第27章圓（章節(jié)復(fù)習(xí)）(難點(diǎn)練）一、單選題1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，則線段CM長度的最大值為()A．7 B．3.5 C．4.5 D．3【答案】B【分析】作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長，然后在△CEM中根據(jù)三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE．

在直角△ABC中，∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，∴在△CEM中，∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡，要結(jié)合勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．2．如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊△OAB的邊OB在x軸的正半軸上，點(diǎn)A（3，m）（m＞0），點(diǎn)M，N分別從B、O出發(fā)，以相同的速度，沿BO，OA向O、A運(yùn)動(dòng)，連接AM、BN交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，則當(dāng)EP最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（0，） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，）【答案】B【分析】先判斷出△OBN≌△MAB（SAS），即可判斷出∠AEB＝120°，即可判斷出點(diǎn)F是以O(shè)'為圓心的圓上的一段?。踊。?，然后確定出圓心O'的位置及坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可確定當(dāng)點(diǎn)P（0，）時(shí)，EP的最小值是6﹣2．【詳解】解：如圖，∵△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝∠ABM＝60°，OB＝AB，∵點(diǎn)M、N分別從B、O以相同的速度向O、A運(yùn)動(dòng)，∴BM＝ON，在△OBN和△MAB中，，∴△OBN≌△MAB（SAS），∴∠OBN＝∠BAM，∴∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠OBN＝∠ABO＝60°∴∠AEB＝180°﹣（∠ABN+∠BAM）＝120°，∴點(diǎn)E是經(jīng)過點(diǎn)A，B，E的圓上的點(diǎn)，記圓心為O'，在⊙O'上取一點(diǎn)C，使點(diǎn)C和點(diǎn)E在弦AB的兩側(cè)，連接AC，BC，∴∠ACB＝180°﹣∠AEB＝60°，連接O'A，O'B，∴∠AO'B＝2∠ACB＝120°，∵O'A＝O'B，∴∠ABO'＝∠BAO'，∴∠ABO'＝（180°﹣∠AO'B）＝（180°﹣120°）＝30°，∵∠ABO＝60°，∴∠OBO'＝90°，∵△AOB是等邊三角形，A（3，m），∴AB＝OB＝2×3，m＝，過點(diǎn)O'作O'G⊥AB，∴BG＝AB＝3，在Rt△BO'G中，∠ABO'＝30°，BG＝3，∴O'B＝，∴O'（6，），設(shè)P（0，n），∴O'P＝，∴EP＝O'P﹣O'E＝，只有n﹣＝0時(shí)，最小為0，即最小為6．當(dāng)n﹣＝0時(shí)，即：n＝時(shí)，EP最?。帱c(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，2）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合、等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)相結(jié)合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)B，不含端點(diǎn)C），連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，BE的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由∠AEC=90°知E在以AC為直徑以M為圓心的圓的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），從而得BE最短時(shí)，即為連接BM與圓的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)），作MF⊥AB于F，證△AMF∽△ABC得，即可知MF=，利用勾股定理求出AF=，BF=，BM=，從而得BE長度的最小值B=BM-M=-2；由BE最長時(shí)即E與C重合，根據(jù)BC=3且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，得BE<3，從而得出答案．【詳解】解：由題意知，∠AEC=，∴E在以AC為直徑以M為圓心的圓的上(不含點(diǎn)C，可含點(diǎn)N)，∴BE最短時(shí)，即為連接BM與圓的交點(diǎn)(圖中點(diǎn))，∵AB=5，AC=4，∴BC=3，作MF⊥AB于F，∴∠AFM=∠ACB=，∠FAM=∠CAB，∴△AMF∽△ABC，∴，即∴∴AF=則BF=AB?AF=∴BM=∴BE長度的最小值B=BM?M=-2BE最長時(shí)，即E與C重合，∵BC=3，且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，

∴BE＜3，綜上，-2≤BE＜3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，利用勾股定理解直角三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，利用勾股定理解直角三角形是解題關(guān)鍵．4．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，連接CO，作ADOC，若CO＝，AC＝2，則AD＝（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后可以求得OG的長，再利用勾股定理即可得到AG的長，從而可以得到AD的長．【詳解】解：作AE⊥OC于點(diǎn)E，作OF⊥CA于點(diǎn)F，作OG⊥AD于點(diǎn)G，則EA∥OG，∵AD∥OC，∴四邊形OEAG是矩形，∴OG＝EA，∵OF⊥AC，OA＝OC＝，AC＝2，∴CF＝1，∴OF＝，∵，∴，解得，∴OG＝，∵OG⊥AD，∴AG＝，∴AD＝2AG＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積等積式，掌握?qǐng)A的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積等積式是解題關(guān)鍵．5．如圖，AB是⊙O的弦，等邊三角形OCD的邊CD與⊙O相切于點(diǎn)P，連接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°，AB＝6，則AD的長是（）A．6 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】如圖，過作于過作于先證明三點(diǎn)共線，再求解的半徑，證明四邊形是矩形，再求解從而利用勾股定理可得答案.【詳解】解：如圖，過作于過作于是的切線，三點(diǎn)共線，為等邊三角形，四邊形是矩形，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.6．如圖，等邊三角形的邊長為8，點(diǎn)是的內(nèi)心，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，分別交線段、于、兩點(diǎn)，連接，給出下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)也一定是的外心；②；③四邊形的面積始終等于；④周長的最小值為6．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再證明∠BOD=∠COE，于是可判斷△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用S△BOD=S△COE得到四邊形ODBE的面積=S△ABC=，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，計(jì)算出S△ODE=OE2，利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于△BDE的周長=BC+DE=4+DE=4+OE，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE的周長最小，計(jì)算出此時(shí)OE的長則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】連接OB、OC，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵點(diǎn)O是等邊△ABC的內(nèi)心，∴OB=OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，∴∠BOD=∠COE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE，∴BD=CE，OD=OE，所以①正確；∴S△BOD=S△COE，∴四邊形ODBE的面積=S△OBC=S△ABC=，所以③錯(cuò)誤；作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，∵∠DOE=120°，∴∠ODE=∠OEH=30°，∴OH=OE，HE=OH=OE，∴DE=OE，∴S△ODE=.OE?OE=，即S△ODE隨OE的變化而變化，而四邊形ODBE的面積為定值，∴S△ODE≠S△BDE；所以②錯(cuò)誤；∵BD=CE，∴△BDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE的周長最小，此時(shí)OE=，∴△BDE周長的最小值=4+2=6，所以④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，最短路線問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，綜合性很強(qiáng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系是解答的關(guān)鍵.7．如圖，在邊長為1的正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，連接、交于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判斷出△ABE≌△BCF，即可判斷出∠BAE=∠CBF，再根據(jù)∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根據(jù)∠APB=90°保持不變，可得點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，最后在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理，求出CG的長度，再求出PG的長度，即可求出線段CP的最小值為多少．【詳解】如圖，∵，，∴，在和中，，∴△ABE≌△BCF，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中保持，∴點(diǎn)的路徑是一段以為直徑的弧，設(shè)的中點(diǎn)為，連接交弧于點(diǎn)，此時(shí)的長度最小，在中，，∵，∴，即線段的最小值為．【點(diǎn)睛】此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是判斷出什么情況下，CP的長度最?。?．如圖，中，，，，⊙是的外接圓，D是優(yōu)弧AmC上任意一點(diǎn)（不包括A，C），記四邊形ABCD的周長為y，BD的長為x，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形和等邊三角形，證明Rt△AGB≌Rt△CFB得：AG=CF，根據(jù)30°角的性質(zhì)表示DF和DG的長，計(jì)算四邊形ABCD的周長即可．【詳解】解：連接OB交AC于E，連接OC、OB，

過B作BG⊥AD，BF⊥CD，交DA的延長線于G，交CD于F，

∵AB=BC，

∴弧AB=弧BC

∴∠BDA=∠BDC，

∴BG=BF，

在Rt△AGB和Rt△CFB中，

∵

∴Rt△AGB≌Rt△CFB（HL），

∴AG=FC，

∵弧AB=弧BC，

∴OB⊥AC，EC=AC=×2=，

在△AOB和△COB中，

，

∴△AOB≌△COB（SSS），

∴∠ABO=∠OBC=∠ABC=×120°=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠BOC=60°，

∴∠BDC=∠ADB=30°，

Rt△BDF中，BD=x，

∴DF=x，

同理得：DG=x，

∴AD+DC=AD+DF+FC=DG+DF=x+x=x，

Rt△BEC中，∠BCA=30°，

∴BE=1，BC=2，

∴AB=BC=2，

∴y=AB+BC+AD+DC=2+2+x=x+4，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓、垂徑定理、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是關(guān)鍵，利用直角三角形30°角的性質(zhì)解決問題．9．如圖，已知是半圓的直徑，是延長線上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則的半徑為（）A．3.5 B．4 C． D．3.75【答案】D【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得OD⊥AC，因?yàn)锽C⊥AC，OH⊥BC，根據(jù)矩形的判定可得四邊形OHCD為矩形，從而得到CH=OD，∠DOH=90°，根據(jù)“AAS”可證，得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可得到半徑的長．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵AC切半圓于點(diǎn)D，∴OD⊥AC，∵BC⊥AC，∴OD∥BC，∠ODC=∠C=90°，∵OH⊥BC，∴OH∥AC，∠OHC=90°，∴四邊形OHCD為矩形，∴CH=OD，∠DOH=90°，∵DF⊥EB，∴∠FDO+∠FOD=90°，∵∠HOB+∠FOD=90°，∴∠HOB=∠FDO在△OBH和△DOF中，，∴（AAS），∴，設(shè)，則，∵在中，OB2=BH2+OH2，∴，解得．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．10．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC上，且∠EAF＝45°，BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧BD．下列結(jié)論：①DE＋BF＝EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④弧BD與EF相切；⑤EF∥MN．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】延長CB到G，使BG=DE，連接AG．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AE，∠DAE=∠BAG，求得∠GAF=∠EAF=45°．證得△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到EF=DE+BF；故①正確；在AG上截取AH=AM．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，證得∠HBN=90°．根據(jù)勾股定理得到BH2+BN2=HN2．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MN=HN．等量代換得到BN2+DM2=MN2；故②正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEA=∠BAM．推出∠AEF=∠ANM，又∠MAN=∠FAE，于是得到△AMN∽△AFE，故③正確；過A作AP⊥EF于P，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AP=AD，于是得到與EF相切；故④正確；由∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，于是得到MN不一定平行于EF，故⑤錯(cuò)誤．【詳解】解：延長CB到G，使BG=DE，連接AG．在△ABG和△ADE中，∴△ABG≌△ADE（SAS），

∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，

又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，

∴∠DAE+∠BAF=45°

∴∠GAF=∠EAF=45°．

在△AFG和△AFE中，∴△AFG≌△AFE（SAS），

∴GF=EF=BG+BF，

又∵DE=BG，

∴EF=DE+BF；故①正確；

在AG上截取AH=AM，連接BH、HN，在△AHB和△AMD中，∴△AHB≌△AMD，

∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，

又∵∠ABD=45°，

∴∠HBN=90°．

∴BH2+BN2=HN2．

在△AHN和△AMN中，∴△AHN≌△AMN，

∴MN=HN．

∴BN2+DM2=MN2；故②正確；

∵AB∥CD，

∴∠DEA=∠BAM．

∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°-∠ABM-∠AMN=180°-∠MAN-∠AMN=∠AND，

∴∠AEF=∠ANM，

又∠MAN=∠FAE，

∴△AMN∽△AFE，故③正確；

過A作AP⊥EF于P，

∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE，

∴AP=AD，與EF相切；故④正確；∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，

∴∠AMN不一定等于∠AEF，

∴MN不一定平行于EF，故⑤錯(cuò)誤，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．如圖，是的直徑，點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上兩點(diǎn)，連結(jié)，相交于點(diǎn)，連結(jié)，．已知于點(diǎn)，．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④【答案】B【分析】證明AC2+BC2=AB2=4即可判斷①；根據(jù)OD⊥AC，得到∠DAE+∠ADO=90°，根據(jù)∠DAE=∠DBC，即可判斷②；推出△AOD是等邊三角形，即可判斷③；利用全等三角形的性質(zhì)證明DE=BC，再利用三角形的中位線定理證明BC=2OE即可判斷④．【詳解】解：∵AB是直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∴AC2+BC2=AB2=4，由已知條件無法得到AD與BC之間的大小關(guān)系，故無法得到與4的大小關(guān)系，故①錯(cuò)誤；∵OD⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠DAE+∠ADO=90°，∵∠DAE=∠DBC，∴∠DBC+∠ADO=90°，故②正確；∵AE⊥OE，∴，∵AC=BD，∴，∴，∴∠AOD=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∵AE⊥OD∴DE=OE，故③正確，∵∠DEP=∠BCP=90°，DP=PB，∠DPE=∠BPC，∴△PDE≌△PBC（AAS），∴DE=BC，∵OE∥BC，AO=OB，∴AE=EC，∴BC=2OE，∴DE=2OE，故④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．12．如圖，是等腰直角三角形，正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再延長交于G，以下結(jié)論中：①；②；③當(dāng)，時(shí)，，正確的有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．都不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)易得△BAD≌△CAF，從而易得①②正確；取BC的中點(diǎn)O，連接OG、OA，則由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得OG是BC的一半，即為定值，故可得點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑是以O(shè)為圓心OG長為半徑一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，從而BG的長度不是固定的，因此可對(duì)③作出判定．【詳解】（1）∵四邊形ADEF是正方形∴AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF=90゜∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90゜∴AB=AC∴∠BAD+DAC=90゜∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中∴△BAD≌△CAF(SAS)∴BD=CF，∠DBA=∠FCA設(shè)BG與AC交于點(diǎn)M，則∠BMA=∠CMG∴∠FCA+∠CMG=∠DBA+∠BMA=90゜∴∠CGM=90゜∴BD⊥CF故①②均正確；如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OG、OA∵BG⊥CF，AB⊥AC∴OG、OA分別是Rt△GBC、Rt△ABC斜邊上的中線∴在Rt△ABC中，由勾股定理得∴則點(diǎn)G在以O(shè)為圓心為半徑的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)A為此弧的一個(gè)端點(diǎn)所以BG的長變化的，不可能是定值故③不正確故選：B．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)，對(duì)③的判斷是比較難，判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑后問題則迎刃而解．13．如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，AC＝CB＝2，以CB為直徑作半圓O，P是半圓O上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為斜邊向上作Rt△APQ，使得∠PQA＝90°，∠PAQ＝30°．若點(diǎn)P從點(diǎn)C沿半圓弧運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)Q在運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過的路徑長是（）A．π B．π C．2π D．π【答案】B【分析】如圖，過點(diǎn)A作⊙O的切線AR，R為切點(diǎn)，連接CR，OR，OQ，QR，OP．利用相似三角形的性質(zhì)求解可得：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以R為圓心，為半徑的半圓，從而可得答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作⊙O的切線AR，R為切點(diǎn)，連接CR，OR，OQ，QR，OP．∵AR是⊙O的切線，∴AR⊥OR，∴∠ARO=90°，∵∴AC=OC=OR，∴AO=2OR，∴∠OAR=30°，∵∠QAP=30°=∠OAR，∠AQP=∠ARO=90°，∴△OAR∽△PAQ，∴，∴，∵∠OAP=∠RAQ，∴△∽△RAQ，∴，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以R為圓心，為半徑的半圓，∴Q在運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過的路徑長是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，解直角三角形，切線的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．二、填空題14．如圖，的半徑為，點(diǎn)B為上一動(dòng)點(diǎn)，，是的切線，與交于點(diǎn)D，則的最小值為_________．【答案】【分析】過點(diǎn)A作直徑AE，連接ED，AD，過D作DF⊥AC于F，由圓周角定理得到∠E=30°，∠ADE=90°，結(jié)合切線的性質(zhì)推出∠FAD=30°，根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)求出AD，DF，根據(jù)垂線段最短即可得到CD的最小值．【詳解】解：過點(diǎn)作直徑，連接，，如圖，為直徑，，，為切線，，，即，，，，，，過作于，，，，的最小值是，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，含30°角直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．15．如圖，矩形中，點(diǎn)E在上，過點(diǎn)E作交于F，且，，點(diǎn)M是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)N，垂足為H．以下結(jié)論：①；②；③；④連接，則的最小值為；其中正確的結(jié)論是_________．（所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．【答案】①②③④【分析】根據(jù)∠FED+∠AEB=90°、∠EBA+∠AEB=90°可判斷①；連接BF，CE交于點(diǎn)O，由BE=BC，EF=FC可得BF垂直平分EC，在Rt△BEF中，利用相似三角形的性質(zhì)，EO，F(xiàn)O，BF均可求解，設(shè)DF為x，DC=5+x，，在Rt△EGC中，利用勾股定理可以建立關(guān)于x的方程，求出x，圖形中的定線段長均可求解，可判斷②；利用三角形相似可判斷③；由EN⊥BM，BE=10可判斷點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BE中點(diǎn)I為圓心，5為半徑的上運(yùn)動(dòng)，在△IHC中，CH≥CI-IH，即可求出CH的最小值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°∴∠EBA+∠AEB=90°∵，即，∠BEF=90°∴∠FED+∠AEB=90°∴，故①正確；連接BF，CE交于點(diǎn)O，由BE=BC，EF=FC可得BF垂直平分EC，在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，即∠FEO+∠BEO=90°又∴∠FBE=∠FEO又∠EFO=∠BFE∴∴，即：，∴∴設(shè)DF為x，DC=5+x，，過E作EG⊥BC，則四邊形EGCD是矩形，∴EG=DC=DF+FC=5+x，GC=在Rt△EGC中，EG2+GC2=EC2，即，解得x=3，經(jīng)檢驗(yàn)：x=3是原方程的根，∴DF=3∴DC=5+3=8，，∴AE=10-4=6，故②正確；∵，∴△ABE∽△DEF，∵AB=CD，∴，即AE?ED=CD?DF，③正確；∵EN⊥BM，BE=10，∴點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以BE中點(diǎn)I為圓心，5為半徑的上運(yùn)動(dòng)，過I作IT⊥DC于T，，在△IHC中，，④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定好性質(zhì)以及三角形相似，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，明確點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在一次函數(shù)位于第一象限的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，在AB右側(cè)以它為邊作矩形ABCD，且，，則OD的最大值是______．【答案】【分析】作的外接圓，連接、、、，作，交于，垂足為，易得，解直角三角形求得，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出取最大值時(shí)，，據(jù)此即可求得．【詳解】解：點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，，作的外接圓，連接、、、，作，交于，垂足為，四邊形是矩形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，在中，，的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圓心角和圓周角的關(guān)系，垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系等，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為______；若，則的值為______．【答案】【分析】（1）根據(jù)條件，證明，從而推斷，進(jìn)一步通過角度等量，證明，代入推斷即可.（2）通過，可知四點(diǎn)共圓，通過角度轉(zhuǎn)化，證明，代入推斷即可.【詳解】解：（1）∵，為的中點(diǎn)∴又∵平分∴又∵∴∴∴∴在與中,∴（2∵∴四點(diǎn)共圓，如下圖：∵∴又∵∴∵∴∴∴∴即∵∴∵∴∵∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．在綜合實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂點(diǎn)都在正方形邊上．小紅利用兩張邊長為2的正方形紙片，按要求剪出了一個(gè)面積最大的正三角形和一個(gè)面積最小的正三角形．則這兩個(gè)正三角形的邊長分別是______．【答案】，2．【分析】設(shè)為正方形ABCD的一個(gè)內(nèi)接正三角形，不妨假設(shè)F、G分別在AB，CD上，E在AD上，作的高EK，可得點(diǎn)E，K，G，D四點(diǎn)共圓，從而得點(diǎn)K為一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)GF最大時(shí)，的面積最大，當(dāng)GF最小時(shí)，的面積最小，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：設(shè)為正方形ABCD的一個(gè)內(nèi)接正三角形，不妨假設(shè)F、G分別在AB，CD上，E在AD上，如圖，作的高EK，∵∠EKG=∠EDG=90°，∴點(diǎn)E，K，G，D四點(diǎn)共圓，∴∠KDE=∠KGE=60°，同理：∠KAE=∠KFE=60°，∴是一個(gè)正三角形，點(diǎn)K為一個(gè)定點(diǎn)，∵正三角形的面積取決于它的邊長，∴當(dāng)GF最大時(shí)，的面積最大，當(dāng)GF最小時(shí)，的面積最小，∴當(dāng)KF⊥AB時(shí)，F(xiàn)G最小，即FG最小，此時(shí)，F(xiàn)G=AD=2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，KF最大，即FG最大，此時(shí)的面積最大，過點(diǎn)K作AB的平行線交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，∴MK為的高，∴MK=DKsin60°=ADsin60°=，∴KN=AB-MK=，∵K為BG的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，∴CG=2KN=，∴FG=．故答案是：，2．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形和等邊三角形的性質(zhì)以及四邊形外接圓的性質(zhì)和判定，解直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形，證明正方形的內(nèi)接正三角形的一邊中點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．19．如圖，在菱形中，，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，連接與相交于點(diǎn)G，連接與相交于點(diǎn)H，給出如下幾個(gè)結(jié)論：①；②S四邊形BCDG；③若，則；④與一定不垂直；⑤的大小為定值．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為________．【答案】①③⑤【分析】①先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；②證明∠BGE=60°=∠BCD，從而得點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，因此∠BGC=∠DGC=60°，過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．證明△CBM≌△CDN，所以S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，易求后者的面積；③過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)，根據(jù)三角形相似有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；④因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)，CG⊥BD；⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°．【詳解】①∵ABCD為菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故①正確；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，過點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），∴CM=CN，則△CBM≌△CDN（AAS），∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN，S四邊形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=，故②錯(cuò)誤；③過點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)（如圖2），∴,∴FP：AE=DF：DA，∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：2AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴,∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本選項(xiàng)正確；④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3），由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC與△BGC中，∵DG=BG，CG=CG，CD=CB，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，故本選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，故填：①③⑤．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-8，0)、(0，8)，點(diǎn)C、F分別是直線x=5和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，CF=10，點(diǎn)D是線段CF的中點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)ABE的面積取得最小值時(shí)，tan∠BAD=______．【答案】【分析】如圖，設(shè)直線x=5交x軸與K，由題意KD=CF=5，推出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，推出當(dāng)直線AD與K相切時(shí)，的面積最小，作EH⊥AB于H，求出EH，AH即可解決問題.【詳解】如圖，設(shè)直線x=5交x軸與K，由題意KD=CF=5，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，∴當(dāng)直線AD與K相切時(shí)，的面積最小，∵AD是切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，∴AD⊥KD，∵AK＝5+8＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝，即，∴OE＝，∴AE=，作EH⊥AB于H，∵，∴EH=，AH=，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積，三角函數(shù)關(guān)系式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考填空的壓軸題型.21．如圖在RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，等腰直角三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∠DAE=90°，AD=AE=4，連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，連接MP、PN、MN，則△PMN面積的最小值是_______．【答案】【分析】通過和為等腰直角三角形，判定出，得到通過已知條件，再設(shè)得到為等腰直角三角形，所以當(dāng)BD最小時(shí)，的面積最小，D是以A為圓心，AD=4為半徑的圓上的點(diǎn)，所以點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，即可得到最終結(jié)果．【詳解】RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，為等腰直角三角形，又∠DAE=90°，AD=AE=4，為等腰直角三角形，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)，設(shè)是等腰直角三角形，當(dāng)BD最小時(shí)，的面積最小，是以A為圓心，AD=4為半徑的圓上的點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上時(shí)，BD最小，△PMN面積的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，有一定難度和綜合性，屬于壓軸題，熟練掌握這些性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)解題是關(guān)鍵．三、解答題22．已知AB、AC是⊙O的兩條弦，OA為半徑，∠OAB＝∠OAC．（1）如圖（1），求證：AB＝AC；（2）如圖（2），延長AO交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC延長線上的一點(diǎn)，EF切⊙O于點(diǎn)F，連DF交BC于點(diǎn)G，求證：EF＝EG；（3）如圖（3），在（2）的條件下，設(shè)DF交AC于點(diǎn)H，若DF∥AB，tanE＝，CH＝，求DG長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）連接、，則可得出，根據(jù)等邊對(duì)等角推出，，證明，從而得出；（2）連接，根據(jù)垂徑定理、切線的性質(zhì)及腳之間的互余關(guān)系推出，從而證明；（3）連接，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及圓周角定理推出角之間的關(guān)系：，，根據(jù)角之間的關(guān)系推出相關(guān)的相似三角形：、、，利用相似三角形的性質(zhì)設(shè)除三角形的各邊長并進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1，連接、，則，，，，，在和中，，，．（2）如圖2，連接，與相交于點(diǎn)，則，，，，則，與圓相切于點(diǎn)，，則，，，，，，．（3）如圖，連接，，由題意可知，，，，，（圓周角定理），，，，，，，，，，，由（2）可知，，，在中，，設(shè)，，則，，在中，，即，解得或（舍去），，，由（2）可知，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，即，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合運(yùn)用，圓與三角形相結(jié)合，通常先根據(jù)圓的相關(guān)定理推出角的關(guān)系得到相關(guān)的相似三角形或直角三角形，再利用相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．23．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，延長AC交BE的延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)F在AB的延長線上，EF⊥AD，垂足為G．（1）求證：GF是⊙O的切線；（2）求證：CE＝DE；（3）若BF＝1，EF＝，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）連接OE，先證明OE∥CD，結(jié)合EF⊥AD，即可得出GF是⊙O的切線；

（2）利用AB是⊙O的直徑先求證出△ABE≌△ADE，結(jié)合點(diǎn)E是的中點(diǎn)即可證出CE＝DE；

（3）方法一：根據(jù)題干條件先證出△EFB∽△AFE利用相似證明即可；方法二：設(shè)半徑為x，則OF＝x＋1，結(jié)合Rt△OEF利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）證明：連接OE，如圖所示，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴∠CAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠EAB＝∠OEA，∴∠CAE＝∠OEA，∴OE∥AD，∴∠OEF＝∠AGE，∵EF⊥AD，∴∠AGE＝90°，∴∠OEF＝∠AGE＝90°，∴GF是⊙O的切線；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（ASA），∴BE＝DE，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴BE＝CE，∴CE＝DE；（3）解：方法一：∵∠AEO＋∠OEB＝90°，∠OEB＋∠BEF＝90°，∴∠AEO＝∠BEF，∵∠AEO＝∠OAE，∴∠OAE＝∠BEF，∵∠BFE＝∠EFA∴△EFB∽△AFE，∴，∴，∴AF＝2，∴AB＝AF﹣BF＝2﹣1＝1，∴⊙O的半徑為．方法二：設(shè)半徑為x，則OF＝x＋1，在Rt△OEF中，，解得x＝．∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)睛】此題考查圓的相關(guān)知識(shí)，涉及到圓周角，圓弧及圓的切線，勾股定理等知識(shí)，有一定的難度，屬于綜合性試題．24．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，點(diǎn)F是CE上一點(diǎn)，連接AF并延長交BC于點(diǎn)D，CG⊥AD于點(diǎn)G，連接EG．（1）求證：CD2＝DG?DA；（2）如圖1，若CF＝2EF，求證：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)；（3）如圖2，若GC＝2，GE＝2，求GD．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）先證明△ACD∽△CGD，根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）如圖1，過E作EH∥AD交BC于點(diǎn)H，運(yùn)用平行線分線段成比例定理即可證得結(jié)論；（3）根據(jù)∠AGC＝∠AEC＝90°，得出A、C、G、E四點(diǎn)共圓，過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，可得△EGH是等腰直角三角形，再證明△CFG≌△EFH（AAS），利用勾股定理和三角函數(shù)定義求出AG，再證明△CAG∽△DCG，運(yùn)用相似三角形性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：（1）∵CG⊥AD，∠ACB＝90°，∴∠CGD＝∠ACB＝90°，∵∠CDA＝∠CDG，∴△ACD∽△CGD，∴CD：DG＝DA：CD，∴CD2＝DG?DA；（2）如圖1，過E作EH//AD交BC于點(diǎn)H，∵HE//AD，∴BH：HD＝BE：EA，CD：HD＝CF：EF，∵CB＝CA，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴E為AB的中點(diǎn)，∴BE：EA＝1，∴BH：HD＝BE：EA＝1，∵CF＝2EF，∴CD：HD＝CF：EF＝2，∴BH＝HD，CD＝2HD，∴BD＝BH+HD＝2HD，∴BD＝CD，∴D為BD的中點(diǎn)．（3）∵CB＝CA，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∵CE⊥AB，CG⊥AD，∴∠AGC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴A、C、G、E四點(diǎn)共圓，∴∠AGE＝∠ACE＝45°，如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，∴△EGH是等腰直角三角形，EH＝GH＝GE?sin45°＝2×＝2，∵CG＝2，∴CG＝EH，∵∠CGF＝∠EHF＝90°，∠CFG＝∠EFH，∴△CFG≌△EFH（AAS），∴FG＝FH＝1，CF＝EF，在Rt△CFG中，CF＝＝＝，∴CE＝2CF＝2，∴AC＝＝＝2，∴AG＝＝＝6，∵∠CGD＝∠AGC＝90°，∴∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠ACG+∠DCG＝90°，∴∠CAG＝∠DCG，∴△CAG∽△DCG，∴＝，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)與判定，全等三角形判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．25．對(duì)于x軸上一點(diǎn)P和某一個(gè)函數(shù)圖象上兩點(diǎn)M，N，給出如下定義：如果函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)M，N（M在N的右側(cè)），在x軸上存在點(diǎn)P，使得，那么就稱為點(diǎn)P的“伴隨三角形”，點(diǎn)P則被稱為線段的“伴隨點(diǎn)”．（1）若一次函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)、，在點(diǎn)、、、中，線段的“伴隨點(diǎn)”有_________；（2）若直線分別與y軸、x軸分別交于點(diǎn)M、N，以為“伴隨點(diǎn)”的“伴隨三角形”恰好是一個(gè)直角三角形，求此直線的解析式．（3）若點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，，若在x軸上存在伴隨點(diǎn)P，請(qǐng)求出m的取值范圍．【答案】（1）G和E；（2）或；（3）【分析】（1）根據(jù)題意，作出圖形，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求得，然后解直角三角形，可得是直角三角形，進(jìn)而求得，根據(jù)定義找到符合條件的點(diǎn)，再證明是線段的“伴隨點(diǎn)”；（2）根據(jù)題意，作出圖形，在中,求得，中求得，即可求得直線的解析式；（3）分別過作則軸，作則軸，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)：作的垂直平分線，交于點(diǎn),于點(diǎn),根據(jù)題意以及勾股定理，可得，，若，點(diǎn)P必在如圖所示的圓弧上，若圓心在x軸下方，則，若圓心在x軸上方，則，據(jù)此可得范圍．【詳解】（1）如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，則、，，，則，,是線段的“伴隨點(diǎn)”，，則線段的“伴隨點(diǎn)”在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，如圖，在圓內(nèi)，在圓外，，不是是線段的“伴隨點(diǎn)”，，，，是等邊三角形是線段的“伴隨點(diǎn)”，綜上所述，，是線段的“伴隨點(diǎn)”故答案為：（2）如圖所示：在中：∵，∴∴或又∵為直角三角形∴∴在中：∴，∴即點(diǎn)設(shè)直線的解析式為∴或，或解得或∴直線的解析式為：或（3）如圖，分別過作則軸，作則軸，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)：∵拋物線∴點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴（舍去），即，，∵，，∴，作的垂直平分線，交于點(diǎn),于點(diǎn),，則，，，同理，若，點(diǎn)P必在如圖所示的圓弧上，，∴圓心坐標(biāo)為和，若在x軸上存在點(diǎn)P，則圓心到x軸的距離不大于2，∴若圓心在x軸下方，則，解得，若圓心在x軸上方，則，解得，綜上所述：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，圓周角定理，求一次函數(shù)解析式，綜合運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．26．如圖，是的直徑，，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的最小值．【答案】．【詳解】解：如解圖，連接、，∵，，∴，∵是的直徑，∴，∴，取的中點(diǎn)為，以為圓心，長為半徑作圓，則點(diǎn)在圓上．連接，作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則為所求的最小值，∵，，，∴，，，∵，∴，∴由勾股定理得，∴，即的最小值為．27．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形MNPQ中M（1，1），N（﹣1，1），P（﹣1，﹣1），Q（1，﹣1）．給出如下定義：記線段AB的中點(diǎn)為G，當(dāng)點(diǎn)G不在正方形MNPQ上時(shí)，平移線段AB，使點(diǎn)G落在正方形MNPQ上，得到線段A′B′（A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）線段AA′長度的最小值稱為線段AB到正方形MNPQ的“平移距離”．（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B在x軸上；①若點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，則線段AB到正方形MNPQ的“平移距離”為；②若線段AB到正方形MNPQ的“平移距離”為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）若點(diǎn)A，B都在直線y＝x+4上，AB＝2，記線段AB到正方形MNPQ的“平移距離”為d1，求d1的最小值；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），AB＝2，記線段AB到正方形MNPQ的“平移距離”為d2，直接寫出d2的取值范圍．【答案】（1）①，②(-5，0)或(7，0)；（2）；（3）．【分析】（1）①由題意可直接得出G的坐標(biāo)為，即得出移動(dòng)最小距離為；②根據(jù)題意可知AB中點(diǎn)G在x軸上．即可分類討論Ⅰ當(dāng)B點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即G點(diǎn)也在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，由平移距離的定義可知NP與x軸的交點(diǎn)即點(diǎn)A到的距離為2，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；Ⅱ當(dāng)B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即G點(diǎn)也在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，由平移距離的定義可知MQ與x軸的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)．（2）由題意可知點(diǎn)N到直線的距離即為的最小值，由N點(diǎn)向直線所做垂線與直線的交點(diǎn)即為G點(diǎn)．易求出GN的解析式為．聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，即可求出G點(diǎn)坐標(biāo)，即求出GN的長度，即為．（3）由題意可知點(diǎn)B是以A為圓心，半徑為2的圓上的點(diǎn)，即得出點(diǎn)G是以A為圓心，半徑為1的圓上的點(diǎn)，由，，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）①如圖，當(dāng)B與原點(diǎn)O重合時(shí)，AB中點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∴移動(dòng)最小距離為向左平移到NP與x軸交點(diǎn)上．②由點(diǎn)A，B點(diǎn)在x軸上可知：AB中點(diǎn)G也在x軸上．Ⅰ當(dāng)B點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即G點(diǎn)也在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖，由平移距離的定義可知NP與x軸的交點(diǎn)，即點(diǎn)A到的距離為2，∴，∴∵G為AB中點(diǎn)，∴∴，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(-5，0)．Ⅱ當(dāng)B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即G點(diǎn)也在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖，由平移距離的定義可知MQ與x軸的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，∴∴∴∵G為AB中點(diǎn)，∴∴，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(7，0)．綜上可知B點(diǎn)坐標(biāo)為(-5，0)或(7，0)．（2）由題意作出圖形如下：∴點(diǎn)N到直線的距離即為的最小值，由N點(diǎn)向直線所做垂線與直線的交點(diǎn)即為G點(diǎn)．∴設(shè)直線GN的解析式為，∵N(-1，1)∴，解得：故直線GN的解析式為．聯(lián)立，解得：，∴G點(diǎn)坐標(biāo)為，∴（3）如圖，由題意可知點(diǎn)B是以A為圓心，半徑為2的圓上的點(diǎn)，∴點(diǎn)G是以A為圓心，半徑為1的圓上的點(diǎn)，∴，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的距離公式，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離．讀懂題意，理解平移距離是解答本題的關(guān)鍵．28．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和點(diǎn)P，給出如下定義：將圖形M繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖形N，圖形N稱為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”．例如，圖1中點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”．（1）點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的“垂直圖形”為點(diǎn)B．①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）E（﹣3，3），F(xiàn)（﹣2，3），G（a，0）．線段EF關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形”記為E′F′，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E′，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′．①求點(diǎn)E′的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；②若⊙O的半徑為2，E′F′上任意一點(diǎn)都在⊙O內(nèi)部或圓上，求a的范圍并直接寫出滿足條件的EE′的長度的最大值．【答案】（1）①（2，0）；②（1，-2）；（2）①；②當(dāng)時(shí)，E′F′上任意一點(diǎn)都在⊙O內(nèi)部或圓上，滿足條件的EE′的長度的最大值為．【分析】（1）①將點(diǎn)A（0，2）繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到點(diǎn)B坐標(biāo)（2，0）；②將點(diǎn)B（2，1）繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可得到點(diǎn)A坐標(biāo)（1，-2）；（2）①過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，最后根據(jù)線段的和差解題；②以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，此時(shí)E′F′上任意一點(diǎn)都在⊙O內(nèi)部或圓上，結(jié)合，可求得a的值，得到的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理解得EE′的值即可．【詳解】解：（1）①如圖，將點(diǎn)A（0，2）繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B（2，0），②如圖，由題意得到點(diǎn)A（-1，2），

故答案為：①（2，0）；②（1，-2）；（2）①如圖，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，在與中，②如圖，當(dāng)半徑大于2，則E′F′上任意一點(diǎn)都在⊙O內(nèi)部，即綜上，當(dāng)時(shí)，E′F′上任意一點(diǎn)都在⊙O內(nèi)部或圓上．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．29．一次函數(shù)y=?x+6的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線y=x相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作x軸的平行線l，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）若S△AOC=S△BCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)E是直線y=x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APE是以AE為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．（4）在（3）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在AE右側(cè)時(shí)，Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，EQ=2，連接OQ，將線段OQ繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OM，連接QM、EM，直接寫出線段EM的取值范圍是．【答案】（1）；（2）或；（3）或；（4）【分析】（1）分別令即可求得的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先根據(jù)直線的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)三角形的面積即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意分類討論，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，證明，②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，同理可得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)的橫坐標(biāo)相等即可求得的值；（4）Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，EQ=2，則點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，如圖，將線段OE繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段O，連接,，,進(jìn)而勾股定理求得，根據(jù)圓的性質(zhì)即可求得的范圍．【詳解】（1）一次函數(shù)y=?x+6的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，令，，令，故答案為：；（2）y=?x+6與y=x相交于點(diǎn)C，解得，S△AOC=S△BCP，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，設(shè)，，解得或（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)軸，軸，△APE是以AE為斜邊的等腰直角三角形，，，又在與中點(diǎn)E是直線y=x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為即，解得；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，同理可得，則，解得綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或；故答案為：或（4）Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，EQ=2，則點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，如圖，將線段OE繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段O，連接,，在以為圓心，半徑為的圓上，是等腰直角三角形，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，兩直線交點(diǎn)問題，三角形全等的性質(zhì)與判定，圓的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．30．已知：如圖，在中，，是線段上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、交于點(diǎn)，且．（1）求證：點(diǎn)在的角平分線上．（2）延長與外角的平分線交于點(diǎn)，求證：．【分析】（1）如圖，取的中點(diǎn)連接可得證明在以為圓心，為半徑的同一個(gè)圓上，再利用垂徑定理可得結(jié)論；（2）如圖，延長至由（1）得：而是的平分線，證明證明可得可得再分別證明左邊，右邊都為從而可得結(jié)論.【詳解】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)連接，．在以為圓心，為半徑的同一個(gè)圓上，點(diǎn)在的角平分線上．（2）如圖，延長至由（1）得：而是的