2024-2025學(xué)年廣東省珠海市紫荊中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，不是軸對(duì)稱圖形的是A．蝴蝶曲線 B．笛卡爾心形線 C．科赫曲線 D．費(fèi)馬螺線2．下列線段長(zhǎng)能構(gòu)成三角形的是A．3、7、4 B．2、3、6 C．5、6、7 D．1、2、33．一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于A． B． C． D．4．如果將一副三角板按如圖的方式疊放，則的度數(shù)為A． B． C． D．5．如圖，已知，，則可判定△△的依據(jù)是A． B． C． D．6．如圖，在△中，，平分，于．如果，那么等于A． B． C． D．7．如圖，在△中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，陰影部分的面積為2，則△的面積是A．2 B．4 C．6 D．88．如圖，書(shū)架兩側(cè)擺放了若干本相同的書(shū)籍，左右兩摞書(shū)中豎直放入一個(gè)等腰直角三角板，其直角頂點(diǎn)在書(shū)架底部上，當(dāng)頂點(diǎn)落在右側(cè)書(shū)籍的上方邊沿時(shí)，頂點(diǎn)恰好落在左側(cè)書(shū)籍的上方邊沿．已知每本書(shū)長(zhǎng)，厚度為，則兩摞書(shū)之間的距離為A． B． C． D．9．如圖，已知直線及直線外一點(diǎn)．（1）在直線上取一點(diǎn)，連接；（2）作的垂直平分線，分別交直線，于點(diǎn)，；（3）以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線于另一點(diǎn)；（4）作直線．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．△△ B． C．若，則 D．10．如圖，在△中，，，為中點(diǎn)，，分別是，兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，下列結(jié)論：①；②△的周長(zhǎng)不變；③；④，分別表示△和△的面積，則．其中正確的結(jié)論有A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空題（共5小題，每題3分，共15分）11．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．12．如圖，小明從點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)2米后向左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)2米，又向左轉(zhuǎn)照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，一共走了米．13．如圖，△△，點(diǎn)在上，若，則度．14．在如圖的網(wǎng)格中，在網(wǎng)格上找到點(diǎn)；點(diǎn)在格點(diǎn)上，使△為等腰三角形，這樣的點(diǎn)有個(gè)．15．正方形的面積為16，△是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一動(dòng)點(diǎn)，則的和的最小值為．三．解答題（一）（共3小題，每題7分，共21分）16．如圖，是△的外角平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)．17．如圖，點(diǎn)、在線段上，，，，證明：．18．如圖，在△中，，．（1）尺規(guī)作圖：作邊上的中線；（2）判斷△的形狀，并說(shuō)明理由．四．解答題（二）（共3小題，每題9分，共27分）19．（63分）如圖，△的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△關(guān)于軸對(duì)稱的△；（其中、、分別是，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫(xiě)畫(huà)法）（2）、、的坐標(biāo)分別為，、，、，；（3）在第四象限上有一點(diǎn)，連接和，與軸交于點(diǎn)，則（填、或，畫(huà)圖并說(shuō)明理由．20．如圖，在△中，，分別是，邊上的高，在上載取，延長(zhǎng)至點(diǎn)使，連接，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；21．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，折紙中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)問(wèn)題．現(xiàn)有一張三角形紙片，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，若沿直線折疊△，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．（1）若如圖1所示，點(diǎn)恰好在邊上，則與的數(shù)量關(guān)系是；（2）若如圖2所示，點(diǎn)在△內(nèi)部，，求的度數(shù)；（3）若如圖3所示，點(diǎn)在△外部，直接寫(xiě)出，和之間的數(shù)量關(guān)系．五．解答題（三）（共2小題，23題13分，24題14分，共27分）22．長(zhǎng)方形位于平面直角坐標(biāo)系中．（1）如圖1，若軸且點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在邊上有動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交邊于點(diǎn)，并使得，在直線上存在一點(diǎn)，使得△是以為直角邊的等腰直角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖2，若軸且、關(guān)于軸對(duì)稱，連接、、，且平分，①、、分別交軸于點(diǎn)、、，連接，求證：是△的中線；②求證：．23．【問(wèn)題初探】（1）如圖1，是的平分線，點(diǎn)為上一點(diǎn)且，求證：．小明的想法是：過(guò)點(diǎn)，分別作和的垂線，通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．小強(qiáng)的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．請(qǐng)你選擇一種方法完成證明，其它方法也可以；【類比分析】（2）如圖2，△是等邊三角形，△是頂角的等腰三角形，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【學(xué)以數(shù)用】（3）如圖3，在三角形中，，，的平分線交于點(diǎn)，求證：．

參考答案一．選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，不是軸對(duì)稱圖形的是A．蝴蝶曲線 B．笛卡爾心形線 C．科赫曲線 D．費(fèi)馬螺線【答案】解：選項(xiàng)、、均能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；故選：．2．下列線段長(zhǎng)能構(gòu)成三角形的是A．3、7、4 B．2、3、6 C．5、6、7 D．1、2、3【答案】解：、，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；、，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；、，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意；、，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：．3．一個(gè)七邊形的內(nèi)角和等于A． B． C． D．【答案】解：一個(gè)七邊形的內(nèi)角和為：，故選：．4．如果將一副三角板按如圖的方式疊放，則的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】解：由三角形的外角性質(zhì)可得：，故選：．5．如圖，已知，，則可判定△△的依據(jù)是A． B． C． D．【答案】【解答】證明：，在△和△中，，△△．判定△△的依據(jù)是“”．故選：．6．如圖，在△中，，平分，于．如果，那么等于A． B． C． D．【答案】解：，，又平分，，，，，，故選：．7．如圖，在△中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，陰影部分的面積為2，則△的面積是A．2 B．4 C．6 D．8【答案】解：陰影部分的面積為2，△△，在△中，是的中點(diǎn)，為△的中線，為△的中線，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是△的中線，，，．故選：．8．如圖，書(shū)架兩側(cè)擺放了若干本相同的書(shū)籍，左右兩摞書(shū)中豎直放入一個(gè)等腰直角三角板，其直角頂點(diǎn)在書(shū)架底部上，當(dāng)頂點(diǎn)落在右側(cè)書(shū)籍的上方邊沿時(shí)，頂點(diǎn)恰好落在左側(cè)書(shū)籍的上方邊沿．已知每本書(shū)長(zhǎng)，厚度為，則兩摞書(shū)之間的距離為A． B． C． D．【答案】解：由題意得：，，，，，，，，在△和△中，，△△；由題意得：，．，故選：．9．如圖，已知直線及直線外一點(diǎn)．（1）在直線上取一點(diǎn)，連接；（2）作的垂直平分線，分別交直線，于點(diǎn)，；（3）以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線于另一點(diǎn)；（4）作直線．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．△△ B． C．若，則 D．【答案】解：由作法得，．，△△，所以選項(xiàng)的結(jié)論正確；，，所以選項(xiàng)的結(jié)論正確；若，則，，，，所以選項(xiàng)的結(jié)論正確；△△，，只有當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤．故選：．10．如圖，在△中，，，為中點(diǎn)，，分別是，兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，下列結(jié)論：①；②△的周長(zhǎng)不變；③；④，分別表示△和△的面積，則．其中正確的結(jié)論有A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】解：，，為中點(diǎn)，，，．，，．在△和△中，，△△．，又，，故①正確；，故，又，分別是，兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度不固定，故值不確定，即△的周長(zhǎng)無(wú)法確定，故②錯(cuò)誤；，，由三角形內(nèi)角和可得，，，又，，故③正確；，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最小，，，故，當(dāng)或與重合時(shí)，此時(shí)最大，，故，故④正確．①③④正確．故選：．二、填空題（共5小題，每題3分，共15分）11．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】．解：根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．12．如圖，小明從點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)2米后向左轉(zhuǎn)，再沿直線前進(jìn)2米，又向左轉(zhuǎn)照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，一共走了20米．解：由圖可知小明回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)走了一個(gè)正多邊形，且每個(gè)外角是，由可知是正十邊形，有10條相等的邊，小明一共走了米，故答案為：20．13．如圖，△△，點(diǎn)在上，若，則40度．【答案】40．解：△△，，，，，，．故答案為：40．14．在如圖的網(wǎng)格中，在網(wǎng)格上找到點(diǎn)；點(diǎn)在格點(diǎn)上，使△為等腰三角形，這樣的點(diǎn)有10個(gè)．【答案】10．解：如圖，，①若，則符合要求的有：2個(gè)點(diǎn)；②若，則符合要求的有：2個(gè)點(diǎn)；③若，則符合要求的有：共6個(gè)點(diǎn)．這樣的點(diǎn)有10個(gè)．故答案為：10．15．正方形的面積為16，△是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一動(dòng)點(diǎn)，則的和的最小值為4．【答案】4．解：設(shè)與交于點(diǎn)，連接．由題意可得：，，即當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小為的長(zhǎng)，正方形的面積為16，，．即和的最小值為4．故答案為：4．三．解答題（一）（共3小題，每題7分，共21分）16．如圖，是△的外角平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)．解：，，，，是△的外角平分線，．17．如圖，點(diǎn)、在線段上，，，，證明：．【解答】證明：，．在△和△中，△△．．18．如圖，在△中，，．（1）尺規(guī)作圖：作邊上的中線；（2）判斷△的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解答．（2）△為等邊三角形，理由見(jiàn)解答．解：（1）如圖，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則即為所求．（2）△為等邊三角形．理由：，，．為邊上的中線，，△為等邊三角形．四．解答題（二）（共3小題，每題9分，共27分）19．（63分）如圖，△的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△關(guān)于軸對(duì)稱的△；（其中、、分別是，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫(xiě)畫(huà)法）（2）、、的坐標(biāo)分別為3，、，、，；（3）在第四象限上有一點(diǎn)，連接和，與軸交于點(diǎn)，則（填、或，畫(huà)圖并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解答．（2）3；0；4；2；1；3．（3）；畫(huà)圖見(jiàn)解答．解：（1）如圖，△即為所求．（2）由圖可得，，，．故答案為：3；0；4；2；1；3．（3）如圖，連接，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，，．故答案為：．20．如圖，在△中，，分別是，邊上的高，在上載取，延長(zhǎng)至點(diǎn)使，連接，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；【解答】（1）證明：、分別是、兩條邊上的高，，，，在△與△中，，△△，；（2）解：△△，，是邊上的高，即，，，，即．21．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，折紙中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)問(wèn)題．現(xiàn)有一張三角形紙片，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，若沿直線折疊△，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．（1）若如圖1所示，點(diǎn)恰好在邊上，則與的數(shù)量關(guān)系是；（2）若如圖2所示，點(diǎn)在△內(nèi)部，，求的度數(shù)；（3）若如圖3所示，點(diǎn)在△外部，直接寫(xiě)出，和之間的數(shù)量關(guān)系．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)恰好在上，所以，，三點(diǎn)在一條直線上．所以．由折疊可知，，所以，所以．故答案為：．（2）連接，，由折疊可知，，所以．又因?yàn)椋裕砜傻?，，又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．?）．連接，，由折疊可知，，所以．又因?yàn)?，所以．同理可得，．又因?yàn)?，所以．故，和之間的數(shù)量關(guān)系為：．五．解答題（三）（共2小題，23題13分，24題14分，共27分）22．長(zhǎng)方形位于平面直角坐標(biāo)系中．（1）如圖1，若軸且點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在邊上有動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交邊于點(diǎn)，并使得，在直線上存在一點(diǎn)，使得△是以為直角邊的等腰直角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)或；（2）如圖2，若軸且、關(guān)于軸對(duì)稱，連接、、，且平分，①、、分別交軸于點(diǎn)、、，連接，求證：是△的中線；②求證：．【答案】（1）或；（2）①證明見(jiàn)解答過(guò)程；②證明見(jiàn)解答過(guò)程．解：（1）四邊形是矩形，且軸，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)，，，如圖1.1，若，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，四邊形是矩形，，，，，，，，且，，△△，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)；如圖1.2，若，，，，，，且，，△△，，，，且，，點(diǎn)坐標(biāo)綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或；故答案為：或；（2）證明：設(shè)與軸的交點(diǎn)為，連接，如圖2，、關(guān)于軸對(duì)稱，，，，，，，，，是△的中線；②軸，，軸，，平分，，，，，，，，，即．23．【問(wèn)題初探】（1）如圖1，是的平分線，點(diǎn)為上一點(diǎn)且，求證：．小明的想法是：過(guò)點(diǎn)，分別作和的垂線，通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．小強(qiáng)的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．請(qǐng)你選擇一種方法完成證明，其它方法也可以；【類比分析】（2）如圖2，△是等邊三角形，△是頂角的等腰三角形，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【學(xué)以數(shù)用】（3）如圖3，在三角形中，，，的平分線交于點(diǎn)，求證：．【答案】（1）