第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

錄

01考情解碼?命題預(yù)警.............................................................2

02體系構(gòu)建思維可視...............................................................3

03核心突破?靶向攻堅(jiān)...............................................................4

知能解碼………二…二??二?…二?…;...............................................4

知識(shí)點(diǎn)1平面向量的基本定理...............................................4

知識(shí)點(diǎn)2平面向量的正交分解..............................................4

知識(shí)點(diǎn)3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算...............................................4

知識(shí)點(diǎn)4向量坐標(biāo)的坐標(biāo)表示..............................................5

題型破譯5

題型1對(duì)基向量概念的理解................................................5

題型2用基底表示向量|重6

題型3利用平面向量基本定理求參數(shù)7

【方法技巧】對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求參數(shù)

【易錯(cuò)分析】向量的分解易錯(cuò)

題型4平面向量的義標(biāo)運(yùn)算.................................................8

題型5向量共線的坐標(biāo)表示.................................................9

04真題溯源考向蝴..............................................................10

05課本典例高考素材11

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■01

考情解碼?命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

（1）理解平面向量基本定理

及其意義，在平面內(nèi)，當(dāng)一

組基選定后，會(huì)用這組基來(lái)

新課標(biāo)I卷，第3題，5

表示其他向量；

S單選題分

（2）借助平面坐標(biāo)系，掌握□多選題全國(guó)二卷，12新課標(biāo)I卷，第3題，5分

全國(guó)用卷，第9題，5分

平面向量的坐標(biāo)表示；0填空題題，5分

口解答題上海卷，第5題，4分

（3）理解向量坐標(biāo)的運(yùn)算及

中點(diǎn)坐標(biāo)公式；

（4）掌握平面向量平行的坐

標(biāo)表示.

考情分析：

掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；

會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；

理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題；

（2）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；能將向量的幾何運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算靈活地結(jié)合起來(lái)，解決一些平

面向量的計(jì)算問(wèn)題；

（3）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件，并能正確地進(jìn)行有關(guān)應(yīng)用.

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02

體系構(gòu)建?思維可視u

平平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向昆,

月對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向昆a,

面存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)XLX2,使a=Xe1+入2e2;

向平面向量基本定理

霉向■:長(zhǎng)度為。的向■,其方向是任意的.

量

基

若星中的兩個(gè)向■互相垂直，貝卿這組基為正交基

本

定正交基、正交分解及標(biāo)準(zhǔn)正交基在正交基下向量的線性表示稱為正交分解

理

若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量，處稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基

及

坐

平面向員的坐標(biāo)表示

標(biāo)

表平面向量的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)間的關(guān)系

示

平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

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03

核心突破?靶向攻堅(jiān)

知識(shí)點(diǎn)1平面向量的基本談

條件61，62是同一平面內(nèi)的兩個(gè)________L

結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量心有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，42,使。=________.

基底若ei，C2________我們把｛ei，/｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底

自主檢測(cè)在中，點(diǎn)M滿足布=3礪，點(diǎn)N滿足2"=配，E,/分別是MN,8。的中點(diǎn)，設(shè)方=￡,

AC=b?貝1JEF=（）

1-*1r

A.-a+-bB.—a+—

831()3

1-17

C.-a+-bD.匕+匕

4383

知識(shí)點(diǎn)2平面向量的正交分解

1、正交基、正交分解及標(biāo)準(zhǔn)正交基

（1）若基中的兩個(gè)向量互相垂直，則稱這組基為正交基；

（2）在正交基下向量的線性表示稱為正交分解；

（3）若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為.

（4）把一個(gè)向量分解為兩個(gè)^的向量，叫做把向量作正交分解.

自主檢測(cè)已知平行四邊形/8CZ）的三個(gè)頂點(diǎn)'C,。的坐標(biāo)分別是8（T3）,C（3,4）,D（2,2）.

（1）用坐標(biāo)表示敬；

（2）求反-麗的模長(zhǎng)；

（3）求頂點(diǎn)/的坐標(biāo).

知識(shí)點(diǎn)3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、平面向量的坐標(biāo)表示

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為標(biāo)準(zhǔn)正交基.對(duì)于坐標(biāo)

平面內(nèi)的任意向量m以坐標(biāo)原點(diǎn)。為起點(diǎn)作辦=。（通常稱成為位置向量）

平面向量基本定理可知，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x,八使赤=域+.也

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因此，a=xi+yj.

我們把（x，y）稱為向量。在標(biāo)準(zhǔn)正交基陸力下的坐標(biāo)，向量〃可以表示為“=（x,y）.

2、點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)間的關(guān)系

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的位置被它的位置向量歷所唯一確定，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（xj）,容易看出

bP=xi+xj=（x,y）,即點(diǎn)P的位置向量而的坐標(biāo)*/）也就是點(diǎn)尸的坐標(biāo)；反之，點(diǎn)P在平面直角坐

標(biāo)系中的坐標(biāo)也是點(diǎn)尸所決定的位置向量歷的坐標(biāo).

3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)。=（?,巾），b=（x2,72）.

數(shù)學(xué)公式文字語(yǔ)言表述

向量加法4+6=_________.兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和

向量減法a~b=________.兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等「這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差

實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)與向量的相

向量數(shù)乘/M=________.

應(yīng)坐標(biāo)的乘積

自主檢測(cè)|若向量4=（-1,0）,^=（0,1）,則Z+2B的坐標(biāo)為（）

A.（-1,2）B.（-1,1）C.（0,1）D.（1,2）

知識(shí)點(diǎn)4向量坐標(biāo)的坐標(biāo)表示

設(shè)點(diǎn)力（X］,H）,例X2，/），那么向量力8=（%—用,乃一切），

即任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

|自主檢測(cè)已知向量2=（1,2）,h=（-l,j）,若工//人則歹的值為（）

A.VB.--C.2D.-2

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題型1對(duì)基向量概念的理解

甌亙?若已知錄、不是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是（）

A.q與一&B.3e［與C.0+與與烏一與D.q與2q

例三］（多選）設(shè)］,［是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，能作為基底的是（）

A.e,+e?和q-3e2B.q+6e2和et+e2

C.3,-4生和6q-8%D.61+26和2《一￡?,

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方法技巧向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的豐零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

【變式訓(xùn)練1-1】若怎,可是平面內(nèi)的一個(gè)基底,則下列四組向量中不能作平面向量的基底的是()

A.\e{-e2,e2-le^B.

【變式訓(xùn)練1-2】(多選)下列說(shuō)法正確的是()

A.與向量)=(-1,2)方向相同的單位向量的坐標(biāo)為當(dāng)、

r力

B.萬(wàn)花為非零向量，則向量。在向量B上的投影向量為浮

c.2底為非零向量，且相互不共線，則⑹行卜-傳u區(qū)=。

D.若。=(2,3)與月=(戈,-6)共線，則x=-4

【變式訓(xùn)練1-3】若是平面內(nèi)一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為()

①和2025^-2025a②4+E和4一方

③3￡-25和22-31④2-35和曲-2—

A.①②B.②③C.③④D.①④

題型2用基底表示向量

|例2」|已知點(diǎn)G為NABC的重心(V48c三條中線的交點(diǎn)),記焉=￡,衣=鼠則衣=()

1-171-1T1-2T2-T

A.—a+—bB.—“+—/)C.-a+—bD.—a+—Ib

22333333

|例2-2］在丫”。中,力。為8c邊上的中線,￡為4。上靠近A的三等分點(diǎn)，則而=()

A.-AB--ACB.--1B+-AC

4444

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5uuriuuurSuiiriuuir

-AB——ACD.--AB+-AC

方法技巧

判斷所給的兩個(gè)向量能否作為一組基的方法

由基的定義可知，要判斷兩個(gè)向量“，〃能否作為一組基，只需判斷兩向量是否共線，而判斷向量是否共線

就要看是否存在使。=潺成立.另外,作為基的向量必為非零向是

________________________________________________________________________________________________/

【變式訓(xùn)練2-1】若點(diǎn)。是平行四邊形力8co兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，AB=a,BC=b，則向量的=（）

11r11-11-11-

A.-a+-bB.一一a一一bC.-a一一bD.一一a+-b

22222222

【變式訓(xùn)練2?2?變考法】（多選）在V/8。中，已知/比1。=5,48=力。,。是4c的中點(diǎn)，若〃是8C上的

一點(diǎn)，且滿足而=2元,力尸與30交于點(diǎn)￡,貝IJ（）

A.1P=-AB+-ACB.萬(wàn)在而上的投影向量為

________3一

C.AP.麗=。D.AE=-AP

【變式訓(xùn)練2-3?變載體】在平行四邊形"CO中，AB=a，AD=b＞若〃為線段力。上靠近。的三等分點(diǎn)，

BD交CF于G,則就=.（用3，B表示）

難

例3-1

在V力8C中，點(diǎn)。是8C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是力。的中點(diǎn)，^EC=x'AB+yAC,貝產(chǎn)7=（）

例3-2|（2026高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知點(diǎn)〃為V月8C中8c邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足旃=g麗，過(guò)點(diǎn)N

的宜線與/&/。分別交于P,。兩點(diǎn)，且設(shè)萬(wàn)=x7瓦而=y衣，則:+'的值為（）

D.10

|例3m如圖所示,V祜C中，點(diǎn)。是線段8c的中點(diǎn)，￡是線段4D上的動(dòng)點(diǎn)，若礪=x而灰，則x+y

的值為（）

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A

C.5D.8

方法技巧

若直接利用基表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表

示出目標(biāo)向量(一般需建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式)，再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，

解方程或方程組即得.

【變式訓(xùn)練3-1】在平行四邊形IBC。中，=4M交BD于點(diǎn)、Q,若而=/1而+〃就，則

【變式訓(xùn)練3-2】如圖所示，在△4中，麗就，P是8N上的一點(diǎn)，若小就二/-?而，則實(shí)數(shù)〃?

33

的值為

題型4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

通引與向量2=(12,5)平行的單位向量是()

A

-(箭)B.

阿坦在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,-3),若向量方=(2,3),則點(diǎn)X的坐標(biāo)為

方法技巧

求問(wèn)量的坐標(biāo)的一般方法

1、數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)正交分解，求向量在X軸、y軸上的坐標(biāo)分量;

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2、平移法：把向量的始點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)即向量的坐標(biāo);

3、若已知4(再,乂)、B(x2,y2)t則48=(々一一必).

【變式訓(xùn)練4-1】已知向量2=(6,10),坂=(-6,-10),則％與否()

A.互為相等向量B.互為相反向量C.相互垂直D.均為零向量

【變式訓(xùn)練4-2?變載體】已知點(diǎn)幺(-2,1),8(1,4),。(0,-3),則而+祝=()

A.(5,-1)B.(—3,3)C.(1,7)D.(-1,7)

題型5向量共線的坐標(biāo)表示

例亙|已知非零向量方=(1,0),5C=(X-2,X2-3X+2),若力，B,C三點(diǎn)共線，則》=()

A.IB.2C.1或2D.無(wú)解

例5?2|已知平面向量。二(2,1),5=(-1"),且G//B，則4=.

|例5-3]已知點(diǎn)*(-1,2),點(diǎn)8(5,6),且力=3而，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

方法技巧

1、判斷兩個(gè)向量共線的方法：一般是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出需要判斷的向量的坐標(biāo)，并根據(jù)兩個(gè)向量平

行的坐標(biāo)來(lái)判斷，即先求出。二(七,必)，b=(x2,y2),若王必一工0[=0(五=2,必乃工0),則a〃〃.

,y2

2、由向量共線求參數(shù)的值

已知兩個(gè)向量共線求參數(shù)時(shí)，參數(shù)?般設(shè)置在兩個(gè)位置：一是向量坐標(biāo)本身含參，二是將相關(guān)向量用已知

兩個(gè)向量的含參關(guān)系表示，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)選擇向量共線的坐標(biāo)表示的兩種形式，建立有關(guān)參數(shù)的

方程或方程組求解.

【變式訓(xùn)練5-1】已知％=而=(3,1),若線段8c的一個(gè)三等分點(diǎn)為M,則翔的生標(biāo)為()

【變式訓(xùn)練5-2】設(shè)向量方=(—麗=(2a,3),反其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，a>O,b>D,若4B,C

三點(diǎn)共線，則上1+?2的最小值為_______.

ab

【變式訓(xùn)練5-3已知向量值=(1,司，5=(-1,()),州(內(nèi),。，若”2/；與4平行，則實(shí)數(shù)&=.

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04

真題溯源?考向感知1

1.（2025?北京?高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xQy中,Q__|___=|O___B__|=應(yīng)L,|__Z__B__|=2.設(shè)C（3,4）,則|2。LIU1十4UL8K1|

的取值范圍是（）

A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]D.[8,12]

2.（2024?全國(guó)甲卷?高考真題）設(shè)向量M=（X+1,X）,5=（X,2）,則（）

A."》=-3”是的必要條件B."x=l+6”是5/行”的必要條件

C.“x=0”是“力戶的充分條件D.”》=-1+6”是“￡/府的充分條件

3.（2023?北京?高考真題）已知向量,B滿足彳+5=（2,3）,1一5=（-2,1）,則|,『_62=（）

A.-2B.-1C.0