2025年中考數(shù)學總復(fù)習《二次函數(shù)與折疊問題》專項檢測卷(附答案)

學校:姓名：班級：考號：

1.如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點A(5,0)在天軸正半軸上，點C的坐標為(3,4),拋物線y=-V+法+c

經(jīng)過O,A兩點.

斗

/C\DB

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線與線段的交點為。，連接O。，將08沿直線折疊，點C的對應(yīng)點為E,連接AE,求AE的

長度.

(3)在拋物線的對稱軸上存在一點P,使得S菱形OMC，請寫出點尸的坐標.

2.如圖，在平面直角坐標系中，菱形Q4BC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C的坐標為(3,4),拋物線y=_x2+fcv+c

經(jīng)過O,A兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)拋物線與線段8C的交點為。，連接OD,將,。CD沿直線OD折疊，點C的對應(yīng)點為E,連接AE,求AE的

長度.

(3)在拋物線的對稱軸上存在一點P,使得菱形.Me，請直接寫出點尸的坐標.

3.如圖，拋物線>=依2+法+°(°片0)與尤軸交于4(—2,0)、3(8,0)兩點，與y軸交于點C(0,4),連接AC、BC.

⑴求拋物線的表達式；

(2)將VABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC,點B的對應(yīng)點為。，直接寫出點。的坐標.并求出四邊形O4DC

的面積；

(3)點P是拋物線上的一動點，當NPCB=NABC時，求點P的坐標.

a

4.如圖，拋物線與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,且點A(TO),點C(0,2),拋物線的對稱軸為直線x,

(1)求拋物線的解析式；

(2)將VABC沿直線BC折疊，得到4DBC,請問：點A的對應(yīng)點D是否落在拋物線的對稱軸上？若點D落在對稱

軸上，請求出點。的坐標；若點。沒有落在對稱軸上，請說明理由；

⑶若點E是拋物線位于第一象限內(nèi)的一個動點，連接AE交直線2C于點R設(shè)"="，求”的最大值并求出此時

點E的坐標.

5.已知.在RtAOAB中，ZOAB=90°,ZBOA=30°,0A=26，若以0為坐標原點，0A所在直線為x軸，建立

如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)，將R3OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處.

(1)求經(jīng)過點o,c,A三點的拋物線的解析式.

(2)若點M是拋物線上一點，且位于線段OC的上方，連接MO、MC,問：點M位于何處時三角形MOC的面

積最大？并求出三角形MOC的最大面積.

(3)拋物線上是否存在一點P,使/OAP=NBOC?若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標系中，折疊矩形OCDB的一邊08,使點B落在CD邊的點尸處，折痕為OE,連接跳\已

知點。的坐標為(10,-8),二次函數(shù)y=窈2+6x+c圖象經(jīng)過B、C、尸三點.

(1)求函數(shù)解析式；

(2)在x軸下方拋物線上有一動點P,過點尸作尸軸，交x軸于點Q,連接AP,當△AP。與相似時,

求點尸的坐標.

(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點使有最大值？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，

請說明理由.

7.如圖1,二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象過點A(3,0),B(0,4)兩點，點P從A出發(fā)，在線段AB上沿A—B的方

向以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PDLy軸于點D,交拋物線于點C.設(shè)運動時間為t(秒)

圖1圖2

(1)求二次函數(shù)y=-x2+bx+c的表達式;

(2)連接BC,當t=1■時，求ABCP的面積；

(3)如圖2,動點P從A出發(fā)時，動點Q同時從0出發(fā)，在線段0A上沿0-A的方向以每秒1個單位長度的速

度運動，當點P與B重合時，P、Q兩點同時停止運動.連接DQ,PQ,將ADPQ沿直線PC折疊得到ADPE.在

運動過程中，設(shè)ADPE和AOAB重合部分的面積為S,直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.

8.如圖，平面直角坐標系中，四邊形ABCO為矩形，C點在無軸上，A點在y軸上，8點坐標是卜,3力)點E從點A

出發(fā)，沿49向點。運動，速度為每秒百個單位長度，同時點P從點A出發(fā)，沿向點8運動，速度為每秒1個

單位長度，當一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.將△AEF沿直線所折疊，點A的對應(yīng)點為G點，設(shè)運動

時間為f秒.

⑴當點G落在線段08上時，t=_.當點G落在線段CB上時，t=_.

(2)在整個運動過程中，求，EFG與ABO重疊部分的面積S與/的函數(shù)表達式，并寫出f的取值范圍；

714

⑶當時，請直接寫出S的取值范圍.

9.將平行四邊形紙片Q4BC放置在平面直角坐標系中，點0(0,0),點4(0,9),點氏C在第一象限，且

0c=2后NAOC=30.

圖I圖2

(1)填空：如圖1,點C的坐標為，點8的坐標為；

⑵若尸為y軸的正半軸上一動點，過點尸作直線軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點。的對應(yīng)點o落在y軸的

正半軸上，點c的對應(yīng)點為c<設(shè)OP="

①如圖2,若直線/與邊CB相交于點Q,當折疊后四邊形PO'C'。與重疊部分為五邊形時，O'C'與48相交

于點。.試用含有/的式子表示線段07)的長，并直接寫出f的取值范圍；

o45

②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S,當;時，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).

10.如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線廣加+法+c(awO)的圖象與x軸交于A(TO)、8(3,0)兩點，與y軸

交于點C,且拋物線的頂點。的坐標為(1,4),連接BC,拋物線的對稱軸與BC交于點

圖①圖②

(1)求拋物線的解析式；

⑵在拋物線上B,。兩點之間的部分(不包含8,。兩點)，是否存在點G,使得以BGH=3SA0CH，若存在，求出

點G的坐標，若不存在，請說明理由；

⑶如圖②，將拋物線在BC上方的圖象沿2C折疊后與y軸交于點E,求點E的坐標.

11.拋物線y=-V+2x+8交x軸于A,8兩點(A在B的左邊)，交y軸于點C.

⑴直接寫出A,B,C三點的坐標；

(2)如圖(1),作直線x=f(O<f<4),分別交x軸，線段BC,拋物線于DE,尸三點，連接C/，若YBDE與"EF

相似，求/的值;

⑶如圖（2）,將拋物線在BC上方的圖象沿BC折疊后與y軸交于點G,求點G的坐標.

12.如圖1,拋物線,=依2-2出了+<?（。70）過點0（0,0）和A（6,0）.

（2）如圖2,點B是拋物線的頂點，點D是x軸下方拋物線上的一點，連接OD,且OD平分/AO3,拋物線的對稱

軸交x軸于點C,交線段8于點E,點尸是線段上的動點（點F不與點。和點B重合），連接￡F、OB,設(shè)

點尸的橫坐標為t,ABEF的面積為s,求s關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式；（不用寫出自變量的取值范圍）

（3）如圖3,在（2）的條件下，當s=3時，將43所沿折疊，點2的對應(yīng)點為點8',求點8'的坐標.

13.如圖，在菱形A3CL（中，AB=10cm,AC=12cm,對角線AC和8。交于點。，點P從A出發(fā)，沿方向向B

勻速運動，速度為lcm/s；同時，點。從8出發(fā)，沿BC方向向C勻速運動，速度為2cm/s.連接P。，將V8PQ沿AB

折疊，得到△3P。，設(shè)運動時間為/6乂0</<5）,請解答下列問題:

（2）連接PC,求四邊形的面積S與/的函數(shù)關(guān)系式；并求當f為何值時，S有最大值？最大值是多少？

⑶連接DQ,是否存在某一時刻/，使得92平分/BDC?若存在，求出/值；若不存在，請說明理由.

14.如圖1,已知開口向下的拋物線竺=水2_2ar+1過點A（優(yōu)，1）,與y軸交于點C,頂點為2,將拋物線”繞點

C旋轉(zhuǎn)180。后得到拋物線”，點A,8的對應(yīng)點分別為點。，E.

EE

備用圖

⑴直接寫出點A,C,。的坐標；

⑵當四邊形48OE是矩形時，求a的值及拋物線戶的解析式；

⑶在(2)的條件下，連接。C,線段。C上的動點P從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度運動到點C停止，

在點P運動的過程中，過點P作直線尤軸，將矩形A8OE沿直線/折疊，設(shè)矩形折疊后相互重合部分面積為S平

方單位，點P的運動時間為r秒，求S與f的函數(shù)關(guān)系.

15.如圖，在矩形OABC中，AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在0A邊上的點

E處.分別以O(shè)C,0A所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過0,D,C三點.

(1)求AD的長及拋物線的解析式；

(2)一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿CO以每秒

1個單位長的速度向點0運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，以

P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？

(3)點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N,使以M,N,C,E為頂點的四邊

形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標(不寫求解過程)；若不存在，請說明理由.

參考答案

1.(1)y=-x2+5x

⑵W

5_5535

⑶尸或尸

2，-82，-8~

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解答；

(2)先求出點。的坐標，延長DC交y軸與點G,延長DE交x軸與點R證明&ODG是等腰直角三角形，得到

NODG=45。，由折疊的性質(zhì)得：/CDE=45。,推出NCDE=90。，求出歷=3,AF=1,利用勾股定理即可求解;

x，根據(jù)拋物線的對稱軸為x=1,

（3）設(shè)OE與拋物線對稱軸交于點H,連接OP,PE,求出直線OE的解析式為y=-

2

求出點“住昌，設(shè)尸信,P1,則尸"=P弋，根據(jù)5="q=2獸」

，S菱形0ABe=20,列出方程求解

[2o）\2）o2o

即可.

【詳解】⑴解：C（3,4）,A（5,0）,拋物線y=*+-+c經(jīng)過O,A兩點，

jc=0

?[o=-25+56'

0=5

解得：n,

拋物線的解析式為：丁=-爐+5工；

（2）解：?四邊形。4BC是菱形，C（3,4）,

點的縱坐標為4,

令拋物線y=4=-M+5%,

解得：x=4或％=1,

根據(jù)題意：。（4,4）,

;.CD=4-3=1,

OA=OC=5,

A（5,0）,

OC=（M=3C=AS=5,

由折疊的性質(zhì)得：OE=OC=5,DE=CD=1,

延長DC交y軸與點G,延長OE交關(guān)軸與點R

??.OG'y軸，

則OG=4,OG=4,

ODG是等腰直角三角形,

../ODG=45°,

由折疊的性質(zhì)得：NCDE=45。,

:.NCDE=90。,

BCx軸，

ZDFA=90°,即軸，

.-.DF=4,OF=4,

EF-DF—DE=3,AF=1,

:.AE=y/EF2+AF2=710；

(3)解：設(shè)OE與拋物線對稱軸交于點H,連接OP,PE,

設(shè)直線OE的解析式為y=mx(m豐0),

則3=4m,

解得：m=[3,

4

3

「?直線OE的解析式為y=

4

55

拋物線的對稱軸為x=-2*(—1)=2，

3515

設(shè)p1|,pj,貝

SOPEPHX=P，

=Z~OE

S菱形OABC=5x4=20，

:.2--p，義20=5,

84

解得：p=—5或p二3高5,

oo

5_5535

:.p或尸

2，-82，-8~

【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與圖形面積問題，折

疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，綜合運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(l)y=-x2+5x

⑵而

5_5535

⑶尸

2，-8或P2，-8~

【分析】(1)由點C的坐標求出菱形Q4BC的邊長，得到點A的坐標，利用待定系數(shù)法即可解答;

(2)先求出點。的坐標，延長DC交y軸與點G,延長DE交x軸與點R證明ODG是等腰直角三角形，得到

NODG=45。，由折疊的性質(zhì)得：/CDE=45。，推出/CDE=90。，求出EF=3,AF=1,利用勾股定理即可求解;

⑶設(shè)OE與拋物線對稱軸交于點H,連接OP,尸￡,求出直線的解析式為y=3根據(jù)拋物線的對稱軸為x=|5,

515,設(shè)尸展5'。］，則尸"=P-g，根據(jù)S1

求出點”O(jiān)PE==2,S菱形0ABe-20,列出方程求解

212PH'XET~P

即可.

【詳解】(1)解：C(3,4),

.-.OC=V32+42=5>

?四邊形Q4BC是菱形,

OA=OC=5,

--.A(5,0),

?拋物線y=。經(jīng)過o,A兩點,

c=0

0=-25+5b

b=5

解得:

c=0

「?拋物線的解析式為：y=-/+5x；

(2)解：四邊形Q4BC是菱形，C(3,4),

點的縱坐標為4,

令拋物線y=4=-%2+5%,

解得：x=4或％=1,

根據(jù)題意：0（4,4）,

；.CD=4—3=1,

由（1）知0C=O4=3C=AB=5,

由折疊的性質(zhì)得：OE=OC=5,DE=CD=1,

延長。C交y軸與點G,延長OE交x軸與點E

￡>G_Ly軸，

則Z）G=4,OG=4,

ODG是等腰直角三角形，

..NQDG=45。，

由折疊的性質(zhì)得：ZCDE=45°,

:./CDE=90。,

BCx軸，

:羽1=90。，即龍軸，

:.DF=4,。尸=4,

:.EF=DF—DE=3,AF=1,

：.AE=yjEF2+AF2

（3）解：設(shè)OE與拋物線對稱軸交于點X,連接ORPE,

由（2）知E（4,3）,

設(shè)直線OE的解析式為y=mx(mw0),

則3=4m，

3

解得：--

3

???直線0￡的解析式為y=

4

55

拋物線的對稱軸為兀=-2*(—1)=2，

3515

515

:.H

2'T

設(shè)《,p],則PH=p_1g5

8

SOPE—2PH'=2y-4

S菱形OABC=5x4=20,

-p=-x20=5,

4

解得：5或P=3?5

OO

5_5535

:.P或尸

2，-82，-8"

【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與圖形面積問題，折

疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，綜合運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13

3.(l)y=——x9+—X+4

42

(2)0(-8,8),24

(3)尸(6,4)或(心一，

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可;

(2)先利用勾股定理的逆定理證明V4JC為直角三角形，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出點B、C、。三點共線，繼而通過

證明DBECBO,利用相似三角形的性質(zhì)即可得出點。的坐標，根據(jù)四邊形。4OC的面積

=SADC+SAOC=SABC+SAOC進行求解即可；

(3)分兩種情況討論：當點P在x軸上方時，當點尸在x軸下方時，分別求解即可.

【詳解】⑴將4(-2,0),8(8,0),。(0,4)代入拋物線y=++法+°(”0),得

1

a=—

0=4〃一2b+c」

3

<0=64〃+8。+c,角軍得\b=—,

4=c

lc=4

所以，拋物線的表達式為y=-=尤?+：x+4；

42

(2)如圖，過點。作。軸于E,

：.ZDEB=ZCOB=90°,

VA(-2,0),5(8,0),C(0,4),

r.AB=10,AC=122+42=2&BC=M+#=4正,OB=8,OC=4,OA=2，

AB2=AC2+BC2,

ABC為直角三角形且NACB=90。，

將VABC沿AC所在直線折疊，得到&DC,點8的對應(yīng)點為。，

此時，點2、C、。三點共線，BC=DC,S4ABC=*^AA￡>C，

ZDBE=ZCBO,

DBECBO,

.DBDEBE

；.OB=OE=8,DE=2OC=8,

/.D(-8,8),

???四邊形。40。的面積

=S+S=S.=-AC-BC+--OA-OC=-X2A/5X4V5+-X2X4=24；

AUnCeAC/CADCANORC222v'2'

(3)

當點P在X軸上方時，

,?ZPCB=ZABC,

，C尸〃x軸，

13

...點尸的縱坐標為4,即4=一一為+二尤+4,

42

解得彳=6或0（舍去）

“（6,4）；

當點尸在無軸下方時，設(shè)直線CP交x軸于F,

ZPCB=ZABC,

：.CF=BF,

設(shè)=則CF=3尸=8-t,

在RfCO/7中，由勾股定理得+尸，

即42+t2^（8-t）2,

解得f=3,

???1（3,0）,

C（0,4）,

???設(shè)直線CF的解析式為y=kx+4,

4

即0=3左+4,解得％=-§,

4

...直線CF的解析式為y=_耳x+4,

41334

令一一%+4=一一x2+—x+4,角畢得九=——或0（舍去）,

3423

當天='時，y=--x34j+工理+4=一些

34239

…“八」34100

綜上，尸（6,4）或［三，-丁

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題目，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，折疊的性質(zhì),

相似三角形的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握知識點并能夠靈活運用是解

題的關(guān)鍵.

13

4.（1）^=--x92+—x+2

3

（2）。點不在對稱軸x=萬上，理由見解析

4/、

（3）二，E（2,3）

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可;

（2）根據(jù)勾股定理逆定理證明VABC是直角三角形，根據(jù)中點坐標公式求得點。的坐標即可;

（3）過點E,A分別作x軸的垂線，交直線2c于點G,H,先求得直線2C的解析式y(tǒng)=-?x+2,根據(jù)題意設(shè)

設(shè)E「,一!?產(chǎn)+|/+2),貝l]G',一；f+2EFEG

則nil+n+R根據(jù)=〃求得關(guān)于f的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可

求得〃的最大值，即可求得E的坐標.

3

【詳解】（1）拋物線與無軸交于點A,B,與y軸交于點C,且點4（-1,0）,點C（0,2）,拋物線的對稱軸為直線尤=1,

???3(4,0),

設(shè)拋物線的解析式為y=a（尤+1）（了-4）,

將點C（0,2）代入得2=4z,

解得a=j

?,?物線的解析式為y=—51（x+l）（x—4）=—13

即y=一，12+。尤+2,；

22

3

（2）。點不在對稱軸光=5上，理由如下，

A（-l,0）,B（4,0）,C（0,2）,

/.AO=IBO=4,CO=2,

：.AB=5,AC=A/12+22=V5,BC=A/42+22=2A/5,

/.AB2=25,AC2+BC2=5+20=25,

/.AB2=AC2+BC2,

ABC是直角三角形，

將VABC沿直線3C折疊，得到△D3C,點A的對應(yīng)點為點

ADJ.BC,

AC=CD,

、口~、r1m-1八n+0-

設(shè)。(w),則----=0,-------=2,

22

角軍得根=L〃=4,

D(l,4),

故。點不在對稱軸片三3上；

2

FAHsFEG,

.EF_EG

'~AF~~AH9

B（4,0）,A（-l,0）,C（0,2）,

設(shè)直線5c解析式為y=m；+。，

則kf4x+Z?=0，

左」

解得,2,

b=2

直線BC解析式為y=-gx+2,

令光=一1,貝Uy="|,

設(shè)《八一；產(chǎn)+}+2],

則G\t,--t+2\,

13

/.EG=——t29+-t+2---Z+2—t+2t,

222

i44

=2時，〃取得最大值，最大值為一

131

——t2+-t+2=——x4+3+2=3.

222

此時E（2,3）.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)

的性質(zhì)求最值，第三問中轉(zhuǎn)化線段的比是解題的關(guān)鍵.

（3）存在，P（。，；）或（--y）

5.(1)y=-X2+273X；(2)

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得OC=OA,ZBOC=ZBAO=30°,過點C作CDLOA于D,求出OD、CD,然

后寫出點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；

（2）求出直線OC的解析式，根據(jù)點M到OC的最大距離時，面積最大；平行于OC的直線與拋物線只有一個交

點，利用根的判別式求出m的值，利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；

（3）分兩種情況求出直線AP與y軸的交點坐標，然后求出直線AP的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到

點P的坐標.

【詳解】解：（1）：RtAOAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處，

.?.OC=OA=25ZBOC=ZBAO=30°,

.?.ZAOC=30°+30°=60°,

過點C作CDLOA于D,

J小

c

CD=2百x￥=3,

所以，頂點C的坐標為（6,3）,

設(shè)過點O,c,A拋物線的解析式為為y=ax?+bx,

(局。+回=3

則

(2府a(chǎn)+266=0'

Q=-1

解得：”

b=2?

拋物線的解析式為y=-X2+2V3X；

(2)VC(6，3),

直線OC的解析式為：y=?x

設(shè)點M到OC的最大距離時，平行于OC的直線解析式為y=y/3x+m,

y=y/3x+m

聯(lián)立

y=-x2+2y/3x

消掉未知數(shù)y并整理得，爐—瓜+m=0,

A=(-5/3)2-4m=0,

3

解得:m=—.

4

V3x+-=0,

4

3313

???點M到OC的最大距離二：xsin3()o=—x—二—；

4428

,OC==2\(3，

._13/7_3A/3

??S^oc=不乂2又2<3=—^~;

Zoo

此時，M，最大面積為主叵;

288

(3)VZOAP=ZBOC=ZBOA=30°,

??.2島f=2,

直線AP與y軸的交點坐標為（0,2）或（0,-2）,

當直線AP經(jīng)過點（26，0）、（0,2）時，解析式為丫=-#^+2,

y=-x2+2y/3x

聯(lián)立行一，

3

在

再=26

解得3

、%二05.

"3

所以點P的坐標為也,,

33

當直線AP經(jīng)過點（26，0）、（0,-2）時，解析式為＞

y——%2+2\/3x

聯(lián)立省9

y=——x-2

I-3

走

X.=2-\/3

解得1；,3.

〔必=。_7；

"3

所以點P的坐標為（-也，.

33

綜上所述，存在一點P（也，：）或（-①，-2）,使NOAP=/BOA.

3333

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了折疊的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求

交點的方法，（2）判斷出點M到OC的距離最大是，平行于OC的直線與拋物線只有一個交點是解題的關(guān)鍵，（3）

確定出直線AP的解析式是解題的關(guān)鍵.

6.（1）丫=」/一9元-8；（2）尸（0,-8）或（空,一空）；（3）存在，M（3,-14）

-5524

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)和勾股定理求得B點和F點的坐標，用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式.

(2)設(shè)BE=〃z,則EF=根，DE=8-加，由勾股定理求得m=5,即磯1。,—5),設(shè)尸(Xg產(chǎn)一1f一8),當AAPQ^AOEB

時，冬=黑，當△APQsAEOB時，黑=答，分別代入數(shù)據(jù)計算即可?

BEOBOBBE

(3)點C(0,-8),尸(6,-8)兩點關(guān)于對稱軸x=3對稱，連接BF交直線x=3于點M,此時I及田-河。1有最大值,

設(shè)直線BF：y=kx+b,求得解析式,當x=3時，y—14,此時M⑶-14)

【詳解】解：(1)：四邊形為矩形，。點坐標為(10,-8)

；.O3=10,OC=8,3(10,0),C(0,-8)

OF=10

CF=7102-82=6>即/(6,-8)

將(10,0)、(0,-8),(6,-8)分另峨入yX+bx+c中,得：

1

a=—

100〃+10/7+c=05

b-

<36。+6b+c=-8解得<

5

c=—8

,二次函數(shù)解析式為y=gV-1x-8

(2)設(shè)BE=m,貝。EF=m,DE=8—m

由勾股定理得：m2=(8—m)2+4,解得m=5

???E(10,-5)

16

設(shè)/堂9-8)

當AAPQS/XOEB時，絲二坐，即一7+不+8t+4

BE0B5F

解得：「T(不合題意，舍去)，f2=y

此時

當AAPQS/XEOB時PQ=AQgp--r+-Z+8…

°BBEY丁

解得：(3=-4(不合題意，舍去)，r4=0

此時P(0,-8)

...尸(0,—8)或岑,一5)

(3)存在Af(3,-14)

點C(0,-8),產(chǎn)(6,-8)兩點關(guān)于對稱軸x=3對稱，

如圖，連接BF交直線x=3于點M,此時有最大值

設(shè)直線BF：y=kx+b

代入B、F兩點坐標得

[0=Wk+b?,[k=2

\?,,,?解得%”

[-8=6k+b[b=-20

所以直線BF：y=2x-20,

當x=3時，y=-14,

故M(3,-14)

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

514414436

7.(1)y=-x2+-x+4；(2)4;(3)■廠一^^/+五?

【詳解】試題分析：(1)直接將A、B兩點的坐標代入列方程組解出即可；

(2)如圖1,要想求ABCP的面積，必須求對應(yīng)的底和高，即PC和BD；先求OD,再求BD,PC是利用點P和

點C的橫坐標求出，要注意符號；

(3)分兩種情況討論:①4DPE完全在△OAB中時，即當OVfV。時，如圖2所示，重合部分的面積為S就是△DPE

的面積；②4DPE有一部分在△OAB中時，當時，如圖4所示，APDN就是重合部分的面積S.

172

試題解析：(1)把A(3,0),B(0,4)代入y=-兀2+—+c中得:

c=4°尚.??解析式為q=*+++4；

-9+3b+c=0'解得：’

c=43

(2)如圖1,當，=*時，AP=2t,VPC^xft,=,AOD=—/=—X—=—,當y=3時，—=

6ODAPOD2t556333

cQARDPDA一_

-八”4,-5A8=。，解得…一…0；.C一，丁，由麗,，得一=學則PD=2,

]18

SABCP=—xPCxBD二一x3x—二4；

223

(3)分兩種情況討論：①如圖3,當點E在AB上時，由(2)得OD=QM=ME=gf,.,.EQ=t^,由折疊得：EQXPD,

16,

則EQ〃y軸，——=—―,5_3—Zt——，同理得：PD=3—，，???當—時，S=S4PDQ=；XPDXMQ二

OBOA~r=~r~175172

②當時，如圖4,PTT=3-，，點Q與點E關(guān)于直線PC對稱，則Q(t,0)、E(t,),：AB的

AQQ

4，則交點N(與"，與尹),.?.S=SAPDN=JXP，D'XFN=

解析式為：y=-j.x+4,D，E的解析式為：y=-x+-t

31111,

1八6、8/+248、.144214436

-(3/)?(z-------------1),..S=——t----/+——.

251152755511

壓軸題.

8.(1)|,2

⑶于,考

【分析】(1)當點G落在。8上時：根據(jù)三角函數(shù)可得出NAEF=NAO3=30。，再根據(jù)翻折的性質(zhì)E4=EG,

ZAEF=ZFEG=30°,然后根據(jù)三角形外角得出/A￡G=60。，最后根據(jù)等角對等邊即可得出答案；當點G落在2C

上時：根據(jù)余角及折疊的性質(zhì)得出N/ae=NGEB,再根據(jù)相似三角形的判定即可證明RtEAFsRtGBF,然后根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求出答案；

（2）在整個運動過程中，分兩種情況畫出圖形，即可得.EFG與重疊部分的面積S與/的函數(shù)關(guān)系式；

（3）分①7當時3，②當3;</<］14時，兩種情況，分別求出S的值，再比較即可得出答案.

【詳解】（1）如圖1中，當點G落在上時，

.3,3@,

：.AB=OC=3,AO=BC=36,

?AB力

AO3

NAOS=30。,

,:AE=5,AF=t,

「sAF6

??tanZAEF==——,

AE3

AZAEF=30°,

：.ZAEF=ZAOB=30°,

由翻折的性質(zhì)可知，EA=EG,ZAEF=/FEG=30。,

：.ZAEG=60°f

,:ZAEG=/EOG+ZEGO,

：.ZEOG=ZEGO=30°,

??.EG=EO,

：.AE=OE,

AA/3Z=-X3A/3,

2

???u3,

2，

如圖2中，當點G落在BC上時,

ZAEF=NFEG=30。，

ZAFE=900-ZAEF=60°

由翻折的性質(zhì)可知，ZAFE=ZEFG=60°fAF=GF

;./GFB=180°-ZAFE-ZEFG=60°,

:.ZAFE=/GFB,

,*.RtEAFsRtGBF,

EAAF

一而一茄’

AE=y/3t9AF=tf

BF=3—tJFG=AF=t,

BG=>JFG2-BF2=J6r-9，

解得：％=2,^=6,

當f=6時，AF=6>3,故舍去,

.".t=2；

3

故答案為：—>2.

(2)如圖3-1中，

3

當時，重疊部分是.?瓦G,

FG=AF=t,EG=EA=?,NG=/E4尸=90。

S=--EGFG=—t2.

22

3

如圖3-2中，當一43時，重疊部分四邊形ERV儀,

2

圖3-2

由(1)可知，ZEOM=NEMO=ZAEF=ZAOB=30°,

:.EO=EM,ZAFE=ZEFG=ZABO=60°

ZBFN=180。-ZAFE-ZEFN=60°,

：.BEN為等邊三角形,

:.FN=BF=3T,

:.NG^FG-FN=t-(3-t)^2t-3,

AE=GE,

:.MG=EG-EM=AE-OE=y/3t-(3y/3-y/3t)=2>/3t-3y/3,

SMNG=gNG-MG=*t—3)^6t-3吟,

"Q—V-S

..u—uEFGuMNG

=與_2一3)即一3叫=一當F+6.一號.

43T

綜上所述，S='，；

一孚入6.一竽

(3)①當二時，S=&,

522

當T時，5=￡竺=竺5

522550

當r=3時，S=^x-=-V3；

2248

②當十口-?+6叱*手一2丫+半

當r=2時，s最大為主8,

2

―3#3A/313A/39A/3

22428

當時，S=M+6"—凹+6房四工迎

5222（5）5250

.27指八一3白

502

當:時，s的取值范圍為2

55502

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的面積公式、相

似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.（1）（73,3）,（后12）

⑵①03=空.3上,一，<"；②"S①

322274

【分析】（1）過點C作CD-LQ4,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出OC=A3=2>/iOA=CB=9,ZB=ZAOC=30°,

結(jié)合勾股定理OD=JOC2-CD2=3即可作答.

（2）①過點P作直線軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點。的對應(yīng)點O'落在y軸的正半軸上，根據(jù)題意及等

腰三角形的判定和性質(zhì)得出DO'A是等腰三角形，然后確定相應(yīng)圖形，找出臨界點即可；②根據(jù)①的結(jié)論，根據(jù)解

直角三角形的性質(zhì)得出=再分別以時，3<fW弓時，時，〈?分別作圖，運用數(shù)

332222I,

形結(jié)合思路列式計算，即可作答.

【詳解】（1）解：如圖：過點C作CDJ_Q4,

:四邊形Q4BC是平行四邊形，OC=2后44OC=30。，A（0,9）,

OC=AB=2>/3,OA=CB=9,ZB=ZAOC=30°,

/.CD==-OC=y/3,

2

?*-0D=yl0C2-CD2=3>

C（a3）,

?.*CB=OA=9,

.,.9+3=12,

/.B(A/3,12),

故答案為：("3),("12)；

(2)解：①:.過點P作直線軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點0的對應(yīng)點O'落在y軸的正半軸上,

ZOCfC=ZAOC=30°,CfP=OP,

...20P=21,

A（0,9）,

OA=9,

/.A（7=OO'-OA=2t-9,

...四邊形Q4BC為平行四邊形，

:.AB=OC=25AB//OC,ZO'AB=ZAOC=30°,

：.ZO'AB=ZAO'D=30°,

過點。作￡歸，47,

AO'2t-99

1.O'H=------.-------=t

222

HO'273

'?O'Q=二---t-

cos30°3

當O'與點A重合時,

19

此時AB與CO'的交點O'與A重合，。尸=;OA=

22

的取值范圍為：9