2024-2025學(xué)年吉林省四平市高一(下)期中考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列說(shuō)法不正確的是()

A.圓柱的軸截面是矩形B.圓錐的軸截面是等腰三角形

C.所有空間幾何體都是多面體D.有些三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形

2.已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z=(a?—1)+(a+l)i為純虛數(shù)，則筌[=()

A.iB.-iC.1D.—1

3.在△ABC中，已知￡1=4扃，c=12,C=與則4=()

B*C.聿樣D.河

4.已知向量之，1滿(mǎn)足叵+H=3,[a-b\=2,則無(wú)4=()

A-|B4c-lD4

5.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原圖形的周長(zhǎng)是()

A.16

B.12

C.4+872

D.4+4<2

6.想測(cè)量一座山的高度，可以通過(guò)飛機(jī)的航行來(lái)完成，如圖,飛機(jī)的航線(xiàn)和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已

知飛機(jī)的高度為海拔20km,速度為900km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0。，經(jīng)過(guò)80s后又看到山頂?shù)?/p>

俯角為75。，則山頂?shù)暮芨叨葹?)

.之_______

V75*

A.5(V^+l)fcm

B.5(73-l)/cm

C.5(3-73)fcm

D.5(5—V-3)/cm

.已知復(fù)數(shù)=與字，當(dāng)時(shí)，不等式：

7za212|z|2-t\z\+6>0恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值是()

A.4/3B.誓C.手D,4<6

8.如圖，△ABC外接圓的圓心為。，乙4cB=90。,AB-ZC=64.0B-0C=7,則圓。的半徑R=()

第1頁(yè)，共13頁(yè)

A.10

B.5

A

C.7

D.8

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知復(fù)數(shù)zi，z2,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若Zi+Z2=0,則311=。|

B.若Z1?Z1=Z2,Z2,則㈤二㈤

C若|z/=|Z2|,則/

D.若Zi+Z2cR且Z1,Z2eR,貝（ki，Z2為實(shí)數(shù)

10.如圖，在平行四邊形4BCD中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為4。的中點(diǎn)，8。與CE相交于點(diǎn)。，AB=a,AD=b^

則（）

A.EF=1a-ib

B.EC=^a+b

C.FO=fa-7b

36

D.若乙4=60°,|a|=2,|b|=1，則而?EC=—,

11.在△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列條件中能判斷△ABC為鈍角三角形的有（）

A.a2+h2<c2B.sinA—cosA=

C.tanA+tanB+tanC>0D.△ABC的三條高分別為2,3,4；

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。/；\

12.若復(fù)數(shù)2=￡,則團(tuán)=./啊\

13.如圖所示，圓錐的底面半徑為，I，高為，豆則該圓錐的側(cè)面積為.<____"Jz^>

14.已知。是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，且d=mOB+nOC（m,neR）,△ABC和△4B。的面積分別是S°S?,若S[=

3s2，貝！J2n—"i=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知Zi=1+mi,Z2=3-2i,m€R.

第2頁(yè)，共13頁(yè)

⑴若|Z1+Z2|=5,求?n的值;

(2)若復(fù)數(shù)z=生在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)尸(%,y)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=2x,求租的值.

zi

16.(本小題15分)

在平面直角坐標(biāo)系久0y中，已知點(diǎn)4(4,0),>0),\AB\=5

(1)求m的值；

(2)C,M是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，BC=(-1,-1),OM=xOA+(2-x)OC(0<x<3),求|麗|的最小值.

17.(本小題15分)

在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且Ca-2c=26cos(B+C).

(1)求B；

(2)若△力BC的周長(zhǎng)為6+2C,且2a=，Ic,求△ABC的面積.

18.(本小題17分)

在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知C=半

(1)若BC=3,AC=1,NBC4的內(nèi)角平分線(xiàn)交力B于點(diǎn)D,求CD的長(zhǎng)；

(2)若乙B4C與乙48c的內(nèi)角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)0,△力BC的外接圓半徑為2,求4。+B。的最大值.

19.(本小題17分)

如圖，P,Q分別是等腰梯形力BCD的邊DC,BC上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2DC=2如其中加機(jī)>0)為定值，N4DC=泊

設(shè)而=a貢屈=庇,其中0<a<l,0<b<l.

(1)用所給字母a,b,m,求出|Q|,|湎|的表達(dá)式；

(2)證明：NP4Q的余弦值與根的取值無(wú)關(guān)；

(3)求|所|的取值范圍.

第3頁(yè)，共13頁(yè)

答案解析

1.【答案】c

【解析】解：對(duì)于4圓柱的軸截面是矩形，所以/正確，

對(duì)于8,圓錐的軸截面是等腰三角形，所以8正確，

對(duì)于C,因?yàn)樾D(zhuǎn)體不是多面體，所以C項(xiàng)不正確，

對(duì)于。，如圖，三棱錐A-BCD中，當(dāng)力3_1_平面8。。時(shí)，AB1BC,AB1BD,

所以△ABC,A.ABD,AACD,△BCD均為直角三角形，所以。正確.

故選：C.

對(duì)于4由圓柱的性質(zhì)判斷，對(duì)于B,由圓錐的性質(zhì)判斷，對(duì)于C,由旋轉(zhuǎn)體的定義判斷，對(duì)于D,舉例判斷.

本題主要考查了圓柱、圓錐和旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：：z=(a?-1)+(a+l)i為純虛數(shù)，

即k=1或a=T,即a=l,

則時(shí)空=>(1)2j

J1+i1+i(l+0(l-j)

故選：B.

根據(jù)純虛數(shù)的定義求出a的值，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：因?yàn)樵凇鰽BC中，a=4，百，c=12,。=今

所以由正弦定理^=肅，可得焉=5可得s出力弓

2

又a<c,可得4為銳角,

則4=￡

6

第4頁(yè)，共13頁(yè)

故選:B.

由已知利用正弦定理可得sE4的值，利用大邊對(duì)大角可求得4為銳角，進(jìn)而可求力的值.

本題主要考查了正弦定理，大邊對(duì)大角在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：叵+H=3,\a-b\=2,

02+2力%+歷『=9,同2_2五.方+歷|2=4,解得萬(wàn).萬(wàn)

故選：C.

利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可得出答案.

本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：設(shè)原圖形的四邊形為。ABC,

則根據(jù)斜二測(cè)法規(guī)則及題意可知：

原圖形中|0B|=4，2\0A\=2,

又原圖形中。B10A,

???原圖形中|4B|=J(472)2+22=6,

.??原圖形的周長(zhǎng)是2x(2+6)=16.

故選：A.

根據(jù)斜二測(cè)法規(guī)則，即可求解.

本題考查根據(jù)斜二測(cè)法規(guī)則，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：如圖所示，

=30°,/LACB=75°-30°=45°,

AB=900X1000+3600X80=20(km),

.?.在△ABC中,BC20

sin300sin45°'

：.BC=1072:

CD1AD,

???CD=BCsin^CBD=BCxsin75°=x+l)fcm，

華4一=5(AA3

???山頂?shù)暮０胃叨葹?0—5(73+1)=5(3-6)km.

第5頁(yè)，共13頁(yè)

故選：c.

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形利用正弦定理和直角三角形的邊角關(guān)系，即可求出山頂?shù)暮０胃叨?

本題考查了正弦定理與直角三角形的邊角關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閦=與左=I自答=4/5a+2門(mén)出，

又。之1,所以|z|=10a,

因?yàn)楫?dāng)。之1時(shí)，不等式2|z『一t\z\+6>0恒成立，

所以t<2|z|+薪怛成立，即力420a<。恒成立，

,oa

令f(a)=20a+=20(a+,

因?yàn)镼N1時(shí)，/(a)單調(diào)遞增，

所以/(a)m譏=/(l)=詈，

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-8,竽］,

實(shí)數(shù)t的最大值為好.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及分離變量法，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及分離變量法，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：/-ACB=90°,

AC-CB—0,

■■.AB-AC(AC+CB)-AC^AC2+AC-CB^AC2=\AC\2=64,

|XC|=8,

由旗.浙=7,

得：-(OA+AC)=^AB-OA+^AB?=-/?2+1x64=7,

.,./?=5.

故選:B.

利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，再結(jié)合向量的數(shù)量積定義及運(yùn)算律計(jì)算求解.

本題考查圓的性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

第6頁(yè)，共13頁(yè)

9.【答案】AB

【解析】解：由Zi+Z2=0,即Z2=-Z「可得|ZjJ=|Z2「故N正確；

因?yàn)閆1,Zi=Z2?Z2，所以憶1『=0產(chǎn)，所以|zj=0卜故3正確；

取Zi=1+i,z2—1—i,則|z1=,2|=而zj=2i,=-23z"z；,故C錯(cuò)誤;

取Zi=1+Kz2=1-i,則Zi+z2=2eR,zr-z2=2E.R,而z]，z?都不是實(shí)數(shù)，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

利用復(fù)數(shù)運(yùn)算及共朝復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的意義計(jì)算判斷力B,舉例說(shuō)明判斷CD.

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：在平行四邊形力BCD中，E為4B的中點(diǎn)，F(xiàn)為4。的中點(diǎn)，BD與CE相交于點(diǎn)。，AB=a,AD=b,

對(duì)于選項(xiàng)4EF=|RD==

故選項(xiàng)/錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)2,EC=BC-BE==b+^AB=b+^a,

故3選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,利用△C。。?△EOB,可得。。=2。8,

則而=前_而=|礪+：而=|(5一刃)+討=!”演

故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,由五?b=[a\'\b\cos600=1,

WfF-FC=-^a+b)=^(b-a)-(a+2b)

LZ4

1.—?,a—>2

二.(-萬(wàn)+2b)

13

=^x(T-4+2)=一1

故選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

利用三角形法則的應(yīng)用，線(xiàn)性運(yùn)算的應(yīng)用，數(shù)量積運(yùn)算和平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷.

本題考查了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.

11.【答案】ABD

第7頁(yè)，共13頁(yè)

【解析】解：對(duì)于4由余弦定理有cosC=三^<。，可得C為鈍角，

故△4BC為鈍角三角形，故/正確；

對(duì)于B,將sirM-cos4=熱平方化簡(jiǎn)得sinAcosA=—奈

故/為鈍角，△力BC為鈍角三角形，故8正確；

對(duì)于C,因?yàn)閠an。+8)=―號(hào)叫=—tanC,

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC>0,

則角4B,C都為銳角，△ABC為銳角三角形，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,假設(shè)a，b,c邊上的高分別為2,3,4

,貝弓ax2=±bx3=^cx4,有2a=3b=4c,

設(shè)a=6k,則b=4k,c=3k(k>0),

所以由余弦定理得COS4=9k2+黑產(chǎn)卜2=一共<o,

24M24

所以力為鈍角△力BC為鈍角三角形，故。正確.

故選：ABD.

___,__11

由余弦定理可求cosC<0,判斷Z；將式子兩邊平方可得sinAcosA=-元,可判斷3；由tern/+tanB+tanC=

tanAtanBtanC>0,可判斷C；由已知可得2a=3b=4c,進(jìn)而可得cos/<0判斷D.

本題考查三角形形狀的判定，考查余弦定理及三角恒等變換，屬中檔題.

12.【答案】g

【解析】解：因?yàn)?=擊=曰磊號(hào)=|+3所以團(tuán)=1z|=J(|)2+(")2=g.

故答案為：

由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及模的計(jì)算公式即可得解.

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及模的計(jì)算公式相關(guān)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】47r

【解析】解：由題意可知，該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為J(，為2+(，石產(chǎn)=2，之

因此，該圓錐的側(cè)面積為兀X，IX2，I=47T.

故答案為：47r.

第8頁(yè)，共13頁(yè)

計(jì)算出圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面積公式可求得結(jié)果.

本題考查了圓錐的側(cè)面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】一1

【解析】解：連接CO交直線(xiàn)于點(diǎn)D,

???4、D、B三點(diǎn)共線(xiàn)，

=tO4+(1-t)OS，(tGR)，

...沁=23,.?.而7況，

,△ABOM2

|oc=tol+(1-t)OB,

：.OA=^-OB-^OC,

又瓦？=mOB+nOC(m,neR),

故答案為：-1.

由題目中的面積比得到兩向量的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)變形，最后由平面向量基本定理求出爪，n的值即可.

本題考查平面向量的基本定理及線(xiàn)性運(yùn)算，還考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

15.【答案】解：(1)因?yàn)閦i=l+mi,Z2=3—21,

所以Zi+z2=4+(m-2)i,

因?yàn)槠?z2\=5,

所以16+(m-2)2=25,

解得，m=5或m=-1；

，外短物—z2_3-2i_(3-2i)(l-mi)_3-2m-(3m+2)i

()Z211+mi(l+mi)(l—mi)1+m2

因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)尸(x,y)滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=2x,

所以一(3m+2)=2(3-2m),

所以TH=8.

第9頁(yè)，共13頁(yè)

【解析】(1)結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可求解；

(2)結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)先求出z,然后結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】解：(1)因?yàn)?(4,0),B(l,m),所以通=(—3,m)，

故|同E=9+1n2=25=m=±4,

因?yàn)閙>0,所以zn=4；

(2)OC=OB+BC=(0,3),

OM=xOA+(2-x)OC=x-(4,0)+(2-x)-(0,3)=(4x,6-3久)，

222

OM=16x+(6-3x)2=25/_36x+36=25(%一||)+票

因?yàn)?<x<3,所以當(dāng)x=顓寸，|說(shuō)|取得最小值為g.

【解析】(1)先求出荏=(-3,爪)，再根據(jù)模長(zhǎng)公式可求出結(jié)果；

(2)先求出兩=(4%,6-3%)，再根據(jù)模長(zhǎng)公式以及二次函數(shù)知識(shí)可得結(jié)果.

本題考查了根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度的方法，向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，配方求二次函數(shù)最值的方

法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)由—2c=2bcos(8+C),cos(B+C)=cos(?！狝)=—cosA,

可得V"^a—2c=—2bcos4整理得bcosH+苧口=c,結(jié)合正弦定理得sinBcosA+苧si九4=sinC,

因?yàn)閟譏C=sin(7r—C)=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinBcos/+^-sinA=sinAcosB+cosAsinB,可得?sin/=sinAcosB,

因?yàn)?e(0,兀)，可得s譏A>0,所以cosB=苧，結(jié)合8G(0,兀)，得B=V；

(2)根據(jù)2a=V-3c,得2sinA=V_3smC,即2s譏(看+C)=y/~3sinC,

可得2(sin/osC+cos^sinC)=V_3smC,即cosC+yfSsinC=y/~3sinC,cosC=0,

因?yàn)镃E(0,7T),所以C=三可得b=csinB=c-siny=a=ccosB=c.cos7=*的

Z0L6Z

因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為6+2，W,所以Q+b+c=(苧g+l)c=6+2V"Z,解得c=4,

因此，a=~^~c—2V_3,b=gc=2,可得△4BC的面積S=■|ab=2，^.

【解析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式與正弦定理化簡(jiǎn)Ca-2c=2bcos(B+C),可得sinBcos/+^-sinA=sinC,結(jié)

合sinC=sin(X+8)=sinAcosB+cosAsinB,整理得到cosB=?，進(jìn)而可得角B的大??；

第10頁(yè)，共13頁(yè)

(2)根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)2a=V~3c,得至I]2sinA=V^sinC,結(jié)合sirM=sin(B+C)利用兩角和的正弦公式推

導(dǎo)出cosC=0,可得C=],由此算出a=?c且b=?c,由此代入△力BC的周長(zhǎng)算出c=4,進(jìn)而求得△ABC

的面積.

本題主要考查三角恒等變換公式、正弦定理及其應(yīng)用、三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)ZBC4的內(nèi)角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D,

77

???乙BCD=匕DCA=2

O

S4ACD+S^BCD—S^ABC>

.-.|xlxC￡>x1+1x3xC￡>x1=1x3xlx^,

心

???CD=—3<—3

4

(2)如圖,

???△4BC的外接圓半徑為2,C=p

c=2RsinC=4x苧=2門(mén)，

???C=*^CAB+4CBA=4，

Oo

???NB4C與乙4BC的內(nèi)角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)0,

???^OAB+A0BA=（即440B=芻

在△ZOB中，由余弦定理得，12=。42+。爐—204?（—：）,

（04+08）2-OA-OB=12,

???OA+OB>2<0A-0B,

：■{0A+OB?>4[（。4+OB?-12],

二（04+OB）2<16,???OA+OB<4,

當(dāng)且僅當(dāng)。力=0B=4時(shí)取等號(hào)，

.??40+B。的最大值為4.

第11頁(yè)，共13頁(yè)

【解析】（1）利用SMCO+SABCD=S/XABC,求解即可；

（2）先求出乙4。8=手c=2^3,再利用余弦定理得到（。力+。8）2-。小。8=12,最后利用基本不等式

求最值即可.

本題考查三角形的面積公式，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，基本不等式的運(yùn)用，屬中檔題.

19.【答案】解：（1）如圖，過(guò)D，C分別作的垂線(xiàn)，垂足為M,N,

因?yàn)樗倪呅蜛8CD是等腰梯形，且乙4DC=|兀，

在中，^DAM=n-/.ADC=AM="處-9

Jzz

所以力。*=人

由題意知方=AD+OP=AD+aDC,AQ^A