第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁湖南省湘潭市2026屆高一上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分）1．[5分]已知命題，；命題，，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題2．[5分]已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．3．[5分]已知集合，，則（

）A． B．C． D．4．[5分]已知，，則（

）A． B．C． D．5．[5分]已知全集，集合A，B滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（

）A． B． C． D．6．[5分]設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．[5分]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形，如果點A的坐標(biāo)為，那么點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．8．[5分]已知，，且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．9二、多選題（本大題共3小題，共15分）9．[5分]下列敘述中不正確的是（

）A．若，則“不等式恒成立”的充要條件是“”；B．若，則“”的充要條件是“”；C．“”是“方程有一個正根和一個負(fù)根”的必要不充分條件；D．“”是“”的充分不必要條件.10．[5分]設(shè)，，為實數(shù)，，記集合，，若、分別表示集合、的元素的個數(shù)，則下列結(jié)論能成立的是（

）A．， B．，C．， D．，11．[5分]已知、均為正實數(shù)，且過點的直線與拋物線相切于點，下列說法正確的是（

）A．B．的最小值為C．的最小值為3D．的最小值為2三、填空題（本大題共3小題，共15分）12．[5分]已知命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為.13．[5分]已知集合A={1,2,4}，B={x,14．[5分]若存在x∈[1,3]，使不等式x2?四、解答題（本大題共5小題，共80分）15．[14分]隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展，醫(yī)療消費(fèi)需求增長，人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等影響，醫(yī)療器械市場近年來一直保持了持續(xù)增長的趨勢．某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場力，計劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺，每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．（1）寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤＝銷售收入－成本）；（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？16．[15分]已知集合，，.（1）求；（2），求的取值范圍．17．[15分]給定兩組數(shù)據(jù)與，稱為這兩組數(shù)據(jù)之間的“差異量”．鑒寶類的節(jié)目是當(dāng)下非常流行的綜藝節(jié)目．現(xiàn)有個古董，它們的價值各不相同，最值錢的古董記為1號，第二值錢的古董記為2號，以此類推，則古董價值的真實排序為．現(xiàn)在某專家在不知道古董真實排序的前提下，根據(jù)自己的經(jīng)驗對這個古董的價值從高到低依次進(jìn)行重新排序為，其中為該專家給真實價值排第位古董的位次編號，記，那么與的差異量可以有效反映一個專家的水平，該差異量越小說明專家的鑒寶能力越強(qiáng)．（1）當(dāng)時，求的所有可能取值；（2）當(dāng)時，求滿足的的個數(shù)；（3）現(xiàn)在有兩個專家甲、乙同時進(jìn)行鑒寶，已知專家甲的鑒定結(jié)果與真實價值的差異量為，專家甲與專家乙的鑒定結(jié)果的差異量為4，那么專家乙的鑒定結(jié)果與真實價值的差異量是否可能為？請說明理由．（注：實數(shù)滿足：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號）18．[18分]由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.對于凸多面體，有著名的歐拉公式：，其中為頂點數(shù)，為棱數(shù)，為面數(shù).我們可以通過歐拉公式計算立體圖形的頂點?棱?面之間的一些數(shù)量關(guān)系.例如，每個面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點數(shù)和棱數(shù).一方面，每個面有4條邊，六個面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現(xiàn)在兩個相鄰的面中，因此每條棱恰好被計算了兩次，即共有12條棱；再根據(jù)歐拉公式，，可以得到頂點數(shù).（1）已知足球是凸三十二面體，每個面均為正五邊形或者正六邊形，每個頂點與三條棱相鄰，試確定足球的棱數(shù)；（2）證明：個頂點的凸多面體，至多有條棱；（3）已知正多面體的各個表面均為全等的正多邊形，且與每個頂點相鄰的棱數(shù)均相同.試?yán)脷W拉公式，討論正多面體棱數(shù)的所有可能值.19．[18分]已知曲線（）上一點（）處的切線分別交直線，直線于點，，記點，，.（1）設(shè)，的面積分別為，，解不等式；（2）在曲線與線段，線段圍成的區(qū)域內(nèi)，以為一頂點作，設(shè)所有這些三角形的面積最大值為，求的極值.

湖南省湘潭市2026屆高一上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)檢測試卷參考答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】AB10．【答案】ACD11．【答案】ABC12．【答案】13．【答案】214．【答案】[15．【答案】（1）；（2）年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，．（2）若，當(dāng)時，萬元；若，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，萬元，由于，故該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）∵，∴；∵，∴；.（2）①當(dāng)時，不滿足題意（舍）；②當(dāng)時，，，；③當(dāng)時，，，綜上，17．【答案】（1）0，2，4（2）12（3）不可能，理由見詳解【詳解】（1）若時，則，且，可得，所以的所有可能取值為0，2，4.（2）若對調(diào)兩個位置的序號之差大于2，則，可知只能調(diào)整兩次兩個連續(xù)序號或連續(xù)三個序號之間調(diào)整順序，若調(diào)整兩次兩個連續(xù)序號：則有，共有3種可能；若連續(xù)三個序號之間調(diào)整順序，連續(xù)三個序號有：，共3組，由（1）可知：每組均有3種可能滿足，可得共有種可能；所以的個數(shù)為.（3）不可能，理由如下：設(shè)專家甲的排序為，記；專家乙的排序為，記；由題意可得：，，因為，結(jié)合的任意性可得，所以專家乙的鑒定結(jié)果與真實價值I的差異量不可能為.18．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【詳解】（1）設(shè)足球有個正五邊形，則有個正六邊形，足球的頂點，棱數(shù)，由歐拉公式得，解得，即此足球中有個面為正五邊形，所以此足球的棱數(shù).（2）由個頂點的凸多面體，其面數(shù)盡可能多，那么相當(dāng)于每一個面盡可能均為三角形，當(dāng)棱數(shù)最多時，該凸多面體每一個面均為三角形，此時，即，又，即，解得，故個頂點的凸多面體，至多有條棱.（3）設(shè)正多面體每個頂點有條棱，每個面都是正邊形，則此多面體棱數(shù)，，即，由歐拉公式，得，所以，即，即，所以，當(dāng)時，，所以，，；當(dāng)時，，所以，，；當(dāng)時，，所以，，；綜上：棱數(shù)可能為.19．【答案】（1）（2）的極大值為，極小值為【詳解】（1）因為，，所以：，即，其中得：，.所以，故或，由知不等式的解集為.（2）知在內(nèi)，要使得面積最大，必須在線段或線段上，有三種情況：①均在線段上，此時的最大面積為的面積（如圖1）；②均在線段上，此