3.三角形的內(nèi)角與外角

第1課時

三角形的內(nèi)角

第十三章

三角形

人教版數(shù)學(xué)八年級（上）教學(xué)課件教學(xué)目標1.掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及內(nèi)容，能運用定理解決簡單角度計算問題；理解直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)及逆定理，會用其判斷直角三角形

。2.通過剪拼、推理證明三角形內(nèi)角和定理，經(jīng)歷“猜想-驗證-證明”過程，提升邏輯推理與動手實踐能力；借助例題、練習(xí)，培養(yǎng)分析、解決問題能力，體會轉(zhuǎn)化思想在幾何證明中的應(yīng)用

。教學(xué)目標重點難點1.三角形內(nèi)角和定理的證明及應(yīng)用；直角三角形兩銳角互余性質(zhì)及逆定理的理解與運用。2.三角形內(nèi)角和定理證明中輔助線的添加及轉(zhuǎn)化思想的滲透；靈活運用三角形內(nèi)角和定理及直角三角形相關(guān)性質(zhì)解決復(fù)雜幾何問題。重點難點新課引入在小學(xué)，通過度量或剪拼，我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和等于180°，這樣的方法獲得的結(jié)論可靠嗎？新課引入測量得∠A=74°，∠B=65°，∠C=41°。所以∠A+∠B+∠C=180°在測量三角形的角時，我們測量會有誤差，況且有不同形狀的三角形，我們無法將每一個三角形都測量，所以我們得出的結(jié)論也是不可靠的?？煽康姆椒ň褪怯眠壿嬜C明來證明.新知探究

三角形的內(nèi)角和除了用測量的方法外，我們還用剪拼的方法。你還記得在小學(xué)是如何通過剪拼的方法得出三角形的內(nèi)角和嗎?

下圖給出了一種剪拼的方法，從這個操作過程中，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎?ABCCB

。

新知探究

三角形的內(nèi)角和上面的剪拼方法，給出了一種證明三角形內(nèi)角和的方法，那就是添加輔助線。添加輔助線是我們證明幾何問題的常用方法。如右圖，已知△ABC的內(nèi)角分別是∠A、∠B、∠C。求證：∠A+∠B+∠C=180°。新知探究

三角形的內(nèi)角和證明：過點A作直線MN∥BC，。MN∵MN∥BC，∴∠B=∠MAB(兩直線平行，內(nèi)錯角等)同理∠C=∠NAC.∵∠MAB、∠BAC、∠NAC組成平角，∴MAB+∠BAC+∠NAC=180°(平角定義)∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換).即∠A+∠B+∠C=180°。新知探究

三角形的內(nèi)角和用測量的方法有誤差，那么用剪拼的方法可靠嗎？

下圖給出了另一種剪拼的方法，從這個操作過程中，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎?ABCBA

。

新知探究

三角形的內(nèi)角和證明：過點A作直線MN∥AB，。MN∵MN∥AB，∴∠B=∠BCM(兩直線平行，內(nèi)錯角等)同理∠A=∠NCA.∵∠ACN、∠ACB、∠BCM組成平角，∴∠ACN+∠BCM+∠ACB+=180°(平角定義)∴∠A+∠B+∠BCA=180°(等量代換).即∠A+∠B+∠C=180°。新知探究

三角形的內(nèi)角和以上我們證明了任意一個三角形的內(nèi)角和都等于180°，得到如下三角形的內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于180°。。符號語言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。學(xué)以致用

三角形的內(nèi)角和1.如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線。求∠ADB的度數(shù)。學(xué)以致用

三角形的內(nèi)角和

。學(xué)以致用

三角形的內(nèi)角和2.如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向、B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向，從B看A、C兩島的視角∠ABC是多少度?從C看A，B兩島的視角∠ACB呢?分析:A，B，C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一個內(nèi)角，如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.學(xué)以致用

三角形的內(nèi)角和解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°。由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180-∠BAD=180°-80°=100°，∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°。在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答:從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是90°.。還有其他方法求∠ACB的度數(shù)嗎？新知探究

直角三角形的性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理是三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)系定理，適用于任意三角形，對于一些特殊三角形，比如直角三角形，這個定理依然適用，那么直角三角形的內(nèi)角還有其他關(guān)系嗎？新知探究

直角三角形的性質(zhì)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用三角形內(nèi)角和定理，得∠A十∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+90°=180°,所以∠A+∠B=90°。這就是直角三角形的兩個銳角之間的一種特殊關(guān)系。。直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余.符號語言：在Rt△ABC中，∠C=90°，則∠A+∠B=90°。學(xué)以致用

直角三角形的性質(zhì)如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點E，比較∠CAE與∠DBE的大小.。學(xué)以致用

直角三角形的性質(zhì)解:在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED∵∠AEC=∠BED,∴∠CAE=∠DBE。新知探究

直角三角形的判定。直角三角形的兩個銳角互余。反過來，有兩個角互余的三角形是什么三角形?我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個角互余。反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎?試說明理由.如圖，△ABC中，∠A與∠B互余，證明△ABC是直角三角形。新知探究

直角三角形的判定。證明：∵∠A與∠B互余，∴∠A+∠B=90°。∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°?！唷鰽BC是直角三角形。有兩個角互余的三角形是直角三角形.由此我們得到直角三角形的一種判定方法：.符號語言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形.學(xué)以致用

學(xué)以致用1.滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．∠C＝∠A+∠B D．∠A+∠C＝90°A學(xué)以致用

學(xué)以致用2.如圖，在△ABC中，M，N分別是邊AB，BC上的點，將△BMN沿MN折疊；使點B落在點B'處，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，則∠AMB'的度數(shù)為（）A．30° B．37° C．54° D．63°C學(xué)以致用

典例精析例1.如圖，已知在△ABC中，BD是高，CE是角平分線．（1）若∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，求△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)；（2）若∠A＝69°，∠CBD＝40°，求∠BEC的度數(shù)．．學(xué)以致用

典例精析解:（1）∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：4：5，∴設(shè)∠A＝3α，∠ABC＝4α，∠ACB＝5α，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴3α+4α+5α＝180°，解得：α＝15°，∴∠ACB＝5α＝75°，∴△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)75°；學(xué)以致用

典例精析（2）∵BD是高，∴∠BDC＝90°，∵∠CBD＝40°，∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝50°，∵CE是角平分線，∴∠ACE∠BCD＝25°，∵∠A＝69°，∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝69°+25°＝94°．學(xué)以致用

隨堂練習(xí)完成課本第13頁練習(xí)2；第14頁練習(xí)2課堂小結(jié)三角形的概念課堂小結(jié)1.三角形內(nèi)角和定理的證明過程（剪拼啟發(fā)輔助線，推理證明）、