2024.2025學年遼寧省沈陽市沈河區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共10小題，每題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題

目要求的）

1.（3分）要使分式工±1有意義，x的取值范圍是（）

x-2

A.?-2B.C.xW?1D.x22

2.（3分）《國家寶藏》節(jié)目立足于中華文化寶庫資源，通過對文物的梳理與總結，演繹文物背后的故事與

歷史，讓一個個館藏文物鮮活起來.卜.面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是

（）

.向B南

母D夠

3.（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.x（x+5）=X2+5XB.（X+1）（x+1）-1

C.x1-4x+4=（x-2）2D.『+2x+4=（x+l）2+3

4.（3分）已知一個〃邊形的內(nèi)角和等于外角和的5倍，則〃的值為（）

A.6B.8C.10D.12

5.（3分）不等式組I'-If°中的兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示正確的是（）

6.（3分）小琦在狂習幾種特殊四邊形的關系時整理出如圖所示的轉換圖，（1）（2）（3）（4）處需要添加

條件，則下列條件添加錯誤的是（）

AD

A.(1)處可填NA=90°B.(2)處可域/W=/W

C.(3)處可填4Q=CBD.(4)處可填NA=90°

7.（3分）已知不等式at+b<0的解集是x<-2,下列有可能是直線），=辦+力的圖象是（

8.（3分）如圖，已知直線廣G與正五邊形A8CQE的邊A8,0E分別相交于點”，/,則a+B=（）

A.115°B.120°C.142°D.144°

9.（3分）斜邊為2的兩個全等30°的直角三角板，如圖1所示拼成一個矩形，將一個三角板保持不動,

A

圖2

當四邊形ABC。是菱形時，如圖2（）圖1

A.1B.近C.V3D.2

10.（3分）《四元玉鑒》是中國古代著名的數(shù)學專著，書里記載一道這樣的題：“今有綾、羅共三丈，各值

錢八百九十六文.只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文，布長共3丈（1丈=10尺），已知綾布和羅布

分別全部出售后均能收入896文，根據(jù)題意可列方程是（）

72a

R896,896

A?第B.+----：=120

x30~xx

896D.896二896

C.120+—+120

30+xx-30-：＜

二、填空題（本題共5小題，每題3分，共15分）

11.（3分）因式分解：1?4/=

12.（3分）平面宜角坐標系內(nèi)一點P（-2,3）關于原點對稱的點的坐標是

13.（3分）如圖，△ABC平移到△。石尸的位置，則下列說法:

①AD=CF=BE；

②NAb+ND4C=18O°；

③平移的方向是點。到點￡的方向；

④四邊形ACPQ,BCFE,/WEO為平行四邊形.

14.（3分）如圖，ZiABC為等邊三角形，8c于。，點E為AC邊的中點，點P為上一個動點,

線段AP的長為.

標:

（3）在平面直角坐標系中存在一點。，使得以A、8、C、。四個點為頂點的四邊形為平行四邊形，直

接寫出點。的坐標.

20.（8分）因式分解是整式的一種重要恒等變形，它和整式乘法運算有著密切的聯(lián)系，是后續(xù)學習分式化

簡與運算、解一元二次方程的重要基礎.如圖是小華對''整式的乘法與因式分解”這部分知識的梳理:

（1）圖中有一處空白，根據(jù)本章所學知識，你認為空白處應填的內(nèi)容是.

（2）下列習題為新知識學習能力測試題，提供?個例題講解和三個闖關問題，請同學們認真解答每一

個闖關問題：

新知學習【例題講解】當A取何值時，100』-依戶■《力？是一個完全平方式？

解決此類問題的關鍵是熟練掌握完全平方公式：（。土力）2=/士

2"+戶的結構特征因為，io。f-在）、+49）2是一個完全平方式，

故將100』-公）斗49）?寫成（10工）2±14O.vy+（7y）2?根據(jù)多項式

對應項的系數(shù)相等，得到女=±140.

問題1①若7+2（機-3卜+25是完全平方式，則m的值為；

②若6.計〃（〃為常數(shù)）是完全平方式，則〃的值為；

問題2③已知：（2x-a）2=4/+法+16,則。的值為；

問題3④如圖，現(xiàn)有甲、乙、丙二種不同的矩形紙片(tz>/?>0).

I.若利用甲、乙、丙矩形紙片拼出來的正方形而枳為9/+6,力+戶,

則正方形邊長為；(有含。、〃的代數(shù)式表示)

II.小新要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片，1

張，再取乙紙片9張張.

21.(8分)用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一

片，就是平面圖形的鑲嵌.

圖7

(1)如圖1,在。44co中，，43=4,/84。=60。，圖2右側的陰影部分可以看成是左側陰影部分沿

射線人方向平移而成.同理，可得圖3,即圖4可以看成由平行四邊形經(jīng)過兩次切割平移而成，平面

鑲嵌成如圖3的圖形，則圖5的面積是

(2)小明家浴室裝修，在墻中央留下了如圖6所示的空白，經(jīng)測量可以按圖7所示；用500元購買正

三角形瓷磚與用1500元購買正六邊形瓷磚的數(shù)量相等.

①請問兩種瓷豉每塊各多少元?

②小明對比兩種瓷磚的價格后發(fā)現(xiàn)：用若干塊邊長為1的正三角形瓷磚和邊長為1的正六邊形瓷磚一起

鑲嵌總費用會更少，按小明的想法，將空白處全部鑲嵌完元.

22.（12分）我們將一組鄰邊相等且其中一邊鄰角（不是這組鄰邊的夾角）為直角的凸四邊形稱為單直鄰

等四邊形.（凸四邊形是指所有內(nèi)角均小于180°的四邊形）例如：如圖1,如果8A=BC,ZC=90°

（1）如圖2,已知NA=90°,請利用尺規(guī)作圖、在射線4M上畫出點力，使四邊形A8C。是單直鄰等

四邊形.（保留作圖痕跡，不用寫作法和結論）；

（2）如圖3,△ABC為等邊三角形，點￡在NABC的角平分線上，將E4繞點￡順時針旋轉60°得到

線段EQ,連接C。

求證：四邊形A8C。為單直鄰等四邊形；

（3）如圖4,四邊形ABCD為單直鄰等四邊形，NZM￡>=90°,AB=BC=W§，若/4次:=60。,將

繞點8逆時針旋轉60°得到線段8E,當。，C,E三點共線時；

（4）如圖5,射線CRLCQ于點C,NEC尸=30°,CD=6d§，DA=2收，點8在射線C/上，且四

邊形A8C。為單直鄰等四邊形，請直接寫出8尸的長.

23.（12分）平面直角坐標系xOy中的圖形M、N,P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，Q

兩點間距離的最小值為圖形朋，N間的“近距離”（M,N）,如圖，在。"CO中（8,16）,6（-8,0）,

C(8,16),D(8,0).

(I)4(點O,。人BCO)=；

(2)若點尸在)，軸上，d(點P,°ABCD)=3,直接寫出點尸坐標；

(3)已知點E(a,-a),F(?+2,-a),G(a+1,-1),”(a+3,1),順次連接點E,F,

H,G,將得到的四邊形EH/G記為圖形W.其中圖形W在。A8C。內(nèi)部.

①當〃=0時，求出d（W,<=>ABCD）的值；

②若"（W,0ABCD）"1,直接寫出”的取值范圍.

2024?2025學年遼寧省沈陽市沈河區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案BCCDACCDAB

一、選擇題（本題共10小題，每題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題

目要求的）

1.（3分）要使分式工±1有意義，x的取值范圍是（）

x-2

A.xW-2B.C.xW-1D.x22

【解答】解：???分式工超有意義，

x-2

???X?3W0,

即件2,

故選：B.

2.（3分）《國家寶藏》節(jié)目立足于中華文化寶庫資源，通過對義物的梳理與總結，演繹文物背后的故事與

歷史，讓一個個館藏文物鮮活起來.下面四幅圖是我國一些博物館的標志，其中是中心對稱圖形的是

【解答】解：人不是中心對稱圖形；

B.不是中心對■稱圖形；

C.是中心對稱圖形；

D.不是中心對稱圖形；

故選：C.

3.（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.x(x+5)=f+5xB.(x+1)(x+1)=f-1

C.，-4x+4=(x-2)2D.?+2x+4=(x+1)2+3

【解答】解：兒從左至右的變形屬于整式乘法，故本選項不符合題意；

B.從左至右的變形屬于整式乘法，故本選項不符合題意；

C.從左至右的變形屬于因式分解；

D.右邊不是幾個整式的積的形式，故木選項不符合題意.

故選：C.

4.(3分)已知一個〃邊形的內(nèi)角和等于外角和的5倍，則〃的值為()

A.6B.8C.10D.12

【解答】解：根據(jù)題意列方程，得：

(〃-2)X18O0=5X360°,

解得：幾=12,

即邊數(shù)〃等于12.

故選：D.

5.(3分)不等式組中的兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示正確的是()

[x+3>0

【解答】解：解不等式x-1W0得xW8,

解不等式x+3>0得-4,

-Li——1.

所以不等式組的兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示正確的是：-3-2-101.

故選：A.

6.(3分)小琦在復習幾種特殊四邊形的關系時整理出如圖所示的轉換圖，(1)(2)(3)(4)處需要添加

條件，則下列條件添加錯誤的是()

A.(1)處可填NA=90°B.(2)處可填AQ=A8

C.(3)處可填AO=CBD.(4)處可填NA=90°

【解答】解：A、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，

??.(1)處可填NA=90。是正確的，故該選項不符合題意；

B、一組鄰邊相等的矩形是正方形，

???(2)處可填是正確的，故該選項不符合題意；

C、對邊相等是平行四邊形的性質(zhì)；

。、有一個角是直角的菱形是正方形；

故選：C.

7.(3分)已知不等式以+AVO的解集是xV-2,下列有可能是直線)，=at+b的圖象是()

【解答】解：???不等式ar+/，VO的解集是x<-2,

工當xV-8時，函數(shù)>=辦+人的函數(shù)值為負數(shù).

故選：C.

8.(3分)如圖，已知直線/G與正五邊形A8CQE的邊A8,分別相交于點”，/,則a+B=()

A.115°B.120°C.142°D.144°

【解答】解：???五邊形4BCDE是正五邊形,

???四邊形AH/E的內(nèi)角和是(4-2)X180°=360°,

AZA+ZE+ZEIH+ZAHI=360°,

???N￡/〃+NAH/=3600?108’708°=144°,

*：a=ZAHLB=NE/H,

/.a+p=144°,

故選：D.

9.（3分）斜邊為2的兩個全等30°的直角三角板，如圖1所示拼成一個矩形，將一個三角板保持不動,

當四邊形A8CQ是菱形時，如圖2（）圖1

A.1B.A/2C.V3

【解答】解：???四邊形ABCO是菱形，

：.ZCAB=ZCAD=30°,NAOC=N48C=120°,

VZCDE=90a,

AZADE=ZEAD=3()°,

：.AE=DE=\,

故選：A.

10.（3分）《四元玉鑒》是中國古代著名的數(shù)學專著，書里記載一道這樣的題：''今有綾、羅共三丈，各值

錢八百九十六文.只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文，布長共3丈（1丈=10尺），已知綾布和羅布

分別全部出售后均能收入896文，根據(jù)題意可列方程是（）

A.-^—120=-^口896.896

=120

30-xx30~xx

C.120+396_896D.896_896

+120

x30+xx-30-：<

【解答】解：由綾布出售一尺收入+羅布出售一尺共收入=120文得方程為:

896,+896=120>

x30-x

故選：B.

二、填空題（本題共5小題，每題3分，共15分）

II.（3分）因式分解：1?4/=（1?2〃）（1+2。）.

【解答】解：1-V=（1-2a）（7+2a）.

故答案為：（1-8。）（1+241）.

12.（3分）平面直角坐標系內(nèi)一點尸（-2,3）關于原點對稱的點的坐標是（2,-3）

【解答】解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得點P（-2,-3）,

故答案為：（4,-3）.

13.（3分）如圖，△ABC平移到的位置，則下列說法：

①AD=CF=BE；

②NACF+N力人。=180°；

③平移的方向是點。到點E的方向；

④四邊形AC尸。，BCFE,4BEO為平行四邊形.

其中說法正確的序號為①②④.

【解答】解：①由平移的性質(zhì)可知，AD=CF=BE；

②由平移的性質(zhì)可知，AD//CF,因此②正確；

③平移的方向是點。到點尸的方向，因此③不正確；

④由平移的性質(zhì)可得，AB//DE,AC//DF,BCFE,因此④正確；

綜上所述，正確的有①②④，

故答案為：①②④.

14.（3分）如圖，△/WC為等邊三角形，AQJ_8C于。，點￡為AC邊的中點，點。為人。上一個動點,

線段AP的長為4.

A

:△ABC是等邊三角形，AD1BC,

PE+PC=PB+PE=BE,

即BE就是PE+PC的最小值，

:△ABC是等邊三角形，

/.ZABC=60°,

Atan60o=延=互，

BDBD

:,BD=T\H,

*：BA=BC,AE=EC,

???8—,

；?NBEC=900，

???NEBC=30°,

tan30°=—=

BD2V3

PD=5,

：,AP=AD=PD=6-2=7,

故答案為：4.

15.（3分）如圖，AABC中，NC=45°,AC上的點，于點/BD=5&，BE=2V10,貝IA/）

長為7

A

E

C

BD

【解答】解：過點A作A/〃BC且A/=B。，連接￡尸，過點石作EM_LAF,

，四邊形ADBF是平行四邊形,

ABD=AF=5V2.AD=BF,

VZC=45°,

.\ZME=135°,NM4E=45°,

???AO_LBE于點”，

：?NFBE=/BHD=90°,

在等腰直角三角形中，M二EM=2^Z，

2

EFWFM8+ME2乎■)?+(宜/，=V89，

在RtAEBF中，BF^/EF4-3E2=7(V§9)2-(3V10)2=7'

?"。=8,

故答案為：7.

三、解答題：（本題共8小題，共75分。解答應寫出文字說明、演算步驟成推理過程）

⑹（10分）（1）利用數(shù)軸解一元一次不等式組：（x+3^4x

、3xT<5（x+1）

（2）先化簡：Q+1-囪二1）+空1,并任選一個數(shù)。代入求值，。是整數(shù)且滿足-2Va<2.

aa

【解答】解：（1）解不等式x+3>4x得：x<8,

解不等式3x?lW6（x+1）得：x2?3,

在數(shù)軸上表示：

-5-4-3-2-1012345

???原不等式組的解集為-6WxVI；

(2)(a+1-SaiL)aj,

aa

a6-2a+]a

-a~^2

：(a-1)2a

-a—?羨7

=a-I,

要使分式有意義，且〃是整數(shù)且滿足-2Va<4,

當a=-1時，原式=-8-1=-2.

17.(8分)如圖，AC為口48。。的對角線，點E為線段A8的中點

(1)求證：BF//AC；

(2)若AC=3,CD=4,AD=5

【解答】C)證明：?..四邊形人AC。是平行四邊形，

：,AD//BC,

???點E為線段AB的中點，CE與D4的延長線交于點R

.\AE=BE,/AFE=NBCE,

在△AEf'和△8￡C中，

rZAEF=ZBEC

'NAFE=NBCE，

AE=BE

:,△AEF/XBEC(/US),

:,EF=EC,

???四邊形ACB尸是平行四邊形，

：.BF//AC.

(2)解：'：AB=CD=4,

：,AE=BE=^AB=2,

2

???AC=3,BC=AD=6,

.*.AB2+AC2=52+35=25,BC2=53=25,

:.AB2+AC2=BC5,

???△ABC是直角三角形，且N1MC=9O°,

???￡C=VAE2+AC2=V62+37=限，

???￡C的長是

18.（8分）某服裝店老板預測一種應季7恤衫能暢銷市場，就月10000元購進一批這種7恤衫，面市后銷

量果然很好，所購數(shù)量是第一批購進量的一半，但每件的進價貴了10元.

（1）該服裝店購進第一批、第二批丁恤衫每件的進價分別是多少元？

（2）如果這兩批7恤衫按相同的標價銷售，最后缺碼的20件丁恤衫按七折優(yōu)惠售出，要使兩批丁恤

衫全部售完后利潤率不低于60%（不考慮其他因素）（精確到個位）

【解答】解：（1）設該服裝店購進第一-批7恤衫每件的進價是才元,則第二批丁恤衫每件的進分是G+10）

元，

根據(jù)題意得：10000,xl=6000,t

x2x+10

解得:x=50,

經(jīng)檢驗，、=50是原方程的解，

.\x+10=50+l0=60.

答：該服裝店購進笫一批7恤衫每件的進價是50元，第二批7恤衫每件的進價是60元;

⑵曙曙⑼"

設每件7恤衫的標價是），元，

根據(jù)題意得：(3OO?2O)y+20X4.7y2(10000+6000)X(1+60%),

解得：），287.4,

答：每件丁恤衫的標價至少是88元.

19.（9分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△A8C的三個頂點的坐標分別為人（3,2）（2,0）、C（1,

3）.

（1）將△ABC先向左平移4個單位，再向上平移2個單位得到△48iCi,在圖中畫出

（2）在圖中作出△A8C關于原點O成中心對稱的AA282c2,并直接寫出人點對應點人2的坐標

3,?2）；

（3）在平面直角坐標系中存在一點。，使得以A、B、C、。四個點為頂點的四邊形為平行四邊形，直

接寫出點。的坐標.

【解答】解：（1）如圖，△48C8即為所求.

由圖可得，A點對應點A2的坐標為（?3,-3）.

故答案為：（-3,-2）.

（3）如圖，點6,6均滿足題意，

工點。的坐標為（6,5）或（4,5）.

20.（8分）因式分解是整式的一種重要恒等變形，它和整式乘法運算有著密切的聯(lián)系，是后續(xù)學習分式化

簡與運算、解?元二次方程的重要基礎.如圖是小華對“整武的乘法與因式分解”這部分知識的梳理:

（1）圖中有一處空白，根據(jù)本章所學知識，你認為空白處應填的內(nèi)容是公式法.

（2）下列習題為新知識學習能力測試題，提供一個例題講解和三個闖關問題，請同學們認真解答每一

個闖關問題：

新知學習【例題講解】當k取何值時，load-to^+497是一個完全平方式？

解決此類問題的關鍵是熟練掌握完全平方公式：（。±6）2=a2±

2加+序的結構特征.因為，100.--3）、+49）2是一個完全平方式，

故將100f-七>49）2寫成（10工）2±l40.vy+（7y）2,根據(jù)多項式

對應項的系數(shù)相等，得到2=±140.

問題1①若』+2（〃L3）工+25是完全平方式，則m的值為8或-2；

②若（〃為常數(shù)）是完全平方式，則〃的值為9；

問題2③已知：（2x-a）2=4』+法+|6,則方的值為±16；

問題3④如圖，現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（a>h>0\

I.若利用甲、乙、丙矩形紙片拼出來的正方形面積為9/+6M+房，

則正方形邊長為；（有含。、。的代數(shù)式表示）

H.小新要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1

張，再取乙紙片9張6張.

【解答】解：（1）根據(jù)所學知識和圖中信息提示可得空白處為：公式法,

故答案為：公式法；

（2）①??7+2（〃?-8）x+25是完全平方式,

，f+2(m-5)x+25=/±l(k+54.根據(jù)多項式對應項的系數(shù)相等得：2(m-3)=±10,

/.m=5或-2,

故答案為：8或-4；

②-6x+rn是完全平方式，

.*.x4-6x+n=x2-6x+32,

根據(jù)多項式對應項的系數(shù)相等得：〃=2,

故答案為：9；

③；(2x-a)4=⑵)2-65+/=4熱兒+16,

則根據(jù)多項式對應項的系數(shù)相等得：-4a=b,J=16,

解得：a=±7,b=±16,

故答案為：士16；

④I、：9。2+5岫+必=⑶+力)3,

正方形的邊長為3a+b,

故答案為：3a+b；

II、設還需要x張丙紙片4+x而+9廿=/±6帥+(3〃)7,

Ax=±6,

又不能為負數(shù)，工=6,

故答案為：5.

21.(8分)用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一

片，就是平面圖形的鑲嵌.

（1）如圖1,在uABCQ中，A8=4,NB4O=60°,圖2右側的陰影部分可以看成是左側陰影部分沿

射線4。方向平移而成.同理，可得圖3,即圖4可以看成由平行四邊形經(jīng)過兩次切割平移而成，平面

鑲嵌成如圖5的圖形，則圖5的面積是7273.

（2）小明家浴室裝修，在墻中央留下了如圖6所示的空白，經(jīng)測量可以按圖7所示；用500元購買正

三角形瓷磚與用1500元購買E六邊形瓷磚的數(shù)量相等.

①請問兩種瓷磚每塊各多少元？

②小明對比兩種瓷磚的價格后發(fā)現(xiàn)：用若干塊邊長為1的正三角形瓷磚和邊長為1的正六邊形瓷磚一起

鑲嵌總費用會更少，按小明的想法，將空白處全部鑲嵌完900元.

【解答】解：（1）由平移的性質(zhì)得：平移前后不改變圖形的大小，

J由平行四邊形經(jīng)過兩次切割平移而成的圖4的面積與。48C。的面積相等，

如圖I,過點力作DELBC于點E,

圖1

???四邊形4BC。是平行四邊形，

：,AB=CD=5,AD=BC=6,

/.ZCDE=30°,

：,CE=^CD=\

42

在RtZ\CEO中，由勾股定理得：DE=7CD7-CE2=742-22^3，

???0ABC。的面積=8CXOE=6X2芯=12近，

工平行四邊形經(jīng)過兩次切割平移而成的基本圖形（圖4）的面積等于12日，

???圖5由6個基本圖形組成，

???圖2的面積=6X12百=72加，

故答案為：72點；

（2）①設一塊正三角形瓷磚的單價為x元，則一塊正六邊形瓷磚的單價為（x+50）元,

由題意得：500=1501f

xx+50

解得：x=25,

經(jīng)檢驗，x=25是原方程的解,

/50=25+50=75,

答：邊長為1的正三角形瓷磚每塊25元，邊長為2的正六邊形瓷磚每塊75元;

②???每個邊長為1的正六邊形的面積等于邊長為1的正三角形的面積的3倍，

每個邊長為I的正六邊形的單價等于邊長為1的正三角形的單價的6倍，

???用邊長為I的正六邊形瓷磚越多，費用就越少，

如圖7,

圖7

圖中有黑點的三角形用三角形瓷磚，其余部分用正六邊形瓷磚時，則總費用最少，

圖中有正六邊形6個，正三角形12個，

，最少費用=8X75+12X25=900（元），

故答案為：900.

22.（12分）我們將一組鄰邊相等且其中一邊鄰角（不是這組鄰邊的夾角）為直角的凸四邊形稱為單直鄰

等四邊形.（凸四邊形是指所有內(nèi)角均小于180°的四邊形）例加：如圖1,如果氏t=ZC=90°

圖1圖2圖3

（1）如圖2,己知NA=90",請利用尺規(guī)作圖、在射線AM上畫出點。，使四邊形48co是單直鄰等

四邊形.（保留作圖痕跡，不用寫作法和結論）;

(2)如圖3,△A8C為等邊三角形，點E在/ABC的角平分線上，將EA繞點E順時針旋轉60°得到

線段ED,連接CO

求證：四邊形ABCD為單直鄰等四邊形；

(3)如圖4,四邊形ABCD為單直鄰等四邊形，N84￡>=90°,AB=BC=W§，若NA3C=60°,將

繞點8逆時針旋轉60°得到線段BE,當。，C,石三點共線時；

(4)如圖5,射線CF_LCO于點C,NECr=30°,CD=6次，DA=2收，點8在射線C產(chǎn)上，且四

邊形48C。為單直鄰等四邊形，請直接寫出8P的長4或8.

【解答】(1)解：如圖2,連接AC,連接CD；

C

圖2

(2)證明：如圖3,?「△ABC是等邊三角形,

：,AB=BC,ZCAB=ZABC=ZACB=60°,

〈BE平分NA8C,

Z.ZABE=ZCBE=X60°=30°,

■:EA繞點E順時針旋轉60°得到線段ED,

:?ED=AE,NA2ZO=60°,

???△人石。是等邊三角形，

/.ZDAE=60°,AD=AE,

：,ZDAE=ZCAB,

AZDAE-ZCAE=ZCAB-4CAE,

???NDAC=NBAE,

.?.△ACO部△A4E(SAS),

???/ACQ=NA8E=30°,

AZBCD=ZACB+ACD=90°,

???四邊形ABCD為單直鄰等四邊形；

(3)解：VAB=BC=2V3?NA3c=60°,

???△ABC是等邊三角形，

???將BD繞點B逆時針旋轉60°得到線段BE,

:?BD=BE,NQBE=60°,

，ZABD=ZCBE,

:.△ABD9XCBE(SAS),

：.AD=CE,NBAD=NBCE,

VZBAD=90o,

AZBCE=90°,

：,BC1DE,

/.ZCBE=XzD5E=30°,

6

：.CE=LBE,

2

*:BC2+CE1=BE2,

???(6V3)2+C￡2=4CE2,

???CE=4,

：,AD=CE=2,

過。作C”_LA產(chǎn)于”，

?.?28人。=90°,ZBAC=60J,

???NC4O=30°,

:?CH=LAC=Q

7

看X2xV§

???AADC與△BCE的面積比----------------=1；

yX2X8V34

乙

(4)解：如圖5,作。GJ_C￡于G,CE交于點Q,

分兩種情況：

①當點A在。G的上方時，

VZDCF=90°,ZECF=303,

/.ZDCE=6OC,

VZDGC=90°,

AZCDG=30°,

.-.CG=XCD=-1V4=3V3V5CD=9,

82

,AG=VAD2-DG4=V(2V21)2-82=如，

：,AC=CG-AG=643-E=3后

*：AB=BC,

：,AQ=CQ=^AC=\f3,

：,BC=2,

n△PC8中，ZBPC=30",

：.BP=4BC=4i

②如圖6,當點A在。G的下方時，

由①知，

???4C=4標

.?.CQ=/AC=2限

???8C=4,

ABP=4BC=8：

綜上所述：GP=4或4；

故答案為：4或8.

23.(12分)平面直角坐標系，中的圖形M、N,尸為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，Q

兩點間距離的最小值為圖形M,N間的“近距離”(M,N),如圖，在。ABCQ中(8,16),3(-8,0),

C(-8,-16),D(8,0).

(1)d(點O,^ABCD)=_^[2_；

(2