏等.

ooooZoo3

不等式2<6s譏警sin型針<3可化為2<—3sin竽<3,整理得一1<sin拶<-

663D3

根據(jù)y=sin與的周期T=孕=6,研究不等式在一個周期上整數(shù)解的個數(shù)，

§3

當(dāng)xe［0,6］時，滿足一l<si吟<一|的整數(shù)解有久=4,5兩個.

所以在區(qū)間［0,2022］上，滿足一1<sin景<一|的整數(shù)解有2x等=674個.

因為在區(qū)間(2022,2025］上，不等式一1<si吟<一|的整數(shù)解有0個，

第6頁，共17頁

所以不等式-1<si吟在區(qū)間［0,2025］上的整數(shù)解的個數(shù)是674.

故選：A.

根據(jù)誘導(dǎo)公式與二倍角公式化簡得6s出等sin華力=-3s譏拶，從而將原不等式化簡為-1<sin看

然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的周期性算出滿足條件的整數(shù)解的個數(shù)，可得答案.

本題主要考查誘導(dǎo)公式與二倍角的三角函數(shù)公式、正弦函數(shù)與三角函數(shù)的周期性等知識，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解:設(shè)g(x)=/(X)—x,

則g'(X)=f'(X)-1>0，

即函數(shù)g(x)為增函數(shù)，

設(shè)依久)=/(%)-2x,

則八z(乃=廣(無)一2<0,

即函數(shù)九(乃為減函數(shù)，

又/(—1)=0,/(5)>10,

對于4/(0)-0>/(-1)-(-1),

即/'(0)>1，

即/'(0)>2不一定成“，

即N錯誤；

對于B,/(1)-1</(5)-5,

艮叮⑴</(5)-4,

又/(5)—4>6,

即f(l)<3不一定成立，

即3錯誤；

對于C,7(3)-6>/(5)-10,

即/"⑶>f⑸-4>10-4=6,

即C正確；

對于O,/(4)-4</(5)-5,

即f(4)</(5)-1,

又/(5)—1>9,

即f(4)<9不一定成立，

第7頁，共17頁

即。錯誤.

故選：C.

設(shè)灰龍)=/(%)-x,則gz(x)-1>0,即函數(shù)g。)為增函數(shù)，設(shè)h(x)=/(%)-2x,則無‘(無)=

f'(久)-2<0,即函數(shù)似久)為減函數(shù)，然后逐一判斷即可.

本題考查了導(dǎo)函數(shù)的求法，重點考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：隨機變量X?N(1,(T2),且P(XW0)=0.2,

由P(X<0)=0,2結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性，可得P(X>2)=0.2,

則P(0<X<2)=1-P(XW0)-P(X22)=1-0.2-0.2=0.6,故/錯誤；

P(X<2)=1-P(X>2)=1-0.2=0.8,故3正確；

由題意可知，D(X)=a2,則。(J)=D(2X+1)=4D(X)=4小，故C正確；

b越大，數(shù)據(jù)越分散，P(|X-1|<1)越小，故。錯誤.

故選：BC.

A由正態(tài)曲線的對稱性可得P(X>2),再利用P(0<X<2)=1-P(X<0)-P(X>2)可判斷;B利用P(X<

2)=1—P(X22)即可；C利用方差的性質(zhì)。①)=4D(X)可得；。利用b的意義即可.

本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對于4令x=0可得(1一2x0)5=1=劭，故/正確；

對于B,令X=1可得(1—2)S——1=CLQ+a1+Gt2+CI3+。4+^5)

所以￡11+<22+(13+<24+￡15=—1—1=—2,故2錯誤；

r

對于C,(1-2x)5展開式的通項為片+1=O5(-2yx,r=0,123,4,5,

所以=重(-2>=-80,故C正確;

對于D,由通項可知%=C式-2Y，r=0,123,4,5,

所以|a°|+|<Zi|+|a2I+I。31+I。41+I。51=劭—a1+a，2—+<24—<25,

令X——1可得(1+2>=3s——UQ—a1+CL?—Gtg+<24—CI5,

BP|aol+lail+\a2\+lasl+la4l+lasl=35,故。正確.

故選：ACD.

根據(jù)_■項式定理米用賦值法可得a°,劭+%++。3+。4+。5，劭—+a2—<13+—45，再根據(jù)展開

式的通項可得。3，以及@.|的正負即可判斷得結(jié)論.

本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

第8頁，共17頁

11.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,/(2024-X)=/(x-2022),變形可得/'(2+幻=/(一久)，則函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于直線x=1

對稱，

函數(shù)y=/(2x-1)是奇函數(shù)，即(一2x-1)-f(2x-1),變形可得/(-x-1)--/(%-1),則有-x)-

-K-2+x),

則有/(久—2)=—/(尤+2),變形可得八久+4)=—/Q),故有/'(x+8)=—/(久+2)=/Q),

因此函數(shù)y=/(%)的一個周期為8,/正確；

對于B：由函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(—1,0)對稱，得/'(—1)=0,

/(1)+/(-3)=/(1)+/(5)=0)/(2)+/(-4)=f(2)+/(4)=0,

/(-2)+/(0)=/(6)+/(8)=0,又八—1)=f(3),/(-1)=/(7),

所以-3)=-7)=0,故￡之"(k)=0,

因此2雷7(k)=f(l)+f(2)+-??+/(6)=/(6)=—f(8)=-f⑼=-苧,因此2錯誤；

對于C：/(一％-3)=/(%+5)=/(%-3),故函數(shù)y=/(%-3)是偶函數(shù)，故選項C正確；

對于。：令g(%)=f(4x—3),貝(jg(%+2)=f(4(%+2)-3)=/(4x+5)=f(4x-3)=g(%),

因此函數(shù)y=g(%)的一個周期是2,

由于/(1)=V3,所以g(l)=/(l)=C，又f(l)+f(5)=0,故g(2)=/(5)=—/(l)=—JI,

所以當(dāng)％為奇數(shù)時g(%)=V3,當(dāng)?shù)跒榕紨?shù)時g(%)=-V-3,

所以E鑿3(-2)吁(4k-3)=￡鑿3(-2)kg(k)=流(-2)"-1嚴(yán)?/3=-⑸鬻2k

=-73(2+22+23+…+22023)=_73.2(1；2：23)=質(zhì)(2_22024),故0正確.

故選：ACD.

根據(jù)題意，分析函數(shù)的對稱軸和對稱中心，從而得出函數(shù)的周期性，接著通過賦值代入求出一個周期內(nèi)的

函數(shù)值或者項的特征，可相繼判斷B,。兩項，利用偶函數(shù)的定義可判斷C項，綜合可得答案.

本題考查抽象函數(shù)圖像的對稱性和周期性，關(guān)鍵是分析函數(shù)的周期，屬于難題.

12.【答案】4

第9頁，共17頁

【解析】解：如圖，四棱錐的底面是邊長為4的正方形,

則24c=V42+42=

高P。=2<2.所以力。=2，1，

所以側(cè)棱長PA=7A。2+P02=4.

故答案為：4.

根據(jù)題意，求出對角線的長度，構(gòu)造直角三角形，求出側(cè)棱長.

本題考查幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】5067r

cosa-—

【解析】解：因為sin(a2_1)+3a2+(.~r~2023)+3a2023=sin。7)+3a2+sin(a20237)+

2_3TT

302023=2，

--=0,

所以sin(a2T)+3(a2-今)+sin(a20237)+3(a2o23

設(shè)f(%)=sinx+3%,則/(%)為R上的奇函數(shù)，

因為//(%)=3+cosx>0恒成立，所以/(%)在R上遞增，

所以題意等價于/(。2-^)+/(。2023-

則(。2_引+(a2023-7)=0,所以。2+02023=g

224(7+224)=2024(%+223)

因為等差數(shù)列｛%｝的前71項和為Sn,所以S2024=。。。。。=1012X=506兀.

故答案為：5067r.

根據(jù)誘導(dǎo)公式對已知式子進行轉(zhuǎn)化，設(shè)/'(久)=S譏久+3x,分析/'(%)的性質(zhì)，由性質(zhì)可得。2+。2023=3再

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得$2024?

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)與等差數(shù)列的性質(zhì)的綜合，屬于中檔題.

14.【答案】苧

第10頁，共17頁

【解析】解：已知%,92分別為雙曲線3：[―1=1

的左、右焦點.過點7(-3,0)作直線2與C的左、右兩支

分別相交于M,N兩點，直線％N與F2M相交于點P.

則%(—2,0),尸2(2,0),

又FM/F2N,

咤=

AJ

|WF2I1^215'

人J|PF2|\PN\5'

設(shè)|M%|=乂，\NF2\=5x,

則|P&I-IP%I=Iq\MF1-i1|N%I=*qQ+2a)—《1(5x+2a)=94a=4,—

O2DDOJD

故答案為：竽.

由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線的定義，屬中檔題.

15.【答案】證明見詳解；箋.

【解析】(1)證明：取PD的中點G,連接AG,FG,

因為尸為PC的中點，所以FG〃C。且FG=|CD,

因為底面A8CD為正方形，E為2B中點，所以力E//CDS.AE=^CD,

所以FG//AES.FG=AE,

所以四邊形AGFE為平行四邊形，

所以EF//AG,因為力Gu平面PAD,EFC平面P力。，

所以直線EF//平面PAD.

(2)取力D的中點M,BC的中點N,連接PM,MN,

因為△PAD為正三角形，故PM1AD,

因為側(cè)面PAD1底面4BCD,交線為力D,PMC平面PAD,

所以PM_L底面4BCD,

又MNLAD,

以M為原點，MA,MN,MP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

又=2,故/M=l,PM=73,AB=2,

第11頁，共17頁

故P(0,0,7I),8(1,2,0),吊(1,0,0),0(-1,0,0),C(-1,2,0),

PB=(1,2,-<3),BC=(-2,0,0),PA^(1,0,-73),AD=(-2,0,0),

設(shè)平面PBC的法向量為五=(x,y,z),

則儼±PB(n-PB=(x,y,z)-(1,2,-V~3)=x+2y-<3z=0

<n1BC[n-BC=(x,y,z)?(—2,0,0)=—2x=0

解得x=0,令z=，^,則y=|,

所以元=(0,|，O,

設(shè)平面PHD的法向量為鉉=(x0,y0,z0),

貝■記1同臺(鉉?同=Oo，yo，zo)■(1,0,-73)=x-73Z=0,

z—

1AD(m-AD=(x0,yo,o)"(2,0,0)=-2x=0

解得&=0,z0=0,令%=1,

所以沅=(0,1,0),

設(shè)側(cè)面?zhèn)让鍼BC與側(cè)面PAD所成角為仇

所以cos。=|cos(m,n)|=磊=四*&=^=苧

(1)取PD的中點G,連接4G,FG,推出FG/且FG=力已即四邊形AGFE為平行四邊形，得出EF//AG,

結(jié)合力Gu平面PAD,EFC平面PAD,命題得證；

(2)取4D的中點M,8c的中點N,連接PM,MN,以M為原點，MA,MN,MP所在直線分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量定義分別求出側(cè)面PBC與側(cè)面PAD的法向量元，m,再根據(jù)cos。=

|cos(m,n)|=瑞篇求解?

本題考查線面平行的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】證明見解答，冊=2八—1；7“=6+(2n-3)2+i.

【解析】(1)證明：由的=1,an+1=2an+1,可得%+i+1=2(an+1),

即有｛冊+1｝是首項和公比均為2的等比數(shù)列，

可得an+1=2%即冊=2九—1；

(2)0=(2n-1)(冊+1)=(2n-1)-2n,

數(shù)列｛%｝前幾項的和〃=1?21+3?22+5-23+...+(2n-1)-2n,

234n+1

2Tn=1-2+3?2+5-2+...+(2n-1)-2,

34n+1n+11n+1

相減可得一Tn=2+2+2+...+2-(2n-1)-2=2+吃了二)一(2n-1)-2=-6+(3-

1—2

2n)-2n+1,

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化為Tn=6+(2zi—3)?2n+1.

(1)對期+1=2霰+1的兩邊同時加上1,結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，可得所求；

(2)運用數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.

本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式與求和公式，以及數(shù)列的錯位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,

屬于中檔題.

17.【答案】r~0.95,y=1.2%+0.4；

X的分布列見解析；E(X)=|,D(X)=||.

【解析】(1)依題意，x=」+2+：+4+5=3,而￡L々%=72,￡：_［蠟=55,y=4,

貝b=正凸…d=72-5x3x4=12=_12_=e95

、瓜那-辰J疆1*由2755-5x32x795.86-5x42。甌512.59'-

因為rx0.95>0.75時線性相關(guān)程度高，所以y與x線性相關(guān)性很強，可以用線性回歸模型擬合.

所以葭:?鬟'=￡=察=12a=y-fex=4-1,2X3=0.4,

因此，y關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.2x+0.4.

(2)記“甲從2號門出學(xué)?！睘槭录?，“甲從1號門進學(xué)?！睘槭录﨎,

“甲從2號門進學(xué)?！睘槭录﨏,“甲從3號門進學(xué)?！睘槭录﨑,

由題意可得P(B)=3P(C)=$P(D)=p

4Z4

131

P(A\B)=i,P(A\Q=I，P(A\D)=

由全概率公式得：P(X)=P(B)P(H|B)+P(C)PG4|C)+P(D)PQ4|D)=，9+"怖+，"=￡

4□Z3433

同理乙、丙、丁從2號門出學(xué)校的概率也為■!，

X為4人中從2號門出學(xué)校的人數(shù)，則X?8(4,|),

所以P(X=0)=C°X(|)°X(1—看)4=蒜,

P(X=1)=或義弓)1義(1—晟)3=粽，

P(X=2)=ex《)2x(l—|)2=粽，

P(X=3)=^X(|)3X(」］)=^,

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P(X=4)=以x(|)4=蒜,

故X的分布列為：

X01234

812162169616

p

625625625625625

所以E(X)=4x￡=D(X)=4x￡x(]—看)=

(1)求出3將參考數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式，求出r的值，即可得出結(jié)論；再將數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求

出6,a的值，即可得出回歸直線方程；

(2)利用全概率公式求出每個人從2號門出校園的概率，由此可知X~B(4,|),利用二項分布可得出隨機變

量X的分布列，利用二項分布的期望、方差公式可得出E(X),D(X)的值.

本題考查線性回歸方程的求解、樣本相關(guān)系數(shù)的公式與性質(zhì)、離散型隨機變量的分布列、二項分布求概率、

均值與方差等，屬于中檔題.

2

18.【答案】卷v+號=1；

⑴證明見解析；

【解析】(1)根據(jù)題意，復(fù)數(shù)Z=x+y滿足|z+1|+|z-1|為定值，

即點(x,y)到點(-1,0)和(1,0)的距離之和為定值，

由橢圓定義，該軌跡為橢圓，則焦距2c=2,故：c=l,已知點P(2,0)在橢圓上，即長半軸a=2,

則人2=a?-2=4-1=3,因此，曲線7的方程為：。+4=1；

(2)①證明:易知橢圓右焦點為尸(1,0),設(shè)直線方程:x=my+l,設(shè)做%力%),必上心)，

x=my+1

聯(lián)立x2y2_,消％得：(3m2+4)y2+6my—9=0,

1—4---3---1

由韋達定理：為+為=一舞，久1町=一礪，p

又。(4,%)，D(4,y2),E(4,0),G(空，丐絲)，

yi4-y?

y

所以々==yik_---2_yi-y2?

加以機后一勺_4一%「4，kGD-X1+X2_4-X1+X2_8

要證力E//GD,即證已=

即證+x2yi=4(yi+y2),

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即證(myi+l)y2+(W2+l)yi=4(yi+y2)>

即證2nlyi>2=3(乃+為)，

又根據(jù)韋達定理：2nly/2=2機(-詬%)=滯羽=3(月+為)，得證;

在△ABE中，因為4E//GD,G是4B中點，所以N是BE中點，

由(i)同理可得BE//CG,所以四邊形MGNE是平行四邊形，且G是中點，

所以M是4E中點，連接GE,易知S^MGE=：SA4GE，■^△G/VE,—^△GBE,

111

所以S四邊形MGNE=S4MGE+S^GNE=^/\AGE+《S工GBE=?AABE，

由①得：為+%=-號，為力=一&'

令橢圓的右焦點為F,則S^BE=S揖FE+S"FE=\EF\x|y2-yi|,

1

即S/UBE=5X(4—1)X|丫2—1，

2

計算1月一為1=7(yi+y2)-w2=/缶y+磊=喘了’

SAABE=今然了(令t=Vm2+1(t>D)化簡得：SAABE=品=&，

由對勾函數(shù)y=3t+，(t21)單調(diào)遞增，(對y=3t+，求導(dǎo)y=3-也>0,t21),

所以31十工之3xl+l=4,

c18,189

則：SAABE=—J<-=-y

_1c1￡_9

改：3四邊形MGNE=

所以四邊形MGNE面積的最大值為：

4

(1)由怙+1|+,-1|為定值，可知z的軌跡為橢圓，進而可得到c值，再結(jié)合P(2,0)在曲線r上可知a值，再

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利用橢圓a,b,c三者關(guān)系求b,最后寫出T的方程即可；

（2）（。要證明4E//GD,只需證明直線力E和GD的斜率相等即可；

（江）將求四邊形MGNE的面積的最大值轉(zhuǎn)化為求△4BE面積的最大值，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根和系數(shù)

的關(guān)系及函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

本題考查軌跡方程，屬于中檔題.

19.【答案】2個；

（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【解析】（1）因為P（X）=%4二一1,

所以p，（?）=4x3-3x2,

0

令p/（%）=0,得x=0或第=