摘要：本文對因式分解的方法、解題思路等進行了綜述。在此基礎上，為了拓展同學們的視野并更好地掌握多項式的因式分解，使大家能夠更熟練地進行因式分解，筆者將有理系數(shù)多項式的兩個定理靈活地加以運用，所述方法有時可以起到化繁為簡的效果，使因式分解變得十分容易。本文所述方法對同學們學習因式分解有較強的實際意義。關鍵詞：多項式;有理系數(shù);因式分解;中學;解法因式分解在中學階段的學習中有非常重要的地位和作用，有些看似與因式分解無關的題目能否解出往往與學生的因式分解能力密切相關。有較強的因式分解能力在做題時可能會事半功倍，得心應手。將一個多項式分解成幾個整式乘積的形式就是因式分解，因式分解是整式乘法的逆運算。通過對因式分解的學習，我們應該知道：1.因式分解的對象是多項式;2.因式分解最終結(jié)果的形式必須是整式乘積，如果還有加減之類的運算則不行;3.一般來說，在分解到最后如有相同因式，應寫成冪的形式;4.中學教材中公式里的字母可以表示單項式，也可以表示多項式;5.分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止。事實上，什么叫作不可約多項式呢？如果一個次多項式，不能分解成兩個次數(shù)大于或等于1的多項式的乘積，那么這個多項式叫作不可約多項式。否則叫作可約多項式。一個多項式是否不可約與我們所研究的數(shù)域有關。在復數(shù)域中，只有一次因式是不可約的，任何次數(shù)高于一次的多項式都可以分解成一次因式的乘積。在實數(shù)域中，任何次數(shù)不小于3次的多項式都是可約的。除一次不可約因式外，還有二次不可約因式。如（其中）。在有理數(shù)域中，情況較復雜，除一次不可約因式外，可以有任意次數(shù)的不可約因式存在，艾森斯坦因判別法可以判別一部分不可約多項式。6.因式分解一定要在題目規(guī)定的范圍內(nèi)分解，范圍不同可能分解結(jié)果就不同。任意一個多項式的因式分解結(jié)果，在我們所定義的唯一性的意義之下是唯一的，這是指無論用什么方法分解，當分解完成后，除了因式順序外，其結(jié)果都完全一樣，其實在大學數(shù)學中，因式分解的唯一性問題有系統(tǒng)的講解，有興趣的同學可以參見參考文獻[1]。因式分解一般有一定的步驟：首先應該看所分解的多項式的各項有無公因式，多項式的每一項都含有的因式就是該多項式各項的公因式。如果將要分解的多項式的每一項有公因式，我們可以先把公因式提出來[2]。此時，多項式已經(jīng)化成了兩個因式之積的形式，當然是否還要分解還需進一步討論。上述分解因式的方法就是提公因式法。采用提公因式法時，如果多項式的項有分母，則可以先提所有分母最小公倍數(shù)分之一到多項式之前，然后對整系數(shù)多項式再提各項系數(shù)的最大公約數(shù);所提取的字母應該是各項都有的字母，我們?nèi)∠嗤淖帜缸畹偷闹笖?shù)作為提出去的字母的指數(shù);如果有多項式整體是相同的則整體提出且多項式的次數(shù)取最低的[3]。其次結(jié)合我們已經(jīng)學過的公式看能否直接利用乘法公式進行分解，公式法的實質(zhì)其實就是把乘法公式反過來運用。中學階段用到的乘法公式主要是平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式和完全立方公式，同學們必須將這些公式牢記并靈活加以運用。通常情況下，除非基礎題目，否則上述兩個步驟一般都不能完全解決問題，這個時候就應該考慮其他的因式分解方法了。比如：可用分組分解法，在用分組分解法時要注意的是我們分組的原則是在分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)進行分解，如果分組后無法進行下一步則需要考慮重新分組;換元法，將多項式的某些項作為一個整體，然后用一個新的字母去代換就是換元，換元的目的是使得復雜的多項式轉(zhuǎn)變成簡單的和我們熟悉的多項式，使之可以進行下一步的分解;轉(zhuǎn)化法，經(jīng)過添項、拆項等變形將本身看起來無法利用我們熟悉的因式分解一般方法進行分解的多項式轉(zhuǎn)化為可以利用常見的因式分解的其他方法進行分解的多項式就是轉(zhuǎn)化法;主元法，如果待分解的多項式含有兩個或兩個以上字母，一般無法直接分解，我們可以將其中一個字母為主元進行變形整理，使多項式能夠用我們熟知的方法進行因式分解;待定系數(shù)法，其基本思路是先按已知條件把原式假設成若干個因式的連乘積，使這些因式的連乘積與原式組成恒等式，在所假設的因式中，先用字母表示某些項的系數(shù)（字母的值是待定的），然后通過多項式恒等的性質(zhì)（若兩多項式相等，則它們同次的對應項系數(shù)一定相等），建立方程組，求出這些待定系數(shù)的值。除了上述提到的方法外，多項式的因式分解還有其他一些方法：配方法、試除法、類比法、十字相乘法、展開重組法、求根公式法等。以上介紹了因式分解的一些常用方法，同學們可以根據(jù)具體的題目選擇合適的方法，多練習有助于因式分解技巧的掌握。其實，多項式在進行因式分解時往往不止用某一種方法，而是多種方法先后交替運用，這時就要根據(jù)題目的特點作出分析，靈活選擇方法。大家在學習因式分解時可能會碰到一些問題：利用十字相乘法時，如何湊成一次項的系數(shù)有困難;分組分解法不知如何分組，盲目地瞎湊。因此我們應該通過大量練習搞清楚每一種方法的適應形式及特點。在進行因式分解時要有整體意識，要從全局出發(fā)考慮問題，而不是局限于一個個方法的死記硬背，要自我培養(yǎng)準確選擇方法并且能靈活運用方法的數(shù)學能力。在中學數(shù)學中，因式分解是一個重要且略帶技巧性的學習內(nèi)容。除了常見方法外，多學習一些解題技巧對我們掌握因式分解非常重要。我在學習這部分內(nèi)容時就特別注意查詢相關解題知識。因為一次偶然，我接觸到了大學數(shù)學專業(yè)的專業(yè)課程《高等代數(shù)》，發(fā)覺其中有兩個關于多項式的定理對我們求解多項式的因式分解很有用，下面分享給各位在讀的中學生朋友。一、預備知識二、主要結(jié)果（一）定理應用舉例（二）綜合除法在定理應用舉例中，本文對定理一和二的應用進行了討論。其中有一個細節(jié)：在多項式可能的有理根找到后，還需要去判斷這些數(shù)哪些是多項式的根。同學們一般采取的方法是將C直接代入驗算，看看是否等于0，但是這種做法很容易算錯，且如果可以分解出多個的情況可能會被遺漏。下面我們接著介紹與定理應用舉例緊密相關的綜合除法的知識。綜合除法可以很容易地判斷C是否是的根，是幾重根？比較等式（1）中兩端同次項的系數(shù)，得到系數(shù)，這樣，欲求系數(shù)，只要把前一系數(shù)乘以C再加上對應系數(shù)，而余式r也可以按照類似的規(guī)律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陸續(xù)求出商式的系數(shù)和余式：也就是說，在第一行把被除式的各項的系數(shù)（注意必須把符號一起帶上）按次數(shù)由高到低一一排好，缺項的系數(shù)用零代替。首先得到商式的最高次項系數(shù)——和被除式的最高次項系數(shù)相等，然后將其乘以C放于第二行，緊接著作加法得到商式的次高次項系數(shù)......如此方法算下去，直到得到。這樣我們就算出了商式的全部系數(shù)，從而得到商式。注：1.如果，則C是的根，否則不是。2.若C是的根，可以反復用綜合除法去判斷它是幾重根，從而知道可以分解出多少個。由上面的分析我們可以發(fā)現(xiàn)，僅僅通過作加法和乘法兩種運算便可以得到一元多項式除以多項式的商式與余式，這就是綜合除法的簡便之所在。其實，綜合除法作為一種很靈活的方法，不僅這里使用起來簡單明了，在其他一些涉及數(shù)學運算問題時使用起來也非常方便。以后同學們讀大學了會發(fā)現(xiàn)，綜合除法在計算多項式除以多項式、有理函數(shù)的積分等問題中都有非常廣泛的應用。綜合除法的一大特點就是方便、直觀、易學，所以才具有其他方法不可替代的作用。結(jié)束語因式分解作為中學代數(shù)的一個重要內(nèi)容，在后續(xù)知識的學習中有諸多應用，同學們務必多多積累、熟練掌握。因式分解的方法如前文所言，這里不再贅述?？傊ㄟ^學習因式分解，能極大地提升同學們的數(shù)學素養(yǎng)，一些常用的數(shù)學思想方法在潛移默化中得以成為習慣。比如，因式分解往往要求我們解題必須有全局觀，要從整個多項式出發(fā)考慮問題，而非局部入手。我們還需學會將較難的問題進行轉(zhuǎn)化，不要“一條道走到黑，”這會有效地提高我們駕馭知識的能力。因式分解所采用的方法比較靈活，也有較強的技巧性，我們可以通過學習因式分解的知識培養(yǎng)自己的解題技能，這也對鍛煉發(fā)展同學們的思維能力非常有益。這部分的知識對大家以后的學習有著十分獨特的作用。通過學習因式分解，還會將大家的數(shù)學素養(yǎng)提高一大截，同學們分析問題解決問題的能力將極大增強。其實，通過對因式分解的學習，同學們還會對個人素質(zhì)的提高大有裨益。遇到簡單的因式分解，往往要求我們更加細心，否則可能會不小心而功虧一簣。遇到較難的因式分解，要求同學們有勇于克服困難的決心，有靈活多變的思維方法，有不達目的決不收兵的勇氣，有迎難而上吃苦耐勞的精神，如此種種都是我們在學習中所需要的。在因式分解的學習中，因式分解的題目有時會讓同學們一籌莫展，垂頭喪氣，但是當我們努力思索終于找到正確的解題方法時，又會讓大家頓覺峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明又一村，由此而體會到數(shù)學的樂趣，欣賞到數(shù)學的美，因此讓我們更加喜愛數(shù)學。因式分解的方法有很多技巧，我們平時應該多練習、多積累，熟練地掌握多項式的因式分解。本文在綜述了中學因式分解方法的基礎