2025年秋季高三開(kāi)學(xué)摸底考試模擬卷（新高考通用）

數(shù)學(xué)?全解全析

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知集合Z={x|lVxV9},5={x|x=3左一2,左eZ},則（）

A.{1,4}B.{4,7}C.{1,4,7}D.{1,2,4,7}

【答案】C

【分析】由交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】B={x|x=3"2#eZ}={?、-2,l,4,7,10,?一}

因?yàn)榧?={x[14x<9},

貝1|/。8={1,4,7}.

故選：C.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)句對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則句等于（）

1-21

A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)Z2,再由2?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的對(duì)稱性求得為即可.

-3+i_(-3+i)(l+2i)_-5-5i

【詳解】由Z2=二一1一i,所以4=—1+i.

l-2i(l-2i)(l+2i)5

故選：C.

-什sina+cosa1\、

3.若---------=一,則tan(a+7i)=()

sma-cosa2

A.—3B.—C.3D.—

33

1/19

【答案】A

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的除法公式化簡(jiǎn)齊次式，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得解.

,e、rsina+cosa1^tancr+11.

【詳解】因?yàn)橐?--------所以--rr--l-xl--------=A解73ZI得=Itana=-3,

sina-cosa2tana2

于是tan（a+兀）=tana=-3,

故選：A.

73

4.a=0.3°,6=0.7°,c=log070.3,則。也。的大小關(guān)系為（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別求得〃，上。的取值范圍，即可求解.

【詳解】由塞函數(shù)y=-7為增函數(shù),得Q=0.3°7<0.7°7；

由指數(shù)函數(shù)V=0.7、為減函數(shù)，得0儼<b=O,703<0.7°=1;

由對(duì)數(shù)函數(shù)V=log07x為減函數(shù)，得。=log070.3>log070.7=1.

所以C>Z）>Q.

故選：A.

5.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造

22

就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線力-本=1（。>0,6>0）下支的一部分,

離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=+y/ixB.y=±—xC.y=ixD.y=±2x

2/19

【答案】B

【分析】求出2的值，可得出雙曲線的漸近線方程.

a

因此，該雙曲線的漸近線方程為y=±￡x=±*x=±，x.

故選：B.

6.定義在R上的奇函數(shù)/（x）在（0,+功上單調(diào)遞增，且/傳］=0,則不等式/的解集為（）

x-2

B.加

D.—,0。

3

【答案】D

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值為零的點(diǎn)，從而可得函數(shù)值與零的大小關(guān)系，結(jié)合

不等式，可得答案.

【詳解】由函數(shù)“X）奇函數(shù)，且在（0,+司上單調(diào)遞增，則函數(shù)“X）在（一叱0）上單調(diào)遞增,

且=一/門=°，/⑼=°，

T，0ug+co時(shí),

/（x）<0當(dāng)xe/⑺>0,

由當(dāng)X￡（—CO,2）時(shí)，%-2<0,當(dāng)x￡（2,+oo）時(shí)，x-2>0,

則不等式經(jīng)40的解集為-；,0D

故選：D.

7.已知棱長(zhǎng)為2的正方體的幾何中心為O,平面。與以。為球心的球相切，若a截該正方體所得多邊形始

終為三角形，則球。表面積的取值范圍為（）

A.[8兀,12兀）B.[471,8K）C.[4兀,12兀）D.（0,4兀）

3/19

【答案】A

【分析】由題意球。與每條棱都有公共點(diǎn)，然后利用臨界分析，當(dāng)球。與每條棱有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，

球O為正方體的棱切球，當(dāng)球。半徑為外接球半徑或更大時(shí)，截面將不存在，故球。的半徑滿足

飛切球琢接球，最后利用球的表面積公式求解即可.

【詳解】依題意，平面［與以。為球心的球相切，因正方體每個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出了三條棱，

要使。與該正方體的截面始終為三角形，就必須使球。與每條棱都有公共點(diǎn)，

當(dāng)球O與每條棱有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，球O為正方體的棱切球，

當(dāng)球O半徑繼續(xù)增大到外接球半徑之前，都能確保截面始終為三角形，

而當(dāng)球。半徑為外接球半徑或更大時(shí)，截面將不存在，

因此必須使球O的半徑滿足像切球＜「＜4接球.

又棱長(zhǎng)為2的正方體的棱切球的半徑為面對(duì)角線的一半即像切球=1X2V2=V2,

外接球的半徑為體對(duì)角線的一半即琢接球=|x2V3=V3,所以也少＜百，

所以S=兀/2￡［871,1271).

故選：A

8.若曲線〉=e』與歹=ln(x+〃)+l有公共的切線，則〃-機(jī)的最大值為()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【分析】設(shè)直線/與尸產(chǎn)加相切于(國(guó)0巾)求出切線方程，直線/與y=ln(x+〃)+l相切于(%,皿%+〃)+1)

求出切線方程，讓兩條切線方程的斜率、截距相同可得+1尤2+n)ln(x2+?)-ln(x2+n),^-t^x2+n,

構(gòu)造函數(shù)［?)=八n-lnt=(-l)lnd＞0),利用導(dǎo)數(shù)求出最小值可得答案.

【詳解】設(shè)直線/與y=ex+m相切于卜,eJ-1+m),

則直線/：

直線/與V=為卜+〃）+1相切于（工2/11（工2+〃）+1）,

4/19

則直線/：y-ln(x2+n)-l=(r-x2),

x2+n

因?yàn)榍€》=砂+"■與了=ln(x+〃)+l有公共的切線，則兩條切線方程的斜率、截距相同，

9+以=」_

x^+n

故2，

(1-再)鏟+旭=111(尤2+〃)+1--—

貝ij加一〃+1=+〃)ln(%2+?)-ln(x2+〃).

令,=12+〃，/(^)=Hn-In/=-1)In/>0),

則/'⑴=In-；+1在(0,+“)單調(diào)遞增，且/'⑴=0,

所以當(dāng)xe(O,l)時(shí)，r(/)<0,1⑴單調(diào)遞減，

當(dāng)尤e(l,+8)時(shí)，r(/)>0,/⑺單調(diào)遞增,

所以/(')礴=/(1)=0,于是有加一〃+120,

BP?—7M<1.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.防溺水安全教育不僅是為了防止學(xué)生在游泳時(shí)發(fā)生意外，更是為了提高學(xué)生的安全意識(shí)和自我保護(hù)能力,

為此某校組織了“防溺水安全知識(shí)”答題比賽，并對(duì)參賽的200名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻

率分布直方圖，其中分組區(qū)間分別為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],則(同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)()

5/19

A.這200名參賽學(xué)生的成績(jī)的上四分位數(shù)為82.5分

B.這200名參賽學(xué)生的成績(jī)的平均值為76.5分

C.這200名參賽學(xué)生的成績(jī)不低于80分的頻率為0.03

D.若用分層抽樣的方法從參賽學(xué)生中抽取一個(gè)容量為40的樣本，則成績(jī)?cè)冢?0,80）之間的應(yīng)抽取20

人

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)上四分位數(shù)的概念，結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得其正誤；對(duì)于B,根據(jù)頻率分

布直方圖的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)估計(jì)值的計(jì)算，可得其正誤；對(duì)于C,根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得其正

誤；對(duì)于D,根據(jù)分層抽樣的概念，結(jié)合頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)可得每組的比例，可得其正誤.

【詳解】（0.005+0.015+0.05）x10=0.7<0.75.0.7+0.02x10=0.9>0.75,

所以這200名參賽學(xué)生的成績(jī)的上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)位于［80,90）內(nèi),

）

則這200名參賽學(xué)生的成績(jī)的上四分位數(shù)為80+3f75二—07=82.5,故A正確；

0.02

這200名參賽學(xué)生的成績(jī)的平均值為

55x0.05+65x0.15+75x0.5+85x0.2+95x0.1=76.5分，故B正確；

這200名參賽學(xué)生的成績(jī)不低于80分的頻率為（0.02+0.01）x10=0.3,故C錯(cuò)誤;

成績(jī)?cè)冢?0,80）之間的應(yīng)抽取40x0.5=20人，故D正確.

故選：ABD.

10.如圖是函數(shù)/（X）=2COS（5+°）3>0,-5<°<0）的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（）

6/19

171

A./(x)=2cos—X------

23

/(X)的圖象關(guān)于「,oj

B.中心對(duì)稱

C./(x)在(-1,2)上單調(diào)遞增

D./(x)的圖象向左平移胃7Jr個(gè)單位長(zhǎng)度后為奇函數(shù)

【答案】AC

【分析】根據(jù)/(。)=1、=0結(jié)合周期可判斷A；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱性可判斷BC；根據(jù)

函數(shù)圖象平移得到函數(shù)解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的奇偶性可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由/(0)=1得cos"=；,由一5<0<0得。=-三，

由=0得COS-y((0+1)=0,故一:(o+l)=^+版eZ),

化簡(jiǎn)得0=-|-3左(左eZ),

由圖可知該函數(shù)的周期T2兀it故0<。<=3,解得。=I

。322

所以/(x)=2cosgx-3，故A正確；

對(duì)于B,由/國(guó)=2cos，0,得住,0)不是函數(shù)的對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由一l<x<2,

23233

由苦，得函數(shù)，(x)在(T2)上單調(diào)遞增，故C正確；

7/19

對(duì)于D,/(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)1)=2cos4x)的圖象，止匕時(shí)(x+為

偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.已知拋物線X?=2加(0>0)的焦點(diǎn)為凡A,8是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且M司的最小值為1,M是線段4g

的中點(diǎn)，尸(2,3)是平面內(nèi)一定點(diǎn)，則()

A.p=2

B.若|/尸|+|3尸|=8,則M到x軸距離為4

C.若前=2麗，則同|=|

D.|/尸|+|北|的最小值為4

【答案】ACD

【分析】根據(jù)的最小值即為求得小判斷A；利用拋物線的焦半徑公式可判斷B；根據(jù)求出的縱坐標(biāo),

結(jié)合焦半徑公式判斷C；判斷尸點(diǎn)位置，利用的幾何意義，幾何作圖分析，可求得其最小值，判斷D.

【詳解】解：拋物線/=2加(p>0)上的點(diǎn)4到拋物線焦點(diǎn)/距離的最小值為1,

則有孑=1,解得。=2,A正確；

拋物線的方程為，=4y,焦點(diǎn)尸(0,1),準(zhǔn)線=設(shè)/(占,必)，B(x2,y2),

對(duì)于B,點(diǎn)”［土言,匕產(chǎn);由拋物線的定義知，\AF\+\BF\=yl+l+y2+l=8,

有％+為=6,所以W到x軸距離工產(chǎn)=3,B不正確；

對(duì)于C,AF=(-xv\-yx),FB=(^x2,y2-1),

由/=2而得:1-必=2(%-1),即必+2%=3,

乂府卜2網(wǎng)，即％+1=2(%+1),貝以一2%=1,解得％=2,

9

于是得|/0=|//1+1瓦口=%+1+%+1=于c不正確；

8/19

對(duì)于D,拋物線，=4了中，當(dāng)x=2時(shí)，>=1<3,

因此點(diǎn)P(2,3)在拋物線f=4y上方，

過(guò)點(diǎn)「作用」/于P,交拋物線于點(diǎn)0,連接。尸，

過(guò)/作44」/于H,連/凡AP,PA',如圖，

顯然Mp+M尸H/P+M?以P4閆尸PHP。田0PHp。田。

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)/與。重合時(shí)取等號(hào)，

所以(\AP\+留焉=閥[=3-(-1)=4,D正確.

故選：ACD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分.

12.已知向量)=(1,-2),B=(X,2),若/，但+4，貝I]X=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得。+5=(1+三0),再利用向量垂直的坐標(biāo)表示和向量模的坐標(biāo)表示即可得到答

案.

【詳解】a+b=(l+x,o),又因?yàn)閉，(]+:),則鼠(a+B)=o,

即l+x=O,解得x=—1.

13.北斗七星是夜空中的七顆亮星，它們組成的圖形象我國(guó)古代舀酒的斗，故命名為北斗七星.北斗七星不

僅是天上的星象，也是古人判斷季節(jié)的依據(jù)之一.如圖，用點(diǎn)A,B,C,D,E,F,G表示某季節(jié)的北

斗七星，其中5,D,E,尸看作共線，其他任何三點(diǎn)均不共線.若過(guò)這七個(gè)點(diǎn)中任意三點(diǎn)作三角形，則所

作的不同三角形的個(gè)數(shù)為.

9/19

?G

【答案】31

【分析】應(yīng)用間接法，7個(gè)點(diǎn)任選3個(gè)減去從4個(gè)共線的點(diǎn)任選3個(gè)的情況，即可得.

【詳解】由題設(shè)，7個(gè)點(diǎn)任選3個(gè)減去從4個(gè)共線的點(diǎn)任選3個(gè)的情況，即為構(gòu)成三角形的情況,

所以不同三角形的個(gè)數(shù)為C；-C；=35-4=31j.

14.在VN8C中，角B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=4,包@+coS=2,則上的值為

tan8b一

cosB的取值范圍為.

【答案】，2,%]

【分析】空1：根據(jù)題設(shè)結(jié)合兩角和的正弦公式、正弦定理化簡(jiǎn)即可求解；空2：根據(jù)余弦定理可得

0085=1+—,再結(jié)合基本不等式即可求解.

b16

.、4bn、_L_SIIL4/八siiL4cos8

【詳解】由----+cos^=2,得+cosA=2

tan5sin5

即sirUcosB+cos/sinS=2siiiS,

即sin(/+3)=sinC=2siiL8,由正弦定理得c=26,即二=2；

b

而COSBJ+H"_42+(2b)2-b216+3〃

2ac2x4x2b16b—當(dāng)

當(dāng)且僅瑞即人空時(shí)取等號(hào),

又Be（0,71）,所以cos8<l,

故cosB的取值范圍為字,11.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

10/19

15.（13分）

已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝的公差為2,｛%｝的前"項(xiàng)和為s“，且H+1,$2，號(hào)+1成等比數(shù)歹人

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式見(jiàn)；

為奇數(shù)

（2）設(shè)“=<工〃為偶數(shù)，求數(shù)列抄"｝的前10項(xiàng)和4。.

【答案】⑴%=2"+1；（2）詈1325

【分析】（1）由題意先求首項(xiàng)卬，進(jìn)而得%;

（2）由（1）先求S“,進(jìn)而得],最后利用分組求和即可.

【詳解】（1）由題意有邑=24+2,邑=3q+6,

又因?yàn)镋+l,S2,號(hào)+1成等比數(shù)列，

所以用=肉+1）（2+1）,（3分）

即（2q+2『=（0]+1）（3%+7）,（5分）

化簡(jiǎn)整理得。；-2%-3=0,解得%=3,（7分）

所以a”=3+（〃-l）x2=2〃+L（8分）

（2）由（1）有S'=-^—-——^=〃（〃+2）,

1111

所以在=而可=7一（1°分）

所以40=4+&H--FZ?9+e2+4■?----4o）="1+〃3■*----F49+

111。rcc1111111

——+——+…+——=3+7+…+2x9+11----+…H-------

$2^4do2（241012

5x（3+2x9+l）11325

.（13分）

22~2A~

16.（15分）

某公司是從事無(wú)人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種

11/19

無(wú)人機(jī)性能都很好，但對(duì)操控人員的水平要求較高.已知在單位時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩種無(wú)人機(jī)操作成功的概

率分別為:和玄，假設(shè)每次操作成功與否相互獨(dú)立.

（1）該公司分別收集了甲種無(wú)人機(jī)在5個(gè)不同地點(diǎn)測(cè)試的兩項(xiàng)指標(biāo)如乂（，=1,2,3,4,5）,數(shù)據(jù)如下表所示：

地點(diǎn)1地點(diǎn)2地點(diǎn)3地點(diǎn)4地點(diǎn)5

X24568

34445

試求V與x之間的相關(guān)系數(shù)〃,并利用「說(shuō)明V與x的線性相關(guān)程度.

（若|川＞0.75,則線性相關(guān)程度較高，否則線性相關(guān)程度不高）

（2）操作員連續(xù)進(jìn)行兩次無(wú)人機(jī)的操作，在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇這兩種無(wú)人機(jī)中的一種，若初次操作成功,

則第二次繼續(xù)使用該種無(wú)人機(jī)，若初次操作不成功，則第二次使用另一種無(wú)人機(jī)進(jìn)行操作，求操作成功的

次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

-元）（％-刃

附"=3I.，耐~0.95.

卜-于松入-寸

【答案】⑴0.95,線性相關(guān)程度較高；（2）||

【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式，求出相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)系數(shù)大小判斷相關(guān)程度高不高.

（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式，求出分布列，求出期望.

、4左刀、/y、RK―rL.-2+4+5+6+8_3+4+4+4+5

【r詳解】(1)由題可知％=-------------=5/=-------------------=4,

55

x22222

E(X,.-x)(yt-y)=6X(.-亍『=7(2-5)+(4-5)+(5-5)+(6-5)+(8-5)=275,

z=lz=l

EU-刃2=7(3_4)2+(4_4)2+(4_4)2+(4_4)2+(5-4)2=血,

Z=1

12/19

￡(x,-三)(％-引

6端"95,（5分）

則相關(guān)系數(shù)廠/=1

Z=1Z=1

因?yàn)橥猓?.75,所以y與x的線性相關(guān)程度較高.（7分）

（2）設(shè)操作成功的次數(shù)為X,則X的所有可能取值為0,1,2.(8分)

P(X=0)=gx[l211

x+g1x

32

尸(X=l)=gx(l211212113f

X——I--X—X-XX-4—X-X

3223322T：

…c、12211125

P(X—2)=-x—x—I—x—x—=—,

23322272

145OCOC

所以￡(X)=0x—+￡3+2乂/=吆.(15分)

6727272

17.(15分)

已知四棱錐P-/8C。，PAL^^ABCD,底面是矩形，PA=AB=2,AD=4,M,N分別是3C

與尸D的中點(diǎn).

（2）求直線PB與平面AMN所成角的正弦值;

（3）求點(diǎn)P到平面AMN的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）9個(gè)

6

【分析】（1）要證明線面平行，需在平面P/8內(nèi)找到一條線段與九W平行即可.

（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，然后求出平面的法向量和直

線尸2的方向向量，進(jìn)而可根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求得直線與平面的正弦值.

13/19

（3）根據(jù)（2）中求得的平面/兒W的法向量，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）取尸區(qū)的中點(diǎn)E,連接BE,NE.

而底面48co為矩形，初是BC的中點(diǎn)，

所以8M=2.

M\^NE"BM,NE=BM,所以四邊形為平行四邊形，（3分）

所以九W//3E,又BEu平面而JVW不在平面P48內(nèi)，

所以〃平面尸48.（5分）

（2）因?yàn)镻/工平面/BCD,四邊形/BCD為矩形，所以以A為原點(diǎn)，以所在直線為x,%z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則尸（0,0,2）,/（0,0,0）,3（2,0,0）,河（2,2,0）,N（0,2,1）.

所以方=（2,0,-2）,翔=（2,2,0）,國(guó)=（0,2,1）.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為而=（無(wú)）/）,

f2x+2y=0

則L?,令x=l,則歹=-l,z=2.

\2y+z=0

所以平面?W的一個(gè)法向量為而=（1,-1,2）,（9分）

14/19

PBm2-4__2__y/2

所以cos(尸8,成

74+4x71+1+4-272x76-6

(3)因?yàn)?尸=(0,0,2),平面/AW的一"M去向量為而=(1,T,2).

所以點(diǎn)P到平面RMN的距離為:

APm\—5分）

d=

18.(17分)

已知點(diǎn)W是圓月：(x+2)2+/=32上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)巴(2,0),點(diǎn)P在線段肛上，且滿足(加+可引漏;=0.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)已知N(2,0),設(shè)過(guò)點(diǎn)(4,0)的一條直線與C交于尸，。兩點(diǎn)，且與線段/月交于點(diǎn)S.

(i)證明：S到直線工P和工。的距離相等；

(ii)若△/網(wǎng)的面積等于的面積，求。的坐標(biāo).

22(Fy\(亞、

【答案】(1)土+匕=1；(2)(i)證明見(jiàn)解析；5)4i=或-療，一

84I2JI2J

【分析】(1)根題意由向量的運(yùn)算得|加f=|西'即|阿卜|西|+滿足橢圓的定義，即可求出0,6,c,

進(jìn)而得橢圓的方程；

(2)(i)設(shè)尸。的方程為y"(x-4),與橢圓方程聯(lián)立消元得(2r+1卜2―16左2》+32父一8=0,由韋達(dá)定理

得再若S到直線工尸和乙0的距離相等，則直線鈣平分/尸工。，即直線巴尸與耳。的斜率之和

為0,代入韋達(dá)定理驗(yàn)證即可；

(ii)由⑴知直線Ng平分乙叩0,即乙48尸=乙48。，由△/內(nèi)的面積等于AFQS的面積，得%=5然如

進(jìn)而得尸與〃/。，即|/。|=|乙。得。在線段/匕的垂直平分線上，由工匕的垂直平分線為了=1，代入橢

圓方程即可求解.

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【詳解】（1）根據(jù)題意有仍而+配）?近=0,（同？+A瓦）祝-朋）=0,即

m|2=|p^|\貝/應(yīng)司=|兩川西|=|西卜所卜4后＞4,則尸的軌跡是橢圓,

22

2a=4血，2c=4,所以/=8，/=4.所以C的方程為土+匕=1.（4分）

84

（2）（i）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為a=2逝＜4，

所以尸。的斜率一定存在（否則與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)）

設(shè)尸。的方程為了=左（工-4）,

y=左卜-4）

所以一/n（2〃+i）f-16/彳+32產(chǎn)-8=0,

—+—=1

184

其中A=（-16k2了一4（2〃+1）（32F-8）=32-16-＞0.

所以-逝＜左＜也，（7分）

設(shè)尸（再,%）,Q（x2,y2）.

32人2一8

則占+%邛x,x,=——--，---（-8分）

1-2k2+1122k2+1

若S到直線巴P和20的距離相等，則直線甌平分NPg。，且易知4入，*軸,

所以只需滿足直線耳P與耳。的斜率之和為0.

設(shè)工尸，斜率分別為左，色，貝小

左+心=,%一心—4）|左的-4）

X]—29-2X]—2%2—2

2k（2x,+x,-4）

=2k----------；（10分）

xxx2-2（再+4J+4

16k232k2-8

代入x+x=

x22k2+1'2k2+1

16k2

2k\■A

2^I-42M8/-4）

有k,+=2k-------5------------------z=2k—=0,故命題得證.（12分）

1232左28c16/”842—4

-2x---+4

2公+12/+1

16/19

(ii)由(i)知直線Ng平分NP尸0,即//月尸=乙4乙。,

因?yàn)?APS的面積等于JQS的面積，

=

故S/x/ps+S=S5必+S，即^/\APF2S△尸2戶°，故PF]HAQ.

故ZAF2Q=ZAF2P=NF2AQ,\AQ\=禺。|,

。在線段/耳的垂直平分線上.(15分)

易知線段AF2的垂直平分線為了=孝，與C的方程聯(lián)立有￡=7,

(Fy\(6

故。的坐標(biāo)為正,-鼠或-77,-丁、.(17分)

3

已知函數(shù)/(x)=5——8sin(x+°)(|d<兀)

⑴若/(')為偶函數(shù)，求。的值；

⑵若。=0討論函數(shù)/(x)在R上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)當(dāng)夕￡1一］,0

時(shí)，設(shè)g(x)=/(x)+：x2,當(dāng)xNO時(shí)，g(x)>0,求。的取值范圍.

_.兀兀兀]

【答案】(1)。=±彳；(2)2；(3).