專題04充分、必要的條件（5大題型）高頻考點題型歸納【題型1充分、必要條件的判斷及應(yīng)用】【題型2充要條件的判斷及應(yīng)用】【題型3充分不必要條件的判斷及應(yīng)用】【題型4必要不充分條件的判斷及應(yīng)用】【題型5充分、必要、充要和集合的關(guān)系】【題型1充分、必要條件的判斷及應(yīng)用】【知識點】若p?q，則p是q的充分條件q是p的必要條件?！镜淅?】（2022春?廣陵區(qū)校級月考）設(shè)α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4（m∈R）．若β是α的必要條件，則m的取值范圍是[﹣]．【答案】[﹣]【解答】解：由β是α的必要條件，可得[1，3]?[m+1，2m+4]，所以，解得m∈[﹣]．故答案為：[﹣]．【典例2】（2022秋?虹口區(qū)校級期中）設(shè)a是實數(shù)，若x＝1是x＞a的一個充分條件，則a的取值范圍是（﹣∞，1）．【答案】（﹣∞，1）．【解答】解：因為x＝1是x＞a的一個充分條件，則{1}?{x|x＞a}，所以a＜1，則a的取值范圍是（﹣∞，1）．故答案為：（﹣∞，1）．【題型訓練1】1．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）設(shè)α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，若α是β的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】．【解答】解：α是β的充分條件，則A?B，∵α：1≤x≤3，β：m+1≤x≤2m+4，∴，解得，故實數(shù)m的取值范圍是．故答案為：．2．（2022秋?天寧區(qū)校級月考）已知條件p：2≤x≤3，q：2k﹣1≤x≤k+3，p是q的充分條件，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】[0，]．【解答】解：∵p：2≤x≤3，q：2k﹣1≤x≤k+3，p是q的充分條件，∴p能推出q，即，解得0≤k≤，故實數(shù)k的取值范圍為[0，]．故答案為：[0，]．3．（2023?濟南開學）“x＞y”的一個充分條件可以是（）A． B．x2＞y2 C． D．xt2＞yt2【答案】D【解答】解：由x＞y，即x﹣y＞0，對選項A，，所以x﹣y＞﹣1不一定有x﹣y＞0，故A不正確，選項B，由x2＞y2，則x2﹣y2＞0?（x+y）（x﹣y）＞0，則或，故B項不正確，選項C，，則或，故C不正確，選項D，由xt2＞yt2知t2＞0，所以x＞y，成立，故D正確，故選：D．4．（2022春?魏縣校級期末）已知A＝{x|y＝}，B＝{x|x≤m+1}，若x∈A是x∈B的必要條件，則m范圍是（﹣∞，0]．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：A＝{x|y＝}＝{x|1﹣x≥0}＝{x|x≤1}，若x∈A是x∈B的必要條件，則B?A，則m+1≤1，即m≤0，即實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，0]，故答案為：（﹣∞，0]5．（2022秋?閔行區(qū)校級期中）設(shè)p：x＜1，q：x＜a，若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，1]．【答案】（﹣∞，1]．【解答】解：∵p是q的必要條件，∴{x|x＜a}?{x|x＜1}，∴a≤1，∴a的取值范圍為（﹣∞，1]．故答案為：（﹣∞，1]．6．（香坊區(qū)校級期末）已知條件p：{x|x2+x﹣6＝0}，條件q：{x|mx+1＝0}，且p是q的必要條件，則m的取值集合是【答案】{，，0}．【解答】解：由x2+x﹣6＝0，解得x＝2，或x＝﹣3．∴p即集合A＝{2，﹣3}．m＝0時，q＝?，可得q?p；m≠0時，由mx+1＝0，可得x＝﹣，∵p是q的必要條件，∴﹣＝2，或﹣＝﹣3，解得m＝，或m＝．綜上可得：{，，0}．故答案為：{，，0}．【題型2充要條件的判斷及應(yīng)用】【知識點】若p?q，則p是q充要條件?！镜淅?】（2022秋?大理州月考）若“不等式x﹣m＜1成立”的充要條件為“x＜2”，則實數(shù)m的值為1．【答案】1．【解答】解：解不等式x﹣m＜1得x＜m+1，因為“不等式x﹣m＜1成立”的充要條件為“x＜2”，所以2＝m+1，解得m＝1；所以m＝1．故答案為：1．【題型訓練2】1．（2022秋?阜南縣校級月考）“一元二次方程x2+ax+1＝0有實數(shù)根”的充要條件是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【答案】（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：一元二次方程x2+ax+1＝0有實數(shù)根，應(yīng)滿足Δ＝a2﹣4≥0，解得a≤﹣2或a≥2，所以實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．2．（2022秋?重慶月考）若“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要條件，則實數(shù)m的取值是3．【答案】3．【解答】解：由1＜﹣2x+m＜5得1﹣m＜﹣2x＜5﹣m，故，因為“﹣1＜x＜1”是“1＜﹣2x+m＜5”的充要條件，所以，解得m＝3，所以實數(shù)m的取值是3．故答案為：3．3．（2022秋?西城區(qū)校級月考）“x＞1，且y＞1”的充要條件是“x+y＞2，且（x﹣1）（y﹣1）＞0”．【答案】（x﹣1）（y﹣1）＞0．【解答】解：x＞1，且y＞1?x﹣1＞0，且y﹣1＞0??，故答案為：（x﹣1）（y﹣1）＞0．4．（2022秋?興慶區(qū)校級月考）“不等式mx2+x+m＞0在R上恒成立”的一個充要條件是m＞．【答案】m＞．【解答】解：當m＝0時，不等式化簡為x＞0，不恒成立，所以m≠0，則不等式恒成立只需，解得m，所以“不等式mx2+x+m＞0在R上恒成立”的一個充要條件是m＞1，故答案為：m＞【題型3充分不必要條件的判斷及應(yīng)用】【知識點】若p?q，q?p,p是q的充分不必要條件?！镜淅?】（2022秋?永川區(qū)校級月考）2020年2月11日，世界衛(wèi)生組織將新型冠狀病毒感染的肺炎命名為COVID﹣19（新冠肺炎）新冠肺炎，患者癥狀是發(fā)熱、干咳、渾身乏力等外部表征．“新冠肺炎患者”是“患者表現(xiàn)為發(fā)熱、干咳、渾身乏力”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解答】解：新冠肺炎患者能推出患者表現(xiàn)為發(fā)熱、干咳、渾身乏力，充分性成立，患者表現(xiàn)為發(fā)熱、干咳、渾身乏力不能推出新冠肺炎患者，必要性不成立．故選：A．【題型訓練3】1．（2023春?浉河區(qū)校級月考）給出的下列條件中能成為的充分不必要條件是（）A．x≤0或x＞3 B．x＜﹣1或x＞3 C．x≤﹣1或x≥3 D．x≥0【答案】B【解答】解：由得x＞3或x≤0，則的充分不必要條件是（﹣∞，0]∪（3，+∞）的真子集即可，則x＜﹣1或x＞3滿足條件．故選：B．2．（2023春?泉州期末）已知集合M＝{0，1，2}，N＝{﹣1，0，1，2}，則“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解答】解：因為M?N，所以“a∈M”?“a∈N”，但“a∈N”推不出“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分不必要條件．故選：A．3.（2023?紅橋區(qū)二模）設(shè)a∈R，則“a＞0”是“|a|＞0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解答】解：當a＞0時，必定有|a|＞0成立，故充分性成立；當|a|＞0時，可得a＞0或a＜0，故必要性不成立．故選：A．4.（2023?和平區(qū)二模）若x，y∈R，則“x＞y”的一個充分不必要條件可以是（）A．|x|＞|y| B．x2＞y2 C． D．2x﹣y＞2【答案】D【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2推不出x＞y，排除AB；由可得，解得x＞y＞0或x＜y＜0，所以是x＞y的既不充分也不必要條件，排除C；，反之不成立，D正確；故選：D．5．（2023春?敘州區(qū)校級期末）“a＞b”的充分不必要條件是（）A．＜ B．＜0＜ C．＜＜0 D．＞【答案】C【解答】解：A．由﹣＝＜0，∴ab（b﹣a）＜0，無法得出a＞b，因此不符合條件；B．由＜0＜，可得a＜0＜b，無法得出a＞b，因此不符合條件；C．由＜＜0，可得b＜a＜0，是“a＞b”的充分不必要條件，因此符合條件；D．由﹣＝＞0，∴ab（b﹣a）＞0，無法得出a＞b，因此不符合條件．故選：C．6．（2023春?大荔縣期末）（x﹣2）（x+2）＞0的一個充分不必要條件是（）A．x≤0 B．x≥0 C．x≥3 D．x＞2或x＜﹣2【答案】C【解答】解：解不等式（x﹣2）（x+2）＞0可得x＜﹣2或x＞2，因為{x|x≥3}?{x|x＜﹣2或x＞2}，故只有C選項中的條件才是“（x﹣2）（x+2）＞0”的充分不必要條件．故選：C．【題型4必要不充分條件的判斷及應(yīng)用】【知識點】若p?q，q?p,p是q的必要不充分條件?！镜淅?】（2022?鏡湖區(qū)校級模擬）荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”這句來自先秦時期的名言．此名言中的“積跬步”是“至千里”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解答】解：由已知設(shè)“積跬步”為命題P，“至千里”為命題q，“故不積跬步，無以至千里”，即“若?P，則?q”，其逆否命題為“若q則P”，反之不成立，所以命題P是命題q的必要不充分條件，故選：C．【題型訓練4】1．（2022秋?金寨縣校級期末）設(shè)x∈R，則x＞2的一個必要不充分條件是（）A．x＜1 B．x＞2 C．x＞﹣1 D．x＞3【答案】C【解答】解：x＞2的一個必要不充分條件，即x的范圍要比x＞2要大，只有x＞﹣1符合，故選：C2．（2022秋?建鄴區(qū)校級期末）設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，且c＜d，則“a＜b”是“a﹣c＜b﹣d”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解答】解：令c＝0，d＝1，a＝2，b＝3，滿足c＜d，a＜b，不滿足a﹣c＜b﹣d，充分性不成立，a﹣c＜b﹣d，c＜d，則由不等式的可加性可得，a﹣c+c＜b﹣d+d，即a＜b，必要性成立，故“a＜b”是“a﹣c＜b﹣d”的必要不充分條件．故選：B．3．（2023春?福州期末）已知a∈R，則“”是“a＞1”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【解答】解：a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的必要非充分條件．故選：B．4．（2023春?阜陽期末）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則“a3＝±2”是“a1，a5是方程x2﹣5x+4＝0的兩個根”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解答】解：由題意，方程x2﹣5x+4＝0的兩個根為1和4，則a1＝1，a5＝4或a1＝4，a5＝1，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，若a1＝1，a5＝4，則q4＝＝4，即q2＝2，此時a3＝a1q2＝2；若a1＝4，a5＝1，則q4＝＝，即q2＝，此時a3＝a1q2＝4×＝2；即若a1，a5是方程x2﹣5x+4＝0的兩個根，可得a3＝2，故“a3＝±2”是“a1，a5是方程x2﹣5x+4＝0的兩個根”的必要不充分條件．故選：B．5．（2023春?仙游縣校級期中）x2＝4是x＝﹣2的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【解答】解：由x2＝4得，x＝2或﹣2，所以x2＝4是x＝﹣2的必要不充分條件．故選：B【題型5充分、必要、充要和集合的關(guān)系】【知識點】若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，q是p的必要條件①若AB，則p是q的充分不必要條件；③若AB，則p是q的必要不充分條件；④若A＝B，則p是q的充要條件；⑤若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；【典例5】（2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）已知集合A＝{x|x2﹣8x+7≤0}和非空集合B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若m＝5，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）{x|6≤x≤7}；（2）[2，4]．【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣8x+7≤0}＝{x|1≤x≤7}，若m＝5，則B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}＝{x|6≤x≤9}，∴A∩B＝{x|6≤x≤7}；（2）∵x∈A是x∈B的必要不充分條件，∴B?A，∵B≠?，則，解得2≤m≤4，綜上，實數(shù)m的取值范圍是[2，4]．【題型訓練5】1.（2022秋?連云港期末）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，非空集合B＝{x|2﹣a≤x≤1+2a}，a∈R．（1）若a＝3，求（?UA）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求a的取值范圍．【答案】（1）{x|﹣1≤x＜1或5＜x≤7}；（2）[]．【解答】解：（1）解集合A對應(yīng)的一元二次不等式可得（x﹣1）（x﹣5）≤0，所以A＝{x|1≤x≤5}，?UA＝{x|x＜1或x＞5}，當a＝3時，B＝{x|﹣1≤x≤7}，（?UA）∩B＝{x|﹣1≤x＜1或5＜x≤7}；（2）若“x∈A是“x∈B的必要不充分條件，等價于非空集B＝{x|2﹣a≤x≤1+2a}是集合A＝{x|1≤x≤5}的真子集，即，解得（兩端點不會同時取等號，所以等號符合題意），故a的取值范圍為[]．2.（2022秋?金水區(qū)校級期末）已知集合A＝{x|x2﹣8x+7≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1）．（1）若m＝3，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）A∩B＝{x|4≤x≤5}；（2）實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，4]．【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣8x+7≤0}＝{x|1≤x≤7}，若m＝3，則B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}＝{x|4≤x≤5}，∴A∩B＝{x|4≤x≤5}；（2）∵x∈A是x∈B的必要不充分條件，∴B?A，①當B＝?時，則m+1＞2m﹣1，解得m＜2，②當B≠?時，則，解得2≤m≤4，綜上，實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，4]．3.（2022秋?富錦市校級期末）設(shè)集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，集合B＝{x||x+a|＜1}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）設(shè)p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣4＜x＜1}；（2）實數(shù)a的取值范圍是[0，2]．【解答】解：（1）當a＝3時，由|x+3|＜1，解得﹣4＜x＜﹣2，即B＝{x|﹣4＜x＜﹣2}．A＝{x|﹣3＜x＜1}，所以A∪B＝{x|﹣4＜x＜1}；（2）因為p是q成立的必要不充分條件，所以B?A，又集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|﹣a﹣1＜x＜﹣a+1}．所以