2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新I卷）

★機大家學習生活*快*

注喜事

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號，試室號，座位號填寫在答題

卡上。用2B鉛筆將試卷類型和考生號填涂在答題卡相應(yīng)位置上。

2.選擇題每小題選出答案后，用26鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用

橡皮擦干凈后，再填涂其他答案。答案不能答在試卷匕。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上:如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答

案無效。

一、選JWB：本大JB共8小題,每小題5分,共計40分.每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.請

把正確的選項填涂在答JB卡相應(yīng)的位置上.

L（l+5i）i的虛部為（）

A.-1B.0C.1D.6

2.設(shè)全集。={訃r是小于9的正整數(shù)},集合4={1,3,5},則中元素個數(shù)為（）

A.2B.3C.5D.8

3.若雙曲線C的虛軸長為實軸長的/倍，則。的離心率為（）

A.A/2B.2C.V7D.2A/2

4.若點（a,0）（Q>0）是函數(shù)片2tan（土一專）的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（）

A.B.C.奇D.等

5.設(shè)/⑺是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當24①&3時"⑸=5—2①則/（一*）=（）

A.一十B-/C-D.十

6.帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學中稱為視風風速，視風

風速對應(yīng)的向最，是真風風速對應(yīng)的向最與船行風速對應(yīng)的句最之和，其中船行風速對應(yīng)的向最與船速

對應(yīng)的向量大小相等，方向相反。圖1給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應(yīng)關(guān)系。已知某帆船

運動員在某時刻測得的視風風速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風速的大小和向量的大小相同,

單位（m/s）,則真風為（）

等級風速大小m/s名稱

21.1-3.3輕風

33.4-5.4微風

45.5~7.9和風

58.0-10.1勁風

A.輕風B.微風C.和風

數(shù)學試題第1頁共4頁

7.若圓/+(7/+2)2=r2(r>0)上到直線y=V3x+2的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是

()

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+00)D.(0,+8)

8若實數(shù)①滿足2+log2Z=3+log：/=5+log5Z,則①協(xié)z的大小關(guān)系不可能是()

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

二、選彝題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題蛤出的選項中，有多項符合題目要求?全部選

對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.在正三棱柱ABC—45G中,。為8c中點，則()

A.ADA-AiCB.BC_L平面力41。C.CG〃平面44。D.AD//A{B{

10.設(shè)拋物線。:娟=6c的焦點為R過尸的直線交C于力、8過F且垂直于4?的直線交準線l-.x=--|于

E,過點、A作準線I的垂線，垂定為D,則()

A.\AD\=\AF\B.\AE\=\AB\C.\AB\^6D.\AE\-\BE\^18

I1.已知△力BC的面積為［■，若8s24+8526+25加。=2,85/8585行1(7=4，則()

44

A.sinC=sinM+sin2^B.AB=yj2

C.sin力+sinB=誓D.AC2+3(72=3

三、填空題:本大題共3小題,每小題5分，共計15分.

12.若直線^=2出+5是曲線沙=6工+3：+0的切線，則°=.

13.若一個正項等比數(shù)列的前4項和為4,前8項和為68,則該等匕數(shù)列的公比為.

14.一個箱子里有5個相同的球，分別以1?5標號，從中有放回地取三次，記至少取出一次的球的個數(shù)X,

則數(shù)學期望E(X)=.

四、解答JH：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步騾.

15.(13分)為研究某乘病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機調(diào)查了1000人，得到

如下列聯(lián)表:

^波檢查結(jié)果

正常不正常合計

組別

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計800200100()

(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P,求P的估計值：

(2)根據(jù)小概率值a=0.001的獨立.性檢驗,分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

數(shù)學試題第2頁共4頁

n(ad-bc)2

附：*2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

p(,m)0.0050.0100.001

k3.8416.63510.828

16.(15分)

設(shè)數(shù)列｛冊｝滿足四=3，智■=舟

n(n+l)

(1)證明:｛九Q,J為等差數(shù)歹人

2,n

(2)設(shè)/(z)=axx+a2x4--??+tiinx,求/(-2).

17.(13分)

如圖所示的四棱錐產(chǎn)一ABCD中,R4J.平面ABCD、BC〃AD,AB±AD.

(1)證明:平面248_1,平面國0；

(2)若D4=AB=V2,AD=y/3+1,BC=2,2,8。,。在同一個球面上,設(shè)該球面的球心為。

⑴證明:O在平面4BCD上；

(H)求直線4C與直線PO所成角的余弦值.

數(shù)學試題第3頁共4頁

2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新高考［卷）

數(shù)學

--、選擇題:本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題紿出的四個選項中，只有?項是符合題目

要求的.

l.（l+5i）i的虛部為（）

A.-1B.0C.1D.6

101（1+bi）i=-b+i,故虛部為1.故選擇:（7

2.已知集合U={clc是小于9的正整數(shù)},4={1,3,5},則C"!中元素個數(shù)為（）

A.2B.3C.5D.8

圖晶心人={2,4,6.7.8},5個元素.故選擇:。

3.雙曲線虛軸長是實軸長的、斤倍，則離心率為（）

A.V2B.2C.V7D.2V2

留的b=<7anb?=7a?ne?=%=8=>e=2v'2故選擇:。

4.已知點（Q,0）（Q>0）是函數(shù)u=2tan（c—專）圖象的一個對稱中心，則。的最小值為（）

A—B—C二D—

42J33

囹尊|函數(shù)y=2tan（ar—,）的對稱中心為g+竽,￡￡Z,因為a>0,所以—產(chǎn)方.

故選擇:。

5.已知/⑺為定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當2<出<3時JQ）=5—2%則/（一切=（）

A.-yB.一:C.十D./

Wk（-f）=X2-1）=Xf）=X-1）=/（4-f）=/（T）=5-2xT="1?

故選擇

6.帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學中稱為視風風速,

視風風速對應(yīng)的向量，是真風風速對應(yīng)的向量與船行風速對應(yīng)的向量之和，其中船行風速對應(yīng)的向

量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應(yīng)關(guān)系,

已知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風速的大小和

向量的大小相同，單位m/s）,則真風為（）

等級風速大小名稱

21.1?3.3輕風

33.4?5.4微風

45.5?7.9和風

58.0?10.1勁風

圖1圖2

A.輕風B.微風C.和風D.勁風

?1?

黝感船風速(-1,-3),視風速(一3,-1),其風速(-2.2),所以V?=272<3.3,為輕風.

故選擇：〃

7.已知圓/+(什2)2="">0)上到直線g=+2的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值

范圍為()

A.(0,1)B.；1,3)C.(3,+8)D.(0,+8)

jg圖|設(shè)與直線夕=人工+2距離為1的平行直線的方程為y=，5o：+c,由寫工=1得c=0或％則八：1/=，5￡12：1/=、ei+4,則圓與

共兩個交點，由于網(wǎng)心(0,—2)位于直線LF方，故網(wǎng)只能與4相交且與口不相交，所以>XO；(-2)|<TV同XO-，2)+4|,即]

<r<3,

故選擇：6

8.已知2+log2c=3+log；/=5+log/,則x,y,z的大小關(guān)系不可能是()

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

+,A-2

圖圈J由題知log2x-1=log/=log：+2=A:,所以工=2*,y=3\z=5,

當"=-l時，上=1,夕=5,2=擊■,此時;r>y>z,/I可能正確；

當k=2時，工=8,y=9,z=1,此時y>1>z,C可能正確;

當把=5時，Z=矛=64,y=35=243,z=5$=125,此時y>z>心?？赡苷_.

故選擇：。

二、多項選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.在正三棱柱4BC-48G中，。為BC中點，則()

A.AD±AXCB.BC.L平面AA.D

C.CG〃平面A4QD.AD//A^

曲做場G中點

4：若4O_L4c已知則面內(nèi)。4,n^D_LAG.矛盾！4錯誤：3：4D_LBC.6C_LA4nbe_L面44Q,8正確:

。:若ADHAB,則C8HAQ”矛盾!。錯誤：

D：CC,IIAA^CC,^面AA.D=>CC,/7i|AAtD,D正確:綜h,故選BD.

10.設(shè)拋物線C:y2=6x的焦點為凡過R的直線交C于46兩點，過A點作垂線交準線于D點,過F

且垂直于的直線交2魂二一,于E點，則()

A.\AD\=\AF\B.AE\=\AB\C.\AB\\6D.\AE\'\BE\>18

圖座由拋物線定義可知:團。|=\AF\,故人正確；

當/18_L工軸,易知人4,3),鳳一.①,所以48=6,45="同#48.故8錯誤；

當4J不與工軸垂直時設(shè)人8”從工一蜀則防、：y=一/(工奇),所以￡(一去卷),聯(lián)立卜=M*T),可得后：2一(3四6)/+%2

ly=6]

=0,由韋達定理得:電+物=空42工.=今，所以|A8|=VT+P|XJ-X2|=，1+A;2W(￡]+gf-4工1皿=6+yr€(6,+8),故C正確；

Ar4首

I8([+_LV

由題易知EF_LAB,所以Sa,也B=g\AE\-\BE\-sinZ^E/J=^-|4Z?|-|EF|=>\AE\-\BE\=/總口>18,若AB_LH軸

//s"in1z,/%i/52p=si.nz./izi?￡5

?2?

可取等，收綜上。正確.

故選擇:ACD

11.已知4珞白。的面積為4，若8524+8523+25E。=2,8$48$氏；也0*=4，則()

44

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=^/2

C.sin4+sinB=^D.AC^+BC^^

乙

^_^Jcos24+cos2B+2sinC=2n2sinC=1-cos2A+1-cos2B=>2sinC=23in?A+2sin-B,所以sinC=sin%+sin-B,故A正確；

-Ar=-77=2足a2+62=c-2/?>c2,若標+〃>",即△48。為銳角三角形，則4+8>卷n4A卷一8,則加人〉

3in/loinHGinC22

sin(4y-I-PsinA>cxxaB,代4sinC=3n<4+siMB,有sinC=sir】。！+siM8>co?汨+siM8=1,矛盾,故小+〃=｛\即ccs(/t+8)

=34。56-弧湎冶=0=3/133=曲】?冶=:，因為5=4心皿。=+=帥7，所以而黑面=(2姆=2=>2公

0儡=2R=0nc=Q故3正確；

(sin4+sinB)2=sinMsirr/J4-2siiMsin/?=sinC+=y=>sin力+sin/?=-^-,故C正確;|AC|：'+|*C：'=|?4B|'=c2=2,收。錯誤.

故選擇:A3C

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.若直線g=2i+5是曲線?/=€T+①+a的切線，則a=.

一翳設(shè)/(Z)=e，+①+a./(工)=8+1=2n工=0.

/(")在T=n處切線為“=234>/(H)=23+1+n

故1+a=5=>a=d

13.若一個正項等比數(shù)列的前4項和為4,前8項和為68,則該等比數(shù)列的公比為.

SJ設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為g.前四項和為S=ai(l+g+^+d)=4,

4

$3=(11+02+/+田+的+為+生+4=(ai+az+as+a)+(a,+a.+aI,+a4)q=68=?I+Ig'=48=>g'=16.因正項等比數(shù)列，則q>0,

故q=2.

14.一個箱子里有5個球，分別以1?5標號，若有放回取三次,記至少取出一次的球的個數(shù)X,則

E(X)=.

韻金X的所有可能取值為123,

則P(x=i)=a?佶)a=N，p(x=2j=a-ay<+j=SHx=3)=4Mi7=S

所以E(X)=1**+2X暑+3X普=患.

故答案為:患

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過的超聲波檢查的人群中隨機調(diào)查了1000人,得到

如下列聯(lián)表：

檢查結(jié)果是否患病不正常

?3?

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計8002001000

(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患病的概率為p,求P的估計值;

(2)根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析樣本數(shù)據(jù)中超聲波檢查結(jié)果與是否患該疾病有關(guān).

n(ad-bc')2

附:爐=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(x2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

[^@(1)超聲浪檢今侍累不正浮龍新女族后沁順率尸=端=/；

(2)由題告知次?=765,625>10.828,所注根珀小概率值a=0.0012獨立聘杓驗，超聲濃杓香珞用身卷詼在

oUUX喘/UU:X二oU里UX慧2UU河：

病圖關(guān).

16.(本小題滿分15分)已知數(shù)列｛&｝中,。尸3,果~=舟+/]).

⑴證明：數(shù)列｛nan]是等差數(shù)列：

2n

(2)給定正整數(shù)m,設(shè)函數(shù)/(c)=aix-Fa2x+???+am3/,求:(一2).

酗⑴因為停.=今+而不亍‘"’⑺+以"+尸皿+1'即I"%’”一叫=1,

由*/敬村2定又可謁做對伍即｝為牙彳數(shù)列.

(2)即令鼠=似”，可尚限.1一鼠=1,

即｛>｝縣刈1?內(nèi)=3為備項，1為公務(wù)防笥務(wù)敝可，可甯謂bn=n+2=710n.

2n1

又國為f(x)=atx+a*2+a苫§…+%、產(chǎn)，所""'(￡)=a.I+2?21：+3a.tx■??+7na,?x-,

M2m

即f(i)=1?Qi+2a,x+3a壯…+ma1nx1即f'(x)=匕+b/+byr…+6mx，

嗝x=-25bti=n+24、人上4可謁/：-2)=3+4-(-2)+5?(-2y…+(m+2)(—2戶—

令$“,=r(-2)=3+4-(-2)+5-(一2。-+(血+2)(-2)",

百2S”,一3(2)I4(2/15-(2)3I(mI2)<2)m,

所網(wǎng)3sm=3+(—2)+(-2)2+(-2),+…+(—271-(m+2)?(—2)'\

1

1-(-2)--

3S,“=3+(-2)-(rn+2)-(-2)m,

1-(-2)

所=S,“=春一(紅產(chǎn))(一2廠.

17.(本小題滿分15分)如圖所示的四棱錐P—力BCD中,P4J.平面ABCD,BC//AD.ABLAD.

(1)證明:平面PAB平面PAD；

(2)若八4=48=方，力。=3+1,BC=2,RB,C,。在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為

O.

⑴證明Q在平面ABCD上：

(我)求直線AC與直線PO所成角的余弦值.

(353⑴證冊E4_L平面ABCDn%_L4?“式A8_L4D則4?_L面％P網(wǎng)平面_L平面R4D

(2)如圖，建東，由或可知,5(72,0,0)C(72,2,0).D(0,73+1,0)、P(0,0,72),

?4?

(i)設(shè)ABCD外殍陽耐心力0,良知葉去討力？=1；80▼季轉(zhuǎn)為y=劣+1,聯(lián)立解得0,(0,1,0),由千0O尸6,80尸g,所

同PO產(chǎn)反九此時O與O1*金，叔O巾平面ABC".

(詞用如初=(0,l,-x/2),4C=(72.2.0),或且虢AO與反儲PO所紙巾》。,

則cos"=吧吧=fJ=挈，故宜轉(zhuǎn)A。與員轉(zhuǎn)PO所樂用京茲值為挈?

|PO|.|4?C|瓜'展33

18.(本小題滿分17分)已知橢圓噂+A29。)的離心率為竽，橢圓下頂點為A右頂

點為8,|4目=/話.

(1)求橢圓的標準方程；

⑵己知動點P不在y軸上,R在射線AP上，且滿足\AP\-\AR\=3.

⑴設(shè)P(m,n),求R的坐標(用m,n表示)；

(H)設(shè)O為坐標原點，Q是。上的動點,直線OR的斜率是直線OP的斜率的3倍，求\PQ\的最大

值.

翻皿(1)由強學力(0,—6)1(&0),所刈|4*=疝奇=JTU,

國力e=C=￥，所料a2=〃+c2,"a=3,b=l,所網(wǎng)橢的方程為4?+*=1.

ajy

(2)⑴由搔可知直訝AP的率在祁,汲其為A則左轉(zhuǎn)＜4。為方向佝卡沙(1,卡)，

故可以壽=4i(l,比)，方互=人(l,k),

因為總R花射以AP尼，故44A0,所1?襤=九耐1+必)=3,"=(m?n+1),南=(珈,yQ,

m=/li

/li=m

n+l=^ifc卜=21±1

%=蒞3_______3/n_3m

mz2222

rnf1+(ItL±ljJm+(n+l)m+(n+l)

yn+l=&k^2=X(TW

九4(1+爐)=3

37n_3(n+l)

m2+(n+1)2'11mr+(n+1)5

所生標為(2?、2，

\rn-+(n+l)2m2+(n+l)2f

3("1)

/..!/?“3nm-+(n+1)23(n+l)-[m2+(n+l)2].

u=-----------而-----------力2

(u)k^=—=3kOP=—=3-nm￥(n+=18,

m2+(n+l)2

即P右MG(0.-4)為l即5孑徑為r=3方衿曲上無也所刈iPQlwlPGl+lQGUT+lQGHbe+lQGLQ^^iJacN或可設(shè)為

(3cosasin〃)，IQGF=9cosW+(sin<?+4)2=-8sin^+8sin<?+25=-8(sintf--1-)：+27C27,當ainO="|■，即Q於(±-^-.y),且P,Q.

Gm就看eRP花QG矩轉(zhuǎn)上對取利*八值，此對|QG|,皿=右巧，所w”PQ|nHtx=3(72+73).

19.(本小題滿分17分)

(1)求函數(shù)/(乃=5cos①—cos5c在區(qū)間[0今]的最大值；

(2)給定0E(O,TT)和aWR,證明:存在y6[Q—6,a+。]使得cosg&cosJ；

(3)設(shè)bCR,若存在wGA使得5cos0—cos(5c+0)46對26H恒成立,求b的最小值.

.腳I蛹柏一1(1)/'(x)=5(sin5?—sinx)=5(sin(3x+2x)—sin(3x—2x)]=10cos3：r?sin2工，所刈/(x)花(0市)通總祁信號)通

,5,

戒所“⑺2=/(年)=375.

⑵君0€(0,-y],則(cosy,min」c°s'Q")；8s(°+")=coesaccsG<co?〃；若6e(專,兀).不蛤aW[0.2n),①若n€(a—仇a+〃),則

(cosx/),1Un=-l《