第6講小專題:功能關(guān)系能量守恒定律

考點一對功能關(guān)系的理解與應(yīng)用

幾種常見的功能關(guān)系及其表達式

做功能的變化定量關(guān)系

合力做

動能變化W=Ek2－Ek1=ΔEk

功

重力做重力勢能(1)重力做正功,重力勢能減少;重力做負功,重力勢能增加。

功變化(2)WG=－ΔEp=Ep1－Ep2

彈簧彈彈性勢能(1)彈力做正功,彈性勢能減少;彈力做負功,彈性勢能增加。

力做功變化(2)W彈=－ΔEp=Ep1－Ep2

只有重

力、

機械能

彈簧彈機械能守恒,ΔE=0

不變化

力

做功

除重力

和

彈簧彈

(1)其他力做多少正功,物體的機械能就增加多少;其他力做多少

力機械能

負功,物體的機械能就減少多少。

之外的變化

(2)W其他=ΔE

其

他力做

功

一對相

互

機械能(1)作用于系統(tǒng)的一對滑動摩擦力做的總功一定為負功,系統(tǒng)內(nèi)

作用的

減少,能增加。

滑

內(nèi)能增加(2)摩擦生熱Q=Ffx相對

動摩擦

力

做功

安培力(1)克服安培力做的功等于電能的增加量。

電能變化

做功(2)W克安=E電

[例1]【對功能關(guān)系的理解】(2024·廣東深圳期末)嶺南茶文化是中國茶文化重要系列

之一。傳統(tǒng)炒青是指在制作茶葉的過程中利用微火在鍋中使茶葉萎凋的手法,通過人工揉

捻令茶葉水分快速蒸發(fā),阻斷了茶葉發(fā)酵的過程,并使茶汁的精華完全保留的工序。制茶師

傅從熱鍋底將質(zhì)量為m的茶葉以初速度v0豎直揚起,空氣阻力不可忽略,以鍋底為重力勢

能零勢能面,則茶葉從鍋底位置離開手開始,在空中重心上升h到最高點過程中()

[A]重力做功為mgh

[B]合力做功為－mgh

[C]最高點茶葉的動能為m－mgh

12

2?0

[D]最高點茶葉的機械能小于m

12

20

【答案】D?

【解析】重力的方向與茶葉的運動方向相反,重力做負功,所以重力做功為－mgh,A錯誤;

空氣阻力不可忽略,合力做功為W=－(F阻+mg)h,B錯誤;茶葉豎直向上拋出,到最高點時速

度為零,動能也為零,C錯誤;由于阻力做負功,茶葉上升過程中機械能減少,所以最高點茶

葉的機械能小于m,D正確。

12

20

[例2]【功能關(guān)系與?圖像的結(jié)合】(2024·云南昆明階段檢測)在大力士比賽中,選手豎直向

上拋出一重物。取拋出點為重力勢能零點,上升階段重物的機械能E總和重力勢能Ep隨它

離開拋出點的高度h的變化如圖所示。重力加速度g取10m/s2,由圖中數(shù)據(jù)可得()

[A]重物的質(zhì)量為2.5kg

[B]h=8m時,重物的動能為200J

[C]重物上升過程中,阻力大小恒為100N

[D]重物上升過程中,合力做功為－1000J

【答案】D

【解析】由題圖可知,h=8m時E總=Ep=mgh=800J,則此時的動能為零,解得重物的質(zhì)量為

m=10kg,故A、B錯誤;根據(jù)功能關(guān)系,ΔE總=－F阻h=800J－1000J,解得重物上升過程中,

阻力大小F阻=25N,故C錯誤;根據(jù)題意可知,重物從拋出到最高點,重力做功－800J,阻力

做功－200J,可知合力做功為－1000J,故D正確。

考點二摩擦力做功與能量轉(zhuǎn)化

如圖所示,光滑水平面上有一質(zhì)量為M的長木板以速度v1向右運動,將一質(zhì)量為m、速度

為v2的物塊放置在長木板左側(cè),一段時間后兩者相對靜止且以v3向右運動。已知v1小于

v2,長木板的位移為x1,物塊的位移為x2,物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)為μ。

(1)分別對長木板和物塊運動過程應(yīng)用動能定理列出相關(guān)表達式。

(2)結(jié)合(1)中所列關(guān)系式你能求出該系統(tǒng)損失的動能嗎?你認為損失的動能轉(zhuǎn)化成了什么

能?這一能量與滑動摩擦力做功存在什么關(guān)系?

提示:(1)對長木板由動能定理得

μmgx1=M－M,

1212

31

對物塊由2動?能定2理得?

－μmgx2=m－m。

1212

2322

(2)該系統(tǒng)損失?的動能?為

ΔEk損=M+m－(M+m)。

121212

2?12?22?3

系統(tǒng)損失的能量轉(zhuǎn)化成了系統(tǒng)的內(nèi)能,即Q=ΔEk損,

結(jié)合(1)中動能定理表達式可得Q=μmg(x2－x1),

即滑動摩擦力做功產(chǎn)生的熱量數(shù)值上等于系統(tǒng)損失的動能,

Q=Ff(x2－x1)。

兩種摩擦力的做功情況比較

項目靜摩擦力滑動摩擦力

不能量的不會引起系統(tǒng)機械引起系統(tǒng)機械能的變化,一方面使系統(tǒng)中物體間

同轉(zhuǎn)化能的變化,只使系統(tǒng)機械能轉(zhuǎn)移,另一方面使系統(tǒng)總機械能減少,減少

點方面中物體間機械能發(fā)的機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能

生轉(zhuǎn)移

續(xù)表

項目靜摩擦力滑動摩擦力

不一對摩擦一對靜摩擦力所

一對滑動摩擦力所做功的代數(shù)和不為零,總功W=

同力的總做功的代數(shù)和等

－Ffx相對,即相對滑動時產(chǎn)生的熱量

點功方面于零

相

做功的

同兩種摩擦力對物體可以做正功、負功,還可以不做功

性質(zhì)方面

點

[例3]【對摩擦力做功的理解】關(guān)于各類恒力做功問題,下列說法正確的是()

[A]滑動摩擦力對物體可能做負功,也可能做正功,但不可能不做功

[B]靜摩擦力發(fā)生在相對靜止的物體之間,所以靜摩擦力對物體一定不做功

[C]一對作用力與反作用力所做的功一定大小相等,正負相反

[D]一對相互作用的滑動摩擦力做功代數(shù)和一定不為零,且為負值

【答案】D

【解析】滑動摩擦力的方向與物體相對接觸面的運動方向相反,但與物體相對地面的位

移可能同向,可能反向,也可能沒有位移,故滑動摩擦力對物體可能做負功,也可能做正功,

還可能不做功,A錯誤;靜摩擦力發(fā)生在相對靜止的物體之間,靜摩擦力可以對物體做正功,

如物體相對傾斜傳送帶靜止被送到頂端的過程,B錯誤;一對作用力與反作用力所做的功

可能大小相等,正負相同,如冰面上的兩人相互推一下之后朝相反的方向運動,相互作用的

推力均做正功,C錯誤;兩個物體間存在相互作用的滑動摩擦力,由發(fā)生相對運動,兩物體對

地位移一定不同可知,這對相互作用的滑動摩擦力做功代數(shù)和一定不為零,且為負值,D正

確。

[例4]【摩擦力做功與能量轉(zhuǎn)化】(2025·北京開學(xué)考)一木塊靜止放在光滑水平面上,一

顆子彈沿水平方向射入木塊,若子彈進入木塊的最大深度為x1,與此同時木塊沿水平面移

動的距離為x2,設(shè)子彈在木塊中受到的摩擦力大小不變,則在子彈進入木塊的過程中()

①子彈損失的動能與木塊獲得的動能之比為(x1+x2)∶x2

②子彈損失的動能與系統(tǒng)損失的動能之比為(x1+x2)∶x1

③木塊獲得的動能與因系統(tǒng)變熱損失的動能之比為x2∶x1

④木塊獲得的動能與因系統(tǒng)變熱損失的動能之比為x1∶x2

[A]①②③[B]①②④

[C]②③④[D]①③④

【答案】A

【解析】設(shè)摩擦力大小為Ff,對子彈運用動能定理可得－Ff(x1+x2)=ΔEk彈,對木塊運用動能

定理可得Ffx2=ΔEk木=Ek木,可知子彈損失的動能與木塊獲得的動能之比為|ΔEk彈|∶Ek木

=(x1+x2)∶x2,根據(jù)能量守恒可知,因系統(tǒng)摩擦生熱損失的動能為|ΔEk系|=|ΔEk彈|－ΔEk木

=Ff(x1+x2)－Ffx2=Ffx1,則子彈損失的動能與系統(tǒng)損失的動能之比為|ΔEk彈|∶|ΔEk系

|=(x1+x2)∶x1,木塊獲得的動能與因系統(tǒng)摩擦生熱損失的動能之比為Ek木∶|ΔEk系|=x2∶x1,

故選A。

摩擦力做功的分析方法

(1)無論是滑動摩擦力,還是靜摩擦力,計算做功時都是用力與對地位移的乘積。

(2)摩擦生熱的計算公式Q=Ff·x相對,其中x相對為兩接觸物體間的相對位移,若物體相對接觸

面做往復(fù)運動,則代入總的相對路程s相對。

考點三對能量守恒定律的理解與應(yīng)用

[例5]【能量轉(zhuǎn)化和守恒定律的簡單應(yīng)用】(多選)如圖所示,傾角為θ=53°的固定粗糙斜

面上有一A點,長度為0.5m的木板質(zhì)量分布均勻,其質(zhì)量為M=3kg,開始用外力使木板下

端與A點對齊,如圖。木塊質(zhì)量為m=1kg,兩者用一輕質(zhì)細繩繞過光滑定滑輪連接在一起,

2

木板與斜面的動摩擦因數(shù)為。現(xiàn)撤去外力讓木板由靜止開始運動到上端剛好過A點,此

3

過程中,下列說法正確的是(取sin53°=0.8,cos53°=0.6)()

[A]木板和木塊組成的系統(tǒng)機械能守恒

2

[B]木板上端剛過A點時速度大小為m/s

2

[C]木板減少的機械能等于木塊增加的機械能與系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量之和

[D]系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為10J

【答案】BC

【解析】由于斜面是粗糙的,木板和木塊組成的系統(tǒng)在運動中會有摩擦生熱,所以木板和

木塊組成的系統(tǒng)機械能不守恒,故A錯誤;對木板和木塊組成的系統(tǒng),由能量守恒定律有

12

Mglsinθ－mgl=(M+m)v2+μMglcosθ,解得v=m/s,故B正確;根據(jù)能量守恒可知木板減少

22

的機械能等于木塊增加的機械能與系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量之和,故C正確;系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為

Q=μMglcosθ=6J,故D錯誤。

[例6]【能量轉(zhuǎn)化和守恒定律在實際生活中的應(yīng)用】(2025·廣西桂林階段檢測)某品牌電

動汽車電動機最大輸出功率為120kW,最高車速可達180km/h,車載電池最大輸出電能為

75kW·h。已知該車以90km/h的速度在平直公路上勻速行駛時,電能轉(zhuǎn)化為機械能的總

2

轉(zhuǎn)化率為90%。若汽車行駛過程中受到阻力F阻與車速v的關(guān)系符合F阻=kv,其中k為未

知常數(shù),則該電動汽車以90km/h行駛的最大里程約為()

[A]350km[B]405km

[C]450km[D]500km

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可知,vm=180km/h=50m/s,v1=90km/h=25m/s,車速最大時,牽引力為

Fm==2400N,此時車的加速度為0,即Fm=F阻m=k,解得k=0.96;當車速為90km/h時,

?

?2

???

?%

有F1=F阻1=k=600N,由能量守恒定律有ηWm=F1s,解得s==m=405

?

2??90×75×1000×3600

?1?1600

000m=405km,故選B。

(1)首先確定初、末狀態(tài),分清有幾種形式的能在變化,如動能、勢能(包括重力勢能、彈性

勢能、電勢能)、內(nèi)能等。

(2)明確哪種形式的能量增加,哪種形式的能量減少,并且列出減少的能量ΔE減和增加的能

量ΔE增的表達式。

(滿分:60分)

對點1.對功能關(guān)系的理解與應(yīng)用

1.(6分)(2025·河南高考適應(yīng)性考試)(多選)2024年我國研制的“朱雀三號”可重復(fù)使用火箭

垂直起降飛行試驗取得圓滿成功。假設(shè)火箭在發(fā)動機的作用下,從空中某位置勻減速豎直

下落,到達地面時速度剛好為零,若在該過程中火箭質(zhì)量視為不變,則()

[A]火箭的機械能不變

[B]火箭所受的合力不變

[C]火箭所受的重力做正功

[D]火箭的動能隨時間均勻減小

【答案】BC

【解析】由于火箭勻減速豎直下落,速度減小,動能減小,且重力勢能減小,故火箭的機械能

減小,故A錯誤;由于火箭勻減速豎直下落,加速度恒定,由牛頓第二定律可知,火箭所受的

合力不變,故B正確;由于火箭的重力勢能減小,故火箭所受的重力做正功,故C正確;火箭

1212

的動能Ek=mv=m(v0－at),故火箭的動能不隨時間均勻減小,故D錯誤。

22

2.(6分)(2025·廣東珠海階段練習(xí))(多選)在我國漢代,勞動人民就已經(jīng)發(fā)明了轆轤,如圖所

示,可轉(zhuǎn)動的把手邊緣上a點到轉(zhuǎn)軸的距離為4R,轆轤邊緣b點到轉(zhuǎn)軸的距離為R,忽略空

氣阻力。在水桶離開水面后加速往上運動的過程中,下列說法正確的有()

[A]把手邊緣上a點的角速度等于轆轤邊緣b點的角速度

[B]水桶上升的速度大小等于把手邊緣上a點的線速度大小

[C]繩子拉力對水桶做的功等于水桶和水的機械能的增加量

[D]拉力對水桶的沖量等于水桶動量的變化量

【答案】AC

【解析】把手邊緣上a點與轆轤邊緣b點屬于同軸轉(zhuǎn)動,角速度相等,故A正確;根據(jù)

11

v=ωRb=ω·Ra=va,即水桶上升的速度大小等于把手邊緣上a點的線速度大小的四分之一,

44

故B錯誤;根據(jù)功能關(guān)系可得,繩子拉力對水桶和水做的功等于水桶和水機械能的增加量,

故C正確;對水桶分析,根據(jù)動量定理I拉－I重=mv,可知拉力對水桶的沖量等于重力對水桶

的沖量與水桶動量的變化量之和,故D錯誤。

3.(4分)(2024·福建廈門二模)如圖甲所示,小明沿傾角為10°的斜坡向上推動平板車,將一質(zhì)

量為10kg的貨物運送到斜坡上某處,貨物與小車之間始終沒有發(fā)生相對滑動。已知平板

車板面與斜坡平行,貨物的動能Ek隨位移x的變化圖像如圖乙所示,取sin10°=0.17,則貨物

()

[A]在0～3m的過程中,所受的合力逐漸增大

[B]在3～5m的過程中,所受的合力逐漸減小

[C]在0～3m的過程中,機械能先增大后減小

[D]在3～5m的過程中,機械能先增大后減小

【答案】D

【解析】Ek-x圖像的斜率的絕對值表示合力的大小,則可知,在0～3m的過程中,圖像斜

率的絕對值逐漸減小,則貨物所受的合力逐漸減小。同理,在3～5m的過程中,貨物所受的

合力逐漸增大,故A、B錯誤。根據(jù)題圖乙可知,在0～3m的過程中,動能逐漸增大,而隨著

平板車沿著斜面向上運動,貨物的勢能也逐漸增大,由此可知,在0～3m的過程中,貨物的

機械能始終增大,故C錯誤。取x=0處為零勢能面,在x=5m處貨物的重力勢能Ep=mgxsin

10°=10×10×5×0.17J=85J,

作出重力勢能隨位移變化的圖像如圖所示,根據(jù)圖像對比可知,在x=3m到x=5m之間,根

據(jù)動能圖線斜率絕對值的變化趨勢與重力勢能斜率比較可知,動能隨位移的變化先慢于

重力勢能隨位移的變化,該過程中機械能增加,后動能隨位移的變化快于重力勢能隨位移

的變化,該過程中機械能減小,由此可知,在3～5m的過程中,機械能先增大后減小,故D正

確。

對點2.摩擦力做功與能量轉(zhuǎn)化

4.(4分)如圖所示,一個長為L、質(zhì)量為M的木板,靜止在光滑水平面上,一個質(zhì)量為m的物

塊(可視為質(zhì)點),以水平初速度v0從木板的左端滑向另一端,設(shè)物塊與木板間的動摩擦因數(shù)

為μ,當物塊與木板相對靜止時,物塊仍在長木板上,物塊相對木板的位移為d,木板相對地面

的位移為x,重力加速度大小為g。則在此過程中()

[A]摩擦力對物塊做功為μmg(x+d)

[B]摩擦力對木板做功為－μmgx

[C]木板動能的增量為μmgd

[D]由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為μmgd

【答案】D

【解析】物塊的位移為x+d,摩擦力對物塊做功W1=－μmg(x+d),A錯誤;木板的位移為x,

摩擦力對木板做功W2=μmgx,B錯誤;對木板有ΔEk=W總=μmgx,C錯誤;Q=Ff·l相對=μmgd,D正

確。

5.(6分)(2024·廣東廣州階段檢測)(多選)小物塊先后兩次滑上斜面,第一次對小物塊施加一

沿斜面向上的恒力F,第二次無恒力F。圖乙中的兩條線段a、b分別表示存在恒力F和

無恒力F時小物塊沿斜面向上運動的v-t圖線。不考慮空氣阻力,小物塊質(zhì)量m=1kg,g取

10m/s2,θ=53°,取cos53°=0.6,sin53°=0.8,下列說法正確的是()

[A]恒力F大小為1N

[B]小物塊與斜面間動摩擦因數(shù)為0.5

[C]有恒力F時,小物塊在上升過程產(chǎn)生的熱量較少

[D]有恒力F時,小物塊在上升過程機械能的減少量較小

【答案】ABD

【解析】v-t圖線的斜率表示加速度,則有恒力F作用時,物塊加速度的大小為a1=

.

11

2211

m/s=10m/s,根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ+μmgcosθ－F=ma1,無恒力F作用時,物塊加速

22

度的大小為a2=m/s=11m/s,根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ+μmgcosθ=ma2,解得F=1

11

1

N,μ=0.5,故A、B正確;小物塊在上升過程產(chǎn)生的熱量為Q=μmgxcosθ,v-t圖線與時間軸所

圍幾何圖形的面積表示位移,由題圖可知,有恒力F作用時的位移大一些,則有恒力F時,

小物塊在上升過程產(chǎn)生的熱量較多,故C錯誤;根據(jù)圖像,小物塊的初速度相等,即初動能相

等,根據(jù)上述,有恒力F作用時,小物塊位移大,即有恒力F作用時,小物塊上升的高度大,可

知有恒力F時,小物塊在上升過程機械能的減少量較小,故D正確。

對點3.對能量守恒定律的理解與應(yīng)用

6.(4分)(2024·湖北二模)某地有一風(fēng)力發(fā)電機,它的葉片轉(zhuǎn)動時可形成半徑為20m的圓面。

某時間內(nèi)該地區(qū)的風(fēng)速是6.0m/s,風(fēng)向恰好跟葉片轉(zhuǎn)動的圓面垂直,已知空氣的密度為1.2

kg/m3,假如這個風(fēng)力發(fā)電機能將此圓內(nèi)10%的空氣動能轉(zhuǎn)化為電能,則此風(fēng)力發(fā)電機發(fā)電

的功率約為()

[A]1.6×103W[B]1.6×104W

[C]1.6×105W[D]1.6×106W

【答案】B

2223

【解析】在t時間內(nèi)空氣動能為Ek=mv=ρvtSv=ρπrvt,則此風(fēng)力發(fā)電機發(fā)電的功率約

111

%222

為P==0.1×ρπr2v3≈1.6×104W,故選B。

10?k1

?2

7.(12分)(2025·云南高考適應(yīng)性考試)游樂項目“滑草”的模型如圖所示,某質(zhì)量m=80kg的

游客(包括滑板,可視為質(zhì)點)由靜止從距水平滑道高h=20m的P點沿坡道PM滑下,滑到

坡道底部M點后進入水平減速滑道MN。在水平滑道上勻減速滑行了l=9.0m后停止,水

平滑行時間t=3.0s。重力加速度g取10m/s2,求:

(1)該游客滑到M點的速度大小和滑板與水平滑道MN之間的動摩擦因數(shù);

(2)該游客(包括滑板)從P點滑到M點的過程中損失的機械能。

【答案】(1)6m/s0.2(2)14560J

【解析】(1)設(shè)游客在M點的速度為vM,與水平滑道MN之間的動摩擦因數(shù)為μ,在水平滑

道上游客做勻減速直線運動,

由牛頓第二定律可得μmg=ma,

由運動學(xué)公式可得vM=at,

0－=－2al,

2

?

代入?數(shù)據(jù)可得vM=6m/s,μ=0.2。

(2)由動能定理知,

W阻+mgh=m－0,

12

2??

解得W阻=－14560J。

即損失機械能為14560J。

22

8.(4分)已知雨滴在空中運動時所受空氣阻力F阻=krv,其中k為比例系數(shù),r為雨滴半徑,v

為運動速率。一雨滴從高空由靜止開始沿豎直方向下落,以地面為重力勢能零勢能面,用

Ep、Ek、E、h表示雨滴重力勢能、動能、機械能和下落高度,下列四幅圖像可能正確的是

()

[A][B]

[C][D]

【答案】C

【解析】隨著雨滴下落的速度逐漸增加,空氣阻力逐漸增大,合力逐漸減小,根據(jù)動能定理,

下落相同的高度,動能的增量逐漸減小,因此Ek－h(huán)斜率逐漸減小,最后趨近于水平,A、B

錯誤;下落過程中,由于空氣阻力逐漸增大,下落相同的高度,空氣阻力做功逐漸增大,機械

能減少得越來越快,因此E－h(huán)斜率逐漸增大,C正確;設(shè)初始狀態(tài)時的勢能為Ep0,下落的過

程中,由于Ep=Ep0－mgh,可得圖像Ep－h(huán)是不過坐標原點、傾斜向下的直線,D錯誤。

9.(14分)(2025·江蘇無錫開學(xué)考)如圖所示的裝置中,光滑水平桿固定在豎直轉(zhuǎn)軸上,小圓環(huán)

A和輕彈簧套在桿上,彈簧兩端分別固定于豎直轉(zhuǎn)軸和環(huán)A,細線穿過小孔O,兩端分別與環(huán)

A和小球B連接,線與水平桿平行,環(huán)A的質(zhì)量為m=0.1kg,小球B的質(zhì)量為2m?，F(xiàn)使整

個裝置繞豎直軸以角速度ω=5rad/s勻速轉(zhuǎn)動,細線與豎直方向的夾