2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市句容市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.直線八V3x+3y+1=0的傾斜角。為（）

B.JC.名D學(xué)

6336

2.設(shè)m,ri是三條不同的直線，a,0,y是三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若/_LTH,mln,貝！）〃/九8.若打10,/71y,貝！Ja〃/

C.若?n1a,a±S，則m〃SD.若m1a,m///?,則a1/7

3.某批產(chǎn)品檢驗(yàn)后的評(píng)分，由統(tǒng)計(jì)結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.a=0.05B.評(píng)分的眾數(shù)估值為70

C.評(píng)分的第25百分位數(shù)估值為67.5D.評(píng)分的平均數(shù)估值為76

4.一組樣本數(shù)據(jù)％1，冷，第3，…，％8的平均數(shù)為血，標(biāo)準(zhǔn)差為3.另一組樣本數(shù)據(jù)久1，到，第3，…，％8，根的平

均數(shù)為3標(biāo)準(zhǔn)差為S,則（）

A.x=m,s>3B.x=m,s<3C.m,s>3D.m,s<3

5.已知△力BC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CD上一點(diǎn)，滿足正=4同+：尼，

則襦?衣=（）

A.—第B.yC.yD.-y

6.直線4x+3y-12=0與x軸、y軸分別交于力，B兩點(diǎn)，貝!|乙艮4。（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的平分線所在直線的方程

為（）

A.2%—y—6=0B.%+2y—3=0

C.x+2y+3=0D.2%—y—6=0或X+2y-3=0

7.有三個(gè)盒子，每個(gè)盒子里有若干大小形狀都相同的卡片.第一個(gè)盒子中有三張分別標(biāo)號(hào)為1,2,3的卡片；

第二個(gè)盒子中有五張分別標(biāo)號(hào)為1，2,3,4,5的卡片；第三個(gè)盒子中有七張分別標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,

第1頁(yè)，共17頁(yè)

6,7的卡片.現(xiàn)從每個(gè)盒子中隨機(jī)抽取一張卡片，設(shè)從第i個(gè)盒子中取出的卡片的號(hào)碼為勺（i=123）,則％1+

久2+%3為奇數(shù)的概率是（）

「57

C，105

,「111,?,

8.在銳角二角形Z8C中，已知3si?i8=4si?iCcos4則—-+---+-—^的最小值是（）

tanAtanBtanC'/

A.73B.苧C.苧D.A<13

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知a,06（0,5）,a+0冶，則下列不等關(guān)系一定正確的是（）

A.sin(a+/?)>sina+sin/3B.cos(a+S)<cosa+cos/?

C.sina+sinp>1D.cosa+cosp<V-2

10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Zi，Z2對(duì)應(yīng)的向量分別為石，石，則（

A.若比=Z2,則式2=afB.若研=可，則Z,=Z2

C.若Z]Z2=0,則西?石=0D.若可*?石=0,則Z]Z2=0

11.已知三棱錐人一BCD中，AB=AC=DB=DC=3,AD=BC=2,E,F

分別是BD,CD的中點(diǎn)，P是棱AC上（除端點(diǎn)外）的動(dòng)點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線PF與48是異面直線

B.當(dāng)AP=2PC時(shí)，三棱錐P-力BD體積為竿

C.PD+PB的最小值為

D.三棱錐力-BCD外接球的表面積11W

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知事件力與B相互獨(dú)立，PQ4）=0.6,PQ4B）=0.42,則PQ4+B）=.

13.如圖，圓臺(tái)。0的軸截面是等腰梯形力BCD,AB=BC=2CD=4,E為下底面。。

上的一點(diǎn)，且力E則直線CE與平面4BCD所成角的正切值為.

14.已知平面向量其了,？分別滿足同=1,麗=y/l,a-b^0,7-E與？—石的夾角是a7^12^4^

則（？_初.（？_￡）的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題13分）

在①2c=扃，（2）csinA-3,③c=扃6這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存

在，求c的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

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問(wèn)題：是否存在△4BC,它的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且s譏4=OsMB,C=g?

o

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

16.(本小題15分)

甲乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜謎語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲乙各猜一個(gè)謎語(yǔ)，已知甲每輪猜對(duì)的概率為p,乙每

輪猜對(duì)的概率為q,p〉q.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.甲和乙在第一

輪都猜錯(cuò)的概率為之“星隊(duì)”在第二輪中只猜對(duì)一個(gè)謎語(yǔ)的概率為

oZ

(1)求p,q；

(2)求“星隊(duì)”在前兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)謎語(yǔ)的概率.

17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱力BC—AiBiCi中，側(cè)面力CCMi1底面ABC,AA1=A1C^AC,4B=BC=1,AB1BC,E,

F分別為AC,々Ci的中點(diǎn).

(1)求證：直線￡77/平面力

(2)求三棱錐F-4的體積.

18.(本小題17分)

如圖所示，公路48一側(cè)有一塊空地4OAB,其中。力=6km,OB=6y/lkm,4AOB=90。.市政府?dāng)M在中間

開(kāi)挖一?個(gè)人工湖△0MN,其中M,N都在邊4B上(M,N不與4B重合，M在4N之間)，且NM0N=30。.

(1)若M在距離4點(diǎn)4km處，求。M的長(zhǎng)度;

(2)為節(jié)省投入資金，人工湖△0MN的面積盡可能小，設(shè)N40M=a,試確定a的值，使△0MN的面積最小,

并求出最小面積.

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19.(本小題17分)

人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù).主要應(yīng)用距離測(cè)試樣本之間的相似度，常

用測(cè)量距離的方式有3種.設(shè)力(%1，月)，8(久2，、2)，則歐幾里得距離D(4B)=J01-冷)2+(乃—乃)2;曼

哈頓距離dQ4,B)=\x1-x2\+|yi-y2b余弦距離e(A8)-1-cos(4B),其中cos(X,B)=cos(OA,OB)；

(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)若力(一1,2),求4B之間的曼哈頓距離d(4,B)和余弦距離e(4,B)；

(2)若點(diǎn)M(2,l),d(M,N)=l,求e(M,N)的最大值；

(3)已知點(diǎn)P,Q是直線2：y—l=k(x—1)上的兩動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線M吏得d(0,P)7nm=D(0,QLin，若存

在，求出所有滿足條件的直線2的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第4頁(yè)，共17頁(yè)

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：直線〃，^久+3y+l=0的斜率為一苧，

貝!Jtana-

直線的傾斜角aG[0,兀)，

則a=^.

6

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.

本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】【試題解析】

解：對(duì)于4垂直于同一直線的兩條直線平行、相交或異面，故N不正確；

對(duì)于8,垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，故2不正確；

對(duì)于C,a_L夕，.,.設(shè)aC0=a,在平面0內(nèi)作直線b1a,貝!Jb1a,,-,m1a,m//b,若mC0,則小〃0,

若mu0,也成立，小〃0或u因故C不正確；

對(duì)于D,若m///3,則存在Iu,，使1//m,I1?,則a10,故。正確.

故選：D.

利用線面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理判斷即可.

本題考查線面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得(2a+4a+6a+5a+3a)x10=1,解得a=0.005,所以力選項(xiàng)錯(cuò)誤；

評(píng)分的眾數(shù)估值為二羅=75,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)榍?組的頻率依次為0.1,0.2,

所以評(píng)分的第25百分位數(shù)估值為60+端產(chǎn)=67.5,所以C選項(xiàng)正確；

所以評(píng)分的平均數(shù)估值為55x0.1+65x0.2+75x0.3+85X0.25+95x0.15=76.5,所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，針對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別求解即可.

本題考查頻率分布直方圖的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

第5頁(yè)，共17頁(yè)

4.【答案】B

【解析】解：因?yàn)樽?把牛也，

O

所以％1+%2+—F%8—8m,

則城=町+冷+了&+血=臂m=m

因?yàn)?2=1[（%1-m）2+（%2-血）2+…+（%8一稅）2]，

1

s2=[（%i—m）2+（x一瓶）2+???+（18—^）2+（徵-m）2]

y2

2222

=I[(%!—m)+(x2-m)+...+(x8-m)+0],

又工<

乂9<8

所以S2<9,

解得S<3,

則x=m,s<3.

故選：B.

由題意，根據(jù)平均數(shù)、方差公式判斷數(shù)據(jù)添加平均數(shù)后新的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差變化情況即可.

本題考查方差以及平均數(shù)，考查了運(yùn)算能力.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題.

根據(jù)題意，得到方=4荏+"前=24而+/前，由C,D,G三點(diǎn)共線，求得"看得至西=|詬+/前,

結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.

【解答】

解：因?yàn)?。為AB的中點(diǎn)，AG=AAB+^AC=2AAD+

因?yàn)镃,D,G二點(diǎn)共線，可得24+/=1,解得4=￡，

即E=|荏+/前，

第6頁(yè)，共17頁(yè)AD

2―>—>1—>2

=—（耳4B,AC+耳？1C）

2—>—>711—>

=—（耳]4B||AC|cos可+百|(zhì)AC|9）

=-（|x6x6x1+|x62）=-Y-

故選：A.

6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，直線4x+3y-12=0與久軸、y軸分別交于4/

B兩點(diǎn)，\IR

令％=0,可得y=4,則B的坐標(biāo)為（0,4）,

令y=0,可得x=3,貝！|A的坐標(biāo)為（3,0）,_

如圖：設(shè)NB40=2a,（a為銳角），平

貝！

I—tanZu=—U~—3—=——3,3BPtctn2.cc=—,

則有黑器=才解可得tana=：2（舍），

則乙84。的平分線所在直線的斜率k=-替

其方程為y=-^（久-3）,變形可得x+2y-3=0,

故選：B.

根據(jù)題意，由直線的方程求出2、B的坐標(biāo)，設(shè)NBA。=2a,分析可得tan2a=$由二倍角公式可得tcma

的值，即可得要求直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程分析可得答案.

本題考查直線方程的求法，注意角平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：從三個(gè)盒子中各隨機(jī)抽取一張卡片可分為三步完成，

第一步從第一個(gè)盒子中取一張卡片，有3種方法，

第二步從第二個(gè)盒子中取一張卡片，有5種方法，第三步從第三個(gè)盒子中取一張卡片，有7種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有3x5x7種方法，

事件/+久2+久3為奇數(shù)等價(jià)于％1，%2,都為奇數(shù)或%1，犯，中有一個(gè)為奇數(shù)，兩個(gè)為偶數(shù)，其中事件勺，

%2,乂3都為奇數(shù)包含2x3x4個(gè)基本事件，即24個(gè)基本事件，事件久1為奇數(shù)，久2,冷為偶數(shù)包含2x2x3

個(gè)基本事件，即12個(gè)基本事件，事件久2為奇數(shù)，打，為偶數(shù)包含3X1x3個(gè)基本事件，即9個(gè)基本事

件，事件%3為奇數(shù)，%2，為偶數(shù)包含1x2x4個(gè)基本事件，即8個(gè)基本事件，

第7頁(yè)，共17頁(yè)

所以事件久I+x2+與為奇數(shù)包含的基本事件數(shù)為24+12+9+8,即53個(gè)基本事件，

匚匚、[n

所以ip=5e3=而53，

故選：B.

先由分步乘法計(jì)數(shù)原理求出樣本空間中的基本事件數(shù)，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理求出事

件為+x2+與為奇數(shù)所包含的基本事件數(shù)，再由古典概型概率公式求概率.

本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?sinB=4sinCcosA,A+B+C=n,

所以3sin(A+C)=4sinCcosA,則3sinCcosA+3cosCsinA-4-sinCcosA,

所以3cosCsinA=sinCcosA,

因?yàn)樵阡J角三角形ABC中，0<4C<3貝！kos4>0,cosC>0,

所以tcmC=3tanA,令tcmZ=t,則t>0,tanC=33

而taziB=tan[7T—(/+C)]=—tan(Z+C)=—tanA+tanCt+3t_4t

1—tanAtanCl-tx3t_3t2-l"

gr-pj1,1,1_1,3t2-l,1_3t,13l3t13_/13

所以石+病+即=E+^^+元=1+五292]].諉=.,

當(dāng)且僅當(dāng)期=焉即土=孚時(shí)，等號(hào)成立，

4±ZtD

此時(shí)tcmA=,tanC=V13,tanB=與m，滿足題意.

故選：B.

先利用三角函數(shù)的和差公式，結(jié)合銳角三角形角的范圍得到tmC=3tcm4再利用正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式與

和差公式轉(zhuǎn)化tcmB,從而將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于ta?l=t的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式即可得解.

此題考查三角函數(shù)的和差公式、誘導(dǎo)公式，利用換元法及基本不等式求最值，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于A,令a=0=今，則。+。=等所以sin(a+S)=sin^=苧,

sina+sin0=芋+/=故sin(a+夕)<sina+s譏0,故N錯(cuò)誤；

對(duì)于8,因?yàn)閍6(0,]),所以cosa>0,因?yàn)橄?(0吟)，所以cos/?〉0,

因?yàn)?<a+0<7T,所以cos(a+/?)<0,所以cos(a+夕)<cosa+cos0,故2正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，a、06(0,]),a+0>3則0<]—0<a<3

第8頁(yè)，共17頁(yè)

且函數(shù)y=s譏%在(0《)上為增函數(shù)，所以sina>sin(，一/?)=cos，，

故sina+sinp>cosp+sin0=V_2sin(/7+J),因?yàn)镺vS<￡

則0+3<手，故W<sin(0+9WJ,故5抽+5譏0>四血(0+白〉1,C對(duì)；

444Z44

對(duì)于D選項(xiàng)，cosa+cos{3<cosa+sina=V_2sin(cr+J),

因?yàn)?<a<g,則3Va+3V稱，故苧Vsin(a+3)〈1，

Z444Z4

故cosa+cosp<V_2sin(a+7)<V-2,即cosa+cos/?<V~2,。對(duì).

4

故選：BCD.

利用兩角和的正弦公式結(jié)合作差法可判斷2選項(xiàng)；求出a+0的取值范圍，根據(jù)cos(a+/?)<0可判斷B選項(xiàng);

利用正弦函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出simz>cos.,利用輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)值域可判斷。選項(xiàng).

本題考查求兩角和與差的三角函數(shù)值，屬于中檔題.

10.【答案】AC

【解析】解：不妨設(shè)Zi=/+y“，z2=x2+y2i,

則訪=(久口為)，石=(久2，乃)，

若z,=Z2,

2

此時(shí)|z/2=|z2|,

即妊+資=蛀+%,

因?yàn)橐?x1+yl，詼2=虐+%,

所以溢=石2,故選項(xiàng)N正確；

—>2—>2

右=a2,

此時(shí)/+yl=xj+yj,

而z：=好一比+2久/也z；=用一犬+2%2為。故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

右Z1Z2—0,

此時(shí)兩復(fù)數(shù)中至少一個(gè)為零，

即可，心中至少一個(gè)的坐標(biāo)為(0,0),

則西?石=0,故選項(xiàng)C正確；

若就.石=0,

此時(shí)X1久2+%>2=0,

由Zj_Z2=0

第9頁(yè)，共17頁(yè)

可得刀62-乃>2+(久。2+刀2月)》=°，故選項(xiàng)。錯(cuò).

故選：AC.

由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，模的定義，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，進(jìn)而即可求解.

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和平面數(shù)量向量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

11.【答案】ACD

【解析】解：???ABu平面力BC,PFC平面ABC,P€平面力BC,Pe4B,.?.直線PF與4B是異面直線，故/

正確；

?.?三棱錐力-BCD中，AB=AC=DB=DC=3,AD=BC=2,

:,三棱錐對(duì)棱相等，故可將其補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖所示,

X2+y2—9

y2+z2=4>x2+y2+z2—11,z=y=V-2,x=y/-7,

{x2+z2=9

二三棱錐P-力BD體積為，1X72X77-|X1X<2X<2X/7X4=亨，故B錯(cuò)誤;

設(shè)三棱錐4-BCD外接球的半徑為r,

則2r=J%2+y2+z2=711，

???三棱錐/—BCD外接球的表面積471T2=11兀，故D正確;

把三角形ZCD與三角形ABC沿ZC展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi),

由余弦定理可得cos乙4CD=3?個(gè)==Jcos乙4cB=丁=1

2x3x392x3x23

cosZ-DCB=cos(^Z-ACD+Z-ACB^=cosZ-ACDcosZ-ACB-sixiZ-ACDsinZ-ACB=-------x---=——,

由余弦定理可得=32+22-2x3x2x(-=17,BD=717.

PD+PB的最小值為當(dāng)P,B,。在一直線上時(shí)取最小值.

故選:ACD.

易判斷直線PF與4B是異面直線，可判斷力；三棱錐對(duì)棱相等，故可將其補(bǔ)形為一長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的性

第10頁(yè)，共17頁(yè)

質(zhì)，計(jì)算可判斷B,D；把三角形ACD與三角形ABC沿AC展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi)，由余弦定理可求最小值判斷C.

本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查余弦定理的應(yīng)用，考查距離的最小值，屬中檔題.

12.【答案】0.88

【解析】解:因?yàn)槭录與B相互獨(dú)立，

所以PQ4B)=P(A)xP(B)=0.6xP(B)=0.42=P(B)=0.7,

所以PG4+B)=尸(4)+P(B)-PQ4B)=0.6+0.7-0.42=0.88.

故答案為:0.88.

根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式求出P(B),從而利用P(4+B)=PQ4)+P⑻-P(4B)求出答案.

本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算相關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

因?yàn)?BCD為圓臺(tái)。0的軸截面，

所以平面4EB1平面4BCD,

因?yàn)槠矫?EBC平面4BCD=AB,

EHu平面4EB,所以EH1平面力BCD,

所以直線CE與平面力BCD所成的角即NECH,

因?yàn)橐酪?\BC\=2\CD\=4,且|2圖=，用BE|,

因?yàn)閨4E|2+|BE|2=\AB\2,即4\BE\2=16,

解得田同=2,

則|BH|=1,\EH\=V\EB\2-\BH\2=V22-l2=\CH\=J|BC|2_(￥川］|亞尸=J16-(^)2=

^"15，

所以tanzFCH=犒=祭=

故答案為：g

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過(guò)E作EH_L力B,連接CH,證明EHJ_平面ABC。，即直線CE與平面力BCD所成的角即NECH.

本題考查直線與平面所成的角，是中檔題.

14.【答案】473+6

【解析】解：已知平面向量反分別滿足同=1,\b\—?b-

與^-了的夾角是親

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)力(1,0).B(0,O，=0A,b=OB，

滿足畫=l,\b\=y/l,a-b=0，

則AB=/12+(V-3)2=2，

取方=3連接BC,AC,

則前=7一萬(wàn)，芯=~c-a，

依題意NBCA=，，

o

記△ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

c_2_b_a

由正弦ZE理，sinC1sinBsinA9

2

則得Q=4sinA,b=4sinB,

由(3—五)?e—石)=正?前=I福函|cos壯?ab=Sy/lsinAsinB

j—5TT1V-31—

=8VSsinAsin(-^——A)=8V3sinA^cosA-\--^-sinA)=4VSsinAcosA+12sin7^A

=2y[3sin2A—6cos2A+6

=4<3sin(2X-^)+6,

因o<a<?

o

故-X24-(〈手

故當(dāng)24Y=3即當(dāng)4=1時(shí)，sin(24g)取得最大值1,

此時(shí)(3-初?(？-5)取得最大值為473+6.

故答案為：4AA3+6.

根據(jù)題意建系，設(shè)4(1,0).5(0,73),MXa=OA,~b=~0B>0C=c,由圖可得近=7—5前=7—N,由題

得NBC4=%AB=2,由正弦定理可得a=4s譏4b=4sinB,再利用向量數(shù)量積的定義將所求式化成關(guān)

O

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于角a的正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)最值的求法，屬中檔題.

15.【答案】解：選2^=宿.

△4BC中，sinA—yTSsinB,即b=

ac=V3,c=—,

a

2_j_a23

22_2次+至一滔73

C0SC=—a+^/?c=2^=—>

3

a=y/-3,b=1,c=1.

選②csiziZ=3.

△ZBC中，csinA—asinC—asiny—3,a=6.

sinA=y/~3sinB,即。=y/~3b,b=2V-3.

c次+力2-c236+12-C2<3

C°SC=^^=2X6X2C=?

???c=2V-3.

選,③c-y/~3b.

sinA=y/~3sinB,即。=y/~3b,

又<c=V-36,

與已知條件C=2相矛盾，所以問(wèn)題中的三角形不存在.

【解析】本題主要考查解三角形中的正弦定理與余弦定理，熟練掌握余弦定理并靈活的應(yīng)用是解本題的關(guān)

鍵，屬于基礎(chǔ)題.

①m據(jù)題意，結(jié)合正弦定理，可得b=￥a,c=C,結(jié)合C=￡運(yùn)用余弦定理cose=n,即可求得

3a62ab

C=1.

_,_n2，h2_r2

②t艮據(jù)題意，△ABC中，cs譏/=asinC,即可求得Q=6,進(jìn)而得到b=2V3.運(yùn)用余弦定理cosC=——一，

2ab

即可求得C=273.

③t艮據(jù)c=，g，sin/=CsiziB即a=Ob,可列式求得cosC=?,與已知條件C=g矛盾，所以問(wèn)題中

66

的三角形不存在.

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(1―p)(l—q)=」

16.【答案】解：(1)由題意可得[6J

、p(i—q)+(1—p)q=2

解得pq=]p+q=：,

Jo

所以p，q是方程/—/x+1=。的兩個(gè)實(shí)根，

又p>q,解得p=|,q-~,

(2)設(shè)40%分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)謎語(yǔ)的事件，

當(dāng)，為分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)謎語(yǔ)的事件，

21,124224

P(^1)=3X3+3X3=91°(42)=百X『手

n/n、11,111n/n.111

P(B1)=2X2+2X2=2,P(B2)=2X-=->

設(shè)M表示“星隊(duì)”在前兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)謎語(yǔ)的事件，

則P(M)=P(4B2UA2B1)=P(4%)+P(42/)=P(4)P(B2)+P(4)P(Bi)

41,411

=§Xl+§X,=]

【解析】本題考查了互斥事件的概率加法公式、相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、對(duì)立事件的概率公式，屬

于中檔題.

(1)利用對(duì)立事件的概率公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，得到關(guān)于p、q的方程組，解方程組即可求得

p、q的值.

(2)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求得“星隊(duì)”在前兩輪活動(dòng)中猜對(duì)

3個(gè)謎語(yǔ)的概率.

17.【答案】詳見(jiàn)解析；

76

Z4,

【解析】(1)證明：取的中點(diǎn)G,連接EG,FG,由于E,F分別為AC,81cl的中點(diǎn)，

因此FG//4當(dāng)，

又u平面ABBiHi，F(xiàn)GU平面力因止匕FG//平面ABB1力「

又4E〃&G且4E=&G,

因此四邊形AEG4是平行四邊形，

因止匕EG//A41又u平面力EGC平面力BB140

因止匕EG//平面4BB遇i.

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因此平面EFG//平面力BBi力i.又EFu平面EFG,

因此直線EF//平面A8B1公；

(2)因?yàn)锳B=BC=1,AB1BC,

因止匕A4]=AXC=AC=yT2,

由于E為4C中點(diǎn)，因止匕AiELAC,又側(cè)面A41cle1底面ABC,

交線為4C,&￡'<=平面為4。，

因此41EL平面ABC,連接EB,可知EB,EA,E4兩兩垂直.

由⑴知直線EF//平面VF_ABA1=VE_ABA1=VA1_ABE=5?建E?SMBE="苧'?祟

(1)結(jié)合平面與平面平行的判定，得到平面EFG//平面ABB遇0結(jié)合平面與平面平行的性質(zhì)即可得結(jié)論;

(2)結(jié)合平面與平面垂直性質(zhì)，得到&E1平面4BC,利用體積關(guān)系計(jì)算體積即可.

本題考查了直線與平面平行的判定，考查了三棱錐的體積計(jì)算方法，屬于中檔題.

18.【答案】2?km；

a=15。時(shí)面積最小，最小值為54-27g

【解析】(1)在404B中，其中。4=6km,OB=6gkm,AAOB=90°,

所以tan/。43=器=6,結(jié)合4。4B為銳角，可得N04B=60。，

在△AM。中，由余弦定理得?！?=042+4時(shí)2一2。4?AMcos60。=28,可得OM=2gkm.

(2)在△4M。中，AAOM=a,0°<a<60°,

由正弦定理sin〃MM=sin/OMZ'[逅=$皿60。+戊)'可倚=sing+a)'

2

同理在△ZN。中，由

sinZ.OAMsinz.ONA

所以△0MN的面積S=|OM-ONsin30°=1x___________x_____x——___x_____________________

sin(60°+a)cosa