20242025學(xué)年吉林省長春市慧澤高中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)向量G=（k,2）,b=（1,-2）,若Q〃九則實(shí)數(shù)k的值是（）

A.2B.-2C.1D.-1

2.復(fù)數(shù)三的共規(guī)復(fù):數(shù)是（）

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

3.若悶=4,|方|=8且（Q+WlZ則d與族的夾角是（）

A次-C-D.?

兒6B-33

4.已知圓臺(tái)的上底面面積為9〃，卜底面周長為16幾，母線長為6,則圓臺(tái)的側(cè)面枳為（）

A.997TB.427rC.547rD.667r

5.某班成立了小B兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，4組10人，B組30人，經(jīng)過一周的補(bǔ)習(xí)后進(jìn)行了一次測試，在該測

試中，A組平均成績?yōu)?30分，方差115,/?組平均成績?yōu)?10分，方差為215,則在這次測試中，全班學(xué)生

的平均成績和方差為（）

A.115分，105B.115分，265C.120分，105D.120分，265

6.設(shè)a,0是兩個(gè)平面，m,1是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若a±B,m//a,〃//?,貝Um-LI

B.若？nua,Icp,m//l,貝亞〃/?

C.若an/?=m,〃/a,Z///?,則加〃！

口.若機(jī)1%I1p,tn//l,則aL0

7.如圖，在山腳A處測得山頂P的仰角為45。，朝山頂沿坡度為15。的斜坡向上走4km到點(diǎn)8處，此時(shí)測得山

頂P的仰角為75。，則山高為（）km.底

/BW/[w..

C.2/6D.3（C）\...h.........

4

8.如圖，已知正四面體力BCD的棱長為1,M、N分別是BC與4"內(nèi)中點(diǎn)，則異面直線4M和CN所成角的余弦

值為（）乂

::?小

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合C

題目要求。

9.下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)1,3,5,7,9,11,13的第60百分位數(shù)為7

B.若樣本/,不，,?,，今的平均數(shù)和方差分別為2和3,則3勺+2,3&+2,???3$+2的平均數(shù)和方差分

別為8和27

C.一組樣本數(shù)據(jù)為7,12,13,17,18,20,32,若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)不可能相等

D.數(shù)據(jù)1,2,4,6,7的方差為當(dāng)

10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中不放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示

事件”第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩

次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，貝iJ（）

A.乙發(fā)生的概率為JB.丙發(fā)生的概率為qC.甲與丁相互獨(dú)立D.丙與丁互為對立事件

11.已知P是棱長為6的正方體表面.匕一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為棱CG的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）

A.過點(diǎn)4B,Q的截面是一個(gè)直角梯形

B.若P在4當(dāng)上,則POi141c

C.若P在上，則存在某個(gè)P點(diǎn)，使得PGlBiC

D.若三棱錐力-當(dāng)。/的體積為18,則P點(diǎn)軌跡的長度為27標(biāo)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則|z-4+3i|的最小值是

13.已知S,A,B,C是球。表面上的點(diǎn)，S41平面ABC,AB1BC,AB=1,BC=

V"!若球。的體積為半，則S4=______.

14.如圖，在等腰△ABC中，底邊BC=1,D,E是腰?1C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，目前十

BE=xBA+yBC^則當(dāng):+；取得最小值時(shí)，打.(而+而)的值為.

4y

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

某高校承辦了2024年上海帆船公開賽的志愿志選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績并分

成五組：第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95］,繪制成如圖所

示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

(1)求Q、b的值，并估計(jì)這100名侯選者面試成績的平均數(shù)及中位數(shù)(保留一位小數(shù));

(2)在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩個(gè)來自不

同組的概率.

頻率

16.(本小題15分)

已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，且兒os4-*as)B=0.

⑴求4

(2)若b=4,c=6,設(shè)AD為△ABC的角平分線，求力D的長;

(3)若Q=2C,且△4BC面積為｛3,求的周長.

AfC

參考答案

\.D

2.B

3.B

4.0

5.B

6.C

7.C

S.A

9.BD

10.ACD

11.”。

12.4

13./13

14-

,3

15.(1)因?yàn)榈谌?、四、五組的頻率之和為0.7,因此(0.045+0.020+a)x10=0.7,

解得a=0.005,又因(2a+0+0.045+0.020)x10=1,解得b=0.025.

x=0.05x50+0.25x60+0.45x70+0.2x80+0.05x90=69.5；

因前2組的頻率之和為0.05+0.25=0.3<0.5,前3組的頻率之和為0.05+0.254-0.45=0.75>0.5,

因此中位數(shù)在第3組，設(shè)為0.05+0.25+(m-65)x0.045=0.5,解得7九七69.4；

(2)根據(jù)題目第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，因此按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4,

分別設(shè)為a,b,c,d,

第五組志愿者人數(shù)為1,設(shè)為e,從這5人中選出2人，所有情況有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,

ce,de共10種,

其中選出的兩個(gè)來自不同組的情況有ae,be,ce,de共4種，因此P=白="

16.(1)由bcosA+^-asinB=。得，sinBcosA+^-sinAsinB=0,

因?yàn)閟inB>0,所以cos/=-^-sinA,

J

故得力=-y/~3,

又因0</1<兀，則

1

+X5?n江

(2)設(shè)AD=x,則S&A8C=；x6x4sin|x6xsing2-I-

4ALO3

解得工=些即40=些

(3)0SA/lfiC=^bcsinA=^-bc=V-3,解得be=4,

由余弦定理a~=b“十c?—2bccosA可得Z?2+c2+be=12,

即(b+c)2=12+兒=16,故b+c=4,△48。的周長為4+2，1

17.⑴設(shè)事件亂=”甲第i局都獲勝"，i=l,2,3,4,5,6,7,

則P(4)=tP(4)=P*="=123,4,5,6,7),

只需進(jìn)行四局比賽包含兩種情況：

@)中能勝四局:4142/3,4；&)乙連勝四局:

設(shè)事件M="只需進(jìn)行四局比賽”，則

4

尸(M)=人&4公公)+P^A2A3A^=P(4)P(42)P(43)P(4)+=(1)+

⑥，=

(2)設(shè)事件N="前兩局比賽甲均告負(fù)，甲最終能逆轉(zhuǎn)獲得冠軍”，

由于前兩局比賽甲均告負(fù)，所以接下來的比賽甲最多可以負(fù)一局，包含兩種情況：

①平接下來連勝四局：4444；

②接下來五局比賽中甲4勝1負(fù)(負(fù)的一局為第3?6局中某一局)：

A2A^A^A^A-j,心力/5力647，4人心久公，?

所以P(N)=P(i4s^4^S^6+4344As，647++^3^4^5^6^7)

二2(43力4力5力6)+。(力344力546力7)+^(^3^4^5^6^7)+^(^3^4^5^6^7)+^(^3^4^5^6^7)=(|尸+4X

器

18.(1)證明：連接&C,交BG于點(diǎn)E,連接OE,

因?yàn)槿庵?BC—4BG是直三棱柱，

所以四邊形8&GC是矩形，則E為aC的中點(diǎn)，

因?yàn)?。為線段8為的中點(diǎn)，所以0E〃4C,

因?yàn)镺Eu平面4CU平面S0G，

所以平面BOQ.

(2)取BBi中點(diǎn)F,連接。凡GF,W1DF//AB,

因?yàn)槿庵?8C-48Q是直三棱柱，

所以四邊形488送1是矩形,則4618反，

因?yàn)?818C,BCCBB[=B,8Cu平面8B￡C,BB】u平面BB]C】C,

所以力81平面BBiG。，則OF_L平面BBiG。，

所以直線。G與平面8名。傳所成角即為N。。/,

因?yàn)槿肆?=AB=BC=2,所以O(shè)F=1,C]F=<5，

在RC△OFG中，

MtanzDCxF=篇='=黑

1C/V55

19.(1)在線段40上截取4E=CM,

由4D〃CM,得四邊形力MCE為平行四邊形，

所以CE〃力M,

又CEU平面AMu平面6ZM,所以CE〃平面8'AM,

因?yàn)镃N〃平面B'AM,且CNnCE=C,所以平面CEN〃平面夕4M,

因?yàn)镋Nu平面CEN,所以EN〃平面B\4M,

乂〃為棱夕。的中點(diǎn)，所以E為4。的中點(diǎn)，

所以CMOBC即黑二L

=20=1Z,MC

(2)在RtzxABM中，=J,AB=1,所以BM==嬰,CM=綽,

過B'作夕。1平面AM。。于點(diǎn)。，過。作OP_L4M于點(diǎn)P,連接B'P,

由三垂線定理的逆定理知，8'Pl/lM,

所以NB'PO為二面角B'—AM—/)的平面角，即，夕P。=60。，

翻折后B'M,4M=繆，夕力=1,

由等面積法知，夕。=