專題02全等三角形（培優(yōu)卷）

1.如圖，在△AOB和△C。。中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,ZAOB=ZCOD=36°.連

接AC,BD交于點M,連接OM.則在下列結(jié)論：①N4MB=36°,?AC=BD,③OM

平分NA。。，@ZAMD=144°.其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個.

A.4B.3C.2D.1

2.如圖，在△44。中，頂點A在工軸的負半軸上，且/840=45°,頂點8的坐標為（-

1,3）,P為人8邊的中點，將△/WC沿x軸向右平移，當點人落在（1,0）上時，點、P

3.如圖，在RtZ\A8C中，NABC=90°,以4c為邊，作△AC。，滿足AO=AC,E為BC

上一點，連接AE,ZCAD=2ZBAE,連接。E,下列結(jié)論中：?ZADE=ZACBi@AC

±￡>E；?ZAEB=ZAED；?DE=CE+2BE.其中正確的有（）

A.①②③B.③?C.①④D.①@④

4.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為BC上的一點，/而。=28°，在4。的右側(cè)作△ADE,

使得AE=A。，ZDAE=ZBAC,連接CE,DE,OE交AC于點O,CE//AB,則N

DOC的度數(shù)為.

BD

5.如圖，AB=BE,ZDBC=1ZABE,BD1AC,則下列結(jié)論正確的是：.（填序號）

2-

①平分NQCE；

?ZABE+^ECD=\SQ°；

③AC=2BE+CE；

?AC=2CD-CE.

6.(2023秋?樊城區(qū)期中)如圖，A、B、C三點在同一直線上，分別以A&BC為邊,在

直線人C的同側(cè)作等邊△人4。和等邊△8CE,連接八E交BO于點M,連接CO交8萬于

點N,連接MN得△BMV.

(1)求證：AE=CDx

(2)試判斷△8MN的形狀，并說明理由；

(3)設(shè)C。、AE相交于點G,求/AGC的度數(shù).

D

7.(2024秋?牡丹江期中)已知△A8C為等腰直角三角形，AB=AC,/XADE為等腰直角

三角形，AO=AE,點Q在直線8c上，連接CE.

(1)若點。在線段上，如圖I,求證：CE=BC-CD；

(2)若。在CB延長線上，如圖2,若。在8c延長線上，如圖3,其他條件不變，又

有怎樣的結(jié)論？請分別寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不需要證明；

(3)若CE=10,CD=4,則3C的長為.

8.(2024秋?天河區(qū)校級期中)如圖所示，直線A8交x軸于點4(4,0),交y軸于點4

(0,-4).

(1)如圖1,若C的坐標為(-1,0),且A”_LBC于點”，AH交OB于點、P,求證:

△0”絲△O8C；

(2)如圖2,若點。為A3的中點，點M為)，軸正半軸上一動點，連接M。，過。作

DNA.DM交x軸于N點，當M點在y軸正半軸上運動的過程中，式子S^BDM-SMDN的

值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變叱范圍；若不改變，求該式子的值.

圖1

9.(2023秋?蔡甸區(qū)期末)如圖1,在平面直角坐標系中，4(-3,0)、B(0,7)、C

(7,0),

NA8C+NAOC=180°,BCLCD.

(1)求證：ZABO=ZCAD；

(2)求四邊形A8CO的面積；

(3)如圖2,￡為NACO的鄰補角的平分線上的一點，且NZ?KO=45°,OE交BC于煮

10.(洪山區(qū)期中)如圖，直線4/6交x軸于點A(a,0),交)，軸于點8(0,b),且〃、

力滿足|。+加+(a-5)2=0

(1)點A的坐標為，點8的坐標為:

(2)如圖，若點C的坐標為(-3,-2),且8E_LAC于點E,OO_LOC交8E延長線

于。，試求點。的坐標：

(2)如圖(2),若0CV4,連接。。，求證：。。平分N4QC.

(3)若004時，請問(2)的結(jié)論是否成立？若成立，畫出圖形，并證明；若不成立,

說明理由.

專題02全等三角形(培優(yōu)卷)

1.如圖，在△AO4和△C。。中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,ZA0B=ZCOD=360.連

接AC,BD交于點、M,連接OM.則在下列結(jié)論：①NAM8=36°,②AC=8O,③0M

平分N4OO,④NAMD=I44°.其中正確的結(jié)論個數(shù)有()個.

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解答】解：?.?N4OE=/COO=36°,

???/AOB+/BOC=N80C+NC0。，

即NA0C=N8。。，

在△OAC和△08。中，

rOA=OB

\NAOC=/OBD，

|OC=OD

.??△OACdOBD(SAS),

：,ZOAC=ZOBD,AC=BD,所以②正確；

NAO8+NQ4C+N1=N4MB+NOBD+N2,

而N1=N2,

：,ZAMB=ZAOB=36°,所以①正確；

???NAMO=18()°-NAM3=180。-36°=144°,所以④正確；

過。點作OEJ_AC于E,0F1BD于F,如圖，

?:△OASAOBD,0

?…

???MO平分ZAMD,\/

而NOAMWOZW,:

AZAOM^ZDOM,所以③錯誤.

故選：B.

2.如圖.在△AB。中，頂點人在“軸的負半軸上，口/84。=45°,頂點B的坐標為（-

I,3）,P為人8邊的中點，將△ABC沿x軸向右平移，當點人落在（1,0）上時，點P

的對應(yīng)點P'的坐標為（）

A.(3,1)

B.⑶7)D.號!

【答案】D

【解答】解：如圖，過點P，8分別作PZ）_Lx軸于點。，BE_Lx軸于點E,

:.BE//PD,

??/為A3邊的中點，

???￡＞為AE的中點,

:.PD=LBE,

???NBAO=45°,頂點8的坐標為（?1,3）,

：,AE=BE=3,0E=\,

???0A=4,

（-4,0）,

VDE=-1A￡=J.,

22

??.。。=區(qū)，

2

?.?PD=_1BE=&,

22

：.P（-2,

22

???將△ABC沿x軸向右平移，當點A落在（1,0）上時，

???平移距離為5,

，產(chǎn)的對應(yīng)點P’的坐標為（苴，3）,

22

故選：。.

3.如圖，在RtZVIBC中，ZABC=90°,以AC為邊，作△AC。，滿足AQ=AC,E為BC

上一點，連接A￡,ZCAD=2ZBAE,連接OE,下列結(jié)論中：?ZADE=ZACB；?AC

±DE；③NAEB=NAED；?DE=CE+2BE.其中正確的有（）

A.①②③B.③?C.①④D.???

【答案】D

【解答】解：如圖，延長E8至G,使BE=BG,設(shè)AC與。E交于點M,

VZA^C=90°,

：.ABLGE,

???A8垂直平分GE,

???AG=AE,ZGAB=^BAE=^ZDAC,

2

VZBAE=AZGAE,

2

：.ZGAE=ZCAD,

JZGAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,

：.ZGAC=ZEAD,

在△GAC與△￡4Q中，

AG=AE

<NGAC=/EAD，

AC=AD

???△GACdEA。（SAS）,

：.ZG=ZAED,ZACB=ZADE,故①是正確的；

???AG=AE,

：，ZG=ZAEG=ZAED,故③正確；

???AE平分N3￡。，

當NRAE=NEAC時，ZAME=ZABE=90°,貝ljAC_LOE,

當/BAEWNE4c時，NAMEWNABE,則無法說明ACJ_OE,故②是不正確的;

V^GAC^AEAD,

:.CG=DE,

,:CG=CE+GE=CE+2BE,

：?DE=CE+2BE,故④是正確的，

綜上所述：其中正確的有①③④.

故選：D.

4.如圖，在△ABC中，A8=AC,D為BC上的一點，/84。=28°，在AD的右側(cè)作△ADE,

使得AE=AO,ZDAE=ZBAC,連接CE,DE,DE交AC于點、O,CE//AB,則/

QOC的度數(shù)為

【答案】920

【解答】解：ZDAE=ZBAC,

AZDAE-ZDAC=ZBAC-ZDAC,

：,ZDAB=ZEAC,

在AO/W和△￡A。中，

'AB=AC

'ZDAB=ZEAC，

AD=AE

???△D4的△EAC(SAS),

：.ZB=ZACE,

\*CE//AB,

/.Zfi+Z^CE=180o,

???NB+NAC8+/ACE=180°,

*：AB=AC,

:?/B=NACB,

，NB=NAC8=NACE=60°,

???△ABC是等邊三角形，

AZDAE=ZBAC=60c,

??.△AQE是等邊三角形，

AZ4D￡=60°,

VZBAD=28°,

???/OAZ)=60°-28°=32°,

???ZDOC=ZOAD+ZADE=32°+60°=92°.

故答案為：92°.

5.如圖，AB=BE,ZDBC=1ZABE,BD1AC,則下列結(jié)論正確的是：.(填序號)

2-

①平分NOCE；

@ZABE+ZECD=\SC°；

@AC=2BE+CE；

?AC=2CD-CE.

【答案】①②④

【解答】解：延長CD,以B為圓心，8C長為半徑畫弧，交CO的延長線于點F,則B/

=BC,過點8作8G_LCE,交CE的延長線于點G,

:.DF=DC,ZDBC=ZDBF=^ZFBC,

2

?：ZDBC=1ZABE,

2

：,ZFBC=ZABE,

:?NF3A=NC8E,

'：AB=AE,

:ZAB94CBE(SAS),

:?/F=NBCE,

，：BF=BC,

：,ZF=ZBCD,

:./BCD=NBCE,

???4C平分NQCE,

故①正確；

VZFBC+ZF+ZfiCD=180°,

/.ZABE+ZBCE+ZBCD=\^,

.??NA8￡+NQCE=18(T,

故②正確；

VZBDC=Z^GC=90°,BC=BC,

:?△BD%ABGCCAAS),

：.AD=GE,CD=CG,

*：AC=AD+DC,

：,AC=AD+CG

=AD+GE+CE

=2GE+CE,

?；GEWBE,

；?AC/2BE+CE,

故③錯誤；

,：AC=CF-AF,

.\AC=2CD-CE,

故④正確：

故答案為：①②④.

6.（2023秋?樊城區(qū)期中）如圖，4、B、C三點在同一直線上，分別以AB、BC為邊,在

直線AC的同側(cè)作等邊△AB。和等邊△8CE,連接AE交4。于點M,連接C。交跖于

點N,連接MN得△8MN.

（1）求證：AE=CD；

（2）試判斷△6MN的形狀，并說明理由；

（3）設(shè)C。、AE相交于點G,求NAGC的度數(shù).

【解答】（1）證明：???等邊△A8O和等邊△8CE,

???AB=DB,BE=BC,N4BQ=NE8C=60°,

/.ZABE=ZDBC=\^a,

在△ABE和△Q3C中，

(AB=DB

NABE=/DBC，

IBE=BC

??.△AB慮△OBC(SAS).

：.AE=CD.

(2)解.：△8MN為等邊三角形，理由為：

△ABE/2DBC,

???ZAEB=ZDCB,

又NABD=NEBC=6(r,

：.ZMRE=\S(r-60°-60°=60°.

即NMBE=NN8C=60°,

在△MBE和△NBC中，

,ZAEB=ZDCB

?EB=CB，

ZMBE=ZNBC

:?△MBEW4NBC(ASA),

:.BM=BN,ZMBE=60a,

則△8MN為等邊三角形.

(3)解：?；AABE冬4DBC,

；?NEAB=NBDC,

'：/AMB=NDMG,

???NABM=/DGM,

*/△A3。是等邊三角形，

???NA3M=60。，

???NOGM=N/WM=60°,

???NAGC=I2O0.

D

E

A---------------B-----------“

7.（2024秋?牡丹江期中）已知△ABC為等腰直角三角形，AB=AC,aAOE為等腰直角

三角形，點/）在直線BC上，連接CE.

（1）若點。在線段8c上，如圖1,求證：CE=BC-CD,

（2）若。在C8延長線上，如圖2,若。在8c延長線上，如圖3,其他條件不變，又

有怎樣的結(jié)論？請分別寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不需要證明；

（3）若CE=10,CD=4,則AC的長為.

【解答】（I）證明：:△ABC和△AOE是等腰三角形，AD=AE,

'：ZBAC=ZDAE=W,N48C=NBG4=45°,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

???N8AO=NCAE,

在△D48與△E4C中，

(AB=AC

NBAD=NCAE，

IAD=AE

???△DA盛△E4C(SAS),

:?BD=CE,NB=NACE=45°,

*：BC=BD+CD,

:.BC=CE+CD,

：.CE=CB-CD；

（2）解：當點。在CB的延長線上時，結(jié)論：CE=CD-BC,

理由如下：;△ABC和△4￡>￡：是等腰三角形，AB=ACAD=AE,

???N8AC=NOAE=9(T,ZABC=ZBCA=45°,

/.ABAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,

：.ZBAD=ZCAE,

在△DW與△E4C中，

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE?

AD=AE

???△D489△EAC(SAS),

：,BD=CE,ZABD=^ACE,

?：DC=BD+BC,

：,CE=CD-BC；

當點/)在月。的延長線卜時,結(jié)論：CE=BC+CD,

理由：同當點力在8C的延長線上時的方法得△OA5g/\E4C(SAS),

:.BD=CE,ZABD=^ACE,

：.CE=BD=BC+CD,

???CE=BC+CD；

(3)解：由(2)知，^DAB^AEAC(SAS),

:.BD=CE，

VCE=10,

???8。=10,

VCD=4,

，點D在線段BC上或在BC的延長線上，

當點。在線段8C的上時，由(1)知，CE=BC-CD,

：.I3C=CE+CD=lO+4=\4,

當點。在3c的延長線上時，由(2)知，CE=BC+CD,

:?BC=CE-CD=10-4=6,

8.(2024秋?天河區(qū)校級期中)如圖所示，直線AB交x軸于點A(4,0),交y軸于點A

(0,-4).

(1)如圖1,若。的坐標為(?1,0),且A"_L8C于點"A"交08于點P,求證：

△OA3ZXO8C；

(2)如圖2,若點。為A8的中點，點M為y軸正半軸上一動點，連接MQ,過。作

QN_LQM交x軸于N點，當M點在)，軸正半軸上運動的過程中，式子?S”DN的

值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式了?的值.

圖1圖2

【解答】解（1）???點A的坐標為（4,0）,點8的坐標為（0,-4）,

：?OA=OB,

VZAOP=90°,NBHP=90°,

4A0P=NBHP,

'：/APO=NBPH,

：?/OAP=/OBC,

在△Q4P和△O8C中，

rZOAP=ZOBC

?OA=OB，

ZAOP=ZBOC

:AOAPWAOBC（ASA）；

（2）式子S^BDM-S/^ADN的值不發(fā)生改變，

理由如下：如圖2,連接OD,

圖2

???N4OB=90°,O4=OB,點D為AB的中點，

：.OD1AB,OD=OA=OB,ZBOD=ZAOD=ZOAD=45°,

/.ZMOD=135°,NNAO=135”,

：.4M0D=/NAD,

?：/ODA=NMDN=90°,

:.NMDO=/NDA,

在△MO。和△NAQ中，

rZMOD=ZNAD

-OD=AD，

ZMDO=ZNDA

:,△MOD/ANAD(ASA),

SAMOD=S/\NAD,

V5A^OB=AX4X4=8,

2

??,點。為A8的中點，

:.SADOB=—XSMOH=-X8=4,

22

/.SABDM-SAADN=SAHDM-S/\MOD=S/\DOB=4.

9.(2023秋?蔡甸區(qū)期末)如圖1,在平面直角坐標系中，A(-3,0)、8(0,7)、C

(7,0),

ZABC+ZADC=\SOC,BCVCD.

(I)求證：NABO=NCAD；

(2)求四邊形ABC。的面積；

(3)如圖2,E為/BCO的鄰補角的平分線上的一點，且N8EO=45°,OE交BC于點

【解答】解：(1)在四邊形ABC。中,

VZABC+ZADC=180°,

AZBAD+ZBCD=180°,

YBSCD,

AZBCD=90°,

???NBAD=90°,

：,ZBAC+ZCAD=90a,

???NA4C+NA8O=90°,

???ZABO=ZCAD；

(2)過點A作人凡LBC于點尸，作AE_LCO的延長線于點區(qū)作。GJ_x釉于點G,

(0,7),C(7,0),

：.OB=OC,

：.ZBCO=45°,

■:BC上CD,

:?NBCO=NDCO=45°,

V4F±?C.AELCD,

：,AF=AE,ZFAE=W,

:.NBAF=NDAE,

在△ABb和AAOE中，

rZBAF=ZDAE

AF=AE，

IZAFB=ZAED

/.AABF^AADECASA),

：,AB=AD,

同理，△4BOgZ\D4G,

：.DG=AO,BO=AG,

'：A(-3,0)B(0,7),

???。(4,-3),

5四888=工。?kBO+DG)=50；

2

(3)過點E作Ea_L8C于點”，作EG_Lx軸于點G,

,：E點、在NBCO的鄰補角的平分線上，

:?EH=EG,

?；NBCO=NBEO=45°,

:./EBC=NEOC,

在AEBH和AEOG中，

rZEBH=ZEOG

<NEHB=NEGO，

EH=EG

:./XEBH@&EOG(AAS),

：?EB=EO,

???/BEO=45°,

:?NEBO=/EOB=675°，又NO8C=45°,

??,/BOE=/BFO=675°,

：.BF=BO=7.

10.（洪山區(qū)期中）如圖，直線A8交x軸于點4（?,0）,交y軸于點8（0,〃），且〃、

。滿足|。+臼+（。-5）2=0

（1）點A的坐標為，點B的坐標為:

（2）如圖，若點。的坐標為（-3,-2）,且用?_LAC于點E,OQ_LOC交8E延長線

于。，試求點。的坐標；

（3）如圖，M、N分別為。4、OB邊上的點，OM=ON,OPLAN交AB于點P,過點P

作PGJL8M交4N的延長線于點G,請寫出線段AG、。尸與PG之間的數(shù)量關(guān)系并證明

你的結(jié)論.

【解答】解：(1)??］什加+(〃-5)2=0,

?\a=5,b=-5,

???點4的坐標為(5,0),點8的坐標為

(0,-5),

故答案為：(5,0)；(0,-5)；

(2)過C作CK_Lx軸，過。作。P_Ly軸，

?.?/AEO=N5OK=90°,

:?NDBO=NOAC,

???NAOB+NBOC=NBOK+NBOC=90°+NBOC,

???4Aoe=4BOD,

在△AOC與△8。。中，

rZA0C=ZB0D

<OA=OB，

Z0AC=Z0BD

.??△AOC—8OO(ASA),

???OC=OD,

在△OCK與40。尸中，

fZDFO=ZCKO=90^

ZDOF=ZCOK，

loD=OC

:.△OCKWAODF(A4S),

：.DF=CK,OK=OF,

:?D(-2,3)；

(3)延長G尸到L使P/,=OP,連接4L,

在△AON與aBOM中,

ON=OM

<ZAON=ZBOM-

OA=OB

，AAON出ABOM,

：?NOAN=NOBM,

:?/MBA=/NAB,

VPGIBM,OP1AN,

，ZNAB+ZOPA=ZMBA+ZGPB=90°,

JZOPA=ZGPB=ZAPL,

在△OAP與△R1L中，

PL=OP

<NAPL=N0PA，

AP=AP

：.ZPOA=ZL,ZOAP=ZRAL=45°,

???NQU=90°,

???NPOA=90°-ZPOB,ZGAL=90°-AOAN,

???NPO8+/AOP=90°,ZAOP+ZOAN=90°,

：.ZPOB=ZOAN.

：,ZPOA=ZGAL,

???/POA=NG4L=NL,

：.AG=GL,

：.AG=GL=GP+PL=GP+OP.

11.（2024秋?博羅縣期中）如圖，平面直角坐標系中有點8（-1,0）和〉，軸上一動點A

（0,a）,其中。＞0,以A點為直角頂點在第二象限內(nèi)作等腰直角△A8C,設(shè)點。的坐

標為（c,d）.

（1）當a=2時，則C點的坐標為（,）；

（2）動點人在運動的過程中，試判斷c+”的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若

發(fā)生變化，請說明理由.

（3）當。=2時，在坐標平面內(nèi)是否存在一點P（不與點。重合），使△RIB與AABC

全等？若存在，求出P點坐標：若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）如圖，過點C作CE_L），軸于E,則NC￡A=NAO8,

???△ABC是等腰直角三角形，

???AC=8A,Z/MC=90°,

???NACE+/C4E=90°=/8AO+NCAE,

???^ACE=ZBAO,

在△4CE和△84。中，

rZCEA=ZA0B

<ZACE=ZBA0-

AC=BA

?'.△ACE0△8A0（AAS）,

?:B(-1,0),A(0,2),

???8O=AE=1,AO=CE=2,

1+2=3,

：.C(-2,3),

故答案為：-2,3；

(2)動點A在運動的過程中，c+d的值不變.

過點C作CEJLy軸于E,則NCE4=N4O8,

???△48C是等腰直角三角形，

???AC=BA,NBAC=90°,

???ZACE+ZCAE=90a=ZBAO+ZCAE,

/.ZACE=ZBAO,

在△ACE和△84。中，

rZCEA=ZA0B

<NACE=NBA0，

AC=BA

A^ACE^/^BAO(AAS),

YB(?1，0),A(0，a),

：,BO=AE=\,AO=CE=a,

：.OE=\+a,

C(-a,\+a)?

又???點C的坐標為(c,d),

:.c+d=-a+\+a=\,即c+d的值不變；

(3)存在一點P,使△以B與△ABC全等，

分為三種情況：

①如圖，過P作FE_L/軸丁E,則ZPSA=NAO6=N尸￡3=90°,

：?NEPB+NPBE=9()°,NPBE+NABO=90°,

；?NEPB=NABO,

在△PE8和△8Q4中，

，ZEPB=ZAB0

<ZPEB=ZB0A-

PB=BA

:?△PEB/ABOA(AXS),

：.PE=BO=\,EB=A0=2t

???OE=2+1=3,

即戶的坐標是（?3,1）；

②如圖，過。作CM±x軸于M,過0作PE±x軸于E,則NCMB=NPEB=9（）