重難專攻(七)立體幾何中的綜合問題

隨著高考改革的不斷深入，立體幾何中的翻折、探究、動態(tài)等問題備受命題者青睞.解決此類問題的關(guān)鍵是

“以靜制動”，將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，通過構(gòu)造函數(shù)、基本不等式等方法加以解決.

翻折問題

____________________)

(師生共研過關(guān))

【例1】圖①是由矩形AOEB,RtAA8C和菱形BEGC組成的一個平面圖形，其中A8=l,BE=BF=2,ZFBC

=60。.將其沿48,折起使得BE與8月重合，連接。G,如圖②.

(1)證明：圖②中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求圖②中的二面角B-CG-A的大小.

解：(1)證明：由已知得CG//BE,所以4￡>〃CG,

所以A。，CG確定一個平面，從而A,C,G,。四點(diǎn)共面.

由已知得ABLBC,SLBE^BC=B,

所以AB_L平面BCGE.

又因?yàn)锳2U平面ABC,所以平面ABC_L平面BCGE.

(2)作EHLBC,垂足為H.

因?yàn)镋HU平面BCGE,平面BCGE_L平面ABC,

平面BCGED平面ABC=BC,

所以EH_L平面ABC.

由已知，菱形BCGE的邊長為2,Z￡BC=60°,可求得BH=1,EH=^3.

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC,近的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系孫孫z,

CG=(1,0,V3),而=(2,-1,0).

設(shè)平面ACGD的法向量為"=(x,y,z),

n=0,fx+V3z=0,

即

g?n=0,12%—y=0.

所以可取修=(3,6,—V3).

又平面5CGE的法向量可取(0,1,0),

所以cos〈小?。???=，.

I71117nI2

因此二面角2-CG-A的大小為30°.

解題技法

1.翻折問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清翻折前后變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.一

般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.

2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展

開，這是解決空間垂直問題的技巧.

0訓(xùn)練

圖①是直角梯形A8CD,AB//DC,ZADC=90°,AB=2,DC=3,AD=W,CE=2ED,以BE為折痕將ABCE

折起，使點(diǎn)C到達(dá)Ci的位置，且4弓=聲，如圖②.

DE

圖②

(1)求證：平面8GE_L平面A8E。；

(2)已知點(diǎn)尸為線段。G上一點(diǎn)，且尸G=2PD求直線BP與平面ABG所成角的正弦值.

解：(1)證明：如圖所示，連接AC與8E相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)8作8/，￡(7交EC于點(diǎn)?

DEFC

由OC=3,CE=2ED,得。E=l,CE=2.四邊形ABF。為矩形，可得8尸=A￡)=遮，F(xiàn)C=1.

所以BC=JBF2*FC2=2,所以/3CF=60。，所以△3CE是等邊三角形，所以。C=W,

由EC〃AB,EC=AB=2,OC±EB,可得04=0C=g,OA±EB.

所以。42+?；?6=4仃，所以。4_LOG.

又02noe1=0,OB,OGU平面BGE.

所以。4_1_平面BCiE.又OAU平面ABED,所以平面BG及L平面ABED.

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0),A(V3,0,0),B(0,1,0),D(亨，-j,0),

Cl(0,0,V3),所以麗=(-V3,1,0),宿=(-V3,0,V3),DC1=(一日，|,V3),BD=(y,一

設(shè)平面ABG的法向量為"=(x,y,z),所以［竺T°>令尤=1，則>=百，z=1,所以"=

V3x+V3z=0,

(1,V3,1),

因?yàn)辄c(diǎn)P為線段。Cl上一點(diǎn)，且PC1=2PC,所以而=2西，所以麗=麗+麗=麗+￡西=(y,-|,0)

一z?73)

設(shè)直線8尸與平面A5G所成角為。，則sinO=

\BP\-\n\叵又正35

所以直線與平面所成角的正弦值為噤.

探究問題

（考點(diǎn)二）_

（師生共研過關(guān)）

【例2】（2021?全國甲卷19題）已知直三棱柱ABC-431cl中，側(cè)面AA/iB為正方形，AB=BC=2,E,F分

別為AC和CG的中點(diǎn)，。為棱481上的點(diǎn)，BF±AiBr.

（1）證明：BFLDE-,

（2）當(dāng)8。為何值時，面881cle與面OFE所成的二面角的正弦值最??？

解：（1）證明：因?yàn)镋,尸分別是AC和CG的中點(diǎn)，且AB=8C=2,

所以CB=1,BF=V5.

22

如圖，連接AF,由8尸，45,AB//A\BX,#BF±AB,則AF=JBF+AB=3,所以AC=JAF2-CF2=2叵由

AB2+BC2=AC2,得BALBC,故以2為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A2,BC,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系B-xyz.

則8(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),BF=(0,2,1).

設(shè)BQ=m(0W/nW2),則。(m,0,2),

于是DE=(1~m,1,~2).

所以市?炭=0,所以B/tLOE

(2)易知面BBiCiC的一個法向量為“1=(1,0,0).

設(shè)面。FE的法向量為〃2=(x,y,z).

\EF'TL2,=0,

又屁=(1-m,1,-2),EF=(-1,1,1),

-J(1—m)x+y-2z=0,人_,

所以｛令冗=3,得〉=根+1,z=2—m,

(一%+y+z=0,

于是，面。尸E的一個法向量為敢=(3,m+1,2-m),

所以cosV〃i,n>=-f=.

2及…丁瑤

2

設(shè)面BB\C\C與面DFE所成的二面角為9,則sin0=Jl-cos<nlfn2>,

故當(dāng)拊，面B81C1C與面。FE所成的二面角的正弦值最小，為*即當(dāng)以。=拊，面881cle與面OFE所成

的二面角的正弦值最小.

解題技法

利用空間向量巧解探究性問題的策略

(1)空間向量最適合于解決立體幾何中的探究性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算

進(jìn)行判斷；

(2)解題時，把結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解”“是否

有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題.

提醒探究線段上是否存在點(diǎn)時，注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用.

0訓(xùn)練

(2024?廈門質(zhì)檢)在三棱柱ABC-AiBiG中，四邊形山是菱形，AB1AC,平面441出_1平面ABC,平面

AiBiG與平面ABC的交線為/.

(1)證明：AiB±BiC.

(2)已知NA32i=60。，AB=AC=2,/上是否存在點(diǎn)尸，使與平面所成角為30。？若存在，求歷尸的長

度；若不存在，請說明理由.

解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅?4bBi8為菱形，所以ALBLABI.

因?yàn)槠矫鍭4H_L平面ABC,平面AAiSBA平面A2C=AB,ACu平面ABC,ACLAB,

所以AC_L平面A415A

又AiBU平面AAiSB,所以AC_L4A

又因?yàn)锳8iCAC=A,

所以Ai8_L平面AB\C.

又BiCU平面ABC,所以AiB_L8iC

(2)/上不存在點(diǎn)P,使AiB與平面A2P所成角為30。.理由如下：

取A向的中點(diǎn)D,連接AD

因?yàn)镹ABS=60。，所以/A4iBi=60。.

又AAi=A/i,

所以△為等邊三角形，

所以AO_L4Bi.

因?yàn)樗訟O_L48.

又平面平面ABC,平面A4由平面ADU平面血!歸歸，

所以4。_L平面ABC.

以A為原點(diǎn)，以彳瓦AC,而的方向分別為無軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),Ai(-1,0,V3),Bi(1,0,V3),

則前=(0,2,0),AB=(2,0,0),AB[=(1,0,V3).

因?yàn)锳C〃4Ci,ACC平面4B1G,

4Gu平面A\B\C\,

所以AC〃平面AilG,

又ACU平面ABC,平面AiBiGA平面4BC=/,

所以AC〃/.

假設(shè)/上存在一點(diǎn)P,使A/與平面A2尸所成角為30。.

設(shè)印=人芯(XeR),則第=(0,2X,0),

所以標(biāo)=詞+印=(1,2入，V3).

設(shè)"=(x,y,z)為平面A8P的一個法向量,

n-AB=0,2x=0,

則即

n-AP—0,x+2Ay+V3z=0.

令y=-V3,貝Uz=2九，可取"=(0,—V3,2X).

又//=(3,0,—V3),

所以sin30。=Icos<,碩〉II2732I1

WV3+4A2X2V3

即3+4入2=41,此方程無解,

因此/上不存在點(diǎn)P,使AiB與平面A8尸所成角為30。.

動態(tài)問題

____________________)

(定向精析突破)

考向7軌跡問題

【例3】(1)點(diǎn)P為棱長是2曲的正方體ABCZXAiBiGA的內(nèi)切球。球面上的動點(diǎn)，點(diǎn)M為B1G的中點(diǎn)，若

滿足。則動點(diǎn)尸的軌跡的長度為()

A.兀B.2兀

C.4兀D.2V5TT

(2)(多選)如圖，已知正方體ABCQ-AiBiCiOi的棱長為4,〃為的中點(diǎn)，N為A8CD所在平面內(nèi)一動點(diǎn),

則下列命題正確的是()

A.若與平面ABC。所成的角為1則點(diǎn)N的軌跡為圓

B.若MN=4,則MN的中點(diǎn)尸的軌跡所圍成圖形的面積為2兀

C.若點(diǎn)N到直線BBi與到直線DC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線

D.若AN與A2所成的角為點(diǎn)則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線

答案：(1)C(2)ACD

解析：⑴根據(jù)題意知，該正方體的內(nèi)切球半徑為廠=遮，如圖.取SB的中點(diǎn)N,連接CN,則CNLBM,；.CN

為。尸在平面SGCB中的射影，，點(diǎn)尸的軌跡為過。，C,N的平面與內(nèi)切球的交線，：正方體ABCD-ABCLDI

的棱長為2曲，二。到過。，C,N的平面的距離為造=1,...截面圓的半徑為2,.?.點(diǎn)尸的軌跡的長度為2兀X2=

V5

4兀.

(2)如圖所示，對于A,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，MZ)_L平面ABC。，所以為MN與平面所成的

角，所以/MN￡)=E,所以QN=OM=3)OI=三X4=2,所以點(diǎn)N的軌跡為以。為圓心，2為半徑的圓，故A正

422

確；對于B,在RtAMDV中，DN=JMN2~MD2=J42-22=2V3,取的中點(diǎn)E,連接尸E,因?yàn)镻為MN的

中點(diǎn)，所以PE〃DN,且PE=：DN=?因?yàn)椤_LE。，所以PE_LE。，即點(diǎn)P在過點(diǎn)E且與。。垂直的平面

內(nèi)，入PE=W,所以點(diǎn)尸的軌跡為以百為半徑的圓，其面積為無?(B)2=3兀，故B不正確；對于C,連接

NB,因?yàn)槠矫鍭BCD,所以所以點(diǎn)N到直線28的距離為NB的長度，所以點(diǎn)N到點(diǎn)8的距離

等于點(diǎn)N到定直線C。的距離，又8不在直線CZ)上，所以點(diǎn)N的軌跡為以B為焦點(diǎn)，CD為準(zhǔn)線的拋物線，故C

正確；對于D,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4,0,

0),B(4,4,0),Di(0,0,4),設(shè)N(x,y,0),則屈=(0,4,0),D^N=(x,y,—4),因?yàn)?。iN

與AB所成的角為)所以lcos<荏，O>I=cos=所以I。I=g整理得莖一捻=1,所以點(diǎn)N的

334JxZ+yZ+1621616

軌跡為雙曲線，故D正確.

解題技法

解決動點(diǎn)軌跡問題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定；

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進(jìn)行計(jì)算；

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

考向2空間位置關(guān)系的判定

【例4】(多選)已知P,。分別是正方體ABCZKAiSGA的棱2以，CG上的動點(diǎn)(不與頂點(diǎn)重合),則下列

結(jié)論正確的是()

A.AB1PQ

B.平面8尸Q〃平面ADDiAi

C.四面體ABPQ的體積為定值

D.AP〃平面CDDiCi

解析：ABD對于A,'：AB.LBC,ABlBBi,BCCiBB^B,BC,平面BCCiS,平面BCGS,

平面BCCiBi,：.AB±PQ,故A正確；對于B,..?平面平面BCGS,平面BPQ與平面BCC/i

重合，平面8尸。〃平面A￡>￡>14,故B正確；對于C,到平面3PQ的距離A2為定值，。到3尸的距離為定

值，2尸的長不是定值，...四面體A2P。的體積不為定值，故C錯誤；對于D,?.?平面AB214〃平面CDAG,

APU平面ABB14,〃平面CODiCi,故D正確.

解題技法

解決空間位置關(guān)系的動點(diǎn)問題的方法

(1)應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化;

(2)建立“坐標(biāo)系”計(jì)算.

考向3最值(范圍)問題

【例5】(1)已知點(diǎn)〃是棱長為2的正方體ABCD-AiBCQi的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在平面所在的平面

內(nèi).若平面。1PM分別與平面ABCD和平面8CGS所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P與點(diǎn)G的最短距離是()

(2)(2024?瀘州一模)在直三棱柱ABC-A1B1G中，AB=AC=V3,BC=AAi=2,點(diǎn)尸滿足而=加屈+(|-

m)南，其中機(jī)e[0,|],則直線AP與平面8CG81所成角的最大值為()

A"B.-

64

C.-D.—

312

答案：(1)A(2)B

解析：(1)設(shè)尸在平面ABCO上的射影為P,M在平面8B1CC上的射影為AT(圖略)，平面。尸M與平面

ABC。和平面8CC121所成的銳二面角分別為a,P，則cosa=：,cosp=^cosa=cosp,所以

,=

S&DPMSQP^'(J1,設(shè)P到CM距離為d,貝嚀X遮Xd=1Xl><2,d=W，即點(diǎn)P到Ci的最短距離為哈

(2)分別取BC,BiG中點(diǎn)。，Di,則即。。_L平面ABC,連接AD,因?yàn)锳2=AC,所以

ADLBC,分別以D4,DB,。小所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-町z,由已知4。二/，

A(V2,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),Ci(0,-1,2),則方=(0,2,0),殖=(0,0,

2),因?yàn)榉?加方+(|-m)鬲=(0,2m,3一2根)，AC=(一夜，-1,0),AP=AC+CP=(一/，2m

-1,3-2/71),易知平面BCCiS的一個法向量是〃=(1,0,0),設(shè)直線AP與平面BCG?所成角為仇則

[0,-],sin0=Icos<n,AP>I=J方竺|=〔遮=、近^=,所以機(jī)=1時，(sin

2|n\\API222

J2+(2m—1)+(3—2?n)J8(m—1)+4

9)max=f,即。的最大值是會故選B.

解題技法

立體幾何中體積、距離、角的最值(范圍)問題，常用的解題思路是：

(1)直觀判斷：判斷點(diǎn)、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大(小)值；

(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求解.

0訓(xùn)練

1.在四棱錐P-A8C￡）中，四邊形A3CD是邊長為2的菱形，ZDAB=60°,PA=PD,ZAP￡>=90°,平面尸4。_1_平

面ABCD點(diǎn)。是APBC內(nèi)（含邊界）的一個動點(diǎn)，且滿足。Q,AC,則點(diǎn)。所形成的軌跡的長度是.

答案：詈

解析：如圖，連接8。，交AC于點(diǎn)。，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC,3D取PC上一點(diǎn)連接M。,

MB,使得DMJ_AC,又ACLBO,BDCDM=D,所以ACJ_平面BOM,則點(diǎn)°的軌跡是線段以。為原點(diǎn)，

。4所在直線為x軸，。2所在直線為y軸，過點(diǎn)。且垂直于平面4BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則。

（0,0,0）,A（V3,0,0）,B（0,1,0）,D（0,一1,0）,1）,C（一百，0,0）,0A=

（V3,0,0）,OP=（y,I，1）,PC=（一手，I，-I）,BD=（0,-2,0）.設(shè)麗=加+兩=而+九麗

=（y,1）+X（一手，-1）,0WKW1,則麗=吟一號八,|+1x,If）?因?yàn)镺A_LOM

所以永麗=0,解得九=（,所以兩=（0,|,|）,BM^BD+DM^（0,-2,0）+（0,|,|）=（。，一］，

|）,所以I前I=［GY+（I）,=竽即點(diǎn)。所形成的軌跡的長度為第

2.（2024?天津六校聯(lián)考）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長都是1,且平面ABC。，平面A8EF,彈子

M,N分別在正方形對角線AC,上移動，則MN長度的最小值是.

答案：苧

解析：N是異面直線AC,BP上兩點(diǎn)，的最小值即為兩條異面直線間距離d：平面ABC。，平面

ABEF,ABLBC,平面ABCDC平面AB￡F=AB,；.8C_L平面ABEF,又則以8為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),B(0,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1),：.AC=(-1,0,

1),~BF=(1,1,0),AB=(-1,0,0),設(shè)異面直線AC,8尸的公垂向量"=(x,y,z),則

n=~x+z=0,

令x=l,則y=-1,z=l,：.n=(1,-1,1),d=?*?即MV的最小值為

gn=x+y=0,InIV33

31

瞅蹤檢測］關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

1.如圖，斜線段■與平面a所成的角為%2為斜足.平面a上的動點(diǎn)「滿足mT,則點(diǎn)尸的軌跡為（

A、

A.圓

B橢圓

C.雙曲線的一部分

D.拋物線的一部分

解析：B建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OB=OA=1,則B(0,1,0),A(0,0,1),P(x,y,0),

則荏=(0,1,—1),AP=(x,y,—1),所以cos<Z^,AP>=——y+1,即"=i,所以

V2.lx2+y2+l23

點(diǎn)尸的軌跡是橢圓.

2.設(shè)動點(diǎn)尸在正方體ABCDAbBiCQ上(含內(nèi)部)運(yùn)動，且斤=九用，當(dāng)NAPC為銳角時，實(shí)數(shù)九的取值范圍

為()

1

A.1)B.(1,+8)

3

11

C.(0,-)D.(0,-)u(1,+oo)

33

__丫2_|_丫2_n

解析：C設(shè)AP=x,DiP=t,正方體的棱長為1,則AC=或，在AAPC中，由余弦定理得cos/APC=：2

2x2

22

=弓，若NAPC為銳角，則弓>0,則在△AO/中，ADi=V2,cos/gB=(四

x2x22XV2XV33

在AAOi尸中，由余弦定理得『=2+產(chǎn)于是2+-一2義企><￡><彳>1,即3戶一4佰+3>0,解得

r>舊或reg,由。iB=百，故九>1(舍去)或0cA■<1.

3.(2024?廣東模擬)已知正四棱錐PA3CZ)的側(cè)棱長為2,底面邊長為巡，點(diǎn)E在射線上，F(xiàn),G分別是

BC,PC的中點(diǎn)，則異面直線AE與尸G所成角的余弦值的最大值為()

A/B."

34

衛(wèi)D獨(dú)

55

解析：C如圖，連接AC,BD交于O,連接尸O.因?yàn)榫覩分別是8C,PC的中點(diǎn)，所以FG〃PB,則AE與尸G

所成的角即是AE與PB所成的角，設(shè)AE與P8所成的角為0.由題意知，04,OB,OP兩兩互相垂直，分別以

OA,OB,0P所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則尸(0,0,1),￡>(0,一值，0),B(0,

0),A(V3,0,0),由無=九而(九>0)得E(0,-V3A.,1一九)(九20),所以版=(一百，一百入，1-

X),PB=(0,V3,-1),所以cos9=IJE'L,I=-2a+1I..令/⑴=”：+—+1(入》0),則尸(入)

2調(diào)產(chǎn)兀2g+2

=-3l2A+l)(2A-3)當(dāng)0W九〈三時，f(X)>0,f(X)單調(diào)遞增，當(dāng)兒>三時，f(X)<0,f(X)單調(diào)遞減，所以

(2A2-A+2)22

當(dāng)人=|時，/(九)取得最大值，此時cos0也取得最大值字，故選C.

4.（多選）（2021?新高考I卷12題）在正三棱柱4BC-A71C1中，AB=AAi=l,點(diǎn)P滿足麗=入屁+卜1兩，其中

Xe[0,1],再[0,1],則（）

A.當(dāng)正=1時，△ASP的周長為定值

B.當(dāng)四=1時，三棱錐的體積為定值

C.當(dāng)九=1時，有且僅有一個點(diǎn)尸，使得AiP_L8P

D.當(dāng)卜1=!時，有且僅有一個點(diǎn)P,使得48,平面ABiP

解析：BD於=九品+曲瓦（0W入Wl,OW^Wl）.對于選項(xiàng)A,當(dāng)九=1時，點(diǎn)尸在棱CG上運(yùn)動，如圖①所

不，此時△ABi尸的周長為ABi+AP+/*Bi=V^+Jl+（1一4）=魚+J1+/+,2—2〃+〃2,不是

定值，A錯誤；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)口=1時，點(diǎn)尸在棱BiCi上運(yùn)動，如圖②所示，則%&BC=%「PBC=6APBCX^=*APBC=

^X1X1X1=5，為定值，故B正確；對于選項(xiàng)C,取BC的中點(diǎn)。，81cl的中點(diǎn)。，連接OOi,AiB,則當(dāng)入=

拊，點(diǎn)尸在線段。。上運(yùn)動，假設(shè)4尸，2尸，則4尸2+8尸=&但2,即6）2+（1一）2+（|）2+F=2,解得日

=0或p=l,所以點(diǎn)尸與點(diǎn)￡>或￡>1重合時，AiP±BP,故C錯誤；對于選項(xiàng)D,易知四邊形A3B14為正方形，

所以AiBLABi,設(shè)ABi與4出交于點(diǎn)K,連接PK,要使4由，平面ABiP,需AiB上KP,所以點(diǎn)尸只能是棱CG

的中點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.綜上，選B、D.

5.（多選）如圖，在棱長為1的正方體ABCDAiBCbDi中，M,N分別為BA，81cl的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方體的表面

上運(yùn)動，且滿足MPJ_CN.下列說法中正確的是（）

A.點(diǎn)尸可以是棱831的中點(diǎn)

B.線段MP的最大值為|

C.點(diǎn)P的軌跡是正方形

D.點(diǎn)P的軌跡長度為2+逐

解析：BD在正方體ABCD-AiSCbDi中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，0c所在直線為y軸，。。所在

直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，：該正方體的棱長為1,M,N分別為8D1,SG的中點(diǎn)，

(0,0,1),B(1,1,0),MI，|)，N1,1),C(0,1,0),：,CN=(|,0,1),設(shè)P(尤，

y,z),則MP=(x-y-z--),,:MPLCN,(x--)+z—工=0,即2x+4z—3=0,當(dāng)x—1時，z—

當(dāng)x=0時，z=-,取E(l,0,-),F(1,1,工)，G(0,1,-),H(0,0,-),連接ERFG,GH,

444444

HE,則而=同=(0,1,0),EH=~FG=(-1,0,1),二四邊形EFGH為矩形，又而?麗=0,麗?麗=0,

BPEF±CN,EH1CN,又所和即為平面EFGH中的兩條相交直線，；.CALL平面EFG8,又前=

；),MG=(-1,；),；.知為EG的中點(diǎn)，則平面￡尸G8,為使MP_LCN,必有點(diǎn)尸6平面EFG//,又點(diǎn)

P在正方體表面上運(yùn)動，，點(diǎn)P的軌跡為四邊形EFGH,...點(diǎn)尸不可能是棱881的中點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯誤；又EF=

GH=1,EH=FG=與：.EF半EH,則點(diǎn)尸的軌跡是矩形不是正方形，且矩形EFGH的周長為2+2X手=2+

V5,故選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確；?.?點(diǎn)P的軌跡為矩形EFGH,.?.當(dāng)P點(diǎn)在矩形的四個端點(diǎn)時，取得最大

值，且的最大值為三，故B正確.

4

6.(多選)(2023?新高考I卷12題)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁

厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有()

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

解析：ABD棱長為1m的正方體的內(nèi)切球的直徑為1m,1m>0.99m,所以A符合題意；如圖①，在棱長為1

m的正方體中，正四面體4-BDG的棱長為&m,V2m>1.4m,所以B符合題意；因?yàn)槔忾L為1m的正方體上

任意兩點(diǎn)間的最大距離為正方體的體對角線長百m?=1.732m,而百tn<1.8m,所以C不符合題意；如圖②，

假設(shè)放入最大的圓柱的上、下底面圓心為P,Q,設(shè)圓柱底面半徑為rm,底面直徑為dm,連接ACi,如圖③，

在平面AB1GD中，過。作QE_LAG,交AS于點(diǎn)E,貝！］QE=rm,AQ=^2rm,PQ=陋一2岳=(用一夜d)

m,當(dāng)d=1.2時，PQ=V3-V2X1.2?1.732-1.414X1.2??0.035m>0.01m,故D符合題意.故選A、B、D.

aEB、

圖③

7.已知動點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCiA的表面上運(yùn)動，且PA=r(0<r<V3),記點(diǎn)尸的軌跡長度為了

(r),則/(I)+/(V2)=.

答案:3兀

解析：如圖，當(dāng)廠=1時，點(diǎn)P在正方體表面上的軌跡分別是以4為圓心，1為半徑的三個面上的三段弧，分別為

BD,即，A^D,則/(I)=3xix27i=—,當(dāng)r=a時，點(diǎn)尸在正方體表面上的軌跡為在平面48?。上以4

42

為圓心，1為半徑的瓦在平面BiBCCi上為以8為圓心，1為半徑的瓦2,在平面DCCLDI上為以。為圓心，1

為半徑的㈤，則應(yīng))=3xix2K=—,所以/(I)+/(V2)=—+—=371.

4222

8.在直四棱柱ABCD-ASCLDI中，底面ABC。為正方形，AAi=2AB=2.點(diǎn)尸在側(cè)面BCGS內(nèi)，若AC平面

BDP,則點(diǎn)尸到CD的距離的最小值為.

答案：卓

解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，貝(Ai(1,0,2),C(0,1,0),B(1,1,0),ArC=(-1,1,一

2),設(shè)尸(x,1,z),而=(x,0,z).由于AiC_L平面3。尸，所以(竺,竺—1+1+0-0,所以％+2z=

-DP=~x+1—2z=0,

1.由于沆?麗=0,即CPLDC,尸到CO的距離為I。尸I=(1—2z)+z2=5z2—4z+1,所以當(dāng)

Z=-￡=|時，ICPImin=5x2一4x|+1=日.即P到CD的距離的最小值為當(dāng)

9.如圖，在四棱錐S-ABCZ)中，己知四邊形ABC。為菱形，ZBAD=60°,△S4。為正三角形，平面平面

ABCD.

(1)求平面SBC與平面A8C夾角的大小；

(2)在線段SC(端點(diǎn)S,C除外)上是否存在一點(diǎn)M,使得若存在，指出點(diǎn)〃的位置；若不存在,

請說明理由.

解：(1)取4。中點(diǎn)O,連接S。，BO,

因?yàn)镾A=SO,OA=OD,所以SO_LA￡),

又因?yàn)槠矫?4￡>_L平面ABCD,平面SADCl平面42c￡)=A。，SOU平面&4￡),所以SO_L平面A8C￡),

因?yàn)镺3U平面ABC。，所以SO_LO8,

因?yàn)锽A=8Z),OA=OD,所以。4_LO8,

所以04,OB,OS兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AO=2,則S(0,0,V3),B(0,V3,0),C(-2,

V3,0),A(1,0,0),￡>(-1,0,0),

平面ABC。的法向量為赤=(0,0,V3),

71,瓦^=0

——'又轉(zhuǎn)=(0,-V3,V3),BC=(-2,0,0),所以

(nBC—0,

—V3y+V3z=0,

取y=l,可付〃=(0,1,1),

—2x=0,

設(shè)平面SBC與平面ABC的夾角為仇則cos0=l常舒I=泉則。=45。.

故平面S5C與平面ABC的夾角為45。.

(2)設(shè)M(xi,yi,zi),SM=)JC,0<X<l,則M(-2X,V3X,V3(1-X)),AM=(-2X-1,V3X,V3

(1—X)),BD=(—1,—V3,0),

由福?麗=2入+1—3入=0,解得入=1,矛盾，故不存在.

10.(2024?保定質(zhì)檢)如圖①，在RtAABC中，AB±BC,AC=2AB=U,E,尸都在AC上，MA￡：EF：FC=

3：4：5,EB//FG,WAAEB,△CFG分別沿EB,EG折起，使得點(diǎn)A,C在點(diǎn)尸處重合，得到四棱錐尸-EPGB,

如圖②.

圖①圖②

(1)證明：EF±PB；

(2)若/為PB的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.

解：(1)證明：由AE：EF：FC=3：4：5,AC=12,

得PE=AE=3,EF=4,PF=FC=5,

貝IPF2=PE2+￡F2,

所以PELEF.

因?yàn)轶?桀，所以△ABEsaCB,

所以BE±AC,即BE±EF.

又PECBE=E,所以EF_L平面PEB,

因?yàn)镻BU平面PEB,所以EFLPB.

(2)以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以前，EB,前的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系E-肛z,

則E(0,0,0),F(4,0,0),P(0,0,3),8(0,3遍，0),M(0,學(xué)，|),

則而=(4,0,0),EM=(0,竽，|),BF=(4,一3巡，0),PF=(4,0,一3).

平面即平面BFP,

設(shè)平面5bM的法向量為桃=(xi,yi,zi),

則前=°,得出1-3何1=0,

\m-PF=0,(4%1—3zt=0.

令％=4,得m=(3V3,4,4V3).

設(shè)平面的法向量為打=(X2,>2,Z2),

m伍?麗=0,/A(4X2=0,

則｛--?^)3733

U-EM=0,(等丫2+灑=0，

令”=1,得〃=(0,1,—V3).

設(shè)平面5/儀與平面E7W的夾角為0,

而nI)|ImnII4-12|4回

則COS0=cos</w,n>=-F

I-m\-\n-I=—V9=1-X-2=--91.

所以平面BFM與平面夾角的余弦值為、子.

11.(2024?蘇北四市質(zhì)檢)已知一圓形紙片的圓心為O,直徑A8=2,圓周上有C,。兩點(diǎn).如圖，OC_L48,

NAOD=g點(diǎn)2是血上的動點(diǎn).沿A8將紙片折為直二面角，并連接尸。，PD,PC,CD.

6

(1)當(dāng)AB〃平面PC。時，求尸。的長;

(2)當(dāng)三棱錐P-CO。的體積最大時，求二面角。-PDC的余弦值.

解：(1)因?yàn)锳2〃平面PCD,ABU平