機密★啟用前

2025年廣州市初中畢業(yè)生學業(yè)考試

數(shù)學

滿分120分，用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務必在答題卡第1面、第3面、第5面上用黑色字跡的圓珠筆或鋼筆填寫

自己的考生號、姓名；將自己的條形碼粘貼在答題卡的“條形碼粘貼處”.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題答案必須用黑色字跡的圓珠筆或鋼筆寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置

上，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答

案，改動后的答案也不能超出指定的區(qū)域；不準使用鉛筆（作圖除外）、涂改液和修正

帶.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單選題（每小題3分，滿分30分.）

1.下列四個選項中，負無理數(shù)的是（）

A.-V2B.-1C.（）D.3

2.如圖，將Rt^4BC繞直角邊NC所在直線旋轉(zhuǎn)一周,可以得到的立體圖形是（）

4

ABc

3.下列運算正確的是（）

A.。2.43=/5B.（一2助3=8a3/

C.yfa-4b=-Ja-b(a>b>0)D.lyfa+5y[a=Jyfa(ci>0)

4.關(guān)于工的方程必—1+《2+2=（）根的情況為（

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根

5.某地一周的每天最高氣溫如下表，利用這些數(shù)據(jù)繪制了下列四個統(tǒng)計圖，最適合描述氣溫變化趨勢的是

A.

C.

一二三四五六日星期

6.如圖，在平面直角坐標系中，點/（-3,1）,點8（-1,1）,若將直線＞=x向上平移d個單位長度后與線

段48有交點，則4的取值范圍是（）

3

12345

A.—3<d4—1B.1<6?<3C.-4<d<-2D.2<^<4

7.若陽=—左（左。0）,反比例函數(shù)y=幺的圖象在（）

X

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

8.如圖，菱形48CD的面積為10,點￡,F,G,H分別為AB,BC,CD,D4的中點，則四邊形

EFGH的面積為（）

5

A-B.5C.4D.8

.2

X-、IX--、

9.如圖，。。的直徑48=4,C為前中點，點。在弧5c上,8￡＞=—8C,點尸是4g上的一個動

3

點，則△尸CD周長的最小值是（）

B.2+2百C.3+SD.4+473

10.在平面直角坐標系中，兩點幺（項,%）,5（%,〉2）在拋物線^="2—2"伍〉0）,則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.當X＜0且%?％＜。時，則0＜》2＜2B.當苞＜》2＜1時，則必＜必

C,當再＜0且＞0時，則0＜々＜2D,當項〉馬〉1時，則%＜為

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11.如圖，直線4B,CD相交于點。若21=36°,則N2的度數(shù)為°.

什DE]_則餐*

12.如圖，在V/5C中，點、D,E分別在48,ZC上，DE//BC,右—

BC3)△ABC

A

13.要使代數(shù)式立巨有意義，則x的取值范圍是.

x—3

12

14.如圖，在中，ZACB=90°,4D平分/C45,已知cosNC4D=—,AB=26,則點

13

B到AD的距離為.

15.若拋物線y=--6mx++5m+3的頂點在直線y=x+2上，則加的值為.

16.已知。。的半徑為6,。。所在平面內(nèi)有一動點尸，過點P可以引。。的兩條切線P4,PB,切點分

別為A,B.點尸與圓心。的距離為d,則d的取值范圍是;若過點。作OC〃尸/交直線依于點

C（點C不與點8重合），線段OC與。。交于點。.設(shè)=CD^y,則》關(guān)于X的函數(shù)解析式為

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.解不等式組2［%小>13口+9'并在數(shù)軸上表示解集.

18.如圖，BA=BE,N1=N2,BC=BD.求證：△ZBCgZkEAD.

ic4心砧#2掰之+4掰冽2―4加+4

19.求代數(shù)式-------------------的值,其中m=V3—1-

m—2m

20.為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校開展主題為“多彩非遺，國韻傳揚”的演講比賽.評委從演講的內(nèi)

容、能力、效果三個方面為選手打分，各項成績均按百分制計.進入決賽的前兩名選手需要確定名次(不

能并列)，他們的單項成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

選內(nèi)能效

手容力果

甲988488

乙888597

(1)分別計算甲、乙兩名選手的平均成績(百分制)，能否以此確定兩人的名次？

(2)如果評委認為“內(nèi)容”這一項最重要，內(nèi)容、能力、效果的成績按照4:3:3的比確定，以此計算兩

名選手的平均成績(百分制)，并確定兩人的名次；

(3)如果你是評委，請按你認為各項的“重要程度”設(shè)計三項成績的比，并解釋設(shè)計的理由.

2

21.如圖，曲線G:y=—(x>0)過點尸(4").

x

歹八

r_____8,___________________________

p4-4—[

-i-6—

一十5…

-2一

1-1—

-2-16?12345678*

!1-^2'-*；'；1!?

(1)求才的值；

(2)直線/：>=-x+b也經(jīng)過點P,求/與y軸交點的坐標，并在圖中畫出直線/；

(3)在(2)的條件下，若在/與兩坐標軸圍成的三角形內(nèi)部(不包含邊界)隨機取一個格點(橫、縱坐

標都是整數(shù)的點)，求該格點在曲線G上的概率.

22.智能機器人廣泛應用于智慧農(nóng)業(yè).為了降低成本和提高采摘效率，某果園引進一臺智能采摘機器人進

行某種水果采摘.

(1)若用人工采摘的成本為。元，相比人工采摘，用智能機器人采摘的成本可降低30%.求用智能機器

人采換的成本是多少元；(用含。的代數(shù)式表示)

(2)若要采摘4000千克該種水果，用這臺智能采摘機器人采摘比4個工人同時采摘所需的天數(shù)還少1

天，已知這臺智能采摘機器人采摘的效率是一個工人的5倍，求這臺智能采摘機器人每天可采摘該種水果

多少千克.

23.寬與長的比是由二1（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形.現(xiàn)有一張黃金矩形紙片48CQ,長

2

AD=sf5+l.如圖1，折疊紙片45CD，點8落在4D上的點￡處，折痕為/尸，連接EP,然后將紙

片展開.

（2）求證：四邊形CDEE是黃金矩形；

（3）如圖2,點G為ZE的中點，連接尸G,折疊紙片48CD,點8落在FG上的點〃處，折痕為

FP,過點尸作尸收于點0.四邊形AFQ尸是否為黃金矩形？如果是，請證明：如果不是，請說明

理由.

24.某玩轉(zhuǎn)數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)隧道前通常設(shè)有涉水線和限高架等安全警示，為探究其內(nèi)在的數(shù)學原理，該小組

考察了如圖1所示的雙向通行隧道.以下為該小組研究報告的部分記錄，請認真閱讀，解決問題.

圖1

發(fā)

現(xiàn)

問

題

涉水線設(shè)置限高架設(shè)置

確

定

目

標

數(shù)

學隧道入口

隧道“一限高架

r

抽側(cè)面"/涉水線處11.1---CL

11C

N上吆。一斜坡

象

?~~------A,1t

繪圖21

*1

制隧道及斜坡的側(cè)面示意圖，可近似如DE

圖3

圖圖2所示.

圖3為隧道橫截面示意圖，由拋物線的一部

形

分4cB和矩形的三邊構(gòu)成.

信

息

收

當隧道內(nèi)積水的水深為0.27米時，車輛進入隧道，應在行駛車道內(nèi)通行（禁止

集

（即積水達到涉水線處），車輛應避免壓線），且必須保證車輛頂部與隧道頂部

資

通行.ACB在豎直方向的空隙不小于0.3米.

料

整

理

實

地

隧道的最高點C到地面DE距離為5.4

考斜坡的坡角。為10。，并查得：

米，兩側(cè)墻面高/。=8￡=3米，地面跨

察sinl0°?0.174,

度?！?10米.車輛行駛方向的右側(cè)車道

數(shù)cosl0°?0.985,

線（寬度忽略不計）與墻面的距離為1

據(jù)tan10°?0.176.

米.

采

集

問題解決:

（1）如圖2,求涉水線離坡底的距離"N（精確到0.01米）；

（2）在圖3中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求拋物線/C8的解析式；

（3）限高架上標有警示語”車輛限高〃米”（即最大安全限高），求為的值（精確到0.1米）.

25.如圖1,AC=4,。為ZC中點，點B在/C上方，連接4g,BC.

圖1圖2

（1）尺規(guī)作圖：作點B關(guān)于點。的對稱點。（保留作圖痕跡，不寫作法），連接DC,并證明：四

邊形48CD為平行四邊形；

（2）如圖2,延長NC至點尸，使得CE=NC,當點3在直線NC的上方運動，直線NC的上方有異于

點B的動點￡,連接E/,EB,EC,EF,若NZEC=45。，且AABC”MCE.

①求證：AABCsACBE；

②的長是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、單選題（每小題3分，滿分30分.）

1.下列四個選項中，負無理數(shù)的是（）

A.--^2B.—1C.0D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是負無理數(shù)的含義，根據(jù)負無理數(shù)的定義，需同時滿足負數(shù)和無理數(shù)兩個條件.對各

選項逐一分析即可.

【詳解】解：選項A：-V2

、反是無理數(shù)（無法表示為分數(shù)且是無限不循環(huán)小數(shù)），因此—起也是無理數(shù).負號表明其為負數(shù)，故

-V2是負無理數(shù).

選項B：-1

-1是整數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合無理數(shù)的條件.

選項C：0

0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，且非負數(shù).

選項D：3

3是正整數(shù)，屬于有理數(shù)，且非負數(shù).

綜上，只有選項A同時滿足負數(shù)和無理數(shù)的條件,

故選A.

2.如圖，將RtZkABC繞直角邊ZC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是()

【解析】

【分析】本題考查的是點，線，面，體之間的關(guān)系，圓錐的認識，根據(jù)面動成體結(jié)合圓錐的特點可得答案.

【詳解】解：RtZkABC繞直角邊ZC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周后所得到的幾何體是一個圓錐.

故B選項正確.

故選B

3.下列運算正確的是()

A.a2-a3=a15B.(-2ab)3=Sa3b3

C.4a-=sja-b(a>6>0)D.2sfa+5>Ja-?yfa(a>0)

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查累的運算、積的乘方、二次根式的加減法則.需逐一分析各選項的正確性.

【詳解】解：A.同底數(shù)暴相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，故42.43=/+3=笳，但選項結(jié)果為45,錯誤.

B.積的乘方需將每個因式分別乘方，且負數(shù)的奇數(shù)次方為負數(shù)，故(-2仍)3=(-2)3/3.63=—8/63,

但選項結(jié)果為8/",錯誤.

C.二次根式相減不能直接合并為被開方數(shù)相減.例如a=9,6=4時，79-74=3-2=1，而

,9一4=^5卞1，錯誤.

D.同類二次根式相加，系數(shù)相加，根式部分不變，故2后+56=（2+5）后=7后，正確.

綜上，正確答案為D.

故選：D.

4.關(guān)于工的方程必一1+k2+2=0根的情況為（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D,只有一個實數(shù)根

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式.通過計算判別式并分析其符號即可確定根的情況.

【詳解】解：對于方程后2+2=0,其判別式為：

△=（—1）2—4x1x（左2+2）=1—4（左2+2）=1—4左2—8=—4左2—7.

由于后220，貝|—4左2<0，因此一4/—7V—7<0.

故判別式A恒為負數(shù)，方程無實數(shù)根，

故選：C.

5.某地一周的每天最高氣溫如下表，利用這些數(shù)據(jù)繪制了下列四個統(tǒng)計圖，最適合描述氣溫變化趨勢的是

【解析】

【分析】本題考查的是選擇合適的統(tǒng)計圖，根據(jù)條形圖，折線圖，扇形圖的特點進行選擇即可.

【詳解】解：???扇形統(tǒng)計圖可以清楚地表示各部分數(shù)量和總量之間的關(guān)系；條形統(tǒng)計圖可以清楚地看出數(shù)

量的多少；折線統(tǒng)計圖，不僅可以清楚地看出數(shù)量的多少，而且還能清楚地看出數(shù)量的增減變化趨勢；

...最適合描述氣溫變化趨勢的是折線統(tǒng)計圖；

故選：C.

6.如圖，在平面直角坐標系中，點4-3,1),點8(-1,1),若將直線〉=X向上平移1個單位長度后與線

段45有交點，則d的取值范圍是()

A.-3<(7<-lB.l<t/<3C.-4<t/<-2D.2<t/<4

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的平移以及一次函數(shù)與線段的交點問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的

關(guān)鍵.

先求出直線V=x平移后的解析式，再根據(jù)直線與線段AB有交點，分別求出直線經(jīng)過點/和點3時d的值,

進而確定，的取值范圍，據(jù)此進行分析，即可作答.

【詳解】解：依題意，將直線〉=工向上平移4個單位長度后得y=x+d

?.?點4-3,1),點3(-1,1),且直線>=x向上平移1個單位長度后與線段4g有交點,

.?.把/(—3,1)代入得1=—3+d,解得d=4；

把3（—1,1）代入得1=—1+d,解得d=2；

則2Wd44,

故選：D.

7.若網(wǎng)=—以左HO）,反比例函數(shù)y=&的圖象在（）

x

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是絕對值的化簡，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，由絕對值的性質(zhì)得出左的符號，再根據(jù)反

比例函數(shù)的圖象性質(zhì)確定其所在象限.

【詳解】解：確定左的符號：

由題設(shè)條件冏=一左且左/0,根據(jù)絕對值的非負性，右邊—左20,即左W0.又因左H0,故左為負數(shù).

?-,反比例函數(shù)y=幺的圖象位置由左的符號決定：

x

當上＞0時，圖象位于第一、三象限；

當左＜0時，圖象位于第二、四象限.

因左為負數(shù)，故圖象在第二、四象限.

綜上，正確答案為選項C.

故選：C

8.如圖，菱形4BCD的面積為10,點E,F,G,〃分別為48,BC,CD,D4的中點，則四邊形

EFGH的面積為（）

5

A.-B.5C.4D.8

2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查的是中點四邊形，根據(jù)三角形中位線定理得所〃幺?！?/G,EH//BD//FG,

BD=2EF,AC=2EH,證明四邊形EFGH是矩形，進而得菱形4BC。的面積

=-ACBD=2EFEH.四邊形EFGH面積是xEH故可得結(jié)論.

2

【詳解】解：連接NC、BD交于0,

?.?四邊形48CD是菱形，

AC1BD,

;點、E、F、G、”分別是邊45、BC、C￡＞和￡%的中點，

EH//BD,FG//BD,EF//AC,HG//AC,BD=2EF,AC=2EH,

AEH//FG,EF//HG,

...四邊形跖GH是平行四邊形，

'：AC1BD,

：.NAOB=90°,

：.ZBAO+ZABO=90°,

,：NAEH=NABO,ZBEF=ZEAO,

/.NAEH+ZBEF=90°,

：.ZHEF=90°,

...四邊形EFGH是矩形，

/.菱形ABCD的面積=工ZC?8。=2EF-EH,

2

2EF-EH=10,

：.EFEH=5,

四邊形EFGH的面積為5,

故選：B.

9.如圖，。。的直徑48=4,C為前中點，點。在弧8c上，=點尸是4B上的一個動

點，則△尸C。周長的最小值是（）

c

D

A.2+V7B.2+2百C.3+V7D.4+4A/3

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)

內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先作點C關(guān)于48的對稱點C,連接CC',OD,C'D,C'P,交4B于點？'，因為

X---、1/--

。。的直徑48=4,C為會中點，得CC'=48=4,再結(jié)合得/。。。=60。，再證明

△COD是等邊三角形，運用勾股定理列式計算得DC'=J。。"—CD?=2G，則△尸C。周長

=CD+PD+CP>2+C'D,即可作答.

【詳解】解：作點。關(guān)于48的對稱點C',連接CU8CDCP,記C'。交48于點P，如圖所

?。?/p>

■.CP=CP

:。。的直徑48=4,C為NZ中點，

???點。在C'C上，OC=OD=-x4=2,ZCOB=90°,

2

：.CC'=AB=4,

-、1X--、

,:BD=—BC,

???CO=OD,

則△COD是等邊三角形,

CD=0C=2,

vCC'是直徑，

ZCDC=90°

DC'=y]cC'2-CD2=V16-4=273>

則△尸CO周長=CD+0。+CP=2+0。+C'P22+尸'￡>+C'P'=2+C'。=2+2G，

??.△PC。周長的最小值是2+273.

故選：B.

10.在平面直角坐標系中，兩點8（%,為）在拋物線^-2ax（a>0）,則下列結(jié)論中正確

的是（）

A.當X]<0且為<0時，則0<工2<2B.當苞<》2<1時，貝1]%<%

C.當X]<0且K>0時，則0</<2D.當項〉》2〉1時，貝！1%<為

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，拋物線y=。/一2^（。〉0）開口向上，頂點為（1,一。），與x軸

交于（0,0）和（2,0）,分析各選項時需結(jié)合拋物線的對稱性、增減性及函數(shù)值的符號，據(jù)此進行作答即可.

【詳解】解：；y=ax2-2ax（a>0）

二拋物線的開口向上，

—2Q

則對稱軸為直線》=-----=1,

2a

把x=1代入y=ax2-2ax,得y=a-2a=-a,

頂點為，

?.?兩點/（X],%）,B（X2,%）在拋物線y=ax"-2ax（a>0）,

.?.當Xi<0且%<0時，見〉0（因x<0時拋物線在x軸上方），

故歸<0,

此時0<》2<2

故A選項的結(jié)論正確;

當再</<1時，拋物線在x<l時遞減,

故超越大，％越小,

即凹〉必，

故B選項的結(jié)論錯誤；

當西<0且乂>0時，%〉0,

此時x2應滿足<0或工2>2,

故C選項的結(jié)論錯誤；

當石〉馬〉1時，拋物線在X>1時遞增，

故為越大，必越大，

即必〉必，

故D選項的結(jié)論錯誤；

故選：A

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11.如圖，直線4B,CD相交于點。若21=36°,則N2的度數(shù)為

【答案】144

【解析】

【分析】本題考查了鄰補角互補，根據(jù)N1,N2是互為鄰補角，得N2=180。-/I,再代入數(shù)值計算，即

可作答.

【詳解】解：???直線48,CD相交于點O,且Nl=36。，

N2=180°—Nl=180°—36°=144°,

故答案為：144

12.如圖，在VN8C中，點。，E分別在4S,ZC上，DE//BC,若些=L則合里=

BC3'“Be

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意證明△4DE?△4BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

即可求解.

【詳解】解：

???AADEsAABC,

□&ADE

□△ABC

故答案為：

9

13.要使代數(shù)式立±1有意義，則X的取值范圍是

x—3

【答案】1且xw3

【解析】

【分析】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，根據(jù)題意得出x+l?O且X-3HO,即可求解.

【詳解】解：依題意，x+120且%一370,

解得：》2-1且》#3,

故答案為：1且xw3.

12

14.如圖，在中，ZACB=90°,4D平分NC43,已知cos/C4D=—,AB=26,則點

13

8到的距離為

c

D

AB

【答案】10

【解析】

【分析】本題考查的是勾股定理的應用，角平分線的定義，銳角三角函數(shù)的應用，先求解

CD5

sinBCAD=—=—,過點8,作交/。于點。，結(jié)合

AD13

——=sinNBA。=sinNCAD=—,從而可得答案.

AB13

12

【詳解】解：：（：05/包。=一，ZACB=90°,

13

.AC_12

"AD~13'

設(shè)NC=12x,則ZD=13x,

CD=>]AD2-AC2=5x，

5

sinDG4Z)=----

AD13

過點B,作交于點0,

；4D平分NC4B,

，ACAD=/BAD,

：.些=sinNBA。=sinZCAD=—,

AB13

,ZAB=26,

%=10,

...點8到4D的距離為10；

故答案為：10.

15.若拋物線y=/一6機x+6:〃2+5機+3的頂點在直線y=x+2上，則加的值為.

【答案】1或-1

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的頂點坐標，一次函數(shù)的性質(zhì)，公式法進行解一元二次方程，正確掌握相關(guān)

性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先整理得出頂點坐標為（3肛-3機2+5機+3）,再把（3機3加2+5機+3）代入

y=x+2,得出3根2—2機—1=0,運用公式法進行解一元二次方程，即可作答.

【詳解】y=X2-6mx+6m2+5m+3,

???對稱軸為直線x=-----=3m,

2x1

寸巴x=3加代入y=x2-6mx+6m2+5m+3,

得y=-3m2+5加+3,

即頂點坐標為（3機3機2+5掰+3）,

...拋物線的頂點在直線y=x+2上，

-3m2+5m+3=3m+2，

整理得3m2-2m-1=0，

則A=（-2/-4x3x（—1）=16,

.2±V162±41±2

??m=------=----=----，

2x363

1I

m2=,

故答案為：l或-

3

16.已知。。的半徑為6,。。所在平面內(nèi)有一動點P,過點尸可以引。。的兩條切線P4,PB,切點分

別為A,8.點尸與圓心。的距離為d,則d的取值范圍是;若過點。作OC〃尸4交直線收于點

C（點C不與點B重合），線段OC與。。交于點。.設(shè)尸/=x,CD^y,則y關(guān)于X的函數(shù)解析式為

【答案】d>6②.y=x-T2x+36

2x

【解析】

【分析】由題意可得點尸在。。外，從而得出d>6,再由切線長定理可得P/=P3=x,OBLPB,

NOPA=NOPB,又0C〃尸4,則N0R4=NPOC,所以NOPC=NPOC,可得PC=OC,故有

PC=OC=6+y,BC^x-6-y,最后通過勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，

:過點尸可以引。。的兩條切線PN,PB,

二點尸在。。外，

d>6,

1/PA,必是。。的兩條切線，

PA=PB=x,OBLPB,NOPA=NOPB,

：.NOBP=90°,

?1,OC//PA,

：.ZOPA=ZPOC,

NOPC=ZPOC,

：.PC=oc,

CD^y,。。的半徑為6,

/.PC=OC=6+y,

BC=PB—PC=x—6—y,

在RtAC>5C中，OC2=OB-+BC2，

(6+v)2=62+(x-6-v)",

,x"—12x+36

,?y—，

-2x

故答案為：d>6,x2~12x+36

2x

【點睛】本題主要考查了點和圓的位置關(guān)系，切線長定理，勾股定理，求函數(shù)解析式，等角對等邊，平行

線的性質(zhì)等知識，掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

2%>1

17.解不等式組.c，并在數(shù)軸上表示解集.

4x-3<x+9

【答案】一Vx<4,回圖見解析

2

【解析】

【分析】本題考查解不等式組和用數(shù)軸表示不等式組的解集，需要注意用數(shù)軸表示解集的時候?qū)嵭狞c和空

心點的區(qū)別.分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)數(shù)軸，確定不等式組的解集即可.

2x>1①

【詳解】解:

4x—3<x+9②

由①得：x>—,

2

由②得：x<4,

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下:

????J???

-2-101123456

2

則不等式組解集為工Wx<4.

2

18.如圖，BA=BE,N1=N2,BC=BD.求證：AABC^AEBD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定，先證明N48C=/防。，進而根據(jù)SAS即可證明

△AB8AEBD.

【詳解】證明：?.?/：!=N2,

Zl+ZEBC=N2+ZEBC,即ZABC=NEBD,

在V48c和△￡8。中，

BA=BE

ZABC=ZEBD

BC=BD

：.AABC2小EBD（SAS）

，c-p-zji?-ix2m2+4mm2-4m+4甘r-,

19.求代數(shù)式--------------------的值，其中機=J3-1.

m-2m

【答案】-46

【解析】

【分析】此題考查了分式的化簡求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的運算，先把分式化成最

簡，然后把機=百-1代入，通過二次根式的運算法則即可求解，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

2m~+4mm2-4m+4

【詳解】解:

m—2m

2m(m+2)(m-2)2

m—2m

=2（加+2）（加一2）

=2加2—8,

當加二A/3—1時,

原式=2x(百

=2x(4-2V3)-8

=8-4月-8

=-4>/3?

20.為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校開展主題為“多彩非遺，國韻傳揚”的演講比賽.評委從演講的內(nèi)

容、能力、效果三個方面為選手打分，各項成績均按百分制計.進入決賽的前兩名選手需要確定名次（不

能并列），他們的單項成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

選內(nèi)能效

手容力果

甲988488

乙888597

（1）分別計算甲、乙兩名選手的平均成績（百分制），能否以此確定兩人的名次？

（2）如果評委認為“內(nèi)容”這一項最重要，內(nèi)容、能力、效果的成績按照4:3:3的比確定，以此計算兩

名選手的平均成績（百分制），并確定兩人的名次；

（3）如果你是評委，請按你認為各項的“重要程度”設(shè)計三項成績的比，并解釋設(shè)計的理由.

【答案】（1）甲、乙的平均成績均為90分，不能以此確定兩人的名次；

（2）甲排名第一，乙排名第二；

（3）設(shè)計三項成績的比為5:2:3,理由內(nèi)容是演講的核心，占比最高，效果直接影響觀眾，次之，能力是

基礎(chǔ)，占比最低.（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，權(quán)重等知識，掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵.

（1）利用算術(shù)平均數(shù)即可求解；

（2）利用加權(quán)平均數(shù)即可求解；

（3）改變權(quán)重即可.

【小問1詳解】

解：不能以此確定兩人的名次，

甲的平均成績：98+84+88=90（分），

3

乙的平均成績：88+85+97=90（分），

3

X甲=X乙,

...不能以此確定兩人的名次;

【小問2詳解】

”「加（分）,

解：甲的平均成績:

88x4+85x3+97x3

乙的平均成績:=89.8（分）,

4+3+3

??x甲〉x乙，

???甲排名第一，乙排名第二;

【小問3詳解】

解：設(shè)計三項成績的比為5:2:3,理由，

內(nèi)容是演講的核心，占比最高，效果直接影響觀眾，次之，能力是基礎(chǔ)，占比最低.（答案不唯一）

2

21.如圖，曲線G:y=—（x〉0）過點P（4/）.

7

6

-2\O1234

!-

（1）求才的值；

（2）直線/：＞=-x+6也經(jīng)過點P,求/與y軸交點的坐標，并在圖中畫出直線/；

（3）在（2）的條件下，若在/與兩坐標軸圍成的三角形內(nèi)部（不包含邊界）隨機取一個格點（橫、縱坐

標都是整數(shù)的點），求該格點在曲線G上的概率.

【答案】（1）t=-

2

（2）（0,4.5）,見詳解

⑶-

3

【解析】

【分析】本題考查了概率公式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，畫函數(shù)圖象，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)

容是解題的關(guān)鍵.

21

（1）直接把？（4"）代入y=—進行計算，得，=—；

x2

（2）先得出尸（4,；）,再代入直線/：＞=—x+b,求出y=—x+4.5,即可求出/與y軸交點的坐標，再由

兩點確定一條直線畫出直線/的函數(shù)圖象；

（3）先得出格點共有6個，分別是（1,3）,（1,2）,（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,再分析得出格點（1,2）,（2,1）在曲

線G上，即有兩個格點在曲線G上，最后運用概率公式列式計算，即可作答.

【小問1詳解】

2

解：???曲線G:y=—(x>0)過點尸(4").

x

21

t=—=—；

42

【小問2詳解】

解：由(1)得，=—,

2

故P(4,；),

,/直線l:y=-x+b也經(jīng)過點P,

二把尸(4,；)代入y=_x+6,得g=—4+6,

解得6=4.5,

歹=-%+4.5；

令％=0,則y=-0+4.5=4.5,

；./與y軸交點的坐標為（0,4.5）；

【小問3詳解】

解：依題意，在/與兩坐標軸圍成的三角形內(nèi)部（不包含邊界）的格點共有6個，分別是

(1,3),(1,2),(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),

?.?曲線G:y=2(x〉0),

則1x3=3。2,1x2=2,1x1=1w2,2x1=2,2x2=4。2,3x1=3。2,

??.格點(1,2),(2,1)在曲線G上，即有兩個格點在曲線G上，

即該格點在曲線G上的概率=2=1.

63

22.智能機器人廣泛應用于智慧農(nóng)業(yè).為了降低成本和提高采摘效率，某果園引進一臺智能采摘機器人進

行某種水果采摘.

（1）若用人工采摘的成本為。元，相比人工采摘，用智能機器人采摘的成本可降低30%.求用智能機器

人采換的成本是多少元；（用含a的代數(shù)式表示）

（2）若要采摘4000千克該種水果，用這臺智能采摘機器人采摘比4個工人同時采摘所需的天數(shù)還少1

天，已知這臺智能采摘機器人采摘的效率是一個工人的5倍，求這臺智能采摘機器人每天可采摘該種水果

多少千克.

【答案】（1）0.7a元

（2）這臺智能采摘機器人每天可采摘該種水果1000千克.

【解析】

【分析】本題考查的是列代數(shù)式，分式方程的應用；

（1）根據(jù)人工采摘的成本為。元，相比人工采摘，用智能機器人采摘的成本可降低30%,再列代數(shù)式即可;

（2）設(shè)一個工人每天采摘該種水果x千克，則智能采摘機器人采摘的效率是每天5x千克根據(jù)要采摘4000

千克該種水果，用這臺智能采摘機器人采摘比4個工人同時采摘所需的天數(shù)還少1天，再建立分式方程求

解即可.

【小問1詳解】

解：?..用人工采摘的成本為。元，相比人工采摘，用智能機器人采摘的成本可降低30%.

...用智能機器人采換的成本是（1-30%）a=0.7a（元）；

【小問2詳解】

解：設(shè)一個工人每天采摘該種水果x千克，則智能采摘機器人采摘的效率是每天5x千克；

40004000,

------=--------1,

5x4x

解得：x=200,

經(jīng)檢驗x=200是原方程的解且符合題意；

5x=1000（千克），

答：這臺智能采摘機器人每天可采摘該種水果1000千克.

23.寬與長的比是由二1（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形.現(xiàn)有一張黃金矩形紙片48CD,長

2

AD=、+\.如圖1，折疊紙片48C。，點8落在40上的點￡處，折痕為/尸，連接￡尸，然后將紙

片展開.

(2)求證：四邊形COM是黃金矩形；

(3)如圖2,點G為ZE的中點，連接尸G,折疊紙片48CD,點2落在尸G上的點〃處，折痕為

FP,過點尸作尸0，政于點。四邊形AFQP是否為黃金矩形？如果是，請證明：如果不是，請說明

理由.

【答案】(1)2(2)證明見解析

(3)四邊形5尸少是黃金矩形.證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)黃金矩形的定義可得：包=1二1,再進一步求解即可；

AD2

(2)先證明四邊形48也是正方形；可得AB=BF=EF=AE=2,DE=CF=加-1，證明四邊形

CF￡￡＞是矩形，從而可得答案；

(3)先證四邊形5尸。尸是矩形，然后求解EG=JF+22=也,由對折可得：FH=FB=2,設(shè)

BP=x,則4P=2—x,由面積可得：2,1'(2-2x+g，氐=3,(1+2了2,可得：

x=V5-b再進一步可得結(jié)論.

【小問1詳解】

解：AD=45+1，矩形4BCD是黃金矩形，

.ABV5-1

??----------,

AD2

AB=--^'(V5+1)=2;

【小問2詳解】

證明：,??折疊黃金矩形紙片48C。，點8落在幺。上的點E處，

，AB=AE,NB=NAEF,

又：四邊形45CD是矩形，

ZBAE=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD,AD=BC=&\，

ZBAE=ZB=NAEF=90°,

二四邊形45也是矩形，

AB=AE,

???四邊形48也是正方形；

???AB=BF=EF=AE,

由(1)可知，AB=2,

???AB=BF=EF=AE=2,

:.DE=CF=出+]-2=出-\，

?：NC=ND=NDEF=90°,

...四邊形CFFD是矩形，

EF=CD=2,

.DEV5-1

??---=------,

FE2

...四邊形CDEF是黃金矩形.

【小問3詳解】

解：四邊形AP0P是黃金矩形，證明如下：

■.PQLEF,四邊形48尸E是正方形，

.-.DB=BBFE=E)PQF=90°,

四邊形AFQP是矩形；

由(2)可知，AB=BF=4E=EF=2,

???G為ZE的中點,

AG=EG=1,

?■-FG=y/EG2+EF2=A/12+22=也，

如圖，連接PG,由對折可得：FH=FB=2,BP=PH,ZPHF=ZB=90°,

設(shè)BP=PH=x,則ZP=2—x,

S、APG+S"BF+S"PGF=S梯形

r(2-2x+^'屈=；，(1+2)，2,

解得：X=y[5-1，

.,.BP=45-1，

?BP

"BF~2

四邊形BFQP是黃金矩形.

【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，二次根式的運算，理

解黃金矩形的定義是關(guān)鍵.

24.某玩轉(zhuǎn)數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)隧道前通常設(shè)有涉水線和限高架等安全警示，為探究其內(nèi)在的數(shù)學原理，該小組

考察了如圖1所示的雙向通行隧道.以下為該小組研究報告的部分記錄，請認真閱讀，解決問題.

圖1

發(fā)

現(xiàn)

涉水線設(shè)置限高架設(shè)置

問

題

確

定

目

標

數(shù)

學隧道入口

隧道,一一限高架

「

抽側(cè)面一/涉水線處11一」11J

11C__1_

N二^一"斜坡

象%V

|__________TD

繪圖21

1

制隧道及斜坡的側(cè)面示意圖，可近似如DE

圖3

圖圖2所示.

圖3為隧道橫截面示意圖，由拋物線的一部

形

分ACB和矩形ADEB的三邊構(gòu)成.

信

息

收

當隧道內(nèi)積水的水深為0.27米時，車輛進入隧道，應在行駛車道內(nèi)通行（禁止

集

（即積水達到涉水線處），車輛應避免壓