專題02常用邏輯用語(yǔ)5種常見(jiàn)考法歸類

知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)

知識(shí)1命題的

考點(diǎn)01判斷命題的真假

判定及應(yīng)用

2024?新課標(biāo)H卷2022?上海2021?全國(guó)乙卷

（5年3考）

考點(diǎn)02充分條件和必要條件的判斷與探求

2024?全國(guó)甲卷2024?上海2021?上海1.命題的判定及應(yīng)用主要原命題與

考點(diǎn)03判斷命題的充分不必要條件命題的否定，以函數(shù)與不等式作為

2025?天津2025?北京2022?天津2022?浙江背景

知識(shí)2充分條2021?天津2021?北京2.充分必要條件作為使用工具一般

件與必要條件考點(diǎn)04判斷命題的必要不充分條件與數(shù)列三角函數(shù)，以及函數(shù)相結(jié)合

（5年5考）2024?北京2023?大津2023?全國(guó)甲卷2021?全國(guó)難度不大，但是易錯(cuò)

甲卷2021?浙江

考點(diǎn)（）5判斷命題的充要條件

2024?天津2023?北京2023?新課標(biāo)I卷

2022?北京

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01判斷命題的真假

1.（2024,新課標(biāo)II卷?高考真題）已知命題p：\fx€R?+命題q：3x>0,x3=x?則（

A.p和夕都是真命題B,「P和夕都是真命題

C.〃和「夕都是真命題D.「，和「夕都是真命題

【答案】B

【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取戈=-1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.

【詳解】對(duì)于〃而言，取x=-l,則有卜+1|=0<1,故〃是假命題，中是真命題，

對(duì)千夕而言，取x=l,則有x3=f=i=x，故g是真命題，f/是假命題，

綜上，「，和夕都是真命題.

故選：B.

2.（2021?全國(guó)乙卷?高考真題）已知命題p:3x/R,sinxvl;命題g：VxwR,ew>i,則下列命題中為真命

題的是（）

A.PMB.HP△夕C.D.-i(pvg)

【答案】A

【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題〃的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定命題夕的真假性，由此確定正

確選項(xiàng).

【詳解】由于sinO=O,所以命題P為真命題；

由干歹=e'在R上為增函數(shù)，國(guó)20,所以產(chǎn)2d)=1，所以命題9為真命題；

所以p八夕為真命題，-pdq、p「q、「(pvq)為假命題.

故選：A.

3.(2022?上海?高考真題)數(shù)列回｝對(duì)任意〃cN"且a2,均存在正整數(shù)，目1,〃-1],滿足

4+=2?！耙弧！眳n=1,牝=3.

(1)求知可能值；

(2)命題p：若成等差數(shù)列，則。9<30,證明〃為真，同時(shí)寫出p逆命題q,并判斷命題g是真是

假，說(shuō)明理由：

(3)若。2M=31("?eN)成立，求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)7或9：

(2)答案見(jiàn)解析:

1,〃=1

〃-3

⑶?！倍?，5x329n=2^+1,^eN*.

n

32,〃一2后入N

【分析】(1)利用遞推公式可得6=5,進(jìn)而可求出心;

(2)由題意可得知=2〃-16e[L8],〃eN)則偈=24-〃<30,從而命題〃為真命題，給出反例即可得

出命題4為假命題；

(3)由題意可得%*2=2仁川一4?42〃?)，%“二2%”-%(八2〃?-1),然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單

調(diào)遞增，最后分類討論即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【詳解】(1)因?yàn)?-2%一%-5,所以為=2%-%=7或/一2/一,=9,所以a可能值為7或9；

(2)因?yàn)閰n,與，…%成等差數(shù)列，所以d=2,-

所以%=2%-。=30-a,<30,

逆命題夕：若/<30,則與的,...%為等差數(shù)列是假命題，舉例：

%=1,。2=3,“3=5,aA=7,a5=9,a6=1l,a7=13,6=2%—牝=17,%=2a8一%=21,故命題,為假命題，

(3)因?yàn)槠?3"',(〃？wN),所以a2m+2=3”川,。2m+2=2a2m“一4”2m),

國(guó)川=2代",一生(./Y2w-l),所以a2m+2=4。2m一%一q,

mM+1

因此2勺+q.=4a2廂-0價(jià)+2=4x3-3=3Ja2m,

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明勺討>4恒成立：

當(dāng)〃=1時(shí)，色>為明顯成立；

假設(shè)當(dāng)〃二左時(shí)命題成立，即%>方_1>a1>…>q，

則-4=24-q-4=%-q>0,即4+i>4,即命題得證；

回到原題，分類討論求數(shù)列的通項(xiàng)公式：

1.若J=2m-\,則a2m=2a.+q=2a?所］+q>a2m.t-q矛盾；

2.若j=2m-2,則%=3",所以q=3"'-2%=3"i,所以i=2加-2,

m

此時(shí)明=2a2m-a.=2x3-=5x3。

l,n=l

3

所以為=hx3T,/7=2Zr+l,^eN*,

n

3*,〃=2k,kwN"

3.若/<2〃?—2,則2%<2x3i,所以q=3加-2%>3",所以=

所以。2m+2=2。2吁|-°2加1(由(2)知對(duì)任意〃?成立)，所以牝=2%-%，與事實(shí)上。6=2%-%矛盾,

1,〃=1

〃一3

綜上4=,5x32,n=2k+l,keN*.

n

33,〃=2A,AGN”

【點(diǎn)睛】1.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.證明時(shí)步驟

(1)和(2)缺?不可，步驟(1)是步驟⑵的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù).

2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第(1)步驗(yàn)算〃=〃。的〃。不一定為1,而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值.第

(2)步，證明〃=左+1時(shí)命題也成立的過(guò)程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.

考點(diǎn)02充分條件和必要條件的判斷與探求

4.(2024?全國(guó)甲卷?高考真題)設(shè)向量值=(x+l,x),1=(x,2),則()

A.”=-3”是“3_LE”的必要條件B."x=1+石”是5/"”的必要條件

C.“x=0”是“￡力”的充分條件D.“x=-l+G”是叮/狗”的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對(duì)A,當(dāng)［Jj時(shí),則￡$=0,

為o的實(shí)數(shù)4,4,4，使得49西+4麗=0.已知(i,o,o)eC,則(。,。，1)任c的充分條件是()

A.(O,O,O)eQB.(-l,O,O)eQ

C.(O,1,O)GQD.(O,O,-1)GQ

【答案】c

【分析】首先分析出三個(gè)向量共面，顯然當(dāng)(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)e。時(shí),三個(gè)向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底,

則即可分析出正確答案.

【詳解】由題意知這三個(gè)向最而I,誣，函共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

對(duì)A,由空間直角坐標(biāo)系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0』)三個(gè)向量共面，則當(dāng)(0,0,0),(l,0,0)wC無(wú)法推出

(0,0,1)4C,故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,由空間直角坐標(biāo)系易知0),(1,0,0),(0,0,1)三個(gè)向最共面，則當(dāng)(-1,0,0),(1,0,0)￡i1無(wú)法推出

(0,0,1)eQ,故B錯(cuò)誤:

對(duì)C,由空間直角坐標(biāo)系易知(1,0,0),(0,0』),(0』,0)三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

則由(1,0,0),(0,1,0)eQ能推出(0,0,1)任C,

對(duì)D,由空間直角坐標(biāo)系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,-】)三個(gè)向量共面，

則當(dāng)(0,0,-1)(1,0,0)wC無(wú)法推出［0,0』)史Q,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

考點(diǎn)03判斷命題的充分不必要條件

7.(2025?天津?高考真題)設(shè)xeR,則“x=0”是人泊2%=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】通過(guò)判斷是否能相互推出，由充分條件與必要條件的定義可得.

【詳解】由x=()nsin2x=sinO=O,貝廣x=0”是“5何2*=0"的充分條件；

又當(dāng)x=五時(shí)，sin2x=sin2?t=0,可知sin2x=0?x=0,

故“x=0”不是“sin2x=0”的必要條件,

綜上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要條件.

故選:A.

8.(2025?北京?高考真題)已知函數(shù)/⑴的定義域?yàn)?。，則“〃勸的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意MwR,存在

使得|/(%)卜〃”的()

A.充分不必要條件B.必要穴充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.

【詳解】若函數(shù)八幻的值域?yàn)镽，則對(duì)任意MwR,一定存在司￡。，使得/（%）=|M|+1,

取/=玉，則|/（x0）|=M+l>M,充分性成立；

a/（x）=2\O=R,則對(duì)任意MwR,一定存在％e。，使得/'（xJ=|M|+l,

?。?玉，則，但此時(shí)函數(shù)/3）的值域?yàn)椋?,+力），必要性不成立；

所以“/（x）的值域?yàn)镽”是“對(duì)任意MwR,存在x°e。，使得的充分不必要條件.

故選:A.

9.（2022?天津?高考真題）“x為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由當(dāng)"為整數(shù)時(shí)，2x+l必為整數(shù)：當(dāng)2x+l為整數(shù)時(shí)，x不一定為整數(shù)：即可選出答案.

【詳解】當(dāng)1為整數(shù)時(shí)，2工+1必為整數(shù)；

當(dāng)2x+l為整數(shù)時(shí)，x不一定為整數(shù)，

例如當(dāng)2x+l=2時(shí)，x=-.

2

所以“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的充分不必要條件.

故選:A.

10.（2022?浙江?高考真題）設(shè)xeR,則“sinx=1”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)閟in?x+cos，x=1可得：

當(dāng)sinx=l時(shí),cosx=0,充分性成立;

當(dāng)cosx=0時(shí)，sinx=±1,必要性不成立:；

所以當(dāng)xcR,sinx=l是cosx=（）的充分不必要條件.

故選:A.

11.（2021,天津?高考真題）已知oeR,則“a>6”是“/>36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由充分條件、必要條件的定義判斷即可得解.

【詳解】由題意，若?！?,則/>36,故充分性成立；

若/>36,則。>6或“<-6,推不出。>6,故必要性不成立；

所以“。>6”是“1>36”的充分不必要條件.

故選:A.

12.（2021?北京?高考真題）已知f（x）是定義在上［0J的函數(shù)，那么“函數(shù)/"）在血1］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)

/⑴在［0,1］上的最大值為/⑴”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】若函數(shù)/（X）在［05上單調(diào)遞增，則“X）在［05上的最大值為了⑴，

若"x）在［（）』上的最大值為/⑴，

比如=

（i>2riiri

但f（x）=x--在o,,為減函數(shù)，在-j為增函數(shù)，

故/（戈）在M上的最大值為/⑴推不出/（x）在［0/上單調(diào)遞增，

故“函數(shù)/（x）在［05上單調(diào)遞增”是“/⑺在［0』上的最大值為/⑴”的充分不必要條件，

故選:A.

考點(diǎn)04判斷命題的必要不充分條件

13.（2024?北京?高考真題）設(shè)￡,B是向量，則“伍+研”6）=0"是“￡=-E或￡="的（）.

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分折可知（方十孫R-5）=。等價(jià)丁?同=跖結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】因?yàn)椋?肛（。5）=>-釬=o,可得了=/,即同=忖，

可知（1+孫伍回=0等價(jià)于同=忖,

若，=石或1=一?？傻猛?W，即,+孫僅-B）=o,可知必要性成立：

若（"孫,-5）=（）,即同=忖，無(wú)法得出￡=否或n,

例如3=(1,0)3=(0,1),滿足同=W，但且工?兒可知充分性不成立；

綜上所述，“G+B)?伍-1)=0"是5=1或￡=戶的必要不充分條件.

故逸:B.

14.(2021?浙江?高考真題)已知豐零向量￡33則“["=5?”是高=廣的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】

如圖所示，而二瓦礪二尻3二口或=”鼠當(dāng)/IBJ.OC時(shí)，1一5與[垂直，一可1=0,所以=

成立，此時(shí)彳工5，

???12=否?"不是的充分條件，

rrrrr

當(dāng)萬(wàn)=B時(shí),方—b=0,-6卜，=0。c=0a.c=行.c"成立,

???D=是。=5的必要條件，

綜上，“1工=兀不是匕=*’的必要不充分條件

15.(2023?天津?高考真題)已知明bwR,“。2=〃”是“/+〃=2〃6”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.

【詳解】由/=〃，則。=±〃，當(dāng)。=一人/0時(shí)/+〃=2c力不成立，充分性不成立;

由/+〃=2",則S-6)2=0,即。=方，顯然/=/成立，必要性成立；

所以/=從是/+從=2帥的必要不充分條件.

故選：B

16.(2023?全國(guó)甲卷?高考真題)設(shè)甲:sida+sii?夕=1,乙：sina+cos夕=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件?、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

【詳解】當(dāng)sin2a+sin24=l時(shí)，例如a=],6=()但sina+cos0。。，

即5由2々+511?夕=1推不出$出。+8$/=0；

當(dāng)sina+cos夕=0時(shí)，sin2a+sin2^=(-cos^)2+sin2/7=l,

即日110+8$夕=0能推出5由2。+411；!尸=1.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選:B

17.(2021?全國(guó)甲卷?高考真題)等比數(shù)列｛““｝的公比為生前〃項(xiàng)和為S”，設(shè)甲：q>°，乙：｛與｝是遞增

數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】當(dāng)4>0時(shí)，通過(guò)舉反例說(shuō)明甲不是乙的充分條件；當(dāng)｛，｝是遞增數(shù)列時(shí)，必有4>0成立即可說(shuō)

明4>0成立，則甲是乙的必要條，牛，即可選出答案.

【詳解】由題,當(dāng)數(shù)列為-2,-4,-8,…時(shí)，滿足g>0,

但是｛邑｝不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件.

若｛，｝是遞增數(shù)列，則必有勺>。成立，若夕>0不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則4>。成

立，所以甲是乙的必要條件.

故選：B.

【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過(guò)舉反例說(shuō)明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過(guò)

程.

考點(diǎn)05判斷命題的充要條件

18.(2024?天津?高考真題)已知％bwR,則“蘇=必”是“3。=3一'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】說(shuō)明二者與同一個(gè)命題等價(jià)，再得到二者等價(jià)，即是充分必要條件.

【詳解】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，『=力和3"=才都當(dāng)且僅當(dāng)。=〃，所以二者互為充要條件.

故選：C.

19.(2022?北京?高考真題)設(shè)｛%｝是公差不為()的無(wú)窮等差數(shù)列，貝卜｛4｝為遞增數(shù)歹U”是“存在正整數(shù)N。，

當(dāng)〃>乂時(shí)，/>0"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則dwO,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義

判斷可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為4,則記卜]為不超過(guò)x的最大整數(shù).

若｛可｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0,

若《20,則當(dāng)〃之2時(shí)，半>囚。0；若％<0,則%=%+(〃-]”，

由%=4+(〃—1”>0可得〃>1一3,取N0=1-3+1,則當(dāng)時(shí)，％>0,

dL。_

所以，”｛4｝是遞增數(shù)列”n“存在正整數(shù)M，當(dāng)〃>乂時(shí)，％>()”：

若存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃,乂時(shí)，牝>0,取壯N'且QN。，&>0，

假設(shè)d<0.令%=%可得"，Rk-—>k,

dd

當(dāng)〃〉吟+1時(shí)，4<0,與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則八0,即數(shù)列｛叫是遞增數(shù)列.

所以，“｛%｝是遞增數(shù)列“<="存在正整數(shù)乂，當(dāng)〃〉乂時(shí)，勺>0”.

所以，'、｛"”｝是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)乂，當(dāng)心乂時(shí)，/>0”的充分必要條件.

故選：c.

20.(2023?北京?高考真題)若則“x+y=0”是"2+土=-2”的()

xy

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】解法一：由j+q=-2化簡(jiǎn)得到x+y=o即可判斷：解法二：證明充分性可rhx+y=O得到工=一歹.

代入土+上化簡(jiǎn)即可，證明必要性可由±+2=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可

yxyx

由土+上通分后用配湊法得到完全平方公式，再把x+y=O代入即可，證明必要性可由三十上通分后用配湊

yxyx

法得到完全平方公式，再把x+y=o代入，解方程即可.

【詳解】解法一：

因?yàn)榭伞ǎ?，且?上=-2,

yx

22

所以、2+/=_2個(gè)，g|Jx+y+2.rv=0,即（x+y『=o,所以%+夕=（）

所以"x+y=O”是"'+2=-2，，的充要條件.

解法二：

充分性：因?yàn)橹小?,且x+y=o,所以x=-九

所以2+上=2+工=7_|=一2,

yxy-y

所以充分性成立：

必要性：因?yàn)橹泄ぃǎ?，且?上=-2,

y*

所以/+/=-2個(gè)，B|Jx2+y2+2xy=0,即（工+卜了二。，所以x+y=O

所以必要性成立.

所以"X+y=O”是"二+2=-2”的充要條件.

yx

解法三：

充分性：因?yàn)閷O工0,且x+y=O,

所以￡+2=/+/=^+/+為'_為=5+力2_411^_2,

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因?yàn)橹泄ぃǎ?，且?2=-2,

yx

所以XIJ二9+/_X?+/+為,一%,二（》+?隹（x+42,

yx